§ 15. Ең үлкен ортақ бөлгіш (ЕҮОБ) және ең кіші ортақ еселік (ЕКОЕ)

Математика, 5 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2017). 2 тарау: Натурал сандардың бөлінгіштігі. 71–77-беттер.

Нені үйренесің

• Екі және үш санның ең үлкен ортақ бөлгішін (ЕҮОБ) табуды.
• Ең кіші ортақ еселікті (ЕКОЕ) табуды.
• Өзара жай сандарды танып білуді.
• «Тең бөлу» есептерін ЕҮОБ арқылы шығаруды.

Ой қозғау

Бұл — өткен сабақтағы № 230–233 жаттығулары. Алдымен ойша жауап бер, содан кейін жауабын ашып қара.

• «324 саны 4-ке бөлінеді» дегенді басқаша айт. 324 саны 4-ке еселік; 4 — 324 санының бөлгіші.
• «144 саны 12 санына еселік» дегенді басқаша айт. 144 саны 12-ге бөлінеді; 12 — 144 санының бөлгіші.
• 523 саны 2092 санының бөлгіші ме? Иә: $523 \cdot 4 = 2092$.
• 17 917 саны 19-ға, 23-ке және 41-ге бөліне ме? Үшеуіне де: $17,917 = 19 \cdot 23 \cdot 41$.
• 6050, 6505, 6550, 6005 сандарының ең үлкені мен ең кішісі қайсы? Ең үлкені 6550, ең кішісі 6005.

💡 «Бөлгіш» және «еселік» — бір бөлудің екі көрінісі. Бүгін біз бірнеше санның ортақ бөлгіштері мен еселіктерін іздейміз.

Тақырыпты талдаймыз

Ортақ бөлгіш — екі санды да бөледі

6 саны 30 санын да, 42 санын да бөледі. Сондықтан 6 — 30 және 42 сандарының ортақ бөлгіші.

24 және 18 сандарын алайық. Олардың бөлгіштерін жазып, екі шеңберге орналастырамыз. Ортақтары ортасында қалады.

Ортақ бөлгіштері: 1, 2, 3, 6. Ең үлкені — 6. Былай жазады: ЕҮОБ (24; 18) = 6.

📌 $a$ және $b$ сандары бөлінетін ең үлкен натурал сан сол сандардың ең үлкен ортақ бөлгіші деп аталады.

🌟 Дұрыс сөйлеп үйрен. ЕҮОБ (24; 18) = 6 жазуы былай оқылады: «24 және 18 сандарының ең үлкен ортақ бөлгіші 6-ға тең».

ЕҮОБ-ті жай көбейткіштер арқылы табу

Үлкен сандардың барлық бөлгішін жазу ұзақ. Тезірек тәсіл бар. 180 және 378 сандарын жіктейік: $180 = 2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 5$, $378 = 2 \cdot 3^{3} \cdot 7$.

Екі жіктелуде де $2$, $3$ және $3$ бар. Көбейтеміз: ЕҮОБ (180; 378) $= 2 \cdot 3^{2} = 18$.

📌 ЕҮОБ-ті қалай табамыз: 1) сандарды жай көбейткіштерге жіктейміз; 2) барлық жіктелуде бар көбейткіштерді жазамыз (дәреже болса, кіші көрсеткішті аламыз); 3) оларды көбейтеміз.

Үш санның ЕҮОБ-і де дәл солай табылады: ЕҮОБ (12; 18; 42) $= 2 \cdot 3 = 6$. Өзің тексер: $12 = 2^{2} \cdot 3$, $18 = 2 \cdot 3^{2}$, $42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$.

💡 Егер бір сан екіншісіне бөлінсе, ЕҮОБ кішісіне тең: ЕҮОБ (6; 18) = 6, ЕҮОБ (5; 35) = 5, ЕҮОБ (77; 7) = 7.

Өзара жай сандар

16 мен 125 санының ортақ көбейткіші жоқ: $16 = 2^{4}$, $125 = 5^{3}$. Олардың ортақ бөлгіші — тек 1. Мұндай сандарды өзара жай сандар дейді.

📌 ЕҮОБ-і 1-ге тең натурал сандар өзара жай сандар деп аталады.

⚠️ Жиі кететін қате. Өзара жай сандардың өзі жай болуы міндетті емес! 8 және 9 — екеуі де құрама сан, бірақ 1-ден басқа ортақ бөлгіші жоқ.

Ортақ еселік — екеуіне де бөлінеді

8-ге еселік сандар: 8, 16, 24, 32, 40, 48… 12-ге еселік сандар: 12, 24, 36, 48… 24, 48, … сандары 8-ге де, 12-ге де еселік — бұлар ортақ еселіктер. Олардың ішінде ең үлкені жоқ, ал ең кішісі бар.

Былай жазады: ЕКОЕ (8; 12) = 24.

📌 $a$ және $b$ сандарына бөлінетін ең кіші натурал сан сол сандардың ең кіші ортақ еселігі деп аталады.

🌟 Дұрыс сөйлеп үйрен. ЕКОЕ (8; 12) = 24 жазуы былай оқылады: «8 бен 12 сандарының ең кіші ортақ еселігі 24-ке тең».

ЕКОЕ-ні жай көбейткіштер арқылы табу

Тағы да 180 және 378. ЕКОЕ әр санға бөлінуі керек. Демек, оған 180 санының барлық көбейткіші кіреді, яғни $2^{2}$, $3^{2}$, 5. 378 санынан жетіспейтінді қосамыз: тағы бір үш және жеті.

ЕКОЕ (180; 378) $= 2^{2} \cdot 3^{3} \cdot 5 \cdot 7 = 3780$.

Жоғарыдағы шеңберлерге қара: ЕКОЕ — екі шеңбердегі барлық сандардың көбейтіндісі: $2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7 = 3780$.

📌 ЕКОЕ-ні қалай табамыз: 1) сандарды жай көбейткіштерге жіктейміз; 2) сандардың біреуінің барлық көбейткішін жазамыз; 3) басқа сандардан жетіспейтін көбейткіштерді қосамыз; 4) көбейтеміз.

💡 Егер бір сан басқаларына бөлінсе, ЕКОЕ үлкеніне тең: ЕКОЕ (42; 7) = 42, ЕКОЕ (3; 6; 102) = 102, ЕКОЕ (9; 369) = 369. Ал өзара жай сандардың ЕКОЕ-і олардың көбейтіндісіне тең: ЕКОЕ (4; 9) = 36, ЕКОЕ (5; 11) = 55.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Балалар ЕҮОБ пен ЕКОЕ-ні жиі шатастырады. Кеңес: ЕҮОБ — бөлгіш, ол кіші саннан аспайды. ЕКОЕ — еселік, ол үлкен саннан кіші болмайды. Егер ЕҮОБ сандардың біреуінен үлкен шықса, қате бар.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Екі жұп сан өзара жай бола ала ма? Жоқ: екеуі де 2-ге бөлінеді, демек, ЕҮОБ кемінде 2.
• Жұп және тақ сандар әрқашан өзара жай ма? Жоқ. Мысалы, 6 және 9: екеуі де 3-ке бөлінеді.
• Екі түрлі жай сан өзара жай ма? Иә: әрқайсысының бөлгіштері тек 1 және өзі.
• Екі құрама сан өзара жай бола ала ма? Иә, мысалы 8 және 9.
• Көрші екі натурал сан әрқашан өзара жай ма? Иә. Мысалы, 14 және 15. Ортақ бөлгіш олардың айырымын да бөлуі керек, яғни 1-ді.
• $a$ және $b$ өзара жай болса, ЕҮОБ және ЕКОЕ неге тең? ЕҮОБ $= 1$, ЕКОЕ $= a \cdot b$.
• Ал $a$ саны $b$ санына бөлінсе ше? ЕҮОБ $= b$ (кіші сан), ЕКОЕ $= a$ (үлкен сан).

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 234

1) $x = 2 \cdot 3 \cdot 5$ және $y = 2 \cdot 7 \cdot 13$; 2) $x = 5 \cdot 11 \cdot 19$ және $y = 3 \cdot 5 \cdot 11$; 3) $x = 2 \cdot 23 \cdot 31$ және $y = 3 \cdot 7 \cdot 23 \cdot 41$; 4) $x = 2 \cdot 5 \cdot 11 \cdot 17$ және $y = 5 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 23$; 5) $x = 2 \cdot 11 \cdot 19$ және $y = 5 \cdot 7 \cdot 13$ болса, онда $x$ және $y$ сандарының ең үлкен ортақ бөлгішін табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Жіктелулер дайын. Екеуінде де бар көбейткіштерді тауып, көбейтеміз.

Шешуі.

1. ортақ тек 2 → ЕҮОБ = 2;
2. ортақтары 5 және 11 → $5 \cdot 11 = 55$;
3. ортақ 23 → 23;
4. ортақтары 5 және 17 → $5 \cdot 17 = 85$;
5. ортақ жоқ → ЕҮОБ = 1 (сандар өзара жай).

Жауабы: 2; 55; 23; 85; 1.

№ 235

1) $m = 2 \cdot 5$ және $n = 3 \cdot 5$; 2) $m = 2 \cdot 3 \cdot 7$ және $n = 3 \cdot 5 \cdot 7$; 3) $m = 2^{2} \cdot 5$ және $n = 2 \cdot 5 \cdot 3$; 4) $m = 2 \cdot 3^{2} \cdot 5^{2}$ және $n = 2^{2} \cdot 3 \cdot 5$ болса, онда $m$ және $n$ сандарының ең кіші ортақ еселігін табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Бірінші санның барлық көбейткішін алып, екіншісінен жетіспейтінін қосамыз. Қысқасы: әр жай көбейткішті үлкен көрсеткішпен аламыз.

Шешуі.

1. $2 \cdot 5$, 3-ті қосамыз: $2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$;
2. $2 \cdot 3 \cdot 7$, 5-ті қосамыз: $2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 210$;
3. $2^{2} \cdot 5$, 3-ті қосамыз: $2^{2} \cdot 3 \cdot 5 = 60$;
4. $2 \cdot 3^{2} \cdot 5^{2}$, тағы бір 2-ні қосамыз: $2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 5^{2} = 4 \cdot 9 \cdot 25 = 900$.

Жауабы: 30; 210; 60; 900.

№ 236

1) 4 және 12; 2) 4 және 15; 3) 6 және 22; 4) 15 және 100; 5) 9 және 18; 6) 16 және 25 сандарының қай жұбы өзара жай сандар болады?

Қалай ойлаймыз. 1-ден үлкен ортақ бөлгішті іздейміз. Табылса — жұп өзара жай емес.

Шешуі. 4 және 12 — ортақ бөлгіші 4. 4 және 15 — ортақ жоқ. 6 және 22 — екеуі де жұп. 15 және 100 — екеуі де 5-ке бөлінеді. 9 және 18 — 9-ға бөлінеді. 16 және 25 — $2^{4}$ және $5^{2}$, ортақ жоқ.

Жауабы: 4 және 15; 16 және 25.

№ 237

1) 4 және 10; 2) 6 және 14; 3) 8 және 12; 4) 15 және 18; 5) 20 және 24; 6) 26 және 39 сандарының ең үлкен ортақ бөлгішін және ең кіші ортақ еселігін табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Сандар шағын — ауызша жіктейміз.

Шешуі.

Жауабы: 2 және 20; 2 және 42; 4 және 24; 3 және 90; 4 және 120; 13 және 78.

№ 238

Мектеп асханасында кезекшілік тағайындау үшін әр топта қыз балалардың саны және ер балалардың саны бірдей болатындай етіп 27 қыз баладан және 48 ер баладан топтар құру керек. Осындай топтардың ең үлкен саны қандай болады?

Қалай ойлаймыз. Қыз балаларды топқа тең бөлеміз — демек, топ саны 27-ні бөледі. Ер балаларды да — топ саны 48-ді бөледі. Осындай ең үлкен санды іздейміз — бұл ЕҮОБ.

Шешуі.

1. $27 = 3^{3}$, $48 = 2^{4} \cdot 3$.
2. ЕҮОБ (27; 48) = 3.
3. Әр топта: $27 : 3 = 9$ қыз бала және $48 : 3 = 16$ ер бала.

Жауабы: 3 топ (әр топта 9 қыз бала және 16 ер бала).

№ 239

Барлығы 68 қыз бала және 102 ер баладан тұратын құрамдары бірдей командалар теннистен жарысқа қатысты. Әр командадағы қыз балалар мен ер балалардың саны бірдей. 1) Жарысқа қанша команда қатысты? 2) Әр командада қанша қыз және қанша ер бала болған?

Қалай ойлаймыз. № 238 сияқты: команда саны 68-ді де, 102-ні де бөледі. Команда саны мүмкін болатын ең үлкен деп санаймыз — ЕҮОБ іздейміз.

Шешуі.

1. $68 = 2^{2} \cdot 17$, $102 = 2 \cdot 3 \cdot 17$.
2. ЕҮОБ (68; 102) $= 2 \cdot 17 = 34$.
3. Әр командада: $68 : 34 = 2$ қыз бала және $102 : 34 = 3$ ер бала.

Жауабы: 34 команда; әр командада 2 қыз және 3 ер бала.

№ 240

ЕҮОБ (20; 48) және ЕҮОБ (28; 40) табыңдар және оларды салыстырыңдар.

Шешуі. $20 = 2^{2} \cdot 5$, $48 = 2^{4} \cdot 3$ → ЕҮОБ $= 2^{2} = 4$. $28 = 2^{2} \cdot 7$, $40 = 2^{3} \cdot 5$ → ЕҮОБ $= 2^{2} = 4$. Олар тең.

Жауабы: 4 = 4.

№ 241

ЕКОЕ (20; 48) және ЕКОЕ (28; 40) табыңдар және оларды салыстырыңдар.

Шешуі. ЕКОЕ (20; 48) $= 2^{4} \cdot 3 \cdot 5 = 240$. ЕКОЕ (28; 40) $= 2^{3} \cdot 5 \cdot 7 = 280$. $240 < 280$.

Жауабы: $240 < 280$.

№ 242

1) 6; 27; 42; 2) 15; 20; 45; 3) 16; 28; 44; 4) 18; 27; 36 сандарының ең үлкен ортақ бөлгішін табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Көбейткіш барлық үш жіктелуге кіруі керек.

Шешуі.

1. $6 = 2 \cdot 3$, $27 = 3^{3}$, $42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$ → ЕҮОБ = 3;
2. $15 = 3 \cdot 5$, $20 = 2^{2} \cdot 5$, $45 = 3^{2} \cdot 5$ → ЕҮОБ = 5;
3. $16 = 2^{4}$, $28 = 2^{2} \cdot 7$, $44 = 2^{2} \cdot 11$ → ЕҮОБ $= 2^{2} = 4$;
4. $18 = 2 \cdot 3^{2}$, $27 = 3^{3}$, $36 = 2^{2} \cdot 3^{2}$ → ЕҮОБ $= 3^{2} = 9$.

Жауабы: 3; 5; 4; 9.

№ 243

1) 4; 18; 24; 2) 5; 20; 35; 3) 6; 24; 36; 4) 8; 28; 42 сандарының ең кіші ортақ еселігін табыңдар.

Шешуі.

1. $4 = 2^{2}$, $18 = 2 \cdot 3^{2}$, $24 = 2^{3} \cdot 3$ → $2^{3} \cdot 3^{2} = 72$;
2. $5$, $20 = 2^{2} \cdot 5$, $35 = 5 \cdot 7$ → $2^{2} \cdot 5 \cdot 7 = 140$;
3. $6 = 2 \cdot 3$, $24 = 2^{3} \cdot 3$, $36 = 2^{2} \cdot 3^{2}$ → $2^{3} \cdot 3^{2} = 72$;
4. $8 = 2^{3}$, $28 = 2^{2} \cdot 7$, $42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$ → $2^{3} \cdot 3 \cdot 7 = 168$.

Жауабы: 72; 140; 72; 168.

№ 244

1) 220; 165; 77; 2) 63; 42; 168; 3) 230; 92; 138; 4) 42; 650; 260 сандарының ең үлкен ортақ бөлгішін табыңдар.

Шешуі.

1. $220 = 2^{2} \cdot 5 \cdot 11$, $165 = 3 \cdot 5 \cdot 11$, $77 = 7 \cdot 11$ → ЕҮОБ = 11;
2. $63 = 3^{2} \cdot 7$, $42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$, $168 = 2^{3} \cdot 3 \cdot 7$ → ЕҮОБ $= 3 \cdot 7 = 21$;
3. $230 = 2 \cdot 5 \cdot 23$, $92 = 2^{2} \cdot 23$, $138 = 2 \cdot 3 \cdot 23$ → ЕҮОБ $= 2 \cdot 23 = 46$;
4. $42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$, $650 = 2 \cdot 5^{2} \cdot 13$, $260 = 2^{2} \cdot 5 \cdot 13$ → ЕҮОБ = 2.

Жауабы: 11; 21; 46; 2.

№ 245

1) 120; 300; 100; 2) 480; 216; 144; 3) 105; 350; 140; 4) 280; 140; 224 сандарының ең кіші ортақ еселігін табыңдар.

Шешуі.

1. $120 = 2^{3} \cdot 3 \cdot 5$, $300 = 2^{2} \cdot 3 \cdot 5^{2}$, $100 = 2^{2} \cdot 5^{2}$ → $2^{3} \cdot 3 \cdot 5^{2} = 600$;
2. $480 = 2^{5} \cdot 3 \cdot 5$, $216 = 2^{3} \cdot 3^{3}$, $144 = 2^{4} \cdot 3^{2}$ → $2^{5} \cdot 3^{3} \cdot 5 = 4320$;
3. $105 = 3 \cdot 5 \cdot 7$, $350 = 2 \cdot 5^{2} \cdot 7$, $140 = 2^{2} \cdot 5 \cdot 7$ → $2^{2} \cdot 3 \cdot 5^{2} \cdot 7 = 2100$;
4. $280 = 2^{3} \cdot 5 \cdot 7$, $140 = 2^{2} \cdot 5 \cdot 7$, $224 = 2^{5} \cdot 7$ → $2^{5} \cdot 5 \cdot 7 = 1120$.

Жауабы: 600; 4320; 2100; 1120.

B деңгейі

№ 246

Көбейтіндісінің мәні 1) 33; 2) 65; 3) 143; 4) 133; 5) 20; 6) 56; 7) 99; 8) 300 санына тең өзара екі жай санды табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Көбейтіндіні жай көбейткіштерге жіктейміз. Бірдей көбейткіштерді әртүрлі сандарға бөліп жіберуге болмайды — әйтпесе сандардың ортақ бөлгіші пайда болады. «1 және санның өзі» жұбы әрқашан сәйкес келеді, бірақ ол қызық емес.

Шешуі.

1. $33 = 3 \cdot 11$ → 3 және 11;
2. $65 = 5 \cdot 13$ → 5 және 13;
3. $143 = 11 \cdot 13$ → 11 және 13;
4. $133 = 7 \cdot 19$ → 7 және 19;
5. $20 = 2^{2} \cdot 5$ → 4 және 5;
6. $56 = 2^{3} \cdot 7$ → 8 және 7;
7. $99 = 3^{2} \cdot 11$ → 9 және 11;
8. $300 = 2^{2} \cdot 3 \cdot 5^{2}$ → 4 және 75, 3 және 100, 12 және 25.

Жауабы: 3 және 11; 5 және 13; 11 және 13; 7 және 19; 4 және 5; 7 және 8; 9 және 11; 300 үшін — 4 және 75, 3 және 100 немесе 12 және 25 (әр жағдайда тағы 1 және санның өзі жұбы бар).

№ 247

Бірінші сынып оқушыларына сыйлау үшін папкаға есеп дәптері, жазу дәптері және қарындаштар салынды. Барлығы 212 есеп дәптері, 318 жазу дәптері және 159 қарындаш сатып алынды. 1) Қанша сыйлық жасалды? 2) Әр папка қанша есеп дәптерден, жазу дәптерден және қарындаштан салынды?

Қалай ойлаймыз. Заттың әр түрі сыйлықтарға тең бөлінеді. Демек, сыйлықтар саны — 212, 318 және 159 сандарының ортақ бөлгіші. Ең үлкенін аламыз.

Шешуі.

1. $212 = 2^{2} \cdot 53$, $318 = 2 \cdot 3 \cdot 53$, $159 = 3 \cdot 53$.
2. ЕҮОБ = 53.
3. Әр папкада: $212 : 53 = 4$ есеп дәптері, $318 : 53 = 6$ жазу дәптері, $159 : 53 = 3$ қарындаш.

Жауабы: 53 сыйлық; әрқайсысында 4 есеп дәптері, 6 жазу дәптері және 3 қарындаш.

№ 248

Үш екітаңбалы санның ЕҮОБ-і 15 санына тең. Егер осы сандарды ЕҮОБ-ке бөлгенде бөліндінің мәндері тақ сандарға тең болса, берілген үш санды табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Әр сан — тақ $k$ үшін $15 \cdot k$. Және ол екітаңбалы.

Шешуі. $15 \cdot 1 = 15$, $15 \cdot 3 = 45$, $15 \cdot 5 = 75$, ал $15 \cdot 7 = 105$ — енді үштаңбалы. Тексеру: ЕҮОБ (15; 45; 75) = 15 ✓.

Жауабы: 15, 45, 75.

№ 249

Үш екітаңбалы санның ЕКОЕ-і 1155 санына тең. Егер ЕКОЕ-ті осы сандарға бөлгенде бөліндінің мәндері тақ сандарға тең болса, берілген үш санды табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Бірнеше жауабы бар есеп. Алдымен 1155 санының барлық екітаңбалы бөлгішін табамыз, сосын барлық жай көбейткіш кездесетін үштікті таңдаймыз.

Шешуі. 1155 санының екітаңбалы бөлгіштері: 15, 21, 33, 35, 55, 77. Олардан құралған кез келген үштік сәйкес келеді, тек қандай да бір көбейткіш жоғалатын төртеуін есептемегенде: (35; 55; 77) — үш жоқ; (21; 33; 77) — бес жоқ; (15; 33; 55) — жеті жоқ; (15; 21; 35) — 11 жоқ. Мысалы: 15, 21, 77 немесе 33, 35, 55.

Жауабы: мысалы, 15, 21, 77 (3, 5, 7, 11 көбейткіштерінің бәрін қамтитын 15, 21, 33, 35, 55, 77 сандарының кез келген үштігі сәйкес келеді).

№ 250

ЕКОЕ (12; 14; 42) және ЕҮОБ (168; 252) табыңдар және оларды салыстырыңдар.

Шешуі. $12 = 2^{2} \cdot 3$, $14 = 2 \cdot 7$, $42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$ → ЕКОЕ $= 2^{2} \cdot 3 \cdot 7 = 84$. $168 = 2^{3} \cdot 3 \cdot 7$, $252 = 2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 7$ → ЕҮОБ $= 2^{2} \cdot 3 \cdot 7 = 84$. Олар тең.

Жауабы: $84 = 84$.

№ 251

3, 4, 6, 7, 8, 9 сандарының арасынан 1) өзара жай сандар жұбын тауып, олардың ең кіші ортақ еселігін; 2) бірі екіншісінің еселігі болатын сандар жұбын құрастырыңдар. Шыққан сандар жұбының ең кіші ортақ еселігі мен ең үлкен ортақ бөлгішін табыңдар; 3) ең үлкен ортақ бөлгіші берілген сандардың біріне де тең болмайтындай сандар жұбын құрастырыңдар. Шыққан сандар жұбының ең кіші ортақ еселігі мен ең үлкен ортақ бөлгішін табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Алты саннан барлығы 15 жұп шығады. Оларды үш себетке бөл.

Шешуі.

1. Өзара жай жұптар және олардың ЕКОЕ-і: 3 және 4 — 12; 3 және 7 — 21; 3 және 8 — 24; 4 және 7 — 28; 4 және 9 — 36; 6 және 7 — 42; 7 және 8 — 56; 7 және 9 — 63; 8 және 9 — 72.
2. Бірі екіншісінің еселігі: 3 және 6 — ЕҮОБ 3, ЕКОЕ 6; 3 және 9 — ЕҮОБ 3, ЕКОЕ 9; 4 және 8 — ЕҮОБ 4, ЕКОЕ 8.
3. ЕҮОБ-і жұптағы сандардың біріне де тең емес және 1-ден үлкен жұптар: 4 және 6 — ЕҮОБ 2, ЕКОЕ 12; 6 және 8 — ЕҮОБ 2, ЕКОЕ 24; 6 және 9 — ЕҮОБ 3, ЕКОЕ 18. (Өзара жай жұптардың да ЕҮОБ-і 1, ол екі санның біріне де тең емес — олар да сәйкес келеді.)

Жауабы: жоғарыдағы жұптар мен нәтижелер; 3-тармақта, мысалы, 4 және 6 (ЕҮОБ 2, ЕКОЕ 12).

№ 252

1) $x = abcd$ және $y = ab^{2}c$; 2) $x = a^{3}bcd$ және $y = a^{2}b^{2}c^{2}$; 3) $x = ab^{3}c^{3}$ және $y = abcd$; 4) $x = a^{4}b^{4}c^{2}d^{4}$ және $y = a^{2}b^{2}c^{2}d^{4}$ болса, онда $x$ және $y$ сандарының ең үлкен ортақ бөлгішін және ең кіші ортақ еселігін табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Әріптерді әртүрлі жай сандар деп санаймыз. Ереже сол: ЕҮОБ-те әр әріп кіші көрсеткішпен (екеуінде де болса), ЕКОЕ-де — үлкен көрсеткішпен.

Шешуі.

1. ЕҮОБ $= abc$; ЕКОЕ $= ab^{2}cd$;
2. ЕҮОБ $= a^{2}bc$; ЕКОЕ $= a^{3}b^{2}c^{2}d$;
3. ЕҮОБ $= abc$; ЕКОЕ $= ab^{3}c^{3}d$;
4. ЕҮОБ $= a^{2}b^{2}c^{2}d^{4}$ (бұл — $y$ өзі); ЕКОЕ $= a^{4}b^{4}c^{2}d^{4}$ (бұл — $x$ өзі), себебі $x$ саны $y$ санына бөлінеді.

Жауабы: 1) $abc$; $ab^{2}cd$; 2) $a^{2}bc$; $a^{3}b^{2}c^{2}d$; 3) $abc$; $ab^{3}c^{3}d$; 4) $a^{2}b^{2}c^{2}d^{4}$; $a^{4}b^{4}c^{2}d^{4}$.

C деңгейі

№ 253

21.1 және 21.2-кестелерінің бос тор көздеріне $a$ және $b$ сандарының а) ЕКОЕ; ә) ЕҮОБ жазыңдар: 1) $a$ = 21; 27, $b$ = 12; 15; 2) $a$ = 68; 102, $b$ = 17; 34. ЕКОЕ $(a; b) \cdot$ ЕҮОБ $(a; b)$ мен $a \cdot b$ мәндерін салыстырыңдар.

Қалай ойлаймыз. 8 жұптың әрқайсысы үшін ЕКОЕ мен ЕҮОБ есептеп, көбейтеміз де, сандардың өз көбейтіндісімен салыстырамыз.

Шешуі.

Жауабы: барлық жағдайда ЕКОЕ · ЕҮОБ $= a \cdot b$.

№ 254

253-жаттығудың нәтижелері бойынша ЕКОЕ $(a; b) \cdot$ ЕҮОБ $(a; b)$ көбейтіндісінің мәні туралы қандай жалпы қорытынды жасауға болады?

Шешуі. Екі санның ЕКОЕ-і мен ЕҮОБ-інің көбейтіндісі әрқашан сандардың өз көбейтіндісіне тең: ЕКОЕ $(a; b) \cdot$ ЕҮОБ $(a; b) = a \cdot b$. Неге олай? ЕҮОБ-ке ортақ көбейткіштер кіреді, ЕКОЕ-ге — қалғандары және ортақтары. Екеуі бірге $a$ мен $b$ санының барлық көбейткішін жинайды.

Жауабы: ЕКОЕ $(a; b) \cdot$ ЕҮОБ $(a; b) = a \cdot b$.

💡 Мұны қолдану ыңғайлы: ЕҮОБ белгілі болса, ЕКОЕ-ні бөлу арқылы табасың. Мысалы, ЕҮОБ (8; 12) = 4, демек, ЕКОЕ $= 8 \cdot 12 : 4 = 24$.

№ 255

253-жаттығудың нәтижелерін қолданып, $a > b$ болғанда 1) ЕКОЕ $(a; b)$ мен $a$-ны; 2) ЕҮОБ $(a; b)$ мен $b$-ны салыстырыңдар.

Шешуі. Кестеде ЕКОЕ әрқашан $a$-дан кем емес: ол $a$-дан үлкен (84 > 21) немесе $a$ саны $b$ санына бөлінгенде оған тең (68 = 68). ЕҮОБ әрқашан $b$-дан артық емес: ол $b$-дан кіші (3 < 12) немесе оған тең (17 = 17).

Жауабы: ЕКОЕ $(a; b) \geq a$; ЕҮОБ $(a; b) \leq b$.

Жаңа тақырыпты меңгеруге дайындаламыз

№ 256

Кітапта 140 бет бар. Айман бірінші күні кітаптың жартысын, ал екінші күні кітаптың оқылмаған бөлігінің жартысын оқыды. Айман үшінші күні кітаптың қанша бетін оқыды?

Шешуі.

1. Бірінші күні: $140 : 2 = 70$ бет. Қалғаны $140 - 70 = 70$.
2. Екінші күні: $70 : 2 = 35$. Қалғаны $70 - 35 = 35$.
3. Үшінші күні — осы 35 бет.

Жауабы: 35 бет.

№ 257

Дүкенде 40 кг көгөніс бар. Түске дейін барлық көгөністің төрттен бір бөлігі, ал түстен кейін қалған көгөністің жартысы сатылды. Дүкенде қанша килограмм көгөніс қалды?

Шешуі.

1. Түске дейін: $40 : 4 = 10$ кг. Қалғаны $40 - 10 = 30$ кг.
2. Түстен кейін: $30 : 2 = 15$ кг. Қалғаны $30 - 15 = 15$ кг.

Жауабы: 15 кг.

№ 258

Туристер барлық жолдың алтыдан бір бөлігін жаяу, жартысын автобуспен жүрді. Жолдың ұзындығы 48 км болса, туристер қанша километр жүруі керек?

Шешуі.

1. Жаяу: $48 : 6 = 8$ км.
2. Автобуспен: $48 : 2 = 24$ км.
3. Әлі жүру керек: $48 - 8 - 24 = 16$ км.

Жауабы: 16 км.

⚠️ Жиі кететін қате. Мұнда «жартысы» — бүкіл жолдың жартысы, қалғанының жартысы емес. № 256-мен салыстыр: ол жерде жартысын қалғанынан алған.

№ 259

Кітапханада 20 000 кітап бар. Кітаптардың оннан бір бөлігі көркем, ал қалғаны оқу әдебиеттерін құрайды. Кітапханадағы оқу әдебиеттерінің санын табыңдар.

Шешуі.

1. Көркем әдебиет: $20,000 : 10 = 2000$.
2. Оқу әдебиеті: $20,000 - 2000 = 18,000$.

Жауабы: 18 000 кітап.

Жадынама

• ЕҮОБ кіші саннан аспайды, ЕКОЕ үлкен саннан кіші болмайды.
• $a$ саны $b$ санына бөлінсе: ЕҮОБ $= b$, ЕКОЕ $= a$.
• Өзара жай сандардың ЕКОЕ-і — олардың көбейтіндісі.
• «Ең көп топқа тең бөлу» — ЕҮОБ іздейміз.
• «Қашан қайта сәйкес келеді», «бөлінетін ең кіші сан…» — ЕКОЕ іздейміз.

Шағын тест