§ 14. Натурал сандарды жай көбейткіштерге жіктеу

Математика, 5 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2017). 2 тарау: Натурал сандардың бөлінгіштігі. 67–70-беттер.

Нені үйренесің

• «Санды жай көбейткіштерге жіктеу» дегеннің не екенін түсінуді.
• Сандарды тік сызық арқылы «бағандап» жіктеуді.
• Бірдей көбейткіштерді дәрежемен жазуды: $504 = 2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 7$.
• Санды жіктелуі бойынша қайта құрастыруды.

Ой қозғау

Бұл — өткен сабақтағы № 209–212 жаттығулары. Алдымен ойша жауап бер, содан кейін жауабын ашып қара.

• 20-дан кіші барлық жай сандарды ата. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.
• 111; 736; 963; 785; 144 сандарының арасында жай сан бар ма? Жоқ. 111 және 963 саны 3-ке бөлінеді, 736 және 144 — жұп, 785 саны 5-ке бөлінеді.
• 45 санының қай бөлгіштері жай сан? Бөлгіштері: 1, 3, 5, 9, 15, 45. Олардың ішінде жай сандар — 3 және 5.
• 18 және 20 сандарының қай ортақ бөлгіші жай сан? Ортақ бөлгіштері — 1 және 2. Жай сан — тек 2.

💡 2, 3, 5 сандарына бөлінгіштік белгілері және жай сандар кестесі — бүгінгі сабақтың басты құралдары. Оларды қолыңда ұста.

Тақырыпты талдаймыз

«Кірпіштерден» құралған сандар

Қара: $78 = 2 \cdot 3 \cdot 13$. Үш көбейткіш те — жай сандар. Оларды одан әрі бөлшектеуге болмайды.

Мұндай жазуды санды жай көбейткіштерге жіктеу дейді.

📌 Натурал санды жай көбейткіштерге жіктеу — оны жай сандардың көбейтіндісі түрінде беру деген сөз.

Кейде көбейткіштер қайталанады: $504 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7$. Бірдей көбейткіштерді дәрежеге жинаған ыңғайлы: $504 = 2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 7$.

⚠️ Жиі кететін қате. $78 = 6 \cdot 13$ — бұл әлі жай көбейткіштерге жіктеу емес: 6 — құрама сан. Барлық көбейткіш жай сан болғанша бөлшектей бер: $6 = 2 \cdot 3$.

Тік сызықпен «бағандап» бөлеміз

546 санын жіктейік. Тік сызық саламыз. Сол жағына санды, оң жағына оның бөлінетін ең кіші жай санын жазамыз. Бөліп, бөліндіні төмен жазамыз.

Дәптерде бұл былай көрінеді:

546 | 2
273 | 3
 91 | 7
 13 | 13
  1 |

Тағы бір мысал — 2205 саны:

2205 | 3
 735 | 3
 245 | 5
  49 | 7
   7 | 7
   1 |

$2205 = 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 7 = 3^{2} \cdot 5 \cdot 7^{2}$.

💡 Сызықты бірге жеткенше жалғастырамыз. Сызықтың оң жағында тек жай сандар тұрады. Олардың көбейтіндісі — жауап.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Жіктеуді тексеру оңай: көбейткіштерді көбейтіңіз — бастапқы сан шығуы керек. Баланы әр жолы осылай тексеруге үйретіңіз.

«Кірпіштерді» тап

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Натурал санды жай көбейткіштерге жіктеу дегеніміз не? Оны жай сандардың көбейтіндісі түрінде жазу, мысалы $78 = 2 \cdot 3 \cdot 13$.
• Жіктелу жазуында дәрежені қолдануға бола ма? Иә: бірдей көбейткіштерді дәрежемен алмастырады, $504 = 2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 7$.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 213

12; 18; 24; 36; 45; 64 натурал сандарын жай көбейткіштерге жіктеңдер.

Қалай ойлаймыз. Кіші сандарды ауызша жіктеуге болады: 2-ге бөлінгенше бөлеміз, сосын 3-ке, 5-ке.

Шешуі.

1. $12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^{2} \cdot 3$;
2. $18 = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2 \cdot 3^{2}$;
3. $24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^{3} \cdot 3$;
4. $36 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2^{2} \cdot 3^{2}$;
5. $45 = 3 \cdot 3 \cdot 5 = 3^{2} \cdot 5$;
6. $64 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^{6}$.

Жауабы: $2^{2} \cdot 3$; $2 \cdot 3^{2}$; $2^{3} \cdot 3$; $2^{2} \cdot 3^{2}$; $3^{2} \cdot 5$; $2^{6}$.

№ 214

$x$ санын оның жай көбейткіштерге жіктелуі бойынша табыңдар: 1) $x = 2 \cdot 5 \cdot 7$; 2) $x = 3 \cdot 5 \cdot 7$; 3) $x = 2 \cdot 5 \cdot 11$; 4) $x = 3 \cdot 5 \cdot 13$.

Қалай ойлаймыз. Жай көбейтеміз. Алдымен 2-ні 5-ке көбейткен ыңғайлы — 10 шығады.

Шешуі. 1) $10 \cdot 7 = 70$; 2) $15 \cdot 7 = 105$; 3) $10 \cdot 11 = 110$; 4) $15 \cdot 13 = 195$.

Жауабы: 70; 105; 110; 195.

№ 215

Сызбаның көмегімен санды жай көбейткіштердің көбейтіндісі түрінде жазыңдар (21, 22-суреттер). 21-сурет: жоғарыда 330, оның астында 33 және бос ұяшық, төменде төрт бос ұяшық. 22-сурет: жоғарыда 210, оның астында бос ұяшық және 10, төменде төрт бос ұяшық.

Қалай ойлаймыз. Әр ұяшық — оның астындағы екі ұяшықтың көбейтіндісі. Егер $330 = 33 \cdot \square$ болса, бос ұяшықта $330 : 33 = 10$ тұрады. Одан әрі екінші қатардағы әр санды екі жай санға бөлеміз.

Шешуі.

• 21-сурет: $330 = 33 \cdot 10$; $33 = 3 \cdot 11$, $10 = 2 \cdot 5$. Төменгі қатар: 3, 11, 2, 5. Демек, $330 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 11$.
• 22-сурет: $210 = 21 \cdot 10$; $21 = 3 \cdot 7$, $10 = 2 \cdot 5$. Төменгі қатар: 3, 7, 2, 5. Демек, $210 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$.

Жауабы: $330 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 11$; $210 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$.

№ 216

110; 120; 150; 260; 270; 380; 480 сандарын жай көбейткіштерге жіктеңдер.

Қалай ойлаймыз. Барлық сан 0-мен аяқталады, сондықтан бірден $10 = 2 \cdot 5$ деп бөліп аламыз. Қалған 11, 12, 15 және т.б. сандарды жіктейміз.

Шешуі.

1. $110 = 10 \cdot 11 = 2 \cdot 5 \cdot 11$;
2. $120 = 10 \cdot 12 = 2^{3} \cdot 3 \cdot 5$;
3. $150 = 10 \cdot 15 = 2 \cdot 3 \cdot 5^{2}$;
4. $260 = 10 \cdot 26 = 2^{2} \cdot 5 \cdot 13$;
5. $270 = 10 \cdot 27 = 2 \cdot 3^{3} \cdot 5$;
6. $380 = 10 \cdot 38 = 2^{2} \cdot 5 \cdot 19$;
7. $480 = 10 \cdot 48 = 2^{5} \cdot 3 \cdot 5$.

Жауабы: жоғарыда.

№ 217

216-жаттығуда берілген сандардың жазылуы бойынша олар 2 және 5 сандарына бөлінеді деп айтуға бола ма? Жауабын түсіндіріңдер.

Шешуі. Иә. Бұл сандардың бәрі нөлмен аяқталады, демек, 10-ға бөлінеді. Ал $10 = 2 \cdot 5$, сондықтан жіктелуде 2 де, 5 те міндетті түрде бар.

Жауабы: болады: сандар 0-мен аяқталады және $10 = 2 \cdot 5$ санына бөлінеді.

№ 218

Жай көбейткіштерге жіктелуінде 3; 5; 7 сандары болатын үш үштаңбалы санды жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. $3 \cdot 5 \cdot 7 = 105$ — бұл үштаңбалы сан. Нәтиже 1000-нан кіші болғанша оны басқа сандарға көбейтуге болады.

Шешуі. $105$; $105 \cdot 2 = 210$; $105 \cdot 3 = 315$. $420$, $525$, $630$, $735$, $840$, $945$ та сәйкес келеді.

Жауабы: мысалы, 105, 210, 315.

№ 219

156; 462; 1008; 1872; 2080; 4550 сандарын жай көбейткіштерге жіктеңдер.

Қалай ойлаймыз. Бағандап бөлеміз: алдымен сан жұп болғанша 2-ге, сосын 3-ке (цифрлар қосындысына қарап), 5-ке, 7-ге…

Шешуі.

1. $156 : 2 = 78$, $78 : 2 = 39$, $39 : 3 = 13$. $156 = 2^{2} \cdot 3 \cdot 13$.
2. $462 : 2 = 231$, $231 : 3 = 77$, $77 : 7 = 11$. $462 = 2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 11$.
3. $1008$ санын 2-ге төрт рет бөлеміз: 504, 252, 126, 63. $63 = 3^{2} \cdot 7$. $1008 = 2^{4} \cdot 3^{2} \cdot 7$.
4. $1872$ санын 2-ге төрт рет бөлеміз: 936, 468, 234, 117. $117 = 3^{2} \cdot 13$. $1872 = 2^{4} \cdot 3^{2} \cdot 13$.
5. $2080$ санын 2-ге бес рет бөлеміз: 1040, 520, 260, 130, 65. $65 = 5 \cdot 13$. $2080 = 2^{5} \cdot 5 \cdot 13$.
6. $4550 : 2 = 2275$, $2275 : 5 = 455$, $455 : 5 = 91$, $91 = 7 \cdot 13$. $4550 = 2 \cdot 5^{2} \cdot 7 \cdot 13$.

Жауабы: $2^{2} \cdot 3 \cdot 13$; $2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 11$; $2^{4} \cdot 3^{2} \cdot 7$; $2^{4} \cdot 3^{2} \cdot 13$; $2^{5} \cdot 5 \cdot 13$; $2 \cdot 5^{2} \cdot 7 \cdot 13$.

№ 220

Жай көбейткіштерге жіктелуінде 2 саны үш рет кездесетін бес екітаңбалы санды жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Үш екі — бұл $2^{3} = 8$. Демек, сан $8 \cdot k$ тең, мұндағы $k$ — тақ сан (әйтпесе төртінші екі пайда болады).

Шешуі. $8 \cdot 3 = 24$, $8 \cdot 5 = 40$, $8 \cdot 7 = 56$, $8 \cdot 9 = 72$, $8 \cdot 11 = 88$. Келесісі, $8 \cdot 13 = 104$, енді үштаңбалы. Дәл бес сан шықты!

Жауабы: 24, 40, 56, 72, 88.

№ 221

Жай көбейткіштерге жіктелуінде 5 саны екі рет кездесетін үш үштаңбалы санды жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Екі бес — бұл $5^{2} = 25$. Сан $25 \cdot k$ тең, мұндағы $k$ саны 5-ке бөлінбейді.

Шешуі. $25 \cdot 4 = 100$, $25 \cdot 6 = 150$, $25 \cdot 7 = 175$. 225, 275, 300 және басқалары да сәйкес келеді.

Жауабы: мысалы, 100, 150, 175.

№ 222

$a$ санын оның жай көбейткіштерге жіктелуі бойынша табыңдар: 1) $a = 2^{4} \cdot 3^{2} \cdot 5$; 2) $a = 2^{2} \cdot 3^{4} \cdot 5$.

Шешуі.

1. $2^{4} = 16$, $3^{2} = 9$; $16 \cdot 9 \cdot 5 = 144 \cdot 5 = 720$.
2. $2^{2} = 4$, $3^{4} = 81$; $4 \cdot 81 \cdot 5 = 20 \cdot 81 = 1620$.

Жауабы: 720; 1620.

№ 223

1000; 3000; 4000; 7000 сандарының жіктелуінде 5 саны қанша рет кездеседі? Осы сұраққа сандарды жай көбейткіштерге жіктемей-ақ жауап беруге бола ма?

Қалай ойлаймыз. $1000 = 10^{3} = (2 \cdot 5)^{3}$ — онда үш бес бар. Қалған сандар — 1000-ды 3-ке, 4-ке немесе 7-ге көбейткенге тең. Олардың ешқайсысы 5-ке бөлінбейді.

Шешуі. $1000 = 2^{3} \cdot 5^{3}$; $3000 = 2^{3} \cdot 3 \cdot 5^{3}$; $4000 = 2^{5} \cdot 5^{3}$; $7000 = 2^{3} \cdot 5^{3} \cdot 7$. Барлық жерде 5 саны 3 рет кездеседі.

Жіктемей-ақ жауап беруге де болады: соңындағы үш нөл — $10^{3}$, яғни үш бес. Ал алдыңғы 1, 3, 4, 7 цифрлары жаңа бес қоспайды.

Жауабы: 3 реттен; болады — соңындағы үш нөл бойынша.

B деңгейі

№ 224

6270; 8840; 10 450; 13 986; 16 400; 20 010 сандарын жай көбейткіштерге жіктеңдер.

Қалай ойлаймыз. «Дөңгелек» сандардан алдымен 10-ды бөліп аламыз, сосын қалғанын жіктейміз.

Шешуі.

1. $6270 = 10 \cdot 627 = 10 \cdot 3 \cdot 209 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 11 \cdot 19$.
2. $8840 = 10 \cdot 884 = 10 \cdot 4 \cdot 221 = 2^{3} \cdot 5 \cdot 13 \cdot 17$.
3. $10,450 = 10 \cdot 1045 = 10 \cdot 5 \cdot 209 = 2 \cdot 5^{2} \cdot 11 \cdot 19$.
4. $13,986 : 2 = 6993$; цифрлар қосындысы 27, 3-ке үш рет бөлеміз: 2331, 777, 259; $259 = 7 \cdot 37$. $13,986 = 2 \cdot 3^{3} \cdot 7 \cdot 37$.
5. $16,400 = 100 \cdot 164 = 2^{2} \cdot 5^{2} \cdot 2^{2} \cdot 41 = 2^{4} \cdot 5^{2} \cdot 41$.
6. $20,010 = 10 \cdot 2001 = 10 \cdot 3 \cdot 667 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 23 \cdot 29$.

Жауабы: $2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 11 \cdot 19$; $2^{3} \cdot 5 \cdot 13 \cdot 17$; $2 \cdot 5^{2} \cdot 11 \cdot 19$; $2 \cdot 3^{3} \cdot 7 \cdot 37$; $2^{4} \cdot 5^{2} \cdot 41$; $2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 23 \cdot 29$.

№ 225

1) $2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11$; 2) $2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 7$; 3) $2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 11 \cdot 13$; 4) $2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 17$ көбейтінділерінің қайсысының мәні 18 санына еселік болады?

Қалай ойлаймыз. $18 = 2 \cdot 3 \cdot 3$. Көбейтіндіде кемінде бір екі және кемінде екі үш болса, ол 18-ге еселік.

Шешуі. 1) Үш біреу ғана — еселік емес. 2) Екі бар, үш екеу — еселік. 3) Еселік. 4) Еселік (үш тіпті үшеу).

Жауабы: 1) жоқ; 2), 3), 4) — иә.

№ 226

1) $a = 2^{2} \cdot 3 \cdot 5^{3} \cdot 7 \cdot 11$, $b = 2^{3} \cdot 3 \cdot 5^{2} \cdot 11$; 2) $a = 5 \cdot 13^{2} \cdot 19 \cdot 23$, $b = 2 \cdot 5^{3} \cdot 13 \cdot 23$ болса, онда $a$ және $b$ сандарының ортақ көбейткіштерін жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Көбейткіш екі жіктелуде де болса, оны аламыз, әрі екеуінде де кездесетін санша рет — яғни кіші көрсеткішпен.

Шешуі.

1. Екі: $a$-да екеу, $b$-да үшеу — ортақ екеу, $2^{2}$. Үш — біреу. Бес: үшеу және екеу — ортақ екеу, $5^{2}$. Жеті $b$-да жоқ. Он бір — біреу. Ортақ көбейткіштер: $2, 2, 3, 5, 5, 11$.
2. Бес — біреу ортақ, 13 — біреу, 19 $b$-да жоқ, 23 — біреу. Ортақтары: $5, 13, 23$.

Жауабы: 1) $2^{2}$, 3, $5^{2}$, 11; 2) 5, 13, 23.

💡 Ортақ көбейткіштерді көбейтсең, $a$ да, $b$ да бөлінетін ең үлкен сан шығады. Бұл туралы келесі сабақта.

C деңгейі

№ 227

Жай көбейткіштерге жіктелуінде 1) 19; 2) 23; 3) 29; 4) 31 саны кездесетін барлық екітаңбалы сандарды жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Бұл — берілген санға еселік екітаңбалы сандар. 1-ге, 2-ге, 3-ке… көбейтеміз, 99-дан асқанша.

Шешуі.

1. 19, 38, 57, 76, 95;
2. 23, 46, 69, 92;
3. 29, 58, 87;
4. 31, 62, 93.

Жауабы: жоғарыда.

№ 228

$b$ санын оның жай көбейткіштерге жіктелуі бойынша табыңдар: 1) $b = 2 \cdot 3 \cdot 5^{2} \cdot 101$; 2) $b = 2 \cdot 5^{2} \cdot 7 \cdot 103$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен ыңғайлы көбейткіштерді көбейтеміз: $2 \cdot 5^{2} = 50$.

Шешуі.

1. $50 \cdot 3 = 150$; $150 \cdot 101 = 15,000 + 150 = 15,150$.
2. $50 \cdot 7 = 350$; $350 \cdot 103 = 35,000 + 1050 = 36,050$.

Жауабы: 15 150; 36 050.

№ 229

52 015; 64 337; 72 928 сандарын жай көбейткіштерге жіктеңдер.

Қалай ойлаймыз. Күрделілігі жоғары есеп. Жай бөлгіштерді кезекпен тексереміз: 2, 3, 5, 7, 11, 13… Бөлгіш сәйкес келсе, оны тағы бір рет байқап көреміз.

Шешуі.

1. $52,015$ саны 5-пен аяқталады: $52,015 : 5 = 10,403$. Одан әрі 7, 11, 13… сәйкес келмейді, ұзақ іздейміз — 101 сәйкес келеді: $10,403 : 101 = 103$. 103 — жай сан. $52,015 = 5 \cdot 101 \cdot 103$.
2. $64,337 = 7^{2} \cdot 13 \cdot 101$ (қадамдары жоғарыда).
3. $72,928$ санын 2-ге бес рет бөлеміз: 36 464, 18 232, 9116, 4558, 2279. 2279 саны 3-ке, 7-ге, 11-ге, 13-ке, 17-ге, 19-ға, 23-ке, 29-ға, 31-ге, 37-ге, 41-ге бөлінбейді, ал 43-ке бөлінеді: $2279 : 43 = 53$. $72,928 = 2^{5} \cdot 43 \cdot 53$.

Жауабы: $5 \cdot 101 \cdot 103$; $7^{2} \cdot 13 \cdot 101$; $2^{5} \cdot 43 \cdot 53$.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Мұнда бөлінгіштікті тексеру үшін калькуляторға рұқсат етуге болады. Маңыздысы — есептеу емес, бөлгіштерді іріктеу тәртібін түсіну.

Жаңа тақырыпты меңгеруге дайындаламыз

№ 230

1) 324 саны 4-ке бөлінеді; 2) 160, 176, 336 сандары 16-ға бөлінеді деген сөйлемдерді «еселік», «санның бөлгіші» сөздерін қолданып тұжырымдаңдар.

Шешуі.

1. 324 саны 4-ке еселік. 4 — 324 санының бөлгіші.
2. 160, 176 және 336 сандары 16-ға еселік. 16 — 160, 176, 336 сандарының әрқайсысының бөлгіші.

Жауабы: жоғарыда.

№ 231

1) 144 саны 12 санына еселік болады; 2) 80; 88; 160; 168 сандары 8 саны үшін еселік болады деген сөйлемдерді «бөлінеді», «санның бөлгіші» сөздерін қолданып тұжырымдаңдар.

Шешуі.

1. 144 саны 12-ге бөлінеді. 12 — 144 санының бөлгіші.
2. 80, 88, 160 және 168 сандары 8-ге бөлінеді. 8 — осы сандардың әрқайсысының бөлгіші.

Жауабы: жоғарыда.

№ 232

1. 523 саны 1) 1569; 2) 2092; 3) 5230 санының бөлгіші бола ма? 2. 17 917 саны 1) 19; 2) 23; 3) 41 санының еселігі бола ма?

Қалай ойлаймыз. Бөліп тексереміз. 523 үшін көбейту ыңғайлы: $523 \cdot 3$, $523 \cdot 4$, $523 \cdot 10$.

Шешуі.

1. $523 \cdot 3 = 1569$; $523 \cdot 4 = 2092$; $523 \cdot 10 = 5230$. Үшеуі де 523-ке бөлінеді.
2. $17,917 : 19 = 943$; $17,917 : 23 = 779$; $17,917 : 41 = 437$. Үшеуіне де бөлінеді. Бұған таңғалудың қажеті жоқ: $17,917 = 19 \cdot 23 \cdot 41$!

Жауабы: 1. 1) — 3) бола алады; 2. 1) — 3) бола алады.

№ 233

Натурал сандардан тұратын тізбектің ең кіші және ең үлкен сандарын көрсетіңдер: 1) 56, 89, 23, 57, 24, 19; 2) 967, 979, 897, 976, 879, 899; 3) 6050, 6505, 6550, 6005; 4) 89 894, 98 894, 89 984, 98 984.

Қалай ойлаймыз. Разрядтар бойынша солдан оңға қарай салыстырамыз.

Шешуі.

1. ең үлкені 89, ең кішісі 19;
2. ең үлкені 979, ең кішісі 879;
3. ең үлкені 6550, ең кішісі 6005;
4. ең үлкені 98 984, ең кішісі 89 894.

Жауабы: жоғарыда.

Жадынама

• Санның бөлінетін ең кіші жай санына бөлеміз.
• Бір жай санды сан бөлінгенше қайта байқап көреміз.
• Бірдей көбейткіштерді дәрежеге жинаймыз.
• Нөлмен аяқталатын санның жіктелуінде 2 мен 5 бар.
• Сан жіктелуі біреу ғана (көбейткіштердің ретіне дейін).

Шағын тест