§ 17. Жай бөлшектің негізгі қасиеті

Математика, 5 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2017). 3 тарау: Жай бөлшектер және оларға амалдар қолдану. 86–91-беттер.

Нені үйренесің

• $\frac{1}{4} = \frac{3}{12}$ теңдігінің неге дұрыс екенін түсіндіруді.
• Бөлшекті толықтауыш көбейткіштің көмегімен жаңа бөлімге келтіруді.
• Бөлшекті үш тәсілмен қысқартуды.
• Қысқартылмайтын бөлшекті танып білуді.

Ой қозғау

Бұл — өткен сабақтағы № 281–286 жаттығулар. Бөлінгіштік пен ЕҮОБ бүгін әр қадамда керек болады.

• 34 656 саны 6-ға бөлінеді ме? Иә: сан жұп, ал цифрларының қосындысы 24 үшке бөлінеді.
• 20-ға да, 30-ға да, 45-ке де бөлінетін ең кіші сан қандай? 180 — бұл олардың ЕКОЕ-сі.
• 12 мен 18-дің барлық ортақ бөлгіштерін ата. Олардың қайсысы ең үлкен? 1, 2, 3, 6. ЕҮОБ = 6.
• Қандай екі санның ортақ бөлгіші 11? Мысалы, 22 мен 33-тің.
• 4 см кесіндінің жартысы мен оның төрттен екісі бірдей бөліктер ме? Иә, екеуі де 2 см. Демек, $\frac{1}{2} = \frac{2}{4}$.

💡 Соңғы сұрақ — сабақтың кілті. Жазбалар басқа, ал бөлік бір. Бұл қалай жұмыс істейтінін талдайық.

Тақырыпты талдаймыз

Бір пицца — екі жазба

Пиццаны 4 тең бөлікке кесіп, біреуін ал — бұл $\frac{1}{4}$. Енді әр бөлікті тағы 3-ке кес. Бөлік 12 болды, ал сенің тарелкеңде олардың 3-еуі жатыр: $\frac{3}{12}$. Тамақ артқан жоқ! Демек, $\frac{1}{4} = \frac{3}{12}$.

Мұны былай оқиды: «төрттен бір он екіден үшке тең» немесе «төрттен бір және он екіден үш бөлшектері тең».

Бөлшектердің басты ережесі

Қара: $\frac{1}{4}$ бөлшегінен $\frac{3}{12}$ шықты, өйткені алымын да, бөлімін де 3-ке көбейттік. Керісінше: $\frac{3}{12}$ бөлшегінен $\frac{1}{4}$ шығады, егер екі санды да 3-ке бөлсек.

📌 Жай бөлшектің негізгі қасиеті. Егер бөлшектің алымы мен бөлімін бірдей натурал санға көбейтсек немесе бөлсек, берілген бөлшекке тең бөлшек шығады: $\frac{a}{b} = \frac{a \cdot n}{b \cdot n}$ және $\frac{a}{b} = \frac{a : n}{b : n}$.

⚠️ Жиі кететін қате. Тек бөлімін көбейтеді: «$\frac{1}{4} = \frac{1}{12}$». Олай емес! Бөлік 3 есе көбейсе, алатын бөлік те 3 есе көп болуы керек. Екі санды да және бірдей өзгертеміз.

Жаңа бөлім және «толықтауыш көбейткіш»

$\frac{3}{7}$ бөлшегін бөлімі 28 болатындай етіп жазғымыз келеді. Сұраймыз: 28 шығу үшін 7-ні неге көбейту керек? $28 : 7 = 4$. Алымын да 4-ке көбейтеміз:

$\frac{3}{7} = \frac{3 \cdot 4}{7 \cdot 4} = \frac{12}{28}$.

4 санын толықтауыш көбейткіш деп атайды. Оны жиі алымының жоғарғы оң жағына жазады: $\frac{3^{/4}}{7} = \frac{12}{28}$.

📌 Бөлшекті тек ескі бөліміне еселік болатын бөлімге келтіруге болады. $\frac{3}{7}$ бөлшегін бөлімі 14, 21, 28 болатындай жазуға болады, ал 10 болатындай — болмайды: 10 саны 7-ге бөлінбейді.

Бөлшекті қысқартамыз

Алымы мен бөлімін олардың бірден өзге ортақ бөлгішіне бөлуді бөлшекті қысқарту дейді. Бөлетін ештеңе қалмаса, бөлшек қысқартылмайтын болады: оның алымы мен бөлімі өзара жай сандар.

$\frac{54}{90}$ бөлшегін қысқартайық. 54 және 90 сандарының ортақ бөлгіштері: 2, 3, 6, 9, 18. Біз $\frac{27}{45}$, $\frac{18}{30}$, $\frac{9}{15}$, $\frac{6}{10}$, $\frac{3}{5}$ ала аламыз. Әдетте соңына дейін қысқартады — қысқартылмайтын $\frac{3}{5}$ шыққанша.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Баладан жауабын «кері жақтан» тексеруін сұраңыз: $\frac{3}{5}$ бөлшегінің алымы мен бөлімін 18-ге көбейтсін. $\frac{54}{90}$ шықса — қысқарту дұрыс.

🌟 Қысқарту — заттарды тығыздап буып-түю сияқты. Бөлшек сол, ал сандар кіші, есептеу оңай.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Тең бөлшектерге мысал келтір. $\frac{1}{4} = \frac{3}{12}$, $\frac{1}{2} = \frac{2}{4}$, $\frac{3}{7} = \frac{12}{28}$.
• Бөлшекті қалай қысқартуға болады? Үш тәсілмен: бөлінгіштік белгілерін қолданып, қадамдап; алымы мен бөлімін жай көбейткіштерге жіктеп; бірден олардың ЕҮОБ-ына бөліп.
• Қандай бөлшек қысқартылмайтын деп аталады? Алымы мен бөлімі өзара жай сандар болатын бөлшек — олардың жалғыз ортақ бөлгіші 1.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 287

Егер шаршы тең 1) 36 бөлікке; 2) 18 бөлікке; 3) 9 бөлікке бөлінсе, фигураның қандай бөлігі боялған (32-сурет)? Шаршы 36 тор көзге бөлінген, 20-сы боялған.

Қалай ойлаймыз. 18 бөлік — әр бөлік 2 тор көзден. 9 бөлік — әр бөлік 4 тор көзден. Боялған тор көздерді бөліктің өлшеміне бөлеміз.

Шешуі.

1. 36 бөлік: боялғаны 20 — $\frac{20}{36}$.
2. 2 тор көзден тұратын 18 бөлік: $20 : 2 = 10$ бөлік — $\frac{10}{18}$.
3. 4 тор көзден тұратын 9 бөлік: $20 : 4 = 5$ бөлік — $\frac{5}{9}$.

Бұл — бір бөлік: $\frac{20}{36} = \frac{10}{18} = \frac{5}{9}$.

Жауабы: $\frac{20}{36}$; $\frac{10}{18}$; $\frac{5}{9}$.

№ 288

Теңдіктің дұрыстығын түсіндіріңдер: 1) $\frac{1}{5} = \frac{3}{15}$; 2) $\frac{4}{7} = \frac{8}{14}$; 3) $\frac{100}{122} = \frac{400}{488}$.

Қалай ойлаймыз. Бөлімін қай санға көбейткенімізді іздейміз және алымын да сол санға көбейткенімізді тексереміз.

Шешуі.

1. $\frac{1 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{3}{15}$ — 3-ке көбейттік.
2. $\frac{4 \cdot 2}{7 \cdot 2} = \frac{8}{14}$ — 2-ге көбейттік.
3. $\frac{100 \cdot 4}{122 \cdot 4} = \frac{400}{488}$ — 4-ке көбейттік.

Жауабы: бөлшектің негізгі қасиеті бойынша: алымы мен бөлімі 3-ке, 2-ге және 4-ке көбейтілген.

№ 289

1) $\frac{6}{10} = \frac{3}{5}$; 2) $\frac{7}{28} = \frac{1}{4}$; 3) $\frac{15}{100} = \frac{3}{20}$; 4) $\frac{200}{500} = \frac{2}{5}$ теңдігі дұрыс па?

Шешуі.

1. $\frac{6 : 2}{10 : 2} = \frac{3}{5}$ — дұрыс.
2. $\frac{7 : 7}{28 : 7} = \frac{1}{4}$ — дұрыс.
3. $\frac{15 : 5}{100 : 5} = \frac{3}{20}$ — дұрыс.
4. $\frac{200 : 100}{500 : 100} = \frac{2}{5}$ — дұрыс.

Жауабы: төрт теңдік те дұрыс.

№ 290

$\frac{2}{9}$; $\frac{3}{11}$; $\frac{4}{27}$; $\frac{9}{22}$; $\frac{6}{27}$; $\frac{15}{55}$; $\frac{16}{44}$ жай бөлшектерінің арасынан тең бөлшектерді табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Әр бөлшекті соңына дейін қысқартып, салыстырамыз.

Шешуі.

• $\frac{6}{27} = \frac{2}{9}$ (3-ке бөлеміз);
• $\frac{15}{55} = \frac{3}{11}$ (5-ке бөлеміз);
• $\frac{16}{44} = \frac{4}{11}$ — жұбы жоқ;
• $\frac{4}{27}$ және $\frac{9}{22}$ қысқартылмайды, жұбы жоқ.

Жауабы: $\frac{2}{9} = \frac{6}{27}$; $\frac{3}{11} = \frac{15}{55}$.

№ 291

$\frac{1}{3}$; $\frac{2}{3}$; $\frac{1}{5}$; $\frac{2}{5}$; $\frac{4}{5}$; $\frac{1}{6}$; $\frac{5}{6}$; $\frac{3}{10}$; $\frac{7}{10}$; $\frac{9}{10}$ жай бөлшектерін бөлімі 30-ға тең жай бөлшекке келтіріңдер.

Қалай ойлаймыз. Толықтауыш көбейткіш: үштен үшін $30 : 3 = 10$, бестен үшін $30 : 5 = 6$, алтыдан үшін $30 : 6 = 5$, оннан үшін $30 : 10 = 3$.

Шешуі.

Жауабы: $\frac{10}{30}$; $\frac{20}{30}$; $\frac{6}{30}$; $\frac{12}{30}$; $\frac{24}{30}$; $\frac{5}{30}$; $\frac{25}{30}$; $\frac{9}{30}$; $\frac{21}{30}$; $\frac{27}{30}$.

№ 292

Мектептегі бір сабақ бір сағаттың қандай бөлігін құрайды? Жауапты жай бөлшекпен жазыңдар. Бұл бөлшек қысқартылатын бөлшек пе? Егер қысқартылса, қысқартуды орындаңдар.

Қалай ойлаймыз. Бір сағатта 60 минут бар. Қазақстанда сабақ әдетте 45 минут жалғасады (кейбір мектептерде — 40). Өз сабағыңның қанша жалғасатынын тексер.

Шешуі.

1. Сабақ 45 мин: $\frac{45}{60}$. ЕҮОБ(45; 60) = 15, $\frac{45}{60} = \frac{3}{4}$.
2. Егер сабақ 40 мин болса: $\frac{40}{60} = \frac{2}{3}$ (20-ға бөлеміз).

Жауабы: $\frac{45}{60} = \frac{3}{4}$ сағат (сабақ 40 мин болса — $\frac{40}{60} = \frac{2}{3}$).

№ 293

Маусым айы кібісе (толық) жылдың қандай бөлігін құрайды? Жауапты жай бөлшекпен жазыңдар. Бұл бөлшек қысқартылатын бөлшек пе? Егер қысқартылса, қысқартуды орындаңдар.

Шешуі. Маусымда 30 күн, кібісе жылда 366 күн. $\frac{30}{366}$: екі сан да 6-ға бөлінеді. $\frac{30 : 6}{366 : 6} = \frac{5}{61}$. 61 — жай сан, әрі қарай қысқартылмайды.

Жауабы: $\frac{30}{366} = \frac{5}{61}$.

№ 294

Жай бөлшектерді қысқартыңдар: 1) $\frac{2}{6}$; $\frac{3}{9}$; $\frac{4}{12}$; $\frac{5}{25}$; $\frac{6}{48}$; $\frac{10}{90}$; 2) $\frac{6}{14}$; $\frac{10}{22}$; $\frac{12}{14}$; $\frac{14}{16}$; $\frac{18}{28}$; $\frac{20}{26}$.

Қалай ойлаймыз. Бірінші қатарда алым өзі бөлімнің бөлгіші — соған бөлеміз. Екінші қатарда сандардың бәрі жұп — 2-ге бөлеміз.

Шешуі.

1. $\frac{1}{3}$; $\frac{1}{3}$; $\frac{1}{3}$; $\frac{1}{5}$; $\frac{1}{8}$; $\frac{1}{9}$;
2. $\frac{3}{7}$; $\frac{5}{11}$; $\frac{6}{7}$; $\frac{7}{8}$; $\frac{9}{14}$; $\frac{10}{13}$.

Жауабы: 1) $\frac{1}{3}$; $\frac{1}{3}$; $\frac{1}{3}$; $\frac{1}{5}$; $\frac{1}{8}$; $\frac{1}{9}$; 2) $\frac{3}{7}$; $\frac{5}{11}$; $\frac{6}{7}$; $\frac{7}{8}$; $\frac{9}{14}$; $\frac{10}{13}$.

№ 295

Жай бөлшектерді қысқартыңдар: 1) $\frac{6}{9}$; $\frac{12}{15}$; $\frac{18}{21}$; $\frac{30}{33}$; $\frac{24}{27}$; $\frac{36}{39}$; 2) $\frac{5}{15}$; $\frac{10}{35}$; $\frac{6}{18}$; $\frac{14}{49}$; $\frac{16}{40}$; $\frac{100}{200}$.

Шешуі.

1. Бәрін 3-ке бөлеміз: $\frac{2}{3}$; $\frac{4}{5}$; $\frac{6}{7}$; $\frac{10}{11}$; $\frac{8}{9}$; $\frac{12}{13}$.
2. $\frac{5}{15} = \frac{1}{3}$ (5-ке); $\frac{10}{35} = \frac{2}{7}$ (5-ке); $\frac{6}{18} = \frac{1}{3}$ (6-ға); $\frac{14}{49} = \frac{2}{7}$ (7-ге); $\frac{16}{40} = \frac{2}{5}$ (8-ге); $\frac{100}{200} = \frac{1}{2}$ (100-ге).

Жауабы: 1) $\frac{2}{3}$; $\frac{4}{5}$; $\frac{6}{7}$; $\frac{10}{11}$; $\frac{8}{9}$; $\frac{12}{13}$; 2) $\frac{1}{3}$; $\frac{2}{7}$; $\frac{1}{3}$; $\frac{2}{7}$; $\frac{2}{5}$; $\frac{1}{2}$.

№ 296

Жай бөлшектерді қысқартыңдар: 1) $\frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 6}$; 2) $\frac{2 \cdot 7}{9 \cdot 4}$; 3) $\frac{3 \cdot 5}{20 \cdot 2}$; 4) $\frac{4 \cdot 3}{9 \cdot 7}$.

Қалай ойлаймыз. Көбейтуге асықпа! Жоғарыдағы және төмендегі ортақ бөлгіші бар көбейткіштерді тауып, оларды қысқарт.

Шешуі.

1. 2 мен 6-ны 2-ге бөлеміз: $\frac{1 \cdot 5}{3 \cdot 3} = \frac{5}{9}$;
2. 2 мен 4-ті 2-ге бөлеміз: $\frac{1 \cdot 7}{9 \cdot 2} = \frac{7}{18}$;
3. 5 пен 20-ны 5-ке бөлеміз: $\frac{3 \cdot 1}{4 \cdot 2} = \frac{3}{8}$;
4. 3 пен 9-ды 3-ке бөлеміз: $\frac{4 \cdot 1}{3 \cdot 7} = \frac{4}{21}$.

Жауабы: $\frac{5}{9}$; $\frac{7}{18}$; $\frac{3}{8}$; $\frac{4}{21}$.

№ 297

Жай бөлшектерді қысқартыңдар: 1) $\frac{10 \cdot 3}{23 \cdot 10}$; 2) $\frac{10 \cdot 2}{21 \cdot 30}$; 3) $\frac{4 \cdot 5}{15 \cdot 16}$; 4) $\frac{8 \cdot 9}{27 \cdot 16}$.

Шешуі.

1. Жоғарыдағы және төмендегі ондықтар қысқарады: $\frac{3}{23}$;
2. 10 мен 30-ды 10-ға бөлеміз: $\frac{1 \cdot 2}{21 \cdot 3} = \frac{2}{63}$;
3. 4 пен 16-ны 4-ке, 5 пен 15-ті 5-ке бөлеміз: $\frac{1 \cdot 1}{3 \cdot 4} = \frac{1}{12}$;
4. 8 бен 16-ны 8-ге, 9 бен 27-ні 9-ға бөлеміз: $\frac{1 \cdot 1}{3 \cdot 2} = \frac{1}{6}$.

Жауабы: $\frac{3}{23}$; $\frac{2}{63}$; $\frac{1}{12}$; $\frac{1}{6}$.

№ 298

Егер мүмкін болса, қысқартуды орындаңдар: 1) $\frac{32}{46}$; 2) $\frac{10}{80}$; 3) $\frac{135}{315}$; 4) $\frac{142}{204}$; 5) $\frac{225}{425}$.

Шешуі.

1. $\frac{32}{46} = \frac{16}{23}$ (2-ге);
2. $\frac{10}{80} = \frac{1}{8}$ (10-ға);
3. $135 = 3^3 \cdot 5$, $315 = 3^2 \cdot 5 \cdot 7$, ЕҮОБ = 45: $\frac{135}{315} = \frac{3}{7}$;
4. $142 = 2 \cdot 71$, $204 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 17$: $\frac{142}{204} = \frac{71}{102}$;
5. ЕҮОБ(225; 425) = 25: $\frac{225}{425} = \frac{9}{17}$.

Жауабы: $\frac{16}{23}$; $\frac{1}{8}$; $\frac{3}{7}$; $\frac{71}{102}$; $\frac{9}{17}$.

№ 299

Егер мүмкін болса, қысқартуды орындаңдар: 1) $\frac{21}{49}$; 2) $\frac{41}{282}$; 3) $\frac{45}{702}$; 4) $\frac{23}{32}$; 5) $\frac{36}{54}$.

Шешуі.

1. $\frac{21}{49} = \frac{3}{7}$ (7-ге);
2. 41 — жай сан, ал $282 = 2 \cdot 3 \cdot 47$ санына 41 бөлінбейді: бөлшек қысқартылмайды;
3. $45 = 3^2 \cdot 5$, $702 = 2 \cdot 3^3 \cdot 13$, ЕҮОБ = 9: $\frac{45}{702} = \frac{5}{78}$;
4. 23 — жай сан, 32 оған бөлінбейді: қысқартылмайды;
5. ЕҮОБ(36; 54) = 18: $\frac{36}{54} = \frac{2}{3}$.

Жауабы: $\frac{3}{7}$; қысқартылмайды; $\frac{5}{78}$; қысқартылмайды; $\frac{2}{3}$.

№ 300

Тәулік айдың қандай бөлігін құрайды?

Қалай ойлаймыз. Айлардың ұзындығы әртүрлі: 30, 31, 28 немесе 29 күн.

Шешуі. 30 күндік айда тәулік — айдың $\frac{1}{30}$ бөлігі; 31 күндік айда — $\frac{1}{31}$; ақпанда — $\frac{1}{28}$ немесе $\frac{1}{29}$.

Жауабы: $\frac{1}{30}$ (немесе $\frac{1}{31}$, $\frac{1}{28}$, $\frac{1}{29}$ — қай ай екеніне байланысты).

№ 301

1) Торт тең 12 бөлікке бөлінген. Оның 8 бөлігі желінсе, онда торттың қанша бөлігі қалды? 2) Қарбыз тең бөліктерге кесілді. Оның 10 бөлігі желініп, 5 бөлігі қалды. Қарбыздың қандай бөлігі қалды?

Шешуі.

1. 12 бөліктің ішінен $12 - 8 = 4$ бөлік қалды: $\frac{4}{12} = \frac{1}{3}$.
2. Барлық бөлік $10 + 5 = 15$, қалғаны 5: $\frac{5}{15} = \frac{1}{3}$.

Жауабы: 1) торттың $\frac{1}{3}$ бөлігі; 2) қарбыздың $\frac{1}{3}$ бөлігі.

№ 302

Жер телімі тең атыздарға бөлінген. Екі атызға бұршақ, төрт атызға үрмебұршақ, ал алты атызға сәбіз себілді. 1) Бұршақ; 2) үрмебұршақ; 3) сәбіз жер телімінің қандай бөлігіне себілді?

Шешуі. Барлық атыз $2 + 4 + 6 = 12$.

1. Бұршақ: $\frac{2}{12} = \frac{1}{6}$;
2. үрмебұршақ: $\frac{4}{12} = \frac{1}{3}$;
3. сәбіз: $\frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.

Жауабы: $\frac{1}{6}$; $\frac{1}{3}$; $\frac{1}{2}$.

№ 303

$\frac{1527}{2103}$; $\frac{2545}{3505}$; $\frac{1018}{1402}$ жай бөлшектерінің қайсысын 1) 2-ге; 2) 3-ке; 3) 5-ке қысқартуға болады? Бөлшектерді қысқартыңдар. Қысқартуды орындағаннан кейін шыққан бөлшектің алымы мен бөлімі жай сан ба, әлде құрама сан ба? (304–309 жаттығуларын орындағанда жай сандар кестесін қолданыңдар.)

Қалай ойлаймыз. Бөлшектің екі санының да бөлінгіштік белгілерін тексереміз.

Шешуі.

1. 2-ге: тек $\frac{1018}{1402}$ (екеуі де жұп). $\frac{1018 : 2}{1402 : 2} = \frac{509}{701}$.
2. 3-ке: тек $\frac{1527}{2103}$ (цифрларының қосындысы 15 және 6). $\frac{1527 : 3}{2103 : 3} = \frac{509}{701}$.
3. 5-ке: тек $\frac{2545}{3505}$ (екеуі де 5-пен аяқталады). $\frac{2545 : 5}{3505 : 5} = \frac{509}{701}$.
4. Жай сандар кестесі бойынша 509 және 701 — жай сандар.

Жауабы: 2-ге — $\frac{1018}{1402}$, 3-ке — $\frac{1527}{2103}$, 5-ке — $\frac{2545}{3505}$; үшеуі де $\frac{509}{701}$ бөлшегіне тең; 509 және 701 — жай сандар.

💡 Сырт көзге мүлде басқа үш бөлшек бір-ақ бөлшек — $\frac{509}{701}$ болып шықты!

№ 304

Жай бөлшектің қысқармайтынын көрсетіңдер: 1) $\frac{13 + 4}{13 \cdot 4}$; 2) $\frac{23 + 6}{23 \cdot 6}$; 3) $\frac{31 + 10}{30 - 10}$.

Қалай ойлаймыз. Алымы мен бөлімін есептейміз. Алым жай сан болып, бөлім оған бөлінбесе — бөлшек қысқартылмайды.

Шешуі.

1. $\frac{17}{52}$: 17 — жай сан, $52 = 2^2 \cdot 13$ — ортақ бөлгіш жоқ;
2. $\frac{29}{138}$: 29 — жай сан, $138 = 2 \cdot 3 \cdot 23$ — ортақ бөлгіш жоқ;
3. $\frac{41}{20}$: 41 — жай сан, 20 оған бөлінбейді.

Жауабы: үш бөлшек те қысқартылмайды.

№ 305

Жай бөлшектің қысқармайтынын көрсетіңдер: 1) $\frac{71 - 10}{41 - 10}$; 2) $\frac{41 + 6}{53 \cdot 6}$; 3) $\frac{101 + 2}{109 - 2}$.

Шешуі.

1. $\frac{61}{31}$: екі сан да жай және әртүрлі;
2. $\frac{47}{318}$: 47 — жай сан, $318 = 2 \cdot 3 \cdot 53$;
3. $\frac{103}{107}$: екі сан да жай және әртүрлі.

Жауабы: үш бөлшек те қысқартылмайды.

№ 306

Жақшадағы амалдарды орындап, жай бөлшекті қысқартыңдар: 1) $\frac{7 \cdot (90 + 19)}{(63 + 94) \cdot 7}$; 2) $\frac{(735 - 622) \cdot 31}{31 \cdot (239 - 112)}$.

Қалай ойлаймыз. Жоғарыдағы және төмендегі бірдей көбейткіштерді (7 және 31) бірден қысқартамыз.

Шешуі.

1. $\frac{7 \cdot 109}{157 \cdot 7} = \frac{109}{157}$;
2. $\frac{113 \cdot 31}{31 \cdot 127} = \frac{113}{127}$.

Жауабы: $\frac{109}{157}$; $\frac{113}{127}$.

№ 307

Жақшадағы амалдарды орындап, жай бөлшекті қысқартыңдар: 1) $\frac{(111 + 172) \cdot 89}{(111 + 182) \cdot 89}$; 2) $\frac{(719 - 18) \cdot 137}{(719 - 10) \cdot 137}$.

Шешуі.

1. $\frac{283 \cdot 89}{293 \cdot 89} = \frac{283}{293}$;
2. $\frac{701 \cdot 137}{709 \cdot 137} = \frac{701}{709}$.

Жауабы: $\frac{283}{293}$; $\frac{701}{709}$.

№ 308

Жақшадағы амалдарды орындап, жай бөлшекті қысқартыңдар: 1) $\frac{(241 - 230) \cdot (487 + 222)}{(499 - 468) \cdot (1000 - 291)}$; 2) $\frac{(10000 - 9987) \cdot (528 + 379)}{(1996 - 1979) \cdot (10000 - 9093)}$.

Шешуі.

1. $\frac{11 \cdot 709}{31 \cdot 709} = \frac{11}{31}$;
2. $10000 - 9987 = 13$, $528 + 379 = 907$, $1996 - 1979 = 17$, $10000 - 9093 = 907$: $\frac{13 \cdot 907}{17 \cdot 907} = \frac{13}{17}$.

Жауабы: $\frac{11}{31}$; $\frac{13}{17}$.

№ 309

Жақшадағы амалдарды орындап, жай бөлшекті қысқартыңдар: 1) $\frac{(2000 - 1993) \cdot (1011 - 789)}{(2008 - 1989) \cdot (139 + 83)}$; 2) $\frac{(1002 - 997) \cdot (1233 - 678)}{(1111 - 1082) \cdot (477 + 78)}$.

Шешуі.

1. $\frac{7 \cdot 222}{19 \cdot 222} = \frac{7}{19}$;
2. $\frac{5 \cdot 555}{29 \cdot 555} = \frac{5}{29}$.

Жауабы: $\frac{7}{19}$; $\frac{5}{29}$.

№ 310

33-суретте берілген фигураның қандай бөлігі боялған? Жауабын бөлімдері әртүрлі жай бөлшектермен жазыңдар. Фигура 3 × 8 тор көзден тұрады.

Қалай ойлаймыз. Барлығы $3 \cdot 8 = 24$ тор көз, боялғаны $4 + 5 + 6 = 15$. Қысқартамыз және көбейтеміз — бір бөлшектің әртүрлі жазбаларын аламыз.

Шешуі. $\frac{15}{24}$; 3-ке қысқартамыз: $\frac{5}{8}$; $\frac{5}{8}$ бөлшегін 2-ге көбейтеміз: $\frac{10}{16}$.

Жауабы: $\frac{15}{24} = \frac{5}{8} = \frac{10}{16}$.

B деңгейі

№ 311

1) $\frac{a}{9}$; 2) $\frac{a}{16}$; 3) $\frac{a}{24}$; 4) $\frac{a}{30}$ бөлшегі қысқартылатындай етіп $a$ әрпінің орнына қоюға болатын бөлімінің мәні неден кем $a$-ның барлық мәндерін жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. $a$ мен бөлімнің ортақ жай бөлгіші болса, бөлшек қысқартылады. $9 = 3^2$, $16 = 2^4$, $24 = 2^3 \cdot 3$, $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$.

Шешуі.

1. $\frac{a}{9}$: $a$ 3-ке бөлінеді — 3, 6;
2. $\frac{a}{16}$: $a$ жұп — 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14;
3. $\frac{a}{24}$: $a$ 2-ге немесе 3-ке бөлінеді — 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22;
4. $\frac{a}{30}$: $a$ 2-ге, 3-ке немесе 5-ке бөлінеді — 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28.

Жауабы: тізімдер жоғарыда.

💡 «Артық» сандарды іздеген оңайырақ. 30 үшін тек $a$ = 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 қысқартылмайды. 1-ден 29-ға дейінгі қалғандарының бәрі келеді.

№ 312

1) $\frac{4}{9} = \frac{x}{36}$; 2) $\frac{5}{12} = \frac{25}{x}$; 3) $\frac{x}{8} = \frac{21}{56}$; 4) $\frac{3}{x} = \frac{75}{100}$ теңдігі дұрыс болатындай $x$-тің орнына қандай натурал санды жазуға болады?

Қалай ойлаймыз. Белгілі санның неше есе өзгергенін табамыз да, екіншісін де дәл солай өзгертеміз.

Шешуі.

1. $36 : 9 = 4$, $x = 4 \cdot 4 = 16$;
2. $25 : 5 = 5$, $x = 12 \cdot 5 = 60$;
3. $\frac{21}{56} = \frac{3}{8}$ (7-ге), $x = 3$;
4. $\frac{75}{100} = \frac{3}{4}$ (25-ке), $x = 4$.

Жауабы: 16; 60; 3; 4.

№ 313

Жай бөлшекті қысқартыңдар: 1) $\frac{3a}{33c}$; 2) $\frac{12x}{45y}$; 3) $\frac{20b}{320a}$; 4) $\frac{24y}{18a}$.

Қалай ойлаймыз. Әріптер әртүрлі — оларға тиіспейміз. Тек сандарды қысқартамыз.

Шешуі.

1. 3-ке: $\frac{a}{11c}$;
2. 3-ке: $\frac{4x}{15y}$;
3. 20-ға: $\frac{b}{16a}$;
4. 6-ға: $\frac{4y}{3a}$.

Жауабы: $\frac{a}{11c}$; $\frac{4x}{15y}$; $\frac{b}{16a}$; $\frac{4y}{3a}$.

№ 314

Жай бөлшекті қысқартыңдар: 1) $\frac{2b}{44a}$; 2) $\frac{16x}{42c}$; 3) $\frac{80a}{350x}$; 4) $\frac{36a}{22b}$.

Шешуі.

1. 2-ге: $\frac{b}{22a}$;
2. 2-ге: $\frac{8x}{21c}$;
3. 10-ға: $\frac{8a}{35x}$;
4. 2-ге: $\frac{18a}{11b}$.

Жауабы: $\frac{b}{22a}$; $\frac{8x}{21c}$; $\frac{8a}{35x}$; $\frac{18a}{11b}$.

№ 315

Берілген теңдікті тура теңдікке айналдыратын $x$ және $y$-тің мәндерін табыңдар: 1) $\frac{3}{5} = \frac{x}{75}$; 2) $\frac{7}{y} = \frac{28}{36}$; 3) $\frac{6}{11} = \frac{54}{x}$.

Шешуі.

1. $75 : 5 = 15$, $x = 3 \cdot 15 = 45$;
2. $28 : 7 = 4$, $y = 36 : 4 = 9$;
3. $54 : 6 = 9$, $x = 11 \cdot 9 = 99$.

Жауабы: 45; 9; 99.

№ 316

Берілген теңдікті тура теңдікке айналдыратын $x$ және $y$-тің мәндерін табыңдар: 1) $\frac{3}{8} = \frac{y}{88}$; 2) $\frac{x}{48} = \frac{3}{8}$; 3) $\frac{24}{78} = \frac{12}{y}$.

Шешуі.

1. $88 : 8 = 11$, $y = 3 \cdot 11 = 33$;
2. $48 : 8 = 6$, $x = 3 \cdot 6 = 18$;
3. $24 : 12 = 2$, $y = 78 : 2 = 39$.

Жауабы: 33; 18; 39.

№ 317

Бөлшекті қысқартыңдар: 1) $\frac{2^2 \cdot 7}{2 \cdot 7^2}$; 2) $\frac{3^2 \cdot 5^4}{3 \cdot 5^2}$; 3) $\frac{3^2 \cdot 7 \cdot 13^2}{3 \cdot 11 \cdot 13^3}$.

Қалай ойлаймыз. Дәреже — қайталанған көбейткіш. Жоғарыдағы және төмендегі бірдей көбейткіштерден кіші дәреженің көрсеткіші қанша болса, сонша сызып тастаймыз.

Шешуі.

1. $\frac{2 \cdot 2 \cdot 7}{2 \cdot 7 \cdot 7}$: бір 2-ні және бір 7-ні сызып тастаймыз — $\frac{2}{7}$;
2. $\frac{3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5}{3 \cdot 5 \cdot 5}$: $3 \cdot 5^2 = 75$ қалады;
3. бір 3-ті және екі 13-ті сызып тастаймыз: $\frac{3 \cdot 7}{11 \cdot 13} = \frac{21}{143}$.

Жауабы: $\frac{2}{7}$; 75; $\frac{21}{143}$.

№ 318

Бөлшекті қысқартыңдар: 1) $\frac{2^5 \cdot 5^2 \cdot 17}{2^3 \cdot 5^2 \cdot 17}$; 2) $\frac{3^2 \cdot 11 \cdot 17^3}{3 \cdot 14 \cdot 17^3}$; 3) $\frac{2^4 \cdot 3^3 \cdot 5^4}{2^2 \cdot 3^4 \cdot 5^4}$.

Шешуі.

1. $5^2$ және 17 түгел қысқарады, екіліктерден $2^2$ қалады: жауабы 4;
2. $17^3$ қысқарады, үштіктерден біреуі қалады: $\frac{3 \cdot 11}{14} = \frac{33}{14}$;
3. $5^4$ қысқарады; жоғарыда екіліктерден $2^2$, төменде үштіктерден біреуі қалады: $\frac{4}{3}$.

Жауабы: 4; $\frac{33}{14}$; $\frac{4}{3}$.

№ 319

Бөлшекті қысқартыңдар: 1) $\frac{7 \cdot 5^2 \cdot 13^4}{7^2 \cdot 5^2 \cdot 13^3}$; 2) $\frac{5^3 \cdot 13^3 \cdot 19^2}{5^4 \cdot 13^2 \cdot 19^2}$; 3) $\frac{7^5 \cdot 23^2 \cdot 19^2}{7^4 \cdot 23^3 \cdot 19^2}$.

Шешуі.

1. Жоғарыда бір 13, төменде бір 7 қалады: $\frac{13}{7}$;
2. жоғарыда бір 13, төменде бір 5 қалады: $\frac{13}{5}$;
3. жоғарыда бір 7, төменде бір 23 қалады: $\frac{7}{23}$.

Жауабы: $\frac{13}{7}$; $\frac{13}{5}$; $\frac{7}{23}$.

C деңгейі

№ 320

Үлестірімділік қасиетті қолданып, бөлшектің алымын көбейтінді түрінде жазыңдар және бөлшекті қысқартыңдар: 1) $\frac{10 \cdot 12 + 10 \cdot 6}{9 \cdot 30}$; 2) $\frac{19 \cdot 4 + 19 \cdot 9}{38 \cdot 26}$; 3) $\frac{17 \cdot 8 - 17 \cdot 3}{17 \cdot 6}$.

Қалай ойлаймыз. Үлестірімділік қасиет: $a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c)$. Алым көбейтінді болады — сонда оны қысқартуға болады.

Шешуі.

1. $\frac{10 \cdot (12 + 6)}{9 \cdot 30} = \frac{10 \cdot 18}{9 \cdot 30}$. 10 мен 30-ды 10-ға, 18 мен 9-ды 9-ға бөлеміз: $\frac{2}{3}$;
2. $\frac{19 \cdot 13}{38 \cdot 26}$. 19 бен 38-ді 19-ға, 13 пен 26-ны 13-ке бөлеміз: $\frac{1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4}$;
3. $\frac{17 \cdot 5}{17 \cdot 6} = \frac{5}{6}$.

Жауабы: $\frac{2}{3}$; $\frac{1}{4}$; $\frac{5}{6}$.

⚠️ Жиі кететін қате. Қосылғышты қысқартуға болмайды! $\frac{10 \cdot 12 + 10 \cdot 6}{9 \cdot 30}$ бөлшегінде алдымен алымын көбейтінді етіп жина, содан кейін ғана қысқарт.

№ 321

Үлестірімділік қасиетті қолданып, бөлшектің алымын көбейтінді түрінде жазыңдар және бөлшекті қысқартыңдар: 1) $\frac{8 \cdot 5 + 8 \cdot 2}{28 \cdot 6}$; 2) $\frac{16 \cdot 28 - 16 \cdot 3}{16 \cdot 20}$; 3) $\frac{9a + 9b}{27c}$.

Шешуі.

1. $\frac{8 \cdot 7}{28 \cdot 6} = \frac{56}{168} = \frac{1}{3}$;
2. $\frac{16 \cdot 25}{16 \cdot 20} = \frac{25}{20} = \frac{5}{4}$;
3. $\frac{9 \cdot (a + b)}{27c} = \frac{a + b}{3c}$.

Жауабы: $\frac{1}{3}$; $\frac{5}{4}$; $\frac{a + b}{3c}$.

№ 322

Қысқартылатын бөлшек болатындай $x$ әрпінің орнына (бөлімінен артық емес) қандай натурал сандарды қоюға болады: 1) $\frac{x}{10}$; 2) $\frac{x}{15}$; 3) $\frac{x}{12}$; 4) $\frac{x}{20}$?

Қалай ойлаймыз. № 311 сияқты, тек енді $x$ бөліміне тең болуы мүмкін: $\frac{10}{10}$ бөлшегі де қысқартылады.

Шешуі.

1. $10 = 2 \cdot 5$: 2, 4, 5, 6, 8, 10;
2. $15 = 3 \cdot 5$: 3, 5, 6, 9, 10, 12, 15;
3. $12 = 2^2 \cdot 3$: 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12;
4. $20 = 2^2 \cdot 5$: 2, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20.

Жауабы: тізімдер жоғарыда.

Жаңа тақырыпты меңгеруге дайындаламыз

№ 323

Қалдықпен бөлудің дұрыстығын тексеріңдер: 1) $37 : 4 = 8$ (қалд. 5); 2) $67 : 9 = 7$ (қалд. 4); 3) $154 : 12 = 12$ (қалд. 10); 4) $170 : 13 = 13$ (қалд. 1).

Қалай ойлаймыз. Екі тексеру: қалдық бөлгіштен кіші болуы керек, ал «бөлгіш · бөлінді + қалдық» бөлінгішті беруі керек.

Шешуі.

1. 5 қалдығы 4 бөлгіштен артық — қате. Дұрысы: $37 : 4 = 9$ (қалд. 1);
2. $9 \cdot 7 + 4 = 67$, $4 < 9$ — дұрыс;
3. $12 \cdot 12 + 10 = 154$, $10 < 12$ — дұрыс;
4. $13 \cdot 13 + 1 = 170$, $1 < 13$ — дұрыс.

Жауабы: тек біріншісі қате (қалдық бөлгіштен артық); қалғандары дұрыс.

№ 324

1) 227-ні 15-ке; 2) 260-ты 16-ға; 3) 371-ді 19-ға; 4) 402-ні 20-ға бөлуді қалдықпен орындаңдар.

Шешуі.

1. $15 \cdot 15 = 225$: $227 : 15 = 15$ (қалд. 2);
2. $16 \cdot 16 = 256$: $260 : 16 = 16$ (қалд. 4);
3. $19 \cdot 19 = 361$: $371 : 19 = 19$ (қалд. 10);
4. $20 \cdot 20 = 400$: $402 : 20 = 20$ (қалд. 2).

Жауабы: 15 (қалд. 2); 16 (қалд. 4); 19 (қалд. 10); 20 (қалд. 2).

№ 325

Қалдықпен бөліңдер және тексеруді орындаңдар: 1) $42,305 : 6$; 2) $56,327 : 8$; 3) $21,283 : 7$; 4) $322,802 : 4$.

Шешуі.

1. $42,305 : 6 = 7050$ (қалд. 5). Тексеру: $6 \cdot 7050 + 5 = 42,305$;
2. $56,327 : 8 = 7040$ (қалд. 7). Тексеру: $8 \cdot 7040 + 7 = 56,327$;
3. $21,283 : 7 = 3040$ (қалд. 3). Тексеру: $7 \cdot 3040 + 3 = 21,283$;
4. $322,802 : 4 = 80,700$ (қалд. 2). Тексеру: $4 \cdot 80,700 + 2 = 322,802$.

Жауабы: 7050 (қалд. 5); 7040 (қалд. 7); 3040 (қалд. 3); 80 700 (қалд. 2).

Жадынама

• Алымы мен бөлімін бірдей санға көбейтеміз немесе бөлеміз — бөлшек өзгермейді.
• Жаңа бөлім ескі бөлімге еселік болуы керек. Көбейткіш = жаңа : ескі.
• Қысқартуды қадамдап (бөлінгіштік белгілерімен), жіктеу арқылы немесе бірден ЕҮОБ-қа бөліп орындауға болады.
• Көбейтіндіде көбейткіштерді қысқартамыз, қосындыда — ортақ көбейткішті жақшаның алдына шығарғаннан кейін ғана.
• Қысқартылмайтын бөлшекке дейін қысқартамыз.

Шағын тест