§ 26. Гидравлические машины

Физика, 7 класс. Учебник: Кронгарт Б.А. и др. (Мектеп, 2025). Глава 6: Давление. Страницы 132–138.

Чему научишься

• Объяснять, как устроены и работают гидравлические машины, и при чём тут закон Паскаля.
• Считать выигрыш в силе: $\frac{F_2}{F_1}=\frac{S_2}{S_1}$.
• Рассказывать, как работают гидравлический пресс, домкрат и тормоза автомобиля.
• Решать задачи на гидростатическое давление и давление твёрдых тел.

Разминка

• Что говорит закон Паскаля? Давление, которое мы создаём в жидкости или газе, передаётся во все стороны без изменения.
• По какой формуле считают давление? $p=\frac{F}{S}$: сила делится на площадь, на которую она давит.
• Как найти силу, если известны давление и площадь? $F=pS$.
• Почему при одной и той же силе иголка давит сильнее, чем ладонь? У иголки площадь острия очень мала, значит, давление огромное.

Разбираемся

Две трубки и один секрет

Представь два сообщающихся цилиндра: узкий и широкий. В каждом есть поршень, а под поршнями залита жидкость. Это и есть гидравлическая машина. Слово «гидравлический» пришло из греческого и значит «водяной».

Нажимаем на узкий поршень с небольшой силой $F_1$. Под ним возникает давление $p_1=\frac{F_1}{S_1}$. По закону Паскаля жидкость передаёт его в широкий цилиндр без потерь, и там $p_2=p_1$.

Но у широкого поршня площадь $S_2$ больше. Значит, сила, с которой жидкость толкает его вверх, равна $F_2=p_2S_2$. Приравняем давления $\frac{F_1}{S_1}=\frac{F_2}{S_2}$ и получим главную формулу урока.

📌 Выигрыш в силе показывает, во сколько раз $F_2$ больше $F_1$. Он равен $\frac{S_2}{S_1}$: во сколько раз площадь большого поршня больше площади малого, во столько раз выиграем в силе.

⚠️ Частая ошибка. Площади $S_1$ и $S_2$ можно подставлять в любых одинаковых единицах (оба в см²), ведь в отношении они сокращаются. Но если считаешь давление через $p=\frac{F}{S}$, площадь обязательно переводи в м²: $1,\text{см}^2=10^{-4},\text{м}^2$.

Посмотрим, как растёт сила. Пусть на малый поршень давят силой $F_1=50,\text{Н}$, а его площадь $S_1=2,\text{см}^2$. Тогда сила на большом поршне зависит от его площади так: $F_2=25\cdot S_2$ (в ньютонах, если $S_2$ в см²).

График прямая: вдвое шире поршень — вдвое больше сила.

🌟 Такая машина может дать и выигрыш в 100 раз. Но выиграть в силе и в расстоянии одновременно нельзя: чтобы большой поршень поднялся на 1 см, малый должен пройти 100 см. Поэтому в прессе качают много раз.

Гидравлический пресс

Пресс нужен, чтобы сдавливать материалы: ковать и штамповать металл, выдавливать профили и трубы, делать фанеру и картон, прессовать металлолом в брикеты.

Работает он так. Давим на малый поршень: жидкость из малого цилиндра перегоняется в большой, и его платформа поднимается, прижимая деталь к верхней платформе. Когда малый поршень идёт обратно, закрывается клапан между цилиндрами (жидкость не убегает обратно), а другой клапан впускает свежую жидкость из бака. Новый ход вниз, и порция жидкости снова идёт в большой цилиндр. Манометр следит за давлением, а предохранительный клапан не даёт ему вырасти опасно.

🌟 Тот же принцип у гидравлического домкрата: им поднимают автомобили, тяжёлые ящики, на нём работают погрузчики-автокары. Домкрат в багажнике твоей машины или на СТО в Алматы устроен как маленький пресс.

Тормоза автомобиля

Когда водитель жмёт на педаль, поршень в главном цилиндре сжимает тормозную жидкость. Давление бежит по трубке к тормозным цилиндрам у колёс, поршни там раздвигаются и прижимают колодки к барабану. Машина замедляется. По закону Паскаля давление приходит ко всем колёсам одинаково.

Задачи на давление: чему они учат

Задачи в конце параграфа повторяют давление твёрдых тел и жидкостей. Давай разберём их внимательно, ведь на них строятся упражнения.

📌 Давление на дно или стенку жидкости: $p=\rho gh$. Здесь $h$ считают всегда от свободной поверхности жидкости. В расчётах берём $g=10,\text{м/с}^2$.

Пример 1. Мраморный куб

Какова масса мраморного куба, который давит на пол с давлением 41 кПа? Плотность мрамора $2700,\text{кг/м}^3$.

Дано: $p=41,\text{кПа}$, $\rho=2700,\text{кг/м}^3$. СИ: $p=4{,}1\cdot10^{4},\text{Па}$. Найти: $m$.

Решение. Куб стоит на гранях и давит весом: $p=\frac{mg}{S}$. Масса $m=\rho V=\rho Sh$, где $h$ ребро куба. Тогда $p=\frac{\rho Shg}{S}=\rho gh$, откуда $h=\frac{p}{\rho g}=\frac{41000}{2700\cdot10}\approx1{,}52,\text{м}$. Масса $m=\rho h^3=\frac{p^3}{\rho^2g^3}=\frac{(4{,}1\cdot10^{4})^3}{(2700)^2\cdot10^3}\approx9454,\text{кг}$.

Ответ: $m\approx9454,\text{кг}$ (около 9,5 тонны).

Пример 2. Пробка в водопроводе

Давление в водопроводной трубе 0,3 МПа. С какой силой вода давит на пробку, закрывающую отверстие площадью 4 см²?

Дано: $p=0{,}3,\text{МПа}$, $S=4,\text{см}^2$. СИ: $p=0{,}3\cdot10^{6},\text{Па}$, $S=4\cdot10^{-4},\text{м}^2$. Найти: $F$.

Решение. $F=pS=0{,}3\cdot10^{6},\text{Па}\cdot4\cdot10^{-4},\text{м}^2=120,\text{Н}$.

Ответ: $F=120,\text{Н}$. Это вес груза в 12 кг: пробку нужно держать крепко.

Пример 3. Ртутное озеро и Марианская впадина

Какой глубины должно быть ртутное озеро, чтобы давление в нём равнялось давлению на дне самой глубокой впадины океана (Марианской, $11,\text{км},22,\text{м}$)?

Дано: $h_1=11,022,\text{м}$, $\rho_1=1030,\text{кг/м}^3$ (морская вода), $\rho_2=13,600,\text{кг/м}^3$ (ртуть). Найти: $h_2$.

Решение. Давления равны: $\rho_1gh_1=\rho_2gh_2$. Отсюда $h_2=h_1\frac{\rho_1}{\rho_2}=11,022,\text{м}\cdot\frac{1030}{13,600}\approx834{,}75,\text{м}$.

Ответ: $h_2\approx834{,}75,\text{м}$. Ртуть почти в 13 раз тяжелее воды, поэтому и озеро нужно в 13 раз мельче.

Пример 4. Палец в стакане

Изменится ли давление воды на дно стакана, если опустить в воду палец, не касаясь дна?

Решение. Давление зависит от высоты уровня: $p=\rho gh$. Палец вытесняет воду, и её уровень поднимается. Значит, если стакан был налит не доверху, давление на дно вырастет. Если стакан налит до краёв, лишняя вода выльется, уровень не изменится, и давление останется прежним.

Ответ: не доверху налитый стакан давление увеличит; полный стакан давление не изменит.

Пример 5. Три точки на одном уровне

В сосуде сложной формы три точки $A$, $B$, $C$ лежат на одном горизонтальном уровне у дна (над $A$ столб воды $\frac{h}{2}$, над $B$ только $\frac{h}{4}$, над $C$ столб $h$). Какое давление в точках?

Решение. Кажется, что над $C$ воды больше, и давление там выше. Но глубину считают не «над точкой», а от свободной поверхности воды. Жидкость покоится: если бы давления на одном уровне различались, вода текла бы туда, где давление меньше. Раз течения нет, давления равны: $p_A=p_B=p_C=\rho gh$.

Ответ: давление во всех трёх точках одинаковое, $\rho gh$.

💡 Аквалангист, заплывший в подводную пещеру, всё равно чувствует давление воды как на глубине вне пещеры. От давления воды «спрятаться» нельзя: важна глубина от поверхности.

👨‍👩‍👧 Родителю. Спросите, где в быту встречается гидравлика: тормоза в машине, домкрат, подъёмник в автосервисе, кресло у стоматолога. Пусть ребёнок объяснит одну из этих вещей своими словами через закон Паскаля.

Проверь себя

• Какие устройства называют гидравлическими машинами? Машины, действие которых основано на законах движения и равновесия жидкостей. Основа любой из них, два цилиндра разного диаметра с поршнями, соединённые трубкой.
• Какой выигрыш в силе даёт гидравлическая машина? Во столько раз, во сколько площадь большого поршня больше площади малого: $\frac{F_2}{F_1}=\frac{S_2}{S_1}$.
• Какой закон лежит в основе работы гидравлических машин? Закон Паскаля: давление, созданное в жидкости, передаётся по всем направлениям без изменения.
• Как устроен и как работает гидравлический пресс? Два цилиндра с поршнями, клапаны, бак с жидкостью и манометр. Ход малого поршня вниз гонит жидкость в большой цилиндр, и его платформа прижимает деталь к верхней платформе. При обратном ходе клапаны не выпускают жидкость назад и впускают новую порцию из бака.

Решаем упражнения

Решите

№ 1

«Решите», задача 1. Контейнер весом 1,5 кН поднимают гидравлической машиной. К малому поршню прикладывают силу 100 Н. Какова площадь малого поршня, если площадь большого 450 см²?

Как думать. Вес контейнера это сила $F_2$ на большом поршне. Используем закон $\frac{F_2}{F_1}=\frac{S_2}{S_1}$.

Решение. Дано: $F_2=1{,}5,\text{кН}=1500,\text{Н}$, $F_1=100,\text{Н}$, $S_2=450,\text{см}^2$. Из $\frac{F_2}{F_1}=\frac{S_2}{S_1}$ получаем $S_1=\frac{S_2F_1}{F_2}=\frac{450,\text{см}^2\cdot100,\text{Н}}{1500,\text{Н}}=30,\text{см}^2$. Проверка: выигрыш в силе $\frac{1500}{100}=15$, а площади $\frac{450}{30}=15$. Сошлось.

Ответ: $S_1=30,\text{см}^2$.

№ 2

«Решите», задача 2. ⭐ задача повышенной сложности. Ёмкость в форме куба доверху налита водой. Определите давление воды на дно куба, если масса воды 64 г.

Как думать. Давление зависит только от высоты столба: $p=\rho gh$. Высота равна ребру куба, его найдём по объёму воды.

Решение. Дано: $m=64,\text{г}=0{,}064,\text{кг}$, $\rho=1000,\text{кг/м}^3$, $g=10,\text{м/с}^2$.

1. Объём: $V=\frac{m}{\rho}=\frac{0{,}064}{1000}=6{,}4\cdot10^{-5},\text{м}^3=64,\text{см}^3$.
2. Куб: $V=h^3$, значит $h=\sqrt[3]{64,\text{см}^3}=4,\text{см}=0{,}04,\text{м}$.
3. $p=\rho gh=1000\cdot10\cdot0{,}04=400,\text{Па}$.

Ответ: $p=400,\text{Па}$. Похвала за попытку: это задача выше среднего уровня.

№ 3

«Решите», задача 3. ⭐ задача повышенной сложности. Шар, погружённый в воду на $\frac{1}{3}$ объёма, лежит на дне сосуда и давит на дно с силой, равной половине действующей на него силы тяжести. Найдите плотность шара. Плотность воды $1,\frac{\text{г}}{\text{см}^3}$.

Как думать. На шар действуют: сила тяжести вниз, выталкивающая сила воды вверх и опора дна вверх. Шар давит на дно с силой, равной силе опоры $N$. Если $N=\frac{mg}{2}$, то остальную половину веса держит вода.

Решение.

1. Шар в покое: $mg=N+F_A$, где $F_A$ сила Архимеда. Так как $N=\frac{mg}{2}$, то $F_A=\frac{mg}{2}$.
2. Сила Архимеда $F_A=\rho_{\text{в}}g\cdot\frac{V}{3}$. Масса шара $m=\rho V$.
3. Получаем $\rho_{\text{в}}g\frac{V}{3}=\frac{\rho Vg}{2}$. Сокращаем $V$ и $g$: $\frac{\rho_{\text{в}}}{3}=\frac{\rho}{2}$.
4. $\rho=\frac{2}{3}\rho_{\text{в}}=\frac{2}{3}\cdot1,\frac{\text{г}}{\text{см}^3}\approx0{,}67,\frac{\text{г}}{\text{см}^3}$.

Ответ: $\rho\approx0{,}67,\text{г/см}^3$.

💡 Плотность меньше воды, а шар всё равно тонет на дне. Он просто лежит на дне, пока налито мало воды: полностью он ещё не погружён.

№ 4

«Решите», задача 4. ⭐ задача повышенной сложности. Однородный шарик массой $m=100,\text{г}$ лежит на дне сосуда. В сосуд наливают жидкость так, что объём погружённой части шарика в 4 раза меньше его объёма. Плотность жидкости в 2 раза больше плотности шарика. С какой силой шарик давит на дно?

Как думать. Та же схема, что в № 3: вес шарика минус сила Архимеда.

Решение. Дано: $m=100,\text{г}=0{,}1,\text{кг}$, $V_{\text{погр}}=\frac{V}{4}$, $\rho_{\text{ж}}=2\rho$, $g=10,\text{м/с}^2$.

1. $mg=0{,}1\cdot10=1,\text{Н}$.
2. $F_A=\rho_{\text{ж}}g\frac{V}{4}=2\rho g\frac{V}{4}=\frac{\rho Vg}{2}=\frac{mg}{2}=0{,}5,\text{Н}$.
3. Сила давления на дно $N=mg-F_A=1-0{,}5=0{,}5,\text{Н}$.

Ответ: $N=0{,}5,\text{Н}$.

Объясните

№ 5

«Объясните», задача 1. Для трёх случаев на рисунке 26.8 (U-образные сосуды с краном внизу между ветвями) сравните давление жидкости на кран слева и справа. Будет ли жидкость переливаться из одного сосуда в другой?

Как думать. Давление жидкости на кран $p=\rho gh$ зависит от плотности жидкости и от высоты столба над краном. Течение пойдёт туда, где давление меньше.

Пример ответа.

1. Слева и справа вода одной высоты: $\rho$ и $h$ одинаковы, давления равны. Переливания нет.
2. Слева вода, справа нефть. Нефть легче воды, и на рисунке её столб выше. Давления слева и справа можно сравнить: если высоты столбов обратно пропорциональны плотностям ($\rho_{\text{в}}h_{\text{в}}=\rho_{\text{н}}h_{\text{н}}$), давления равны, и жидкость стоит спокойно. Раз на рисунке сосуд находится в равновесии, переливания нет.
3. Вода в обеих ветвях на одинаковой высоте, хоть и низкой: давления равны, переливания нет.

Ответ: во всех случаях давления на кран с двух сторон одинаковы, жидкость не переливается.

№ 6

«Объясните», задача 2. Объясните по рисунку 26.9 принцип действия гидравлического тормоза.

Как думать. Вспомни закон Паскаля: давление в жидкости передаётся во все стороны без изменения.

Пример ответа. Водитель жмёт на педаль (1). Педаль двигает поршень в главном цилиндре (2), и он давит на тормозную жидкость. Жидкость в трубке (3) передаёт это давление без изменений в тормозной цилиндр у колеса (4). Давление раздвигает поршни (5), а они прижимают тормозные колодки (6) к тормозному барабану. Трение о барабан замедляет колесо. Благодаря закону Паскаля давление приходит ко всем колёсам одинаково.

Ответ: давление, созданное педалью, по закону Паскаля передаётся жидкостью к поршням у колёс, и они прижимают колодки к барабану.

Шпаргалка

• Выиграли в силе — проиграли в пути: малый поршень проходит больший путь.
• Давление на одном уровне в покоящейся жидкости одинаково.
• Перед расчётом переводи в СИ: $1,\text{см}^2=10^{-4},\text{м}^2$, $1,\text{кПа}=10^3,\text{Па}$, $1,\text{г}/\text{см}^3=1000,\text{кг/м}^3$.

Мини-тест

⚠️ Техника безопасности. Домкраты и прессы работают под огромным давлением. Не залезай под машину, которую держит один домкрат, и не подставляй пальцы под поршни.