§ 11. Бөлінгіштіктің негізгі қасиеттері

Математика, 5 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2017). 2 тарау: Натурал сандардың бөлінгіштігі. 54–57-беттер.

Нені үйренесің

• Қосындының немесе айырымның бөлінетінін-бөлінбейтінін санамай-ақ анықтауды.
• Көбейтіндінің қашан міндетті түрде бөлінетінін түсінуді.
• «Ыңғайсыз» санды ыңғайлы бөліктерге жіктеп, бөлінгіштігін тексеруді.
• «Екеуі де бөлінбейді, демек қосындысы да бөлінбейді» деген тұзаққа түспеуді.

Ой қозғау

Бұл — өткен сабақтағы № 152 және № 153 жаттығулары. Алдымен ойша жауап бер, содан кейін жауабын ашып қара.

• $251 + 584 + 249 + 216$ неге тең? $(251 + 249) + (584 + 216) = 500 + 800 = 1300$.
• $25 \cdot 7 \cdot 13 \cdot 4$ неге тең? $(25 \cdot 4) \cdot (7 \cdot 13) = 100 \cdot 91 = 9100$.
• Қайсысы үлкен: $42 : 6 + 54 : 6$ әлде $(42 + 54) : 6$? Тең: $7 + 9 = 16$ және $96 : 6 = 16$.
• Ал $54 : 6 - 42 : 6$ мен $(54 - 42) : 6$ ше? Бұлар да тең: $9 - 7 = 2$ және $12 : 6 = 2$.
• $(63 : 9) \cdot 5$ пен $(63 \cdot 5) : 9$ салыстыр. Екеуі де 35.
• $(65 \cdot 26) : 13$, $(65 : 13) \cdot 26$ және $(26 : 13) \cdot 65$ салыстыр. Үшеуі де 130.

💡 Қосындыны «бөлшектеп» бөлуге болады, ал көбейтіндіде кез келген көбейткішті бөлуге болады. Бөлінгіштік қасиеттері осыдан шығады.

Тақырыпты талдаймыз

Қосынды: әрқайсысы бөлінсе, бүкіл қосынды да бөлінеді

Екі қорап кәмпитті елестет: біреуінде 56, екіншісінде 21. Екеуін де жеті досыңа тең бөліп беруге болады. Демек, кәмпиттердің бәрін қосқанда да тең бөлінеді:

$(56 + 21) : 7 = 56 : 7 + 21 : 7 = 8 + 3 = 11$.

📌 Егер әр қосылғыш қандай да бір санға бөлінсе, онда қосынды да осы санға бөлінеді. Қосылғыштар саны қанша болса да, ереже өзгермейді.

Айырымда да солай: $(36 - 8) : 4 = 36 : 4 - 8 : 4 = 9 - 2 = 7$.

📌 Егер азайғыш пен азайтқыш қандай да бір санға бөлінсе, онда айырым да сол санға бөлінеді.

Бір «бөтен» сан — бәрін бұзады

Ал бір қосылғыш бөлініп, екіншісі бөлінбесе ше? 25 (5-ке бөлінеді) және 7 (бөлінбейді) санын алайық. $25 + 7 = 32$ — 5-ке бөлінбейді. $25 - 7 = 18$ — ол да бөлінбейді.

📌 Егер бір сан $d$ санына бөлініп, екіншісі бөлінбесе, онда қосынды да, айырым да $d$ санына бөлінбейді.

Өзің байқап көр: соңына дейін есептемей-ақ, қай қосындылар 7-ге бөлінетінін тап.

⚠️ Жиі кететін қате. «Екі қосылғыш та 5-ке бөлінбейді, демек қосынды да бөлінбейді». Олай емес! $7 + 3 = 10$, ал 10 саны 5-ке бөлінеді. Екеуі де «бөтен» болса, алдын ала ештеңе айтуға болмайды — есептеу керек.

Көбейтінді: бір көбейткіш жеткілікті

$(72 \cdot 3) : 8 = (72 : 8) \cdot 3 = 9 \cdot 3 = 27$. 72 көбейткіші 8-ге бөлінді, осы бүкіл көбейтіндінің бөлінуіне жетті.

📌 Егер көбейткіштердің біреуі қандай да бір санға бөлінсе, онда көбейтінді де сол санға бөлінеді.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Ойын ұсыныңыз: сіз санды атайсыз, мысалы 156, ал бала оны 12-ге еселік «ыңғайлы» бөліктерге жіктеп көрсін: $120 + 36$. Бұл ауызша есептеуді де, қасиеттерді түсінуді де жаттықтырады.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• «Егер екі қосылғыш та санға бөлінбесе, онда қосынды да бөлінбейді» деген дұрыс па? Жоқ. Мысалы: 7 және 8 саны 5-ке бөлінбейді, ал $7 + 8 = 15$ бөлінеді. Бірақ басқаша да болады: $7 + 9 = 16$ — бөлінбейді. Сондықтан алдын ала айтуға болмайды.
• «Егер екі көбейткіш те санға бөлінбесе, онда көбейтінді де бөлінбейді» деген дұрыс па? Жоқ. Мысалы: 2 және 3 саны 6-ға бөлінбейді, ал $2 \cdot 3 = 6$ бөлінеді. Немесе 4 және 6 саны 8-ге бөлінбейді, ал $4 \cdot 6 = 24$ бөлінеді.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 154

Мына қосындылардың мәні неге бөлінетінін түсіндіріңдер: 1) $15 + 39$ қосындысының мәні 3-ке; 2) $33 + 88$ қосындысының мәні 11-ге; 3) $24a + 24c$ қосындысының мәні 24-ке ($a$, $c$ — натурал сандар); 4) $18a + 45b + 99c$ қосындысының мәні 9-ға ($a$, $b$, $c$ — натурал сандар).

Қалай ойлаймыз. Әр қосылғышты тексереміз. Бәрі бөлінсе, қосынды да бөлінеді.

Шешуі.

1. $15 = 3 \cdot 5$, $39 = 3 \cdot 13$ — екеуі де 3-ке бөлінеді, демек, қосынды да бөлінеді.
2. $33 = 11 \cdot 3$, $88 = 11 \cdot 8$ — екеуі де 11-ге бөлінеді.
3. $24a$ және $24c$ — әрқайсысында 24 көбейткіші бар, демек, екеуі де 24-ке бөлінеді.
4. $18a = 9 \cdot 2a$, $45b = 9 \cdot 5b$, $99c = 9 \cdot 11c$ — үшеуі де 9-ға бөлінеді.

Жауабы: әр жағдайда барлық қосылғыш қажет санға бөлінеді, сондықтан қосынды да бөлінеді.

№ 155

Мына тұжырымдар дұрыс па: 1) егер екі қосылғыштың әрқайсысы 2-ге бөлінсе, онда қосындының мәні де 2-ге бөлінеді; 2) егер екі қосылғыштың әрқайсысы 5-ке бөлінсе, онда қосындының мәні де 5-ке бөлінеді; 3) егер азайғыш та, азайтқыш та 3-ке бөлінсе, онда айырымның мәні де 3-ке бөлінеді?

Қалай ойлаймыз. Бұл — жаңа ғана талдаған қасиеттеріміз.

Шешуі. 1) Иә: $4 + 6 = 10$. 2) Иә: $15 + 20 = 35$. 3) Иә: $21 - 9 = 12$.

Жауабы: 1) иә; 2) иә; 3) иә.

№ 156

1) 5; 10; 15; 20; 25; 30 сандарын $5k$ ($k$ — натурал сан) көбейтіндісі түріне келтіріңдер. 2) 1) $3k$; 2) $4k$; 3) $7k$; 4) $11k$ ($k$ — натурал сан) түрінде жазуға болатын үш сан жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. $5k$ — бұл «5-ті бір санға көбейту». $3k$ түріндегі сандар — 3-ке еселік сандар.

Шешуі.

1. $5 = 5 \cdot 1$, $10 = 5 \cdot 2$, $15 = 5 \cdot 3$, $20 = 5 \cdot 4$, $25 = 5 \cdot 5$, $30 = 5 \cdot 6$.
2. $3k$: 3, 6, 9; $4k$: 4, 8, 12; $7k$: 7, 14, 21; $11k$: 11, 22, 33.

Жауабы: 1) $k$ = 1, 2, 3, 4, 5, 6; 2) мысалы, 3, 6, 9; 4, 8, 12; 7, 14, 21; 11, 22, 33.

№ 157

Бөлінгіштік қасиеттерін пайдаланып: 1) 156 саны 12-ге; 2) 253 саны 23-ке; 3) 126 саны 9-ға; 4) 189 саны 21-ге бөлінетінін көрсетіңдер.

Қалай ойлаймыз. Санды «дөңгелек» бөліктердің қосындысына (немесе айырымына) жіктейміз, әр бөлік қажет санға бөлінуі керек.

Шешуі.

1. $156 = 120 + 36$; $120 = 12 \cdot 10$, $36 = 12 \cdot 3$. Бөлінеді.
2. $253 = 230 + 23$; $230 = 23 \cdot 10$, $23 = 23 \cdot 1$. Бөлінеді.
3. $126 = 90 + 36$; $90 = 9 \cdot 10$, $36 = 9 \cdot 4$. Бөлінеді.
4. $189 = 210 - 21$; $210 = 21 \cdot 10$, $21 = 21 \cdot 1$. Бөлінеді.

Жауабы: $156 : 12 = 13$; $253 : 23 = 11$; $126 : 9 = 14$; $189 : 21 = 9$.

№ 158

1) $864 + x$ қосындысының мәні а) 3-ке бөлінетіндей; ә) 3-ке бөлінбейтіндей; 2) $510 - x$ айырымының мәні а) 10-ға бөлінетіндей; ә) 10-ға бөлінбейтіндей $x$-тің мәнін таңдап алыңдар.

Қалай ойлаймыз. 864 саны 3-ке бөлінеді ($864 = 3 \cdot 288$), 510 саны 10-ға бөлінеді. Демек, бәрін $x$ шешеді: ол да бөлінсе, нәтиже бөлінеді; бөлінбесе, нәтиже де бөлінбейді.

Шешуі.

1. а) $x = 3$: $867 = 3 \cdot 289$. ә) $x = 1$: 865 саны 3-ке бөлінбейді.
2. а) $x = 10$: $500$ саны 10-ға бөлінеді. ә) $x = 1$: 509 бөлінбейді.

Жауабы: мысалы, 1) а) 3; ә) 1; 2) а) 10; ә) 1.

B деңгейі

№ 159

Бөлінгіштіктің белгілерін қолданып: 1) 1980 саны 18 санына; 2) 1100 саны 55 санына бөлінетінін түсіндіріңдер.

Шешуі.

1. $1980 = 1800 + 180$; $1800 = 18 \cdot 100$, $180 = 18 \cdot 10$. Демек, $1980 : 18 = 110$.
2. $1100 = 550 + 550$; $550 = 55 \cdot 10$. Демек, $1100 : 55 = 20$.

Жауабы: 1) $1980 = 1800 + 180$, екеуі де 18-ге бөлінеді; 2) $1100 = 550 + 550$, екеуі де 55-ке бөлінеді.

№ 160

1) $y + 1320$ қосындысының мәні а) 12 санына бөлінетіндей; ә) 12 санына бөлінбейтіндей; 2) $y - 940$ айырымының мәні а) 47 санына бөлінетіндей; ә) 47 санына бөлінбейтіндей етіп $y$-тің орнына натурал сан қойыңдар.

Қалай ойлаймыз. $1320 = 12 \cdot 110$ және $940 = 47 \cdot 20$. Демек, $y$ да 12-ге және 47-ге бөлінуі (немесе бөлінбеуі) керек.

Шешуі.

1. а) $y = 12$: $1332 = 12 \cdot 111$. ә) $y = 1$: 1321 саны 12-ге бөлінбейді.
2. а) $y = 987$: $987 - 940 = 47$. ә) $y = 941$: $941 - 940 = 1$ — бөлінбейді.

Жауабы: мысалы, 1) а) 12; ә) 1; 2) а) 987; ә) 941.

№ 161

Берілген өрнектің мәні 60 санына бөлінетіндей $a$ және $c$ әріптерінің орнына қоюға болатын үш санды көрсетіңдер: 1) $a + 772 - c$; 2) $891 - a + c$.

Қалай ойлаймыз. Жауапты 60-қа еселік «дөңгелек» санға келтіреміз: 780 = 60·13, 840 = 60·14, 900 = 60·15.

Шешуі.

1. $772 + a - c = 780$ немесе 840 болуы керек. Нұсқалар: $a = 9$, $c = 1$ (780); $a = 20$, $c = 12$ (780); $a = 88$, $c = 20$ (840).
2. $891 - a + c = 840$ немесе 900 болуы керек. Нұсқалар: $a = 52$, $c = 1$ (840); $a = 60$, $c = 9$ (840); $a = 1$, $c = 10$ (900).

Жауабы: мысалы, 1) (9; 1), (20; 12), (88; 20); 2) (52; 1), (60; 9), (1; 10).

№ 162

Егер $y$ — жұп сан болса, онда $845 + y$ өрнегінің мәні 5 санына бөлінетінін анықтаңдар. Есептің қанша жауабы болуы мүмкін?

Қалай ойлаймыз. 845 саны 5-ке бөлінеді. Демек, қосынды $y$ саны 5-ке бөлінгенде ғана 5-ке бөлінеді.

Шешуі.

1. $y$ жұп әрі 5-ке бөлінсе (яғни нөлмен аяқталса: 10, 20…), қосынды бөлінеді: $845 + 10 = 855$.
2. $y$ жұп, бірақ 5-ке бөлінбесе (2, 4, 6…), қосынды бөлінбейді: $845 + 2 = 847$.

Жауабы: екі жауап бар: $y$ нөлмен аяқталса, бөлінеді; қалған жағдайда бөлінбейді.

C деңгейі

№ 163

$64x$; $38(x - y)$; $216xyz$ өрнектерінің мәні 2 санына бөлінетінін дәлелдеңдер.

Қалай ойлаймыз. Бір жұп көбейткіш жеткілікті.

Шешуі. $64 = 2 \cdot 32$, $38 = 2 \cdot 19$, $216 = 2 \cdot 108$. Әр көбейтіндіде 2-ге бөлінетін көбейткіш бар, демек, бүкіл көбейтінді де 2-ге бөлінеді.

Жауабы: үш өрнек те 2-ге еселік.

№ 164

1) $628 + 26x$; 2) $1534y - 22$; 3) $n + 916 \cdot 25$ өрнегінің мәні 5-ке бөлінетіндей етіп әріптің орнына қоюға болатын екі санды көрсетіңдер.

Қалай ойлаймыз. Сан 0 немесе 5 цифрымен аяқталса, 5-ке бөлінеді. Соңғы цифрды бақылаймыз.

Шешуі.

1. $x = 2$: $628 + 52 = 680$. $x = 7$: $628 + 182 = 810$.
2. $y = 3$: $4602 - 22 = 4580$. $y = 8$: $12,272 - 22 = 12,250$.
3. $916 \cdot 25$ көбейтіндісі 5-ке бөлінеді (25 көбейткіші бар). Демек, $n$ да 5-ке бөлінуі керек: $n = 5$ немесе $n = 10$.

Жауабы: мысалы, 1) 2 және 7; 2) 3 және 8; 3) 5 және 10.

№ 165

Тізбектей алынған үш натурал санның қосындысының мәні жай сан ба, әлде құрама сан ба?

Қалай ойлаймыз. Бірнеше мысал алып көр де, қосынды әрқашан неге бөлінетінін байқа.

Шешуі. Қатарынан келген үш санның қосындысы ортаңғы саннан 3 есе үлкен, сондықтан 3-ке бөлінеді және 3-тен үлкен.

Жауабы: құрама сан.

Хабарлама дайындаңдар

№ 166

Ежелгі математик Пифагор және оның шәкірттері натурал сандардың бөлінгіштігі туралы сұрақтарды қарастырған. Олар қандай нақты сандарды анықтаған?

Шешуі. Хабарламаның үлгісі.

Пифагор Ежелгі Грецияда шамамен 2500 жыл бұрын өмір сүрген. Оның шәкірттері — пифагоршылар — «бәрі де сан» деп сенген және бөлінгіштікті көп зерттеген. Олар сандарды жұп және тақ, «достас» және «кемел» деп бөлген.

Кемел сан өзінен басқа барлық бөлгіштерінің қосындысына тең. Мысалы, $6 = 1 + 2 + 3$ және $28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14$. Ежелгі гректерге 6, 28, 496 және 8128 сандары белгілі болған.

🌟 Қазір бар болғаны 50-ге жуық кемел сан белгілі, бәрі де жұп. Тақ кемел сан бар ма — оны әлі ешкім білмейді!

Жауабы: жоғарыдағы хабарлама; кемел сандар 6, 28, 496, 8128.

Жаңа тақырыпты меңгеруге дайындаламыз

№ 167

1234; 4320; 13 271; 502 025; 373 819; 63 633 сандарының арасынан 1) жұп цифрға; 2) тақ цифрға аяқталатын сандарды теріп жазыңдар.

Шешуі. 1) 1234 (4-ке), 4320 (0-ге). 2) 13 271, 502 025, 373 819, 63 633.

Жауабы: 1) 1234; 4320; 2) 13 271; 502 025; 373 819; 63 633.

№ 168

1) Жұп цифрлармен; 2) тақ цифрлармен жазылған бір таңбалы сандар 2 санына бөліне ме? Тексеріңдер.

Шешуі. 1) 2, 4, 6, 8 — бөлінеді. 2) 1, 3, 5, 7, 9 — бөлінбейді.

Жауабы: 1) бөлінеді; 2) бөлінбейді.

№ 169

2 мен 5-ке еселік болатын сегіз сан жазыңдар. Жазылған сандардың бірлік разрядында қандай цифр бар? Осы сандар 2-ге; 5-ке бөліне ме? 2-ге және 5-ке бөлінетін сандар қандай цифрмен аяқталады?

Шешуі.

1. 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80 — бәрінің бірлік разрядында 0 тұр.
2. Бәрі 2-ге де, 5-ке де бөлінеді (өйткені біз 2 мен 5-ке еселік сандарды жаздық).
3. 2-ге де, 5-ке де бөлінетін сандар 0 цифрымен аяқталады.

Жауабы: бірлік разрядында 0 цифры бар; бәрі 2-ге де, 5-ке де бөлінеді; 0 цифрымен аяқталады.

№ 170

1) 5 санына, 2) 10 санына бөлінетін 34 санынан үлкен, бірақ 51 санынан кіші екітаңбалы сандар қандай цифрлармен аяқталатынын тексеріңдер. Ол сандардың арасынан 5 санына да, 10 санына да бөлінетін сандарды көрсетуге бола ма?

Шешуі.

1. 5-ке бөлінетіндер: 35, 40, 45, 50 — 5 немесе 0-мен аяқталады.
2. 10-ға бөлінетіндер: 40, 50 — 0-мен аяқталады.
3. 5-ке де, 10-ға да 40 және 50 бөлінеді.

Жауабы: 1) 0 немесе 5-пен; 2) 0-мен; иә, 40 және 50.

Жадынама

• Барлық қосылғыш $d$ санына бөлінсе → қосынды $d$ санына бөлінеді.
• Азайғыш пен азайтқыш $d$ санына бөлінсе → айырым $d$ санына бөлінеді.
• Біреуі бөлініп, екіншісі бөлінбесе → қосынды да, айырым да бөлінбейді.
• Бір көбейткіш $d$ санына бөлінсе → көбейтінді $d$ санына бөлінеді.
• Екі сан да бөлінбесе — есептеу керек.

Шағын тест