§ 13. Дәреже

Математика, 5 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2017). 2 тарау: Натурал сандардың бөлінгіштігі. 63–66-беттер.

Нені үйренесің

• Бірдей көбейткіштердің көбейтіндісін қысқаша — дәрежемен жазуды.
• Дәреженің негізі мен көрсеткішін атауды.
• $7^{2}$ өрнегін «жетінің квадраты», ал $7^{3}$ өрнегін «жетінің кубы» деп оқуды.
• 10 санының дәрежелерін тез есептеуді және сандарды солар арқылы жазуды.

Ой қозғау

Бұл — өткен сабақтағы № 193 және № 194 жаттығулары. Алдымен ойша жауап бер, содан кейін жауабын ашып қара.

• $2 \cdot 2$ мен $11 \cdot 11$ көбейтіндісін қалай қысқа жазамыз? Квадрат арқылы: $2^{2}$ және $11^{2}$.
• Ал $21 \cdot 21 \cdot 21$ ше? Бұл — куб: $21^{3}$.
• $2 \cdot 2 \cdot 3$ және $22 \cdot 2$ көбейтінділерін солай жазуға бола ма? Толығымен — жоқ, көбейткіштер әртүрлі. Бірақ ішінара болады: $2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^{2} \cdot 3$, ал $22 \cdot 2 = 2 \cdot 11 \cdot 2 = 2^{2} \cdot 11$.
• Қабырғасы 2 см және 7 см шаршының ауданы мен текшенің көлемі қандай? 4 см² және 8 см³; 49 см² және 343 см³. Қабырғасы $a$ см болғанда: $a \cdot a$ см² және $a \cdot a \cdot a$ см³. Қабырғасы $b$ см болғанда да солай, тек $b$ арқылы.
• Қыры $a$ дм текшеге неше литр су сыяды? 1 дм³ = 1 л, демек, $a \cdot a \cdot a$ л. Түбінің ауданы — $a \cdot a$ дм².
• Түбінің ауданы 9 дм² текшеге неше литр су сыяды? Түбі $3 \cdot 3 = 9$, демек, қыры 3 дм. Көлемі $3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$ л.

💡 Байқадың ба? Шаршының ауданын табу үшін қабырғаны өзіне 2 рет көбейтеді, ал текшенің көлемі үшін — 3 рет. «Санның квадраты» және «санның кубы» деген атаулар осыдан шыққан.

Тақырыпты талдаймыз

Қосынды → көбейтінді → дәреже

Бұл айланы баяғыда білесің: $7 + 7 + 7 + 7 = 7 \cdot 4$. Бірдей қосылғыштардың ұзын қосындысын көбейтіндімен алмастырдық.

Көбейтіндімен де дәл солай жасауға болады! $7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 = 7^{4}$. Мұндай жазу дәреже деп аталады.

📌 $7^{4}$ жазуында 7 саны — дәреженің негізі (нені көбейтеміз), 4 саны — дәреженің көрсеткіші (көбейткішті неше рет аламыз), ал $7^{4}$ жазуының бәрі — дәреже.

🌟 Дұрыс сөйлеп үйрен. $7^{4}$ өрнегі «жетінің төртінші дәрежесі» немесе «төртінші дәрежелі жеті» деп оқылады.

$2^{5}$ неге 32-ге тең? Санайық: $2 \cdot 2 = 4$, $4 \cdot 2 = 8$, $8 \cdot 2 = 16$, $16 \cdot 2 = 32$. Бес екі — және 32 шықты.

Кез келген натурал сан көрсеткіші 1-ге тең өзінің дәрежесі болады: $3 = 3^{1}$, $40 = 40^{1}$, $171 = 171^{1}$.

⚠️ Жиі кететін қате. $2^{5}$ — бұл $2 \cdot 5 = 10$ емес! Көрсеткіш екіні өзіне неше рет көбейтуді көрсетеді: $2^{5} = 32$.

Квадрат пен куб — шын мәнінде фигуралар

Санның екінші дәрежесін санның квадраты дейді: $3^{2}$ — «үштің квадраты». Тор көзге қара: қабырғасы 3 тор көз шаршы $3 \cdot 3 = 9$ тор көзден тұрады.

Санның үшінші дәрежесін санның кубы дейді: $3^{3}$ — «үштің кубы». $3 \times 3 \times 3$ кубик-рубик — әрқайсысы 9 кубиктен тұратын 3 қабат.

Барлығы $9 \cdot 3 = 27$ кубик. Демек, $3^{3} = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$.

🌟 Дұрыс сөйлеп үйрен. $7^{2}$ өрнегі «жетінің квадраты», $7^{3}$ өрнегі «жетінің кубы» деп оқылады.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Үйде кубик-рубик немесе конструктор болса, бірге $2 \times 2 \times 2$ куб жинап көріңіздер. Бала кубиктің 6 емес, 8 болатынын өзі көреді. Бұл кез келген түсіндіруден артық.

10 санының дәрежесі — нөл қанша?

10 санының дәрежелері — ең ыңғайлысы. Қара:

📌 Негізі 10-ға тең дәреже бір санынан және дәреже көрсеткіші қанша болса, сонша нөлден тұратын санға тең. Мысалы, $10^{9}$ — миллиард: 1 және тоғыз нөл.

Енді кез келген санды 10-ның дәрежелері арқылы жазуға болады. Мысалы, $87,461 = 8 \cdot 10^{4} + 7 \cdot 10^{3} + 4 \cdot 10^{2} + 6 \cdot 10 + 1$. Бұл — санның ондық жазылуы.

⚠️ Жиі кететін қате. $5 \cdot 10^{3} + 2 \cdot 100 + 8 \cdot 10 + 1$ жазуы 5281-ге тең, бірақ ондық жазылу болып есептелмейді. Ондық жазылуда барлық разряд 10-ның дәрежесі арқылы жазылады, ал мұнда жүздік 100 саны күйінде қалған. Дұрысы: $5 \cdot 10^{3} + 2 \cdot 10^{2} + 8 \cdot 10 + 1$.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• $4^{6}$ жазуындағы 6 саны нені білдіреді? Бұл — көрсеткіш: төртті өзіне 6 рет көбейтеді, $4^{6} = 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4$.
• $9^{3}$ жазуындағы 9 саны нені білдіреді? Бұл — негіз, яғни көбейтілетін сан: $9 \cdot 9 \cdot 9$.
• $10^{2}$ өрнегі қалай аталады? Дәреже; «онның квадраты» деп оқылады. Бұл — 10 санының квадраты, ол 100-ге тең.
• Квадриллион санының жазылуында неше нөл бар? Квадриллион — $10^{15}$, демек, 15 нөл.
• $2^{5}$ неге 32-ге тең? Себебі $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 195

«Санның квадраты» және «санның кубы» сөздерін қолданып $2^{2}$; $2^{3}$; $3^{2}$; $4^{2}$; $4^{3}$; $5^{2}$ сандарын оқыңдар.

Қалай ойлаймыз. Көрсеткіш 2 болса — «квадраты», көрсеткіш 3 болса — «кубы».

Шешуі. $2^{2}$ — екінің квадраты; $2^{3}$ — екінің кубы; $3^{2}$ — үштің квадраты; $4^{2}$ — төрттің квадраты; $4^{3}$ — төрттің кубы; $5^{2}$ — бестің квадраты.

Жауабы: жоғарыда оқылды.

№ 196

Мына 12 көбейтіндіні дәреже түрінде жазыңдар: $8 \cdot 8 \cdot 8$-ден бастап $(x - y) \cdot (x - y) \cdot (x - y)$-ке дейін.

Қалай ойлаймыз. Негіз — қайталанатын көбейткіш. Көрсеткіш — ол неше рет кездесетіні. Көбейткіш жақшада тұрса немесе екі әріптен тұрса, оны жақшаға аламыз.

Шешуі.

1. $8^{3}$; 2) $6^{4}$; 3) $7^{5}$; 4) $15^{3}$; 5) $10^{3}$; 6) $43^{4}$; 7) $3^{5}$; 8) $8^{8}$; 9) $x^{9}$; 10) $(ab)^{7}$; 11) $(a + b)^{4}$; 12) $(x - y)^{3}$.

Жауабы: $8^{3}$; $6^{4}$; $7^{5}$; $15^{3}$; $10^{3}$; $43^{4}$; $3^{5}$; $8^{8}$; $x^{9}$; $(ab)^{7}$; $(a + b)^{4}$; $(x - y)^{3}$.

⚠️ Жиі кететін қате. $ab \cdot ab$ — бұл $(ab)^{2}$, $ab^{2}$ емес. Жақшасыз квадратқа тек $b$ ғана түседі.

№ 197

20-кестені толтырыңдар: $n$ 1-ден 10-ға дейінгі кезде $2^{n}$ және $3^{n}$.

Қалай ойлаймыз. Әр жолы қайтадан есептеме. Әр келесі дәреже — алдыңғысын негізге көбейткенге тең.

Шешуі.

Жауабы: кестеде.

🌟 $2^{10} = 1024$ — мыңға жуық. Сондықтан компьютерде «килобайтты» көп уақыт 1000 емес, 1024 байтқа тең деп санаған.

№ 198

Есептеңдер: $7^{2}$, $8^{2}$, $9^{2}$, $10^{2}$, $11^{2}$, $12^{2}$, $100^{2}$, $0^{3}$, $7^{3}$, $10^{3}$, $11^{3}$, $10^{5}$.

Шешуі.

1. $7 \cdot 7 = 49$; 2) 64; 3) 81; 4) 100; 5) 121; 6) 144; 7) $100 \cdot 100 = 10,000$; 8) $0 \cdot 0 \cdot 0 = 0$; 9) $49 \cdot 7 = 343$; 10) 1000; 11) $121 \cdot 11 = 1331$; 12) 100 000.

Жауабы: 49; 64; 81; 100; 121; 144; 10 000; 0; 343; 1000; 1331; 100 000.

№ 199

10 санының бірінші дәрежесінен бастап тоғызыншы дәрежесіне дейін есептеп жазыңдар. Шыққан сандарды оқыңдар.

Қалай ойлаймыз. Көрсеткіш = бірден кейінгі нөлдер саны.

Шешуі.

• $10^{1} = 10$ — он;
• $10^{2} = 100$ — жүз;
• $10^{3} = 1000$ — мың;
• $10^{4} = 10,000$ — он мың;
• $10^{5} = 100,000$ — жүз мың;
• $10^{6} = 1,000,000$ — миллион;
• $10^{7} = 10,000,000$ — он миллион;
• $10^{8} = 100,000,000$ — жүз миллион;
• $10^{9} = 1,000,000,000$ — миллиард.

Жауабы: жоғарыда.

№ 200

Көбейтіндіні дәреже түрінде жазыңдар: 1) $9^{3} \cdot 9^{4}$; 2) $15 \cdot 15^{2}$; 3) $74^{3} \cdot 74^{2}$; 4) $a^{7} \cdot a^{2}$.

Қалай ойлаймыз. Біріншісін жазып көрейік: $9^{3} \cdot 9^{4} = (9 \cdot 9 \cdot 9) \cdot (9 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9)$ — барлығы 7 тоғыз. Көрсеткіштер қосылады.

Шешуі. 1) $9^{3+4} = 9^{7}$; 2) $15^{1} \cdot 15^{2} = 15^{3}$; 3) $74^{3+2} = 74^{5}$; 4) $a^{7+2} = a^{9}$.

Жауабы: $9^{7}$; $15^{3}$; $74^{5}$; $a^{9}$.

№ 201

3-жаттығудың (9-бет) мәліметтерін қолданып, натурал сандарды ондық жазылуы түрінде көрсетіңдер: Жер халқының саны 7 309 680 851 және кестедегі 11 елдің халқы.

Қалай ойлаймыз. Санды разрядтарға жіктейміз де, әр разрядтың «дөңгелек» бірлігін 10-ның дәрежесімен жазамыз. Нөлдік разрядтарды өткізіп жібереміз.

Шешуі.

Жауабы: кестеде.

📕 Оқулықтағы қате. Жаттығуда «3-жаттығудың (11-бет) мәліметтері» делінген, бірақ елдер кестесі 3-жаттығуда, яғни оқулықтың 9-бетінде. 11-беттегі жаттығулар — басқа тақырып.

B деңгейі

№ 202

8; 27; 32; 64; 125; 256; 36; 49; 64; 100; 144; 625; 729; 10 000 сандарын дәреже түрінде жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Қандай санды өзіне бірнеше рет көбейткенде берілген сан шығатынын іздейміз. № 197 кестесі көмектеседі. Кейбір сандарды әртүрлі жолмен жазуға болады.

Шешуі. $8 = 2^{3}$; $27 = 3^{3}$; $32 = 2^{5}$; $64 = 8^{2} = 4^{3} = 2^{6}$; $125 = 5^{3}$; $256 = 16^{2} = 4^{4} = 2^{8}$; $36 = 6^{2}$; $49 = 7^{2}$; $100 = 10^{2}$; $144 = 12^{2}$; $625 = 25^{2} = 5^{4}$; $729 = 27^{2} = 9^{3} = 3^{6}$; $10,000 = 100^{2} = 10^{4}$.

Жауабы: жоғарыда.

№ 203

Өрнектердің мәндерін салыстырыңдар: 1) $3 \cdot 2^{3}$ және $3^{2} \cdot 2^{2}$; 2) $3^{3} \cdot 2$ және $3^{2} \cdot 2^{2}$; 3) $3^{3} \cdot 2^{2}$ және $3^{2} \cdot 2^{3}$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен дәрежелер, сосын көбейту. Екі жағын да есептеп, салыстырамыз.

Шешуі.

1. $3 \cdot 8 = 24$ және $9 \cdot 4 = 36$: $24 < 36$.
2. $27 \cdot 2 = 54$ және $36$: $54 > 36$.
3. $27 \cdot 4 = 108$ және $9 \cdot 8 = 72$: $108 > 72$.

Жауабы: 1)

№ 204

Есептеңдер: 1) $68^{2} - 43 \cdot 39$; 2) $91 \cdot 79 - 52^{2}$; 3) $(1001 - 999)^{5} + 86$; 4) $591 - (802 - 799)^{4}$.

Қалай ойлаймыз. Әрекет реті: жақша → дәреже → көбейту → азайту мен қосу.

Шешуі.

1. $68^{2} = 4624$; $43 \cdot 39 = 1677$; $4624 - 1677 = 2947$.
2. $91 \cdot 79 = 7189$; $52^{2} = 2704$; $7189 - 2704 = 4485$.
3. $1001 - 999 = 2$; $2^{5} = 32$; $32 + 86 = 118$.
4. $802 - 799 = 3$; $3^{4} = 81$; $591 - 81 = 510$.

Жауабы: 2947; 4485; 118; 510.

№ 205

Берілген сөйлемдерде кездесетін сандарды дәреже түрінде жазыңдар: 1) ересек адамның жүрегі күніне он мың литр қан айналдырады; 2) адамның қан тамырларының жүйесі жүз мың километрді құрайды; 3) адам жүз триллионнан астам жасушадан тұрады.

Қалай ойлаймыз. Санды цифрлармен жазып, нөлдерді санаймыз. Триллион — 1 және 12 нөл, ал жүз триллион — тағы 2 нөл артық.

Шешуі.

1. 10 000 л = $10^{4}$ л.
2. 100 000 км = $10^{5}$ км.
3. 100 000 000 000 000 = $10^{14}$ жасуша.

Жауабы: $10^{4}$ л; $10^{5}$ км; $10^{14}$ жасуша.

🌟 Жүз мың километр қан тамыры — Жерді экватор бойымен екі жарым рет айналып шығуға тең!

C деңгейі

№ 206

Дәрежелердің мәндерін салыстырыңдар: 1) $2^{3}$ және $3^{2}$; 2) $2^{30}$ және $3^{20}$; 3) $4^{3}$ және $5^{2}$; 4) $2^{15}$ және $3^{10}$; 5) $2^{5}$ және $8^{2}$; 6) $2^{6}$ және $3^{4}$.

Қалай ойлаймыз. Кіші дәрежелерді жай есептейміз. Үлкендерін ($2^{30}$, $3^{20}$) есептеу ұзақ — көбейткіштерді топтаймыз. Отыз екіні 10 үштікке бөлуге болады: әр үштікте $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$. Жиырма үшті 10 жұпқа бөлеміз: $3 \cdot 3 = 9$.

Шешуі.

1. $2^{3} = 8$, $3^{2} = 9$: $8 < 9$.
2. $2^{30} = 8^{10}$, $3^{20} = 9^{10}$. Он сегіз он тоғыздан кем: $2^{30} < 3^{20}$.
3. $4^{3} = 64$, $5^{2} = 25$: $64 > 25$.
4. $2^{15} = 8^{5} = 32,768$, $3^{10} = 9^{5} = 59,049$: $2^{15} < 3^{10}$.
5. $2^{5} = 32$, $8^{2} = 64$: $32 < 64$.
6. $2^{6} = 64$, $3^{4} = 81$: $64 < 81$.

Жауабы: 1)

№ 207

$31^{11}$ және $17^{14}$ дәрежесінің әрқайсысын 2 санының дәрежелерімен салыстырыңдар. Шыққан нәтижелерді қолданып, $31^{11}$ және $17^{14}$ дәрежелерін салыстырыңдар.

Қалай ойлаймыз. Күрделілігі жоғары есеп. Мұндай сандарды есептеп шығару мүмкін емес — олардың ондаған цифры бар. Бірақ 31 мен 17 екінің дәрежелері 32 және 16 санының қасында тұр.

Шешуі. $31^{11} < 32^{11} = 2^{55}$, ал $17^{14} > 16^{14} = 2^{56}$. $2^{55} < 2^{56}$ болғандықтан, $31^{11} < 17^{14}$.

Жауабы: $31^{11} < 2^{55}$; $17^{14} > 2^{56}$; $31^{11} < 17^{14}$.

Хабарлама дайындаңдар

№ 208

$a^{2}$, $a^{3}$ белгілерін енгізген — Рене Декарт. Осы белгілеулер қашан енгізілген?

Қалай ойлаймыз. Жылын тауып, ғалымның өзі туралы бір-екі дерек ал. Күндерін энциклопедиядан тексер.

Шешуі. Хабарламаның үлгісі: «Рене Декарт (1596–1650) — француз математигі және философы. 1637 жылы оның «Геометрия» кітабы шықты. Онда ол дәрежелерді біз қазір жазатындай жаза бастады: оң жақ жоғарғы бұрышқа кішкентай сан — $a^{2}$, $a^{3}$. Бұған дейін ұзақ жазатын, мысалы $aaa$, немесе сөзбен айтатын. Шамамен 400 жыл өтті, ал жазу өзгерген жоқ».

Жауабы: 1637 жылы («Геометрия» кітабы).

Жаңа тақырыпты меңгеруге дайындаламыз

№ 209

1) $0 < x < 20$; 2) $20 < x < 60$; 3) $60 < x < 100$; 4) $600 < x < 620$; 5) $770 < x < 800$; 6) $990 < x < 1000$ теңсіздігі дұрыс болатындай барлық жай сандарды жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Жұп сандарды (2-ден басқа) және 5-пен аяқталатындарды бірден алып тастаймыз. Қалғандарын 3-ке (цифрлар қосындысымен), 7-ге, 11-ге, 13-ке және одан әрі тексереміз.

Шешуі.

1. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.
2. 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59.
3. 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
4. 601, 607, 613, 617, 619 ($603$ және $609$ 3-ке бөлінеді, $611 = 13 \cdot 47$).
5. 773, 787, 797 (мысалы, $779 = 19 \cdot 41$, $791 = 7 \cdot 113$, $793 = 13 \cdot 61$, $799 = 17 \cdot 47$).
6. 991, 997 ($993$ 3-ке бөлінеді).

Жауабы: жоғарыда.

№ 210

Жай сандар кестесін қолданбай 111, 736, 963, 785, 144 сандарының арасынан жай сандарды табуға бола ма?

Қалай ойлаймыз. Бөлінгіштік белгілері ұзақ есептемей-ақ бөлгішті табуға көмектеседі.

Шешуі. 111: цифрлар қосындысы 3 — 3-ке бөлінеді ($111 = 3 \cdot 37$). 736 және 144 — жұп. 963: цифрлар қосындысы 18 — 9-ға бөлінеді. 785 саны 5-пен аяқталады. Бәрі құрама сан.

Жауабы: олардың арасында жай сан жоқ.

№ 211

45 саны берілген. 1) Берілген санның барлық бөлгіштерін атаңдар. 2) Жай сандар болатын бөлгіштерін көрсетіңдер.

Шешуі. Жұптарын іздейміз: $1 \cdot 45$, $3 \cdot 15$, $5 \cdot 9$. Бөлгіштері: 1, 3, 5, 9, 15, 45. Олардың ішіндегі жай сандар: 3 және 5.

Жауабы: 1, 3, 5, 9, 15, 45; жай бөлгіштері — 3 және 5.

№ 212

18 және 20 сандары берілген. 1) Әр санның барлық бөлгіштерін атаңдар. 2) Осы сандардың жай сандар болатын ортақ бөлгіштерін көрсетіңдер.

Шешуі. 18-дің бөлгіштері: 1, 2, 3, 6, 9, 18. 20-ның бөлгіштері: 1, 2, 4, 5, 10, 20. Ортақтары: 1 және 2. Олардың ішінде жай сан тек 2 (бір — жай сан емес).

Жауабы: 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18; 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20; ортақ жай бөлгіш — 2.

Жадынама

• $a^{n}$ — бұл $a$ санын өзіне $n$ рет көбейту.
• $a^{1} = a$; $0^{3} = 0$.
• Квадрат — көрсеткіші 2, куб — көрсеткіші 3.
• $10^{n}$ — бұл 1 және $n$ нөл: $10^{6}$ — миллион, $10^{9}$ — миллиард.
• Өрнектерде дәрежені көбейтуден бұрын есептейді.

Шағын тест