§ 3. Натурал сандарды салыстыру

Математика, 5 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2017). 1 тарау: Натурал сандар және нөл саны. 17–20-беттер.

Нені үйренесің

• Кез келген натурал сандарды санау бойынша, жазылуы бойынша және координаталық сәуле бойынша салыстыруды.
• Теңсіздіктерді дұрыс дауыстап оқуды: «отыз төрт кіші жүз жиырма үштен».
• $14 < 19 < 22$ сияқты қос теңсіздіктерді жазуды және оқуды.
• Екі берілген санның арасында «сыятын» барлық сандарды табуды.

Ой қозғау

Бұл — өткен сабақтың № 24–26 жаттығулары. Ойша жауап бер, содан кейін жауабын ашып қара.

• Қай су қоймасы үлкен: Братск (5470 км²) әлде Бұқтырма (5490 км²)? Бұқтырма: 5490 > 5470.
• 672 мен 7002 санының қайсысы үлкен? 7002 — онда төрт цифр бар, ал 672-де үшеу ғана.
• $1028 > 1208$ теңсіздігі дұрыс па? Жоқ. Мыңдықтар тең, ал жүздіктер 0 < 2. Демек, $1028 < 1208$.
• $99,888 > 99,988$ теңсіздігі дұрыс па? Жоқ. Солдан салыстырамыз: 9 = 9, 9 = 9, содан кейін 8 < 9. Демек, $99,888 < 99,988$.

💡 Сен сандарды «өздігінен» салыстырып жүрсің. Бүгін осы «өздігінен» істелетін әрекетті ережелерге жіктейміз — сонда ол он таңбалы сандарда да адастырмайды.

Тақырыпты талдаймыз

Кім бұрын айтылса — сол кіші

Неліктен 20 саны 17-ден үлкен? Өйткені санағанда «17» дегенді «20»-дан бұрын айтасың. Бұл — бірінші ереже.

📌 Екі натурал санды санағанда алғашқы айтылатыны кіші, ал кейін айтылатыны үлкен болады.

Нөл кез келген натурал саннан кіші: оны бірден де бұрын «айтады».

Цифрларды санаймыз

1001 мен 999 санының қайсысы үлкен? Санап жету ұзақ. Бірақ көрініп тұр: 1001-де төрт цифр, ал 999-да — үш.

📌 Жазылуында разрядтар саны көп сан үлкен болады.

Ал цифрлар саны бірдей болса, мысалы 2821 және 2819? Солдан оңға қарай жүріп, алғашқы айырмашылықты іздейміз. Мыңдықтар 2 = 2, жүздіктер 8 = 8, ондықтар 2 > 1. Болды: $2821 > 2819$. Бірліктерге қарамаймыз да.

📌 Разрядтары бірдей екі натурал санның қайсысының (солдан оңға қарай) бірдей разрядтағы цифры үлкен болса, сол сан үлкен болады. Цифрлардың бәрі сәйкес келсе, сандар тең.

Өзің байқап көр:

⚠️ Жиі кететін қате. Соңғы цифрларды салыстырады: «2819 үлкен, өйткені 9 саны 1-ден үлкен». Жоқ! Салыстыруды солдан, жоғары разрядтардан бастау керек — сөздікте сөзді бірінші әріпі бойынша іздегендей.

Сәуле бойынша салыстырамыз

Координаталық сәуледе сандар ретімен тұрады. Демек, солда тұрғаны кіші, оңда тұрғаны үлкен.

📌 Екі натурал санның координаталық сәуледе сол жақта орналасқаны кіші, ал оң жақта орналасқаны үлкен болады.

Қос теңсіздік

19 саны 14 пен 22 арасында тұр. Мұны бір жолмен жазуға болады: $14 < 19 < 22$. Мұндай жазуды қос теңсіздік дейді. Ортадағы сан сол жақтағыдан үлкен және оң жақтағыдан кіші.

Дауыстап қалай оқимыз

🌟 Дұрыс сөйлеп үйрен. Теңсіздікті солдан оңға қарай оқығанда сол жағын атау септікте, оң жағын шығыс септікте айтамыз. $34 < 123$ жазуы былай оқылады: «отыз төрт кіші жүз жиырма үштен». Оңнан солға қарай: «жүз жиырма үш үлкен отыз төрттен».

🌟 Қос теңсіздікті $14 < 19 < 22$ ортасынан бастап оқимыз: «он тоғыз он төрттен үлкен, бірақ жиырма екіден кіші». Немесе: «он тоғыз жиырма екіден кіші, бірақ он төрттен үлкен».

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Балалар жиі «отыз төрт кіші жүз жиырма үш» деп оқиды. Баладан «неден кіші?» деген сұрақпен қайталауын сұраңыз — жалғау өз орнына түседі.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Кез келген натурал саннан кіші сан бар ма? Иә, нөл. Натурал сандардың ең кішісі — 1, ал 0 — одан да кіші.
• Разрядтар саны бірдей сандарды қалай салыстырады? Солдан оңға қарай, разрядпен разряд. Алғашқы сәйкес келмеген цифры үлкен сан үлкен болады.
• Қос теңсіздікті қашан жазады? Бір санды бірден екі санмен салыстырғанда: біреуі одан кіші, екіншісі үлкен болса. Мысалы, $14 < 19 < 22$.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 27

§ 1, № 3 жаттығуындағы 3-кестені қолданып, 1) Үндістан (1 282 790 000) мен Қытай (1 374 220 000); 2) Қазақстан (17 651 300) мен Моңғолия (3 061 425); 3) Ресей (146 495 530) мен Жапония (126 880 000) елдері халықтарының сандарын салыстырыңдар.

Қалай ойлаймыз. Екінші жағдайда цифрлар саны әртүрлі. Бірінші және үшіншіде бірдей — солдан салыстырамыз.

Шешуі.

1. Цифрлар саны тең, миллиардтар 1 = 1, жүздік миллиондар 2 < 3. Үндістан кіші: $1,282,790,000 < 1,374,220,000$.
2. 17 651 300 санында сегіз цифр, ал 3 061 425 санында — жеті. $17,651,300 > 3,061,425$.
3. Жүздік миллиондар 1 = 1, ондық миллиондар 4 > 2. $146,495,530 > 126,880,000$.

Жауабы: 1) Қытайда; 2) Қазақстанда; 3) Ресейде.

№ 28

Қос теңсіздікті оқыңдар: 1) $17 < 25 < 29$; 2) $76 < 78 < 94$; 3) $101 < 136 < 450$; 4) $829 < 1033 < 2005$.

Қалай ойлаймыз. Ортадағы саннан бастаймыз, қалғандарын шығыс септікте айтамыз.

Шешуі.

1. Жиырма бес он жетіден үлкен, бірақ жиырма тоғыздан кіші.
2. Жетпіс сегіз жетпіс алтыдан үлкен, бірақ тоқсан төрттен кіші.
3. Жүз отыз алты жүз бірден үлкен, бірақ төрт жүз елуден кіші.
4. Мың отыз үш сегіз жүз жиырма тоғыздан үлкен, бірақ екі мың бестен кіші.

Жауабы: жоғарыда оқылды.

№ 29

Сөйлемді қос теңсіздік арқылы жазыңдар: 1) 24 саны 19-дан үлкен, бірақ 27-ден кіші; 2) 33 саны 32-ден үлкен, бірақ 34-тен кіші; 3) 51 саны 49-дан үлкен, бірақ 56-дан кіші; 4) 86 саны 77-ден үлкен, бірақ 88-ден кіші.

Қалай ойлаймыз. Туралы айтылып отырған санды ортаға қоямыз. Кішісі — солға, үлкені — оңға.

Шешуі.

1. $19 < 24 < 27$
2. $32 < 33 < 34$
3. $49 < 51 < 56$
4. $77 < 86 < 88$

Жауабы: $19 < 24 < 27$; $32 < 33 < 34$; $49 < 51 < 56$; $77 < 86 < 88$.

№ 30

Координаталық сәулені қолданып, 16-жаттығуда берілген 1) қаздың массасын тауық пен күркетауықтың массаларымен; 2) андардың секіру ұзындығын салыстырыңдар (қосаяқ — 2 м, кенгуру — 7 м, бөкен — 10 м, қабылан — 11 м). Мүмкін болатын барлық қос теңсіздіктерді жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Қос теңсіздік — реттелген үш сан. Төрт секірудің ішінен кез келген үшеуін таңдап, сәуледегідей солдан оңға қарай орналастырамыз.

Шешуі.

1. Құстар: қаз тауық пен күркетауықтың арасында — $5 < 10 < 20$ (немесе $20 > 10 > 5$).

2. Секірулер: 2, 7, 10, 11 төрт саннан үшеуін төрт тәсілмен таңдауға болады:

   • $2 < 7 < 10$
   • $2 < 7 < 11$
   • $2 < 10 < 11$
   • $7 < 10 < 11$

   Әрқайсысын «>» белгісімен кері жазуға да болады: мысалы, $11 > 10 > 7$.

Жауабы: 1) $5 < 10 < 20$; 2) $2 < 7 < 10$, $2 < 7 < 11$, $2 < 10 < 11$, $7 < 10 < 11$.

№ 31

1) 11; 20; 26; 2) 15; 9; 17; 3) 43; 39; 40; 4) 500; 200; 450 сандарын қолданып, қос теңсіздік жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Үш санды өсу ретімен орналастырып, арасына «<» қоямыз.

Шешуі.

1. $11 < 20 < 26$
2. $9 < 15 < 17$
3. $39 < 40 < 43$
4. $200 < 450 < 500$

Жауабы: $11 < 20 < 26$; $9 < 15 < 17$; $39 < 40 < 43$; $200 < 450 < 500$.

№ 32

Есіл, Сырдария және Жайық өзендері еліміздің аумағынан өтеді және олардың жалпы ұзындығы сәйкесінше 2528 км, 2219 км, 2450 км. Әр өзеннің ұзындығы қандай? Өзендердің ұзындықтарын қос теңсіздік жазып салыстырыңдар.

Қалай ойлаймыз. «Сәйкесінше» — яғни ретімен: бірінші өзен — бірінші сан және т.с.с.

Шешуі.

1. Есіл — 2528 км, Сырдария — 2219 км, Жайық — 2450 км.
2. Барлық сандар төрт таңбалы, мыңдықтар тең. Жүздіктерді салыстырамыз: 2 < 4 < 5.
3. Өсу ретімен: $2219 < 2450 < 2528$.

Жауабы: Есіл 2528 км, Сырдария 2219 км, Жайық 2450 км; $2219 < 2450 < 2528$ (Сырдария < Жайық < Есіл).

🌟 Әртүрлі анықтамалықтарда өзендердің ұзындығы аздап өзгеше беріледі: мысалы, Жайық үшін жиі 2428 км, ал Есіл үшін 2450 км деп жазады. Өзендер арнасын өзгертеді, ал ғалымдар бастауын әртүрлі есептейді. Мұнда біз есептің деректерімен шығарамыз.

B деңгейі

№ 33

1) $x < 2$; 2) $x < 6$ теңсіздігі дұрыс болу үшін $x$-тің орнына қандай натурал сан қоюға болады?

Қалай ойлаймыз. Натурал сандар 1-ден басталады. Нөлді алмаймыз.

Шешуі.

1. 2-ден кіші тек бір натурал сан бар — 1.
2. 6-дан кіші: 1, 2, 3, 4, 5.

Жауабы: 1) $x = 1$; 2) $x$ = 1, 2, 3, 4 немесе 5.

№ 34

$x$-тің орнына қойғанда 1) $x < 1001$; 2) $x > 999$ теңсіздігі дұрыс болатындай үш натурал санды атаңдар.

Қалай ойлаймыз. Сәйкес келетін сандар көп, кез келген үшеуін атау керек.

Шешуі.

1. Мысалы, 1, 500, 1000 — бәрі 1001-ден кіші.
2. Мысалы, 1000, 2026, 1 000 000 — бәрі 999-дан үлкен.

Жауабы: мысалы, 1) 1; 500; 1000; 2) 1000; 2026; 1 000 000.

💡 Назар аудар: 1000 саны екі тармаққа да келеді. $999 < x < 1001$ теңсіздігін қанағаттандыратын жалғыз сан осы.

№ 35

$y$-тің орнына қойғанда 1) $13 < y < 19$; 2) $31 < y < 37$; 3) $289 < y < 294$; 4) $1100 < y < 1103$ қос теңсіздігі дұрыс болатындай барлық натурал сандарды атаңдар.

Қалай ойлаймыз. «<» белгісі қатаң: шеткі сандардың өзі келмейді. Олардың дәл арасындағылардың бәрін жазамыз.

Шешуі.

1. 14, 15, 16, 17, 18.
2. 32, 33, 34, 35, 36.
3. 290, 291, 292, 293.
4. 1101, 1102.

Жауабы: 1) 14; 15; 16; 17; 18; 2) 32; 33; 34; 35; 36; 3) 290; 291; 292; 293; 4) 1101; 1102.

№ 36

12-суретте берілген координаталық сәулені қолданып, 1) $a$ мен 3-ті; 2) $a$ мен 6-ны; 3) $a$ мен $b$-ны; 4) $b$ мен 3-ті салыстырыңдар (сәуледе бөліктер 0, 1, …, 8; 0, 3, $a$ (5-ші бөлік), 6 және $b$ (8-ші бөлік) белгіленген).

Қалай ойлаймыз. $a$ мен $b$-ны білмесек те, кімнің солда, кімнің оңда екенін көреміз. Есептеуге де болады: $a$ — 5-ші бөлікте, $b$ — 8-ші бөлікте.

Шешуі.

1. $a$ 3-тен оңда: $a > 3$.
2. $a$ 6-дан солда: $a < 6$.
3. $a$ $b$-дан солда: $a < b$.
4. $b$ 3-тен оңда: $b > 3$.

Жауабы: $a > 3$; $a < 6$; $a < b$; $b > 3$ (мұнда $a = 5$, $b = 8$).

C деңгейі

№ 37

13-суретте кескінделген координаталық сәулені қолданып, мүмкін болатын барлық қос теңсіздіктерді жазыңдар (сәуледе 0 және одан оңда солдан оңға қарай $a$, $b$, $c$ нүктелері белгіленген).

Қалай ойлаймыз. Сәуледе төрт сан бар: 0, $a$, $b$, $c$. Олардың кез келген үшеуі «солдан оңға» ретімен қос теңсіздік береді.

Шешуі. Төрт саннан үшеуін таңдаймыз — төрт нұсқа шығады:

1. $0 < a < b$
2. $0 < a < c$
3. $0 < b < c$
4. $a < b < c$

Әрқайсысын оңнан солға қарай да жазуға болады: мысалы, $c > b > a$.

Жауабы: $0 < a < b$; $0 < a < c$; $0 < b < c$; $a < b < c$ (және солардың «>» белгісімен жазылуы).

№ 38

$23 < a < 49$, $35 < a < 200$ және $47 < a < 61$ қос теңсіздіктері бір мезетте дұрыс болатындай $a$ әрпінің орнына қандай натурал санды қою керек?

Қалай ойлаймыз. $a$ барлық сол жақтағы сандардан үлкен және барлық оң жақтағы сандардан кіші болуы керек.

Шешуі. $a > 47$ және $a < 49$, демек, $a = 48$.

Жауабы: 48.

Хабарлама дайындаңдар

№ 39

Томас Гарриот — теңсіздік, ал Роберт Рекорд — теңдік таңбасын енгізген математик.

Қалай ойлаймыз. Әрқайсысы туралы бірер дерек және белгінің тарихы. Жылдарын энциклопедиядан тексер.

Шешуі. Хабарламаның үлгісі:

Роберт Рекорд (1510—1558) — ағылшын дәрігері және математигі. Ол оқулықтарды латынша емес, қарапайым халыққа арнап ана тілінде жазған. 1557 жылы «Ақыл қайрағы» кітабында «=» белгісін алғаш рет қолданған. Рекордтың түсіндіруінше, екі параллель сызықтан артық тең ештеңе жоқ.

Томас Гарриот (1560—1621) — ағылшын математигі және астрономы. Ол Айға телескоппен алғашқылардың бірі болып қарап, оның картасын салған. Гарриот «>» және «<» белгілерін ойлап тапқан. Олар бар кітап оның қайтыс болғанынан кейін, 1631 жылы шыққан.

Жауабы: жоғарыдағы үлгі.

🌟 «<» мен «>» белгілерін шатастырмау үшін кеңес: ұшкір ұшы кіші санға қарайды, ал ашық «тұмсығы» үлкен санға қарайды.

Жаңа тақырыпты меңгеруге дайындаламыз

№ 40

Математикалық анықтамалық материалды қолданып, қосу, азайту, көбейту және бөлу қасиеттері туралы мына 13 сұраққа жауап беріңдер.

Қалай ойлаймыз. Бұл — бастауыш сыныптан білетін қасиеттер. Әрқайсысын кішкентай сандармен тексеріп көр.

Шешуі.

1. Қосылғыштардың орнын ауыстырса, қосындының мәні өзгермейді: $a + b = b + a$.
2. Үш санды кез келген ретпен қосуға болады: $(a + b) + c = a + (b + c)$.
3. $a + 0 = a$.
4. Қосындыдан санды азайту: $(a + b) - c = (a - c) + b$ немесе $a + (b - c)$. Саннан қосындыны азайту: $a - (b + c) = a - b - c$.
5. $a - 0 = a$.
6. $a - a = 0$.
7. Әр уақытта емес. $c$ санын қосылғыштан азайту үшін ол қосылғыш $c$-дан кем болмауы керек. Мысалы, $(2 + 9) - 5$ жағдайында 5-ті 2-ден азайтуға болмайды, ал 9-дан — болады.
8. Көбейткіштердің орнын ауыстырса, көбейтіндінің мәні өзгермейді: $ab = ba$.
9. $1 \cdot a = a$; $0 \cdot a = 0$.
10. $a : 1 = a$.
11. $a : a = 1$.
12. Үш санды кез келген ретпен көбейтуге болады: $(ab)c = a(bc)$.
13. Қосындыны (айырымды) санға көбейту үшін әр қосылғышты (азайғыш пен азайтқышты) сол санға көбейтіп, нәтижелерін қосады (азайтады): $(a + b)c = ac + bc$, $(a - b)c = ac - bc$.

Жауабы: жауаптар жоғарыда.

Жадынама

• 0 кез келген натурал саннан кіші.
• 1001 > 999: төрт цифр үш цифрдан көп.
• 2821 > 2819: алғашқы айырмашылық ондықтарда.
• Қос теңсіздікте кіші сан солда, үлкені оңда тұрады.
• $a < y < b$ теңсіздігінде $a$ мен $b$ санының өздері келмейді.

Шағын тест