§ 18. Дұрыс және бұрыс жай бөлшектер. Аралас сандар

Математика, 5 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2017). 3 тарау: Жай бөлшектер және оларға амалдар қолдану. 92–95-беттер.

Нені үйренесің

• Дұрыс бөлшекті бұрыс бөлшектен бір қарағанда ажыратуды.
• $\frac{7}{7} = 1$ екенін түсінуді.
• $3\frac{1}{2}$ сияқты аралас сандарды оқуды және жазуды.
• Аралас санның бүтін және бөлшек бөлігін атауды.

Ой қозғау

Бұл — өткен сабақтағы № 323–325 жаттығулар: қалдықпен бөлуді еске түсіреміз. Бүгін ол керек болады.

• $37 : 4 = 8$ (қалд. 5) дұрыс па? Жоқ! 5 қалдығы 4 бөлгіштен артық. Дұрысы: $37 : 4 = 9$ (қалд. 1).
• Ал $67 : 9 = 7$ (қалд. 4) ше? Дұрыс: $9 \cdot 7 + 4 = 67$.
• $154 : 12 = 12$ (қалд. 10) және $170 : 13 = 13$ (қалд. 1) ше? Екеуі де дұрыс: $144 + 10 = 154$, $169 + 1 = 170$.
• 227-ні 15-ке, 260-ты 16-ға, 371-ді 19-ға, 402-ні 20-ға қалдықпен бөл. 15 (қалд. 2); 16 (қалд. 4); 19 (қалд. 10); 20 (қалд. 2).
• $42,305 : 6$ ше? 7050 (қалд. 5). Тексеру: $6 \cdot 7050 + 5 = 42,305$. Қалғандары: $56,327 : 8 = 7040$ (қалд. 7); $21,283 : 7 = 3040$ (қалд. 3); $322,802 : 4 = 80,700$ (қалд. 2).

💡 Қалдықпен бөлудің басты ережесі: қалдық әрқашан бөлгіштен кіші. Мұны есіңде сақта — келесі сабақта бұл аралас сандардың кілті болады.

Тақырыпты талдаймыз

Бөлшектер «қарапайым» және «ашқарақ» болады

$\frac{2}{3}$, $\frac{7}{10}$, $\frac{19}{20}$ бөлшектеріне қара. Олардың әрқайсысының алымы бөлімінен кіші. Мұндай бөлшектер бүтіннен кіші, оларды дұрыс бөлшектер деп атайды.

Енді $\frac{5}{3}$, $\frac{9}{4}$, $\frac{17}{15}$, $\frac{18}{18}$ бөлшектерін қарайық. Мұнда алымы бөлімінен үлкен немесе оған тең. Бұлар — бұрыс бөлшектер: олар бүтінге тең немесе тіпті бүтіннен үлкен.

📌 Дұрыс бөлшек: алымы бөлімінен кіші. Бұрыс бөлшек: алымы бөлімінен үлкен немесе оған тең.

$\frac{6}{6}$ неге 1-ге тең

Нанды 6 тең бөлікке кесіп, 6-ауын да ал. Қолыңда тағы да бүтін нан! Сол сияқты $\frac{14}{14} = 1$ және $\frac{127}{127} = 1$. Жалпы түрде: $\frac{a}{a} = 1$. Тек $a$ нөл болмауы керек — нөлге бөлуге болмайды.

Үш бүтін жарты құлпынай

Әсем мен Зарина 7 құлпынайды тең бөлісуі керек. Әр құлпынайды тең екі бөлікке кесуге болады: 14 жарты шығады, әрқайсысына 7-ден келеді. Демек, әрқайсысында құлпынайдың $\frac{7}{2}$ бөлігі бар: $7 : 2 = \frac{7}{2}$.

Ал былай да болады: алдымен әрқайсысы үш тұтас құлпынайдан алады, соңғысын кеседі. Сонда әрқайсысында $3 + \frac{1}{2}$ құлпынай болады. Бұл қосындыны қысқаша былай жазады: $3\frac{1}{2}$, оқылуы — «үш бүтін екіден бір».

📌 Жазылуында бүтін бөлігі және бөлшек бөлігі бар санды аралас сан деп атайды. $3\frac{1}{2}$ санында бүтін бөлігі — 3, бөлшек бөлігі — $\frac{1}{2}$.

⚠️ Жиі кететін қате. $3\frac{1}{2}$ — бұл «3 көбейту $\frac{1}{2}$» емес! Бөліктердің арасында қосу таңбасы жасырынған: $3\frac{1}{2} = 3 + \frac{1}{2}$.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Кешкі астың үстінде сұраңыз: «Сен екі тұтас баурсақ және тағы жарты баурсақ жедің — мұны қалай жазамыз?» Егер бала $2\frac{1}{2}$ деп жазса, тақырып түсінілген.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Қандай бөлшекті дұрыс бөлшек деп атайды? Алымы бөлімінен кіші бөлшекті. Мысалы, $\frac{3}{5}$.
• Қандай бөлшекті бұрыс бөлшек деп атайды? Алымы бөлімінен үлкен немесе оған тең бөлшекті: $\frac{7}{5}$, $\frac{5}{5}$.
• Бөлшек қашан 1-ге тең болады? Алымы бөліміне тең болғанда: $\frac{a}{a} = 1$.
• Қандай сандарды аралас сан деп атайды? Бүтін және бөлшек бөліктен тұратын сандарды: $4\frac{5}{7}$.
• Бүтін және бөлшек бөліктің арасындағы қандай таңба жазылмайды? Қосу таңбасы: $4\frac{5}{7} = 4 + \frac{5}{7}$.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 326

$\frac{1}{2}$; $\frac{3}{8}$; $\frac{6}{5}$; $\frac{7}{11}$; $\frac{19}{20}$; $\frac{23}{18}$; $\frac{11}{41}$; $\frac{7}{5}$; $\frac{201}{200}$; $\frac{91}{91}$ жай бөлшектерінің қайсысы 1) дұрыс; 2) бұрыс жай бөлшектер болатынын анықтаңдар.

Қалай ойлаймыз. Алымын (үстін) бөліміне (астына) салыстырамыз. Үсті кіші болса — бөлшек дұрыс.

Шешуі.

1. Дұрыс бөлшектер: $\frac{1}{2}$, $\frac{3}{8}$, $\frac{7}{11}$, $\frac{19}{20}$, $\frac{11}{41}$.
2. Бұрыс бөлшектер: $\frac{6}{5}$, $\frac{23}{18}$, $\frac{7}{5}$, $\frac{201}{200}$, $\frac{91}{91}$.

Жауабы: 1) $\frac{1}{2}$; $\frac{3}{8}$; $\frac{7}{11}$; $\frac{19}{20}$; $\frac{11}{41}$; 2) $\frac{6}{5}$; $\frac{23}{18}$; $\frac{7}{5}$; $\frac{201}{200}$; $\frac{91}{91}$.

№ 327

$3\frac{1}{4}$; $8\frac{5}{7}$; $7\frac{1}{12}$; $9\frac{7}{9}$; $41\frac{7}{16}$; $81\frac{13}{25}$ аралас сандарын оқыңдар. Осы сандардың бүтін және бөлшек бөліктерін атаңдар.

Шешуі.

Жауабы: кестеде.

№ 328

1) Екі бүтін бестен үш; 2) алты бүтін тоғыздан төрт; 3) он төрт бүтін жүзден үш; 4) жүз бүтін оннан бір; 5) жиырма бес бүтін жиырма бестен жиырма үш; 6) алты жүз бүтін жүзден алты сандарын жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. «Бүтін» сөзінің алдындағы сан — бүтін бөлігі. Одан кейін бөлімі мен алымы: «бестен үш» — бұл $\frac{3}{5}$.

Шешуі. 1) $2\frac{3}{5}$; 2) $6\frac{4}{9}$; 3) $14\frac{3}{100}$; 4) $100\frac{1}{10}$; 5) $25\frac{23}{25}$; 6) $600\frac{6}{100}$.

Жауабы: $2\frac{3}{5}$; $6\frac{4}{9}$; $14\frac{3}{100}$; $100\frac{1}{10}$; $25\frac{23}{25}$; $600\frac{6}{100}$.

№ 329

1) Алымы 7 болатын барлық бұрыс бөлшектерді атаңдар; 2) бөлімі 11 болатын барлық дұрыс бөлшектерді атаңдар; 3) мәні 1-ге тең болатын бірнеше бөлшекті атаңдар.

Қалай ойлаймыз. Бұрыс бөлшектің бөлімі алымынан артық емес. Демек, алымы 7 болса, бөлімі 1-ден 7-ге дейін болуы мүмкін.

Шешуі.

1. $\frac{7}{1}$, $\frac{7}{2}$, $\frac{7}{3}$, $\frac{7}{4}$, $\frac{7}{5}$, $\frac{7}{6}$, $\frac{7}{7}$ — барлығы 7 бөлшек.
2. Алымы 1-ден 10-ға дейін: $\frac{1}{11}$, $\frac{2}{11}$, $\frac{3}{11}$, …, $\frac{10}{11}$ — барлығы 10 бөлшек.
3. Мысалы, $\frac{2}{2}$, $\frac{5}{5}$, $\frac{100}{100}$.

Жауабы: 1) $\frac{7}{1}$; $\frac{7}{2}$; …; $\frac{7}{7}$; 2) $\frac{1}{11}$; $\frac{2}{11}$; …; $\frac{10}{11}$; 3) мысалы, $\frac{2}{2}$; $\frac{5}{5}$; $\frac{100}{100}$.

№ 330

Қосындысын аралас сан түрінде жазып, шыққан аралас санды оқыңдар: 1) $2 + \frac{1}{4}$; 2) $4 + \frac{2}{7}$; 3) $1 + \frac{3}{11}$; 4) $3 + \frac{4}{7}$; 5) $8 + \frac{8}{9}$; 6) $9 + \frac{2}{5}$; 7) $205 + \frac{35}{81}$; 8) $20 + \frac{1}{9}$; 9) $59 + \frac{1}{9}$; 10) $61 + \frac{8}{9}$; 11) $88 + \frac{7}{25}$; 12) $7 + \frac{3}{5}$.

Қалай ойлаймыз. «Қосу» таңбасын алып тастаймыз — бітті.

Шешуі. 1) $2\frac{1}{4}$; 2) $4\frac{2}{7}$; 3) $1\frac{3}{11}$; 4) $3\frac{4}{7}$; 5) $8\frac{8}{9}$; 6) $9\frac{2}{5}$; 7) $205\frac{35}{81}$; 8) $20\frac{1}{9}$; 9) $59\frac{1}{9}$; 10) $61\frac{8}{9}$; 11) $88\frac{7}{25}$; 12) $7\frac{3}{5}$. Мысалы, былай оқимыз: «екі жүз бес бүтін сексен бірден отыз бес».

Жауабы: $2\frac{1}{4}$; $4\frac{2}{7}$; $1\frac{3}{11}$; $3\frac{4}{7}$; $8\frac{8}{9}$; $9\frac{2}{5}$; $205\frac{35}{81}$; $20\frac{1}{9}$; $59\frac{1}{9}$; $61\frac{8}{9}$; $88\frac{7}{25}$; $7\frac{3}{5}$.

№ 331

Аралас санды оның бүтін және бөлшек бөлігінің қосындысы ретінде жазыңдар: 1) $4\frac{6}{7}$; 2) $1\frac{11}{13}$; 3) $9\frac{25}{109}$; 4) $12\frac{19}{52}$; 5) $17\frac{62}{63}$; 6) $6\frac{4}{7}$; 7) $3\frac{3}{20}$; 8) $2\frac{27}{100}$; 9) $60\frac{91}{207}$; 10) $35\frac{85}{209}$.

Қалай ойлаймыз. Бұл — № 330 керісінше: жасырынған қосуды қайтарамыз.

Шешуі. 1) $4 + \frac{6}{7}$; 2) $1 + \frac{11}{13}$; 3) $9 + \frac{25}{109}$; 4) $12 + \frac{19}{52}$; 5) $17 + \frac{62}{63}$; 6) $6 + \frac{4}{7}$; 7) $3 + \frac{3}{20}$; 8) $2 + \frac{27}{100}$; 9) $60 + \frac{91}{207}$; 10) $35 + \frac{85}{209}$.

Жауабы: жазбалар жоғарыда.

№ 332

1) Бөлімі 9 болатын екі дұрыс бөлшекті; 2) бөлімі 9 болатын екі бұрыс бөлшекті; 3) бөлімі 9 болатын, мәні бірге тең бөлшекті жазыңдар.

Шешуі. 1) Алымы 9-дан кіші: мысалы, $\frac{2}{9}$ және $\frac{5}{9}$. 2) Алымы 9 немесе одан үлкен: мысалы, $\frac{10}{9}$ және $\frac{13}{9}$. 3) Мұндай бөлшек біреу: $\frac{9}{9}$.

Жауабы: мысалы, $\frac{2}{9}$, $\frac{5}{9}$; $\frac{10}{9}$, $\frac{13}{9}$; $\frac{9}{9}$.

№ 333

Алымы мен бөлімінің қосындысының мәні 20-ға тең болатын үш дұрыс және үш бұрыс бөлшекті жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. 20-ны екі қосылғышқа жіктейміз. Кішісін үстіне жазсақ — бөлшек дұрыс, үлкенін үстіне жазсақ — бұрыс.

Шешуі.

1. $1 + 19$, $3 + 17$, $9 + 11$ → дұрыс бөлшектер $\frac{1}{19}$, $\frac{3}{17}$, $\frac{9}{11}$.
2. Аударамыз: $\frac{19}{1}$, $\frac{17}{3}$, $\frac{11}{9}$ — бұрыс бөлшектер. $\frac{10}{10}$ да келеді.

Жауабы: мысалы, $\frac{1}{19}$, $\frac{3}{17}$, $\frac{9}{11}$ және $\frac{19}{1}$, $\frac{17}{3}$, $\frac{11}{9}$.

№ 334

1) Алымы бөлімінен 4-ке артық; 2) бөлімі алымынан 15-ке артық; 3) алымы бөлімінен 5 есе артық; 4) бөлімі алымынан 3 есе артық үш бөлшекті жазыңдар. Шыққан жай бөлшектердің қайсысы дұрыс бөлшек, қайсысы бұрыс бөлшек болады?

Шешуі.

1. $\frac{5}{1}$, $\frac{7}{3}$, $\frac{9}{5}$ — бұрыс (үсті үлкен).
2. $\frac{1}{16}$, $\frac{2}{17}$, $\frac{5}{20}$ — дұрыс.
3. $\frac{5}{1}$, $\frac{10}{2}$, $\frac{15}{3}$ — бұрыс.
4. $\frac{1}{3}$, $\frac{2}{6}$, $\frac{5}{15}$ — дұрыс.

Жауабы: 1 және 3-тармақтарда бөлшектер бұрыс, 2 және 4-тармақтарда — дұрыс (мысалдар жоғарыда).

№ 335

1; 3; 17 натурал сандарын бөлімі 1) 1; 2) 2; 3) 3; 4) 10; 5) 100 болатын бөлшектер түрінде жазыңдар. Жазылған бөлшектердің қайсысы дұрыс, қайсысы бұрыс болатынын анықтаңдар.

Қалай ойлаймыз. $n$ саны — $n$ бүтін. Бір бүтінде $\frac{1}{d}$ болатын $d$ бөлік бар. Демек, алымы $n \cdot d$-ға тең.

Шешуі.

Жауабы: бөлшектер кестеде; олардың бәрі бұрыс — әрқайсысы 1-ге тең немесе одан үлкен.

№ 336

$\frac{14}{2}$; $\frac{56}{4}$; $\frac{35}{7}$; $\frac{120}{20}$; $\frac{88}{8}$; $\frac{98}{7}$; $\frac{60}{15}$; $\frac{207}{9}$; $\frac{420}{60}$; $\frac{609}{203}$ бөлшектерін натурал санмен алмастырыңдар.

Қалай ойлаймыз. Бөлшек сызығы — бөлу таңбасы. Алымын бөліміне бөлеміз.

Шешуі. $14 : 2 = 7$; $56 : 4 = 14$; $35 : 7 = 5$; $120 : 20 = 6$; $88 : 8 = 11$; $98 : 7 = 14$; $60 : 15 = 4$; $207 : 9 = 23$; $420 : 60 = 7$; $609 : 203 = 3$.

Жауабы: 7; 14; 5; 6; 11; 14; 4; 23; 7; 3.

B деңгейі

№ 337

Мына сандарды жазыңдар: 1) бөлімі 4-ке тең, алымы бөлімінен 1-ге кем, ал бүтін бөлігі бөлімінен 2 есе артық; 2) бүтін бөлігі 13-ке тең, бөлімі одан 5-ке артық, ал алымы бөлімінен 7-ге кем; 3) бөлімі 19-ға тең және алымы мен бүтін бөлігінен 2-ге артық; 4) алымы 49-ға тең және бөлімінен 1-ге кем, ал бүтін бөлігі бөлімі мен алымының қосындысына тең болатын аралас сандарды.

Қалай ойлаймыз. Кезекпен бөлімін, алымын және бүтін бөлігін табамыз, сосын санды жинаймыз.

Шешуі.

1. Бөлімі 4, алымы $4 - 1 = 3$, бүтін бөлігі $4 \cdot 2 = 8$ → $8\frac{3}{4}$.
2. Бүтін бөлігі 13, бөлімі $13 + 5 = 18$, алымы $18 - 7 = 11$ → $13\frac{11}{18}$.
3. Бөлімі 19, алымы мен бүтін бөлігі $19 - 2 = 17$ → $17\frac{17}{19}$.
4. Алымы 49, бөлімі $49 + 1 = 50$, бүтін бөлігі $49 + 50 = 99$ → $99\frac{49}{50}$.

Жауабы: $8\frac{3}{4}$; $13\frac{11}{18}$; $17\frac{17}{19}$; $99\frac{49}{50}$.

№ 338

$x$-тің қандай мәнінде 1) $\frac{10 + x}{16}$ жай бөлшегі дұрыс; 2) $\frac{18}{x + 11}$ жай бөлшегі бұрыс бөлшек болады?

Қалай ойлаймыз. Дұрыс бөлшекте үсті астынан кіші. Бұрыс бөлшекте үсті астынан үлкен немесе оған тең. $x$-ті 0, 1, 2, … сандарының арасынан таңдаймыз.

Шешуі.

1. $10 + x < 16$ болу керек, яғни $x < 6$: $x = 0, 1, 2, 3, 4, 5$.
2. $18 \ge x + 11$ болу керек, яғни $x \le 7$: $x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$.

Жауабы: 1) $x = 0; 1; 2; 3; 4; 5$; 2) $x = 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7$.

№ 339

$n$-нің қандай натурал мәнінде 1) $\frac{11 - n}{24}$ жай бөлшегі дұрыс; 2) $\frac{15}{9 - n}$ жай бөлшегі бұрыс бөлшек болады?

Қалай ойлаймыз. Бөлшектің алымы мен бөлімі натурал сандар, яғни 1-ден кем емес.

Шешуі.

1. $11 - n$ әрқашан 24-тен кіші. Бірақ алым 1-ден кем болмауы керек, демек, $n \le 10$. $n = 1, 2, …, 10$ келеді.
2. Бөлім $9 - n$ 1-ден кем емес, демек, $n \le 8$. Сонымен бірге бөлім 8-ден артық емес, ал 15 одан үлкен. $n = 1, 2, …, 8$ келеді.

Жауабы: 1) $n = 1; 2; …; 10$; 2) $n = 1; 2; …; 8$.

C деңгейі

№ 340

Бөлімі ең кіші екітаңбалы жай сан, ал алымдары жай сандар болатын барлық дұрыс бөлшектерді жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Ең кіші екітаңбалы жай сан — 11. 11-ден кіші жай сандар: 2, 3, 5, 7.

Шешуі. $\frac{2}{11}$, $\frac{3}{11}$, $\frac{5}{11}$, $\frac{7}{11}$.

Жауабы: $\frac{2}{11}$; $\frac{3}{11}$; $\frac{5}{11}$; $\frac{7}{11}$.

№ 341

Алымы ЕҮОБ (34; 85), ал бөлімдері 3 санына еселіктер болатын барлық бұрыс бөлшектерді жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Алдымен алымын тап, сосын одан артық емес бөлімдерді таңда.

Шешуі. ЕҮОБ (34; 85) = 17. Бөлімдері: 3, 6, 9, 12, 15.

Жауабы: $\frac{17}{3}$; $\frac{17}{6}$; $\frac{17}{9}$; $\frac{17}{12}$; $\frac{17}{15}$.

Жаңа тақырыпты меңгеруге дайындаламыз

№ 342

Бөлшекті бөліндімен алмастырып, бөлуді орындаңдар: 1) $\frac{29}{7}$; 2) $\frac{31}{19}$; 3) $\frac{89}{37}$.

Қалай ойлаймыз. $\frac{29}{7}$ — бұл $29 : 7$.

Шешуі. 1) $29 : 7 = 4$ (қалд. 1); 2) $31 : 19 = 1$ (қалд. 12); 3) $89 : 37 = 2$ (қалд. 15).

Жауабы: 4 (қалд. 1); 1 (қалд. 12); 2 (қалд. 15).

№ 343

Бөлшекті бөліндімен алмастырып, бөлуді орындаңдар: 1) $\frac{127}{100}$; 2) $\frac{405}{53}$; 3) $\frac{601}{71}$.

Шешуі. 1) $127 : 100 = 1$ (қалд. 27); 2) $405 : 53 = 7$ (қалд. 34), себебі $53 \cdot 7 = 371$; 3) $601 : 71 = 8$ (қалд. 33), себебі $71 \cdot 8 = 568$.

Жауабы: 1 (қалд. 27); 7 (қалд. 34); 8 (қалд. 33).

№ 344

Қалдықпен бөлуді орындаңдар: 1) $49 : 10$; 2) $348 : 25$; 3) $1000 : 99$.

Шешуі. 1) $49 : 10 = 4$ (қалд. 9); 2) $348 : 25 = 13$ (қалд. 23), себебі $25 \cdot 13 = 325$; 3) $1000 : 99 = 10$ (қалд. 10), себебі $99 \cdot 10 = 990$.

Жауабы: 4 (қалд. 9); 13 (қалд. 23); 10 (қалд. 10).

№ 345

23-кестені толтырыңдар (бөлінгіш; бөлгіш; бөліндінің мәні; қалдық): (40; 9; 6; ?), (61; 8; ?; 5), (94; ?; 7; 3), (?; 10; 12; 7).

Қалай ойлаймыз. Мына формула көмектеседі: бөлінгіш = бөлгіш · бөлінді + қалдық.

Шешуі.

1. $40 : 9$: $9 \cdot 4 = 36$, қалдығы 4. Бөлінді 6 бұл жерде шықпайды: $9 \cdot 6 = 54$, ол 40-тан үлкен. Қате басылған сияқты. Егер бөлінгіш 60 болса, онда $60 : 9 = 6$ (қалд. 6).
2. $61 - 5 = 56$, $56 : 8 = 7$ — бөлінді 7.
3. $94 - 3 = 91$, $91 : 7 = 13$ — бөлгіш 13.
4. $10 \cdot 12 + 7 = 127$ — бөлінгіш 127.

Жауабы: 1) $40 : 9 = 4$ (қалд. 4) (бөлінді 6, бөлінгіш 60 болса, қалдық 6); 2) 7; 3) 13; 4) 127.

📕 № 345 кестесінің бірінші жолында (40; 9; бөлінді 6) деректер сәйкес келмейді: бөлінді 6 болса, бөлгіш 9-бен 54 шығады, ал ол 40-тан үлкен. Қазақша басылымда да осылай жазылған, сірә, қате басылған; біз адал есептедік: 40 : 9 = 4 (қалд. 4).

Жадынама

• Дұрыс бөлшек 1-ден кіші, бұрыс бөлшек 1-ге тең немесе одан үлкен.
• Алымы бөліміне тең болса — бөлшек 1-ге тең.
• $4\frac{5}{7} = 4 + \frac{5}{7}$: 4 — бүтін бөлігі, $\frac{5}{7}$ — бөлшек бөлігі.
• Аралас санның бөлшек бөлігі әрқашан дұрыс бөлшек болады.

Шағын тест