§ 12. 2, 3, 5, 9, 10 сандарына бөлінгіштік белгілері

Математика, 5 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2017). 2 тарау: Натурал сандардың бөлінгіштігі. 58–62-беттер.

Нені үйренесің

• Соңғы цифрына бір қарап-ақ санның 2-ге, 5-ке және 10-ға бөлінетінін білуді.
• Цифрларының қосындысы бойынша санның 3-ке және 9-ға бөлінетінін білуді.
• Сан қажетті санға бөлінетіндей етіп цифрларды таңдауды.
• Белгілерді қосып қолдануды: мысалы, 6-ға бөлінгіштікті тексеруді.

Ой қозғау

Бұл — өткен сабақтағы № 167–170 жаттығулары. Алдымен ойша жауап бер, содан кейін жауабын ашып қара.

• 1234; 4320; 13 271; 502 025 сандарының қайсысы жұп цифрмен аяқталады? 1234 және 4320.
• Тақ цифрлармен жазылған бір таңбалы сандар 2-ге бөліне ме? Жоқ: 1, 3, 5, 7, 9 сандары 2-ге бөлінбейді.
• 2 мен 5-ке еселік сандар қандай цифрмен аяқталады? Нөлмен: 10, 20, 30…
• 35-тен 50-ге дейінгі сандардың қайсысы 5-ке де, 10-ға да бөлінеді? 40 және 50.

💡 Байқадың ба? Санның 2-ге, 5-ке немесе 10-ға бөлінетінін білу үшін соңғы цифры жеткілікті. Бүгін неге олай екенін түсінеміз және тағы екі фокус үйренеміз.

Тақырыпты талдаймыз

Неге тек соңғы цифр маңызды

784 санын разрядтық қосылғыштарға жіктейік: $784 = 7 \cdot 100 + 8 \cdot 10 + 4$. 100 мен 10 сандары 2-ге бөлінеді, демек, $7 \cdot 100$ және $8 \cdot 10$ да бөлінеді. Бәрін соңғы қосылғыш — бірліктер цифры 4 шешеді. Ол жұп, сондықтан 784 саны 2-ге бөлінеді.

Ал $789 = 7 \cdot 100 + 8 \cdot 10 + 9$: екі бөлігі 2-ге бөлінеді, ал 9 бөлінбейді. Демек, 789 саны 2-ге бөлінбейді.

📌 2 санына бөлінгіштік белгісі. Сан тек жұп цифрмен, яғни 0, 2, 4, 6, 8 цифрларымен аяқталғанда ғана 2-ге бөлінеді.

5 пен 10 үшін де сол ой жұмыс істейді: 10 мен 100 олардың екеуіне де бөлінеді.

📌 5-ке сан 0 немесе 5 цифрымен аяқталғанда ғана бөлінеді. 10-ға сан 0 цифрымен аяқталғанда ғана бөлінеді.

⚠️ Жиі кететін қате. Соңғы цифрға емес, бірінші цифрға қарайды. 4321 санының бірінші цифры жұп, бірақ сан тақ: ол 1-мен аяқталады.

Цифрлар қосындысы фокусы

Кестеге қара. Сандардың цифрларын қосамыз:

Бағандардағы жауаптар әрқашан сәйкес келеді! Белгі осы.

📌 3 санына бөлінгіштік белгісі. Натурал санның цифрларының қосындысы 3-ке бөлінгенде ғана сан 3-ке бөлінеді.

9 санына бөлінгіштік белгісі. Натурал санның цифрларының қосындысы 9-ға бөлінгенде ғана сан 9-ға бөлінеді.

🌟 Бұл неге олай? Себебі $10 = 9 + 1$, $100 = 99 + 1$, $1000 = 999 + 1$. Мысалы, $963 = 9 \cdot 99 + 6 \cdot 9 + (9 + 6 + 3)$. Алғашқы екі бөлігі 9-ға бөлінеді, ал қалатыны дәл цифрлар қосындысы!

Жаттығып көр — 3-ке бөлінетін сандарды тап:

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. «Көлік нөмірлері» ойынын ойнаңыздар: серуендеп жүріп көрген көліктің нөмірін атаңыз, ал бала оның 3-ке немесе 9-ға бөлінетінін айтсын. Бірнеше күннен кейін белгі өмір бақи есте қалады.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Санның 2-ге, 3-ке, 5-ке, 9-ға, 10-ға бөлінетінін жазылуына қарап қалай білеміз? 2-ге — соңғы цифры жұп. 5-ке — соңғы цифры 0 немесе 5. 10-ға — соңғы цифры 0. 3-ке және 9-ға — цифрларының қосындысы 3-ке (9-ға) бөлінеді.
• Сан 10-ға бөлінсе, ол 2-ге бөліне ме? Иә. Ол 0-мен аяқталады, ал 0 — жұп цифр.
• Сан 9-ға бөлінсе, ол 3-ке бөліне ме? Иә. Цифрларының қосындысы 9-ға, демек, 3-ке де бөлінеді, себебі $9 = 3 \cdot 3$.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 171

31; 42; 63; 415; 702; 1005; 1110 сандарының арасынан 1) 2; 2) 3; 3) 5; 4) 9; 5) 10 санына бөлінетін сандарды теріп жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Алдымен цифрлар қосындысын есепте: 31 → 4, 42 → 6, 63 → 9, 415 → 10, 702 → 9, 1005 → 6, 1110 → 3.

Шешуі.

1. 2-ге (соңғы цифры жұп): 42, 702, 1110.
2. 3-ке (цифрлар қосындысы 3-ке бөлінеді): 42, 63, 702, 1005, 1110.
3. 5-ке (0 немесе 5-пен аяқталады): 415, 1005, 1110.
4. 9-ға (цифрлар қосындысы 9 немесе 18…): 63, 702.
5. 10-ға (0-мен аяқталады): 1110.

Жауабы: 1) 42; 702; 1110; 2) 42; 63; 702; 1005; 1110; 3) 415; 1005; 1110; 4) 63; 702; 5) 1110.

№ 172

1) 2; 2) 3; 3) 5; 4) 9; 5) 10 санына бөлінетін екі натурал сан жазыңдар.

Шешуі. 1) 14, 236. 2) 21, 111. 3) 25, 405. 4) 81, 927. 5) 70, 1500.

Жауабы: мысалы, 14 және 236; 21 және 111; 25 және 405; 81 және 927; 70 және 1500.

№ 173

1) Тұрғын үйдің әр қабатында үш пәтерден орналасқан. Бір кіреберісте 27 пәтер, 32 пәтер, 69 пәтер болуы мүмкін бе? 2) Мейрам күні балалар бес бірдей сыйлық алды. Барлық сыйлықтарда 44 кәмпит, 65 кәмпит, 80 кәмпит болуы мүмкін бе? 3) Балабақшаға 10 бірдей түрлі түсті қағаздар жинағы сатып алынды. Оларда барлығы 59 парақ, 75 парақ, 90 парақ болуы мүмкін бе?

Қалай ойлаймыз. Пәтер саны 3-ке, кәмпит саны 5-ке, парақ саны 10-ға бөлінуі керек.

Шешуі.

1. 27 (цифрлар қосындысы 9) — иә; 32 (қосынды 5) — жоқ; 69 (қосынды 15) — иә.
2. 44 — жоқ; 65 — иә; 80 — иә.
3. 59 — жоқ; 75 — жоқ; 90 — иә.

Жауабы: 1) 27 және 69 — иә, 32 — жоқ; 2) 65 және 80 — иә, 44 — жоқ; 3) тек 90.

№ 174

9-дан үлкен, бірақ 29-дан кіші және 3 пен 5 сандарына бөлінетін натурал сандарды атаңдар.

Қалай ойлаймыз. 5-ке бөлінсе — 0 немесе 5-пен аяқталады: 10, 15, 20, 25. Олардың ішінен 3-ке тек 15 бөлінеді.

Шешуі. 10 (қосынды 1), 15 (қосынды 6 ✓), 20 (қосынды 2), 25 (қосынды 7).

Жауабы: 15.

№ 175

311-ден үлкен, бірақ 331-ден кіші және бір мезгілде 1) 2 мен 5; 2) 2, 3, 5 сандарына бөлінетін барлық натурал сандарды жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. 2-ге де, 5-ке де бір мезгілде бөлінсе — 0-мен аяқталады.

Шешуі.

1. 311 мен 331 аралығындағы 0-мен аяқталатын сандар: 320, 330.
2. 3-ке бөлінуін тексереміз: $3 + 2 + 0 = 5$ — жоқ; $3 + 3 + 0 = 6$ — иә.

Жауабы: 1) 320; 330; 2) 330.

№ 176

502 011; 331 102; 814 401 сандарын құрама сандар деп айтуға бола ма? Жауабын түсіндіріңдер.

Қалай ойлаймыз. Санның 1-ден және өзінен басқа бөлгіші болса, ол құрама сан.

Шешуі.

1. 502 011: цифрлар қосындысы $5 + 0 + 2 + 0 + 1 + 1 = 9$ — 3-ке бөлінеді. Құрама.
2. 331 102 саны 2-мен аяқталады — 2-ге бөлінеді. Құрама.
3. 814 401: цифрлар қосындысы $8 + 1 + 4 + 4 + 0 + 1 = 18$ — 3-ке (және 9-ға) бөлінеді. Құрама.

Жауабы: иә, үшеуі де құрама сан.

№ 177

0, 2, 5 цифрларын қолданып, бір мезгілде 2-ге, 5-ке, 10-ға бөлінетін барлық үштаңбалы сандарды жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. 10-ға бөлінсе — 0-мен аяқталады. Мұндай сан өздігінен 2-ге де, 5-ке де бөлінеді.

Шешуі. Соңында 0, алдында 2 мен 5 екі түрлі ретпен: 250 және 520.

Жауабы: 250; 520. (Цифрларды қайталауға болса, тағы 200, 220, 500, 550 сәйкес келеді.)

№ 178

18; 46; 63; 222; 303; 846 сандарының ішінен бір мезгілде 2-ге де, 3-ке де бөлінетін сандарды атаңдар.

Қалай ойлаймыз. Алдымен жұп сандарды іріктейміз, сосын цифрлар қосындысын тексереміз.

Шешуі. Жұптары: 18, 46, 222, 846. Цифрлар қосындысы: 9, 10, 6, 18. Тек 46 сәйкес келмейді.

Жауабы: 18; 222; 846.

№ 179

1) 2 санына және 3 санына бір мезгілде бөлінетін ең үлкен үштаңбалы санды жазыңдар. 2) 5 санына және 9 санына бір мезгілде бөлінетін ең кіші төрттаңбалы санды жазыңдар. Осы сан 3 санына бөліне ме? 3) 9 санына және 10 санына бір мезгілде бөлінетін ең кіші бестаңбалы санды жазыңдар. Осы сан 2 санына бөліне ме?

Қалай ойлаймыз. Ең үлкен (немесе ең кіші) саннан бастап, белгілерді тексереміз.

Шешуі.

1. 998 — қосынды 26, жоқ. 996 — жұп, қосынды 24 ✓. Жауабы 996.
2. 0 немесе 5-пен аяқталады, цифрлар қосындысы 9: 1000 (1), 1005 (6), 1010 (2)… 1035 (9) ✓. Қосынды 9 саны 3-ке бөлінеді — демек, сан да 3-ке бөлінеді.
3. 0-мен аяқталады, цифрлар қосындысы 9: 10 080 ($1 + 8 = 9$) ✓. 0-мен аяқталады — 2-ге бөлінеді.

Жауабы: 1) 996; 2) 1035, 3-ке бөлінеді; 3) 10 080, 2-ге бөлінеді.

№ 180

18-кестені қолданып, 2 санына, 5 санына, 9 санына бір мезгілде бөлінетіндей етіп берілген санның сол жағынан және оң жағынан бір цифрдан жазыңдар (кестенің әр бағаны — өз саны).

Қалай ойлаймыз. 2 мен 5 үшін тек оң жақтағы цифр маңызды. 9 үшін екі цифрды таңдаймыз, сонда барлық цифрлардың қосындысы 9, 18 немесе 27 болсын.

Шешуі.

Жауабы: мысалы, кестедегідей (басқа нұсқалар да болады).

№ 181

5 санына еселік болатын қандай $x$ сандары үшін 1) $19 < x < 33$; 2) $21 < x < 41$; 3) $84 < x < 97$ теңсіздігі дұрыс?

Шешуі. 1) 20, 25, 30. 2) 25, 30, 35, 40. 3) 85, 90, 95.

Жауабы: 1) 20; 25; 30; 2) 25; 30; 35; 40; 3) 85; 90; 95.

B деңгейі

№ 182

1; 4; 0; 7 цифрларынан 1) 3 санына бөлінетін екітаңбалы сандарды; 2) 2 санына бөлінетін үштаңбалы сандарды; 3) 2 мен 5 сандарына бөлінетін үштаңбалы сандарды жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. 1-тармақта барлық цифр жұбын қарап шығамыз — мұнда тұзақ бар! 2 және 3-тармақтарда цифрларды қайталамаймыз.

Шешуі.

1. Екі түрлі цифрдың қосындылары: $1 + 4 = 5$, $1 + 0 = 1$, $1 + 7 = 8$, $4 + 0 = 4$, $4 + 7 = 11$, $0 + 7 = 7$. Бірде-бірі 3-ке бөлінбейді! Цифрларды қайталасақ та (11, 44, 77 — қосындылары 2, 8, 14) ештеңе шықпайды. Мұндай санды құрастыру мүмкін емес.
2. Соңғы цифры 0 немесе 4. 0-мен: 140, 170, 410, 470, 710, 740. 4-пен: 104, 174, 704, 714.
3. Соңғы цифры 0: 140, 170, 410, 470, 710, 740.

Жауабы: 1) мұндай сандар жоқ; 2) 104, 140, 170, 174, 410, 470, 704, 710, 714, 740; 3) 140, 170, 410, 470, 710, 740.

№ 183

Әріптің орнына қойғанда 1) $a + 47$ өрнегінің мәні 5 санына; 2) $b - 29$ өрнегінің мәні 9 санына бөлінетін екі натурал санды табыңдар.

Шешуі.

1. $a = 3$: $50$; $a = 8$: $55$.
2. $b = 38$: $38 - 29 = 9$; $b = 47$: $47 - 29 = 18$.

Жауабы: мысалы, 1) 3 және 8; 2) 38 және 47.

№ 184

1) 29; 2) 71; 3) 167 сандары 3 санына еселік болатын қандай жақын натурал сандардың арасында орналасқан?

Қалай ойлаймыз. Сол жағынан да, оң жағынан да цифрлар қосындысы 3-ке бөлінетін ең жақын сандарды іздейміз.

Шешуі.

1. 27 ($2 + 7 = 9$) және 30.
2. 69 ($6 + 9 = 15$) және 72 ($7 + 2 = 9$).
3. 165 ($1 + 6 + 5 = 12$) және 168 ($1 + 6 + 8 = 15$).

Жауабы: 1) 27 және 30; 2) 69 және 72; 3) 165 және 168.

№ 185

1) 3 санына бөлінетін; 2) 3 санына бөлінбейтін; 3) 2 санына да, 3 санына да бөлінетін; 4) 2 санына да, 3 санына да бөлінбейтін ең үлкен үштаңбалы санды атаңдар. Ол сан 6 санына бөліне ме?

Қалай ойлаймыз. 999-дан бастап төмен түсеміз.

Шешуі.

1. 999 — қосынды 27, 3-ке бөлінеді.
2. 998 — қосынды 26, 3-ке бөлінбейді.
3. 998 сәйкес келмейді, 996 — жұп, қосынды 24 ✓.
4. 999 саны 3-ке бөлінеді, 998 жұп, 997 — тақ, қосынды 25 ✓.
5. 6-ға тек 996 бөлінеді: ол 2-ге де, 3-ке де бөлінеді.

Жауабы: 1) 999; 2) 998; 3) 996; 4) 997. 6-ға тек 996 бөлінеді.

📌 6 санына бөлінгіштік белгісі. Сан 2-ге де, 3-ке де бөлінсе, ол 6-ға бөлінеді: сан жұп және цифрларының қосындысы 3-ке бөлінеді.

№ 186

1) 3 санына бөлініп, 5 санына бөлінбейтін; 2) 5 санына бөлініп, 7 санына бөлінбейтін; 3) 9 санына бөлініп, 10 санына бөлінбейтін; 4) 7 санына бөлініп, 9 санына бөлінбейтін ең кіші төрттаңбалы санды жазыңдар.

Шешуі.

1. 1002: қосынды 3, 2-мен аяқталады.
2. 1000: 0-мен аяқталады; $1000 = 7 \cdot 142 + 6$ — 7-ге бөлінбейді.
3. 1008: қосынды 9, 8-мен аяқталады.
4. 1001: $1001 = 7 \cdot 143$; цифрлар қосындысы 2 — 9-ға бөлінбейді.

Жауабы: 1) 1002; 2) 1000; 3) 1008; 4) 1001.

№ 187

3 пен 5 сандарына еселік болмайтын 79-дан үлкен, бірақ 97-ден кіші барлық екітаңбалы сандарды жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Алдымен 0 және 5-пен аяқталатын сандарды сызып тастаймыз, сосын цифрлар қосындысы 3-ке еселік сандарды.

Шешуі. 80–96 сандары. 5-ке еселіктерін сызамыз: 80, 85, 90, 95. 3-ке еселіктерін: 81, 84, 87, 93, 96. Қалғандары: 82, 83, 86, 88, 89, 91, 92, 94.

Жауабы: 82; 83; 86; 88; 89; 91; 92; 94.

№ 188

Мүмкін болса, 1) 9 санына бөлінетін және жазылуында 5 цифры ғана болатын санды; 2) 3 пен 5 сандарына бөлінетін, бірақ 10 санына бөлінбейтін үштаңбалы санды; 3) 2 мен 9 сандарына бөлінетін, бірақ 5 санына бөлінбейтін үштаңбалы санды; 4) 2, 3, 5, 9 сандарына бөлінбейтін үштаңбалы санды жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. 1-тармақта $5 + 5 + \ldots$ қосындысы 9-ға бөлінуі керек. Бұл бесеу тоғыз рет жазылғанда болады: $5 \cdot 9 = 45$.

Шешуі.

1. 555 555 555 — цифрлар қосындысы 45, 9-ға бөлінеді.
2. 5-пен аяқталады (0-мен емес), цифрлар қосындысы 3-ке еселік: 105.
3. Жұп, 0-мен аяқталмайды, цифрлар қосындысы 9-ға еселік: 108.
4. Тақ, 5-пен аяқталмайды, цифрлар қосындысы 3-ке еселік емес: 101.

Жауабы: мысалы, 1) 555 555 555; 2) 105; 3) 108; 4) 101.

C деңгейі

№ 189

1) $x$ — тақ сан болса, онда $5x$ өрнегінің мәні жұп сан бола ма? 2) $a$ натурал саны 3 санына бөлінбейді. Онда $16a$ өрнегінің мәні 6 санына бөліне ме? 3) $8b$ өрнегінің мәні 10 санына бөлінеді. $12b$ өрнегінің мәні 10 санына бөліне ме? Жауабын түсіндіріңдер.

Қалай ойлаймыз. Әр көбейткіште қандай «бөліктер» бар екеніне қараймыз.

Шешуі.

1. 5 — тақ, $x$ — тақ. Тақты таққа көбейткенде тақ сан шығады. Демек, $5x$ жұп емес. Мысалы: $5 \cdot 3 = 15$.
2. 6-ға бөлінуі үшін сан 3-ке бөлінуі керек. Бірақ 16 да, $a$ да 3-ке бөлінбейді, ал 3 — жай сан. Демек, $16a$ 3-ке бөлінбейді, 6-ға да бөлінбейді. Мысалы: $16 \cdot 2 = 32$.
3. $8b$ саны 10-ға бөлінеді, демек, 5-ке де бөлінеді. 8-де бестік жоқ, сондықтан $b$ саны 5-ке бөлінеді. Онда $12b$ 5-ке бөлінеді және жұп (12 жұп) — 10-ға бөлінеді. Мысалы: $b = 5$: $8 \cdot 5 = 40$, $12 \cdot 5 = 60$.

Жауабы: 1) жұп емес; 2) бөлінбейді; 3) бөлінеді.

№ 190

1) Егер кез келген үштаңбалы санға сол цифрлар арқылы кері ретпен жазылған үштаңбалы санды тіркеп жазса, онда шыққан сан 11 санына бөлінетінін дәлелдеңдер. 2) Сандардың разрядтық қосылғыштарға жіктелуін қолданып, 4 пен 25 сандарына бөлінгіштік белгілерін өздерің құрастырып көріңдер. 328; 425; 554; 196; 775; 7 589 360; 5000; 2350; 9100 сандарының қайсысы 4 санына және қайсысы 25 санына бөлінетінін анықтаңдар.

Қалай ойлаймыз. 1-тармақта алты таңбалы санды разрядтық қосылғыштарға жіктейміз. 2-тармақта 100 саны 4-ке де, 25-ке де бөлінетінін байқаймыз.

Шешуі.

1. $\overline{abc}$ саны $\overline{abccba}$ санына айналады. Бұл — $100,001a + 10,010b + 1100c$. Үш коэффициент те 11-ге бөлінеді: $100,001 = 11 \cdot 9091$, $10,010 = 11 \cdot 910$, $1100 = 11 \cdot 100$. Демек, қосынды да 11-ге бөлінеді. Мысалы: $123,321 = 11 \cdot 11,211$.
2. Кез келген сан = (жүздіктер) · 100 + (соңғы екі цифр). Жүздіктер әрқашан 4-ке де, 25-ке де бөлінеді, сондықтан:
   • 4-ке соңғы екі цифры 4-ке еселік сан құрайтын сан бөлінеді;
   • 25-ке 00, 25, 50 немесе 75-пен аяқталатын сан бөлінеді.
3. Тексереміз: 328 (28 ✓ 4-ке), 425 (25 ✓ 25-ке), 554 (54 — ешқайсысына да), 196 (96 ✓ 4-ке), 775 (75 ✓ 25-ке), 7 589 360 (60 ✓ 4-ке), 5000 (00 — екеуіне де), 2350 (50 ✓ 25-ке), 9100 (00 — екеуіне де).

Жауабы: 4-ке: 328; 196; 7 589 360; 5000; 9100. 25-ке: 425; 775; 5000; 2350; 9100.

№ 191

1) 2017 санының оң жағына қандай екі цифрды тіркеп жазғанда 99 санына бөлінетін санды алуға болады?

Қалай ойлаймыз. Екі цифрды тіркеп жазу — 2017-ні 100-ге көбейтіп, екітаңбалы санды қосу деген сөз.

Шешуі. $201,762 = 99 \cdot 2038$.

Жауабы: 6 және 2 (201 762 саны).

№ 192

2) 89 санына бөлінетін цифрлары әртүрлі ең кіші бестаңбалы санды табыңдар.

Қалай ойлаймыз. 89-ға еселік ең кіші бестаңбалы сан — $89 \cdot 113$. Одан әрі цифрлары әртүрлі болғанша еселіктерді қарап шығамыз.

Шешуі.

1. $10,000 : 89 = 112$ (қалдық 32), демек, $89 \cdot 113$-тен бастаймыз.
2. $89 \cdot 113 = 10,057$ — екі нөл бар. Сәйкес келмейді.
3. $89 \cdot 114 = 10,146$ — екі бірлік бар. Сәйкес келмейді.
4. $89 \cdot 115 = 10,235$ — 1, 0, 2, 3, 5 цифрлары әртүрлі ✓.

Жауабы: 10 235.

📕 Оқулықтағы қате. 192-жаттығуда тармақ нөмірі «2)» деп басылған, ал «1)» жоқ — жаттығудың бір бөлігі түсіп қалған. Біз тек бар тапсырманы шығардық; жауабы оқулық соңындағы жауаппен сәйкес келеді (10 235).

Жаңа тақырыпты меңгеруге дайындаламыз

№ 193

Мүмкін болса, көбейтіндіні көбейткіштің квадраты немесе кубына алмастырыңдар: 1) $2 \cdot 2$; 2) $11 \cdot 11$; 3) $2 \cdot 2 \cdot 3$; 4) $21 \cdot 21 \cdot 21$; 5) $22 \cdot 2$.

Қалай ойлаймыз. Квадрат — екі бірдей көбейткіш, куб — үш бірдей көбейткіш.

Шешуі.

1. $2 \cdot 2 = 2^2$.
2. $11 \cdot 11 = 11^2$.
3. $2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$ — квадратпен тек бір бөлігін ғана алмастыруға болады.
4. $21 \cdot 21 \cdot 21 = 21^3$.
5. $22 \cdot 2$ — көбейткіштер әртүрлі, алмастыруға болмайды.

Жауабы: 1) $2^2$; 2) $11^2$; 3) $2^2 \cdot 3$; 4) $21^3$; 5) болмайды.

№ 194

1) Қабырғасының ұзындығы а) 2 см; ә) 7 см; б) $a$ см; в) $b$ см болатын шаршының ауданын және текшенің көлемін есептеңдер. 2) Қабырғасының ұзындығы $a$ дм болатын текшеге қанша литр су сыяды? Текше түбінің ауданы неге тең? 3) Түбінің ауданы 9 дм²-ге тең текше пішінді ыдысқа қанша литр су сыяды?

Қалай ойлаймыз. Шаршының ауданы — қабырғасын қабырғасына көбейту, текшенің көлемі — қабырғасын үш рет көбейту. 1 дм³ = 1 л.

Шешуі.

1. а) $2 \cdot 2 = 4$ см², $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ см³; ә) $7 \cdot 7 = 49$ см², $7 \cdot 7 \cdot 7 = 343$ см³; б) $a \cdot a$ см², $a \cdot a \cdot a$ см³; в) $b \cdot b$ см², $b \cdot b \cdot b$ см³.
2. Көлемі $a \cdot a \cdot a$ дм³ — бұл $a \cdot a \cdot a$ литр. Түбінің ауданы $a \cdot a$ дм².
3. Түбінің ауданы 9 дм², демек, қыры 3 дм ($3 \cdot 3 = 9$). Көлемі $3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$ дм³ = 27 л.

Жауабы: 1) 4 см² және 8 см³; 49 см² және 343 см³; $a \cdot a$ см² және $a \cdot a \cdot a$ см³; $b \cdot b$ см² және $b \cdot b \cdot b$ см³; 2) $a \cdot a \cdot a$ л, $a \cdot a$ дм²; 3) 27 л.

Жадынама

• 2, 5, 10 үшін соңғы цифрға қараймыз.
• 3 және 9 үшін цифрлар қосындысына қараймыз.
• 10-ға бөлінсе → 2-ге де, 5-ке де бөлінеді.
• 9-ға бөлінсе → 3-ке де бөлінеді (бірақ керісінше емес: 12).
• 6-ға — «2-ге де, 3-ке де бір мезгілде» бөлінеді.

Шағын тест