§ 20. Координаталық сәуледе жай бөлшектер мен аралас сандарды кескіндеу

Математика, 5 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2017). 3 тарау: Жай бөлшектер және оларға амалдар қолдану. 100–102-беттер.

Нені үйренесің

• $\frac{3}{5}$ сияқты бөлшектерді және $1\frac{3}{5}$ сияқты аралас сандарды сәуледе белгілеуді.
• Бөлімге қарап ыңғайлы бірлік кесіндіні таңдауды.
• Бүтін сандардың арасында тұрған нүктенің координатасын оқуды.
• $\frac{1}{2}$ мен $\frac{4}{8}$ бір-ақ нүкте екенін көруді.

Ой қозғау

Бұл — өткен сабақтағы № 360–364 тапсырмалары.

• $\frac{3}{4}$ бөлшегін бөлімі 36 болатын бөлшекке келтір. $36 : 4 = 9$, демек, $\frac{27}{36}$.
• $\frac{5}{7}$ бөлшегін бөлімі 56 болатын бөлшекке келтір. Қосымша көбейткіш 8: $\frac{40}{56}$.
• 37-суреттегі нүктелердің координаталары қандай: $A$ — 4-бөлікте, $B$ — 7-де, $C$ — 11-де? $A(4)$, $B(7)$, $C(11)$.
• Ұзындығы 12 см кесіндінің 1 см-і оның қандай бөлігі? $\frac{1}{12}$. Ал кесіндінің $\frac{7}{12}$ бөлігі — 7 см.

💡 Соңғы сұрақ — сабақтың кілті. Бірлік кесіндіні 12 тең бөлікке бөлдің — әр бөлік $\frac{1}{12}$ болды.

Тақырыпты талдаймыз

Бірлік кесіндіні бөлеміз

Сәуледе бүтін сандарды белгілеуді білесің: 1, 2, 3… Ал $\frac{1}{5}$-ді қайда қоямыз? 0-ден 1-ге дейінгі кесіндіні 5 тең бөлікке бөл. Бірінші бөлік — дәл $\frac{1}{5}$. Әлия $A\left(\frac{1}{5}\right)$ нүктесін осылай белгіледі.

$\frac{4}{5}$ алу үшін нөлден бастап осындай 4 бөлікті санап шық. Өзің байқап көр:

📌 Бөлім бірлік кесіндінің неше бөлікке бөлінетінін көрсетеді. Алым нөлден бастап осындай неше бөлікті санау керегін көрсетеді.

Қандай бірлік кесінді ыңғайлы

Есенге $\frac{1}{6}$, $\frac{5}{6}$ және $1\frac{1}{3}$ сандарын белгілеу керек. Бірлік кесіндіні 6 торкөз етіп алған ыңғайлы: бір торкөз — $\frac{1}{6}$, екі торкөз — $\frac{1}{3}$. Бесінші үлестері бар Әлияға 5 немесе 10 торкөз сай келеді. Жетінші үлестері бар Мерекеге — 7 торкөз.

💡 Бірлік кесіндіні бөлімдегі сан қанша болса, сонша торкөз етіп (немесе одан екі есе көп етіп) ал. Сонда торкөзді ұсақтап бөлудің қажеті болмайды.

Аралас сан — бірліктен кейін

$1\frac{3}{5}$ қайда тұр? Алдымен бүтін бірлікті өтеміз — 1 нүктесіне дейін. Содан кейін 1-ден 2-ге дейінгі кесіндіні де 5 бөлікке бөліп, тағы 3 бөлік санаймыз.

⚠️ Жиі кететін қате. $1\frac{3}{5}$ нүктесін 0 мен 1 арасына, яғни $\frac{3}{5}$ тұратын жерге қояды. Есіңде болсын: аралас сан әрқашан бірліктің оң жағында тұрады.

Бір нүкте — әртүрлі атау

Бірлік кесіндісі 8 бөлікке бөлінген сәулені қара. 4-бөлікте тұрған нүкте — $\frac{4}{8}$. Бірақ 8 бөліктің 4-і — дәл жартысы. Демек, бұл $\frac{2}{4}$ да, $\frac{1}{2}$ де.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Баламен бірге дәптер парағына сәуле сызыңыз: 1 = 8 торкөз. $\frac{1}{2}$, $\frac{2}{4}$, $\frac{4}{8}$ сандарын әртүрлі түспен белгілесін. Үшеуі де бір нүктеге түскенде, бөлшектердің теңдігі өздігінен түсінікті болады.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Бірлік кесіндінің 8 бөлігінің 4-інде тұрған нүктенің координатасы неге $\frac{2}{4}$ немесе $\frac{1}{2}$ болады? Бұл — $\frac{4}{8}$, яғни бірлік кесіндінің жартысы. Бөліктерді екі-екіден біріктірсек, 4 бөлік шығады, нүкте 2-бөлікте тұрады: $\frac{2}{4}$. Ал жарты — $\frac{1}{2}$.
• Бірліктен кейін тұрған нүктенің координатасын (суретте — $\frac{10}{8}$) тағы қалай жазуға болады? Бүтін бөлігін бөліп аламыз: $\frac{10}{8} = 1\frac{2}{8} = 1\frac{1}{4}$.
• Аралас координатасы бар нүкте 1 нүктесіне қатысты қайда орналасады? Оның оң жағында: аралас сан 1-ден үлкен.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 365

1) 40-суретте берілген $A$, $C$, $D$ және $E$ нүктелерінің координаталарын анықта (0-ден 1-ге дейінгі кесінді 10 бөлікке бөлінген; $A$ — 3-бөлікте, $C$ — 6-да, $D$ — 8-де, $E$ — 10-да). 2) 41-суреттегі $M$, $K$, $N$ және $P$ нүктелерінің координаталарын анықта (бірлік — 9 бөлік; $M$ — 3-бөлікте, $K$ — 6-да, $N$ — 8-де, $P$ — 10-да). 3) 42-суреттегі $O$ нүктесінен $E$, $F$, $T$ және $S$ нүктелеріне дейінгі қашықтықтарды тап (бірлік — 6 бөлік; $E$ — 3-бөлікте, $F$ — 5-те, $T$ — 6-да, $S$ — 10-да).

Қалай ойлаймыз. Алдымен бірліктің неше бөлікке бөлінгенін санап ал — бұл бөлім болады. Бөліктің нөмірі — алым.

Шешуі.

1. 40-сурет: $A\left(\frac{3}{10}\right)$, $C\left(\frac{6}{10}\right)$, $D\left(\frac{8}{10}\right)$, $E(1)$.
2. 41-сурет: $M\left(\frac{3}{9}\right)$, $K\left(\frac{6}{9}\right)$, $N\left(\frac{8}{9}\right)$, $P\left(\frac{10}{9}\right) = P\left(1\frac{1}{9}\right)$.
3. 42-сурет: $OE = \frac{3}{6}$ (бұл $\frac{1}{2}$), $OF = \frac{5}{6}$, $OT = 1$, $OS = \frac{10}{6} = 1\frac{4}{6} = 1\frac{2}{3}$ бірлік кесінді.

Жауабы: 1) $\frac{3}{10}$; $\frac{6}{10}$; $\frac{8}{10}$; 1; 2) $\frac{3}{9}$; $\frac{6}{9}$; $\frac{8}{9}$; $1\frac{1}{9}$; 3) $\frac{1}{2}$; $\frac{5}{6}$; 1; $1\frac{2}{3}$.

№ 366

Егер бірлік кесіндінің ұзындығы 4 см болса, онда координаталық сәуледе $\frac{3}{8}$; $\frac{5}{8}$; $\frac{6}{8}$; $\frac{7}{8}$ жай бөлшектеріне сәйкес нүктелерді көрсет.

Қалай ойлаймыз. 4 см = 40 мм. 8 бөлікке бөлеміз: әр $\frac{1}{8}$ — 5 мм.

Шешуі. $\frac{3}{8}$ — нөлден 15 мм; $\frac{5}{8}$ — 25 мм; $\frac{6}{8}$ — 30 мм; $\frac{7}{8}$ — 35 мм.

Жауабы: нүктелер сәуленің басынан 1,5 см; 2,5 см; 3 см; 3,5 см қашықтықта орналасады.

№ 367

Бірлік кесіндісінің ұзындығы 8 см болатын координаталық сәуле сал. Оған координаталары $\frac{1}{2}$; $\frac{8}{16}$; $\frac{1}{4}$; $\frac{3}{4}$ болатын нүктелерді белгіле. Осы бөлшектердің қайсысы координаталық сәуледе бір нүктемен кескінделген? Сәйкес теңдіктерді жаз.

Қалай ойлаймыз. Бөлшектерді сантиметрге ауыстыр: 8 см-ді бөлімге бөліп, алымға көбейтеміз.

Шешуі.

1. $\frac{1}{2}$: $8 : 2 = 4$ см.
2. $\frac{8}{16}$: $8 : 16$ — жарты сантиметр, ал осындай 8 бөлік — 4 см.
3. $\frac{1}{4}$: 2 см; $\frac{3}{4}$: 6 см.

Жауабы: $\frac{1}{2}$ және $\frac{8}{16}$ — бір нүкте (басынан 4 см): $\frac{1}{2} = \frac{8}{16}$.

№ 368

$A\left(\frac{1}{9}\right)$; $B\left(\frac{2}{9}\right)$; $C\left(\frac{4}{9}\right)$; $D\left(\frac{7}{9}\right)$ нүктелерін координаталық сәуледе белгіле.

Қалай ойлаймыз. Бірлік кесіндіні 9 торкөз етіп алған ыңғайлы: бір торкөз — $\frac{1}{9}$.

Шешуі. Нөлден бастап 1, 2, 4 және 7 торкөз санаймыз.

Жауабы: $A$ — басынан 1 торкөз, $B$ — 2, $C$ — 4, $D$ — 7 торкөз.

№ 369

$1\frac{1}{8}$; $1\frac{3}{8}$; $1\frac{1}{4}$; $1\frac{7}{8}$; $1\frac{3}{4}$ аралас сандарын координаталық сәуледе көрсет.

Қалай ойлаймыз. Барлық сан 1 мен 2 арасында жатыр. 1-ден 2-ге дейінгі кесіндіні 8 бөлікке бөлеміз. Төрттен біреуді сегізден біреуге айналдырамыз: $\frac{1}{4} = \frac{2}{8}$, $\frac{3}{4} = \frac{6}{8}$.

Шешуі. 1 нүктесінен кейін санаймыз: $1\frac{1}{8}$ — 1 бөлік, $1\frac{1}{4}$ — 2 бөлік, $1\frac{3}{8}$ — 3 бөлік, $1\frac{3}{4}$ — 6 бөлік, $1\frac{7}{8}$ — 7 бөлік. Ыңғайлы бірлік кесінді — 8 торкөз.

Жауабы: нүктелер бірліктен оңға қарай 1, 2, 3, 6 және 7-бөліктерде тұрады.

№ 370

43-суреттегі $A$, $B$, $C$ және $D$ нүктелерінің координаталарын жаз (бірлік 7 бөлікке бөлінген, $A$ — 4-бөлікте, $B$ — 5-те, $C$ — 9-да, $D$ — 10-да).

Шешуі. $A\left(\frac{4}{7}\right)$, $B\left(\frac{5}{7}\right)$. $C$ нүктесі — 9 бөлік: $\frac{9}{7} = 1\frac{2}{7}$. $D$ нүктесі — $\frac{10}{7} = 1\frac{3}{7}$.

Жауабы: $A\left(\frac{4}{7}\right)$; $B\left(\frac{5}{7}\right)$; $C\left(1\frac{2}{7}\right)$; $D\left(1\frac{3}{7}\right)$.

№ 371

1) Координаталық сәуледе $\frac{5}{13}$ және $\frac{12}{13}$ сандарының арасында орналасқан бөлімі 13 болатын жай бөлшектерді жаз. 2) Координаталық сәуледе $\frac{9}{20}$ және $\frac{19}{20}$ сандарының арасында орналасқан бөлімі 20 болатын жай бөлшектерді жаз.

Қалай ойлаймыз. Бөлімдері бірдей, демек, алым 5-тен үлкен, бірақ 12-ден кіші болуы керек (және 9-дан үлкен, бірақ 19-дан кіші). Шеткі бөлшектерді алмаймыз.

Шешуі.

1. $\frac{6}{13}$, $\frac{7}{13}$, $\frac{8}{13}$, $\frac{9}{13}$, $\frac{10}{13}$, $\frac{11}{13}$.
2. $\frac{10}{20}$, $\frac{11}{20}$, $\frac{12}{20}$, $\frac{13}{20}$, $\frac{14}{20}$, $\frac{15}{20}$, $\frac{16}{20}$, $\frac{17}{20}$, $\frac{18}{20}$.

Жауабы: 1) $\frac{6}{13}$-ден $\frac{11}{13}$-ке дейін (6 бөлшек); 2) $\frac{10}{20}$-дан $\frac{18}{20}$-ға дейін (9 бөлшек).

B деңгейі

№ 372

Координаталық сәуледе 5 саны мен 6 санының арасындағы бірлік кесінді 3 бірдей бөлікке бөлінген. Шыққан бөліктердің әрқайсысын тағы да тура 4 бірдей бөлікке бөлген. Пайда болған нүктелердің координаталарын жаз.

Қалай ойлаймыз. $3 \cdot 4 = 12$ — барлығы 12 кішкентай бөлік, әрқайсысы $\frac{1}{12}$.

Шешуі. Нүктелер: $5\frac{1}{12}$, $5\frac{2}{12}$, $5\frac{3}{12}$, $5\frac{4}{12}$, $5\frac{5}{12}$, $5\frac{6}{12}$, $5\frac{7}{12}$, $5\frac{8}{12}$, $5\frac{9}{12}$, $5\frac{10}{12}$, $5\frac{11}{12}$. Бұрыс бөлшек түрінде: $\frac{61}{12}$, $\frac{62}{12}$, …, $\frac{71}{12}$. Үлкен бөліктердің шекаралары: $5\frac{4}{12} = 5\frac{1}{3}$ және $5\frac{8}{12} = 5\frac{2}{3}$.

Жауабы: $5\frac{1}{12}$-ден $5\frac{11}{12}$-ге дейін $\frac{1}{12}$ қадаммен (яғни $\frac{61}{12}$ … $\frac{71}{12}$).

№ 373

44-суретте берілген координаталық сәулені қолданып 1) $\frac{1}{5}$-ден үлкен, бірақ $\frac{3}{5}$-тен кіші; 2) $\frac{3}{5}$-тен үлкен, бірақ $\frac{4}{5}$-тен кіші болатын бөлшекті жаз (бірлік 10 бөлікке бөлінген, $\frac{2}{5}$ және $\frac{3}{5}$ белгіленген).

Қалай ойлаймыз. Көрші бестен бірлердің арасында тағы бір оннан бір бар: $\frac{3}{5} = \frac{6}{10}$, $\frac{4}{5} = \frac{8}{10}$.

Шешуі.

1. $\frac{1}{5} = \frac{2}{10}$, $\frac{3}{5} = \frac{6}{10}$. Олардың арасында $\frac{3}{10}$, $\frac{4}{10}$ (бұл $\frac{2}{5}$), $\frac{5}{10}$ бар.
2. $\frac{6}{10}$ мен $\frac{8}{10}$ арасында — тек $\frac{7}{10}$.

Жауабы: 1) мысалы, $\frac{2}{5}$ (немесе $\frac{3}{10}$, $\frac{1}{2}$); 2) $\frac{7}{10}$.

№ 374

$B$ нүктесі координаталық сәуледе координаталары 7 және 8 болатын нүктелердің арасында орналасқан. Ол координатасы 7 болатын нүктеден оңға қарай 4-бөлікте, координатасы 8 болатын нүктеден солға қарай 5-бөлікте орналасқан. $B$ нүктесінің координатасы қандай?

Қалай ойлаймыз. 7-ден 8-ге дейін барлығы $4 + 5 = 9$ бөлік. Демек, бір бөлік — $\frac{1}{9}$.

Шешуі. $B = 7 + \frac{4}{9} = 7\frac{4}{9}$.

Жауабы: $B\left(7\frac{4}{9}\right)$.

C деңгейі

№ 375

Ұштары 25 және 30 сандары болатын кесіндіні сандық сәуледе 20 тең бөлікке бөліңдер. Координаты 28 болатын нүктеден солға қарай 13 бөлікте орналасқан нүктенің және координатасы 27 болатын нүктеден оңға қарай 9 бөлікте орналасқан нүктенің координатасын жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Алдымен бір бөліктің бағасын біл.

Шешуі. Бір бөлік — $\frac{1}{4}$. Бірінші нүкте: $28 - 3\frac{1}{4} = 24\frac{3}{4}$ (ол 25-тен сәл солда — бөліктер кесіндінің шетінен әрі қарай жалғаса береді). Екінші нүкте: $27 + 2\frac{1}{4} = 29\frac{1}{4}$.

Жауабы: $24\frac{3}{4}$ және $29\frac{1}{4}$.

№ 376

$C$ нүктесі координаталары 11 және 14 болатын нүктелердің арасында жатыр. Ол координатасы 11 болатын нүктеден оңға қарай 9 бөлікте, координатасы 14 болатын нүктеден солға қарай 3 бөлікте орналасқан. $C$ нүктесінің координатасын анықтаңдар.

Қалай ойлаймыз. 11-ден 14-ке дейін — 3 бірлікте $9 + 3 = 12$ бөлік. Демек, бір бірлікте 4 бөлік бар.

Шешуі. Бір бөлік — $\frac{1}{4}$. $C = 11 + \frac{9}{4} = 11 + 2\frac{1}{4} = 13\frac{1}{4}$. Тексеру: $14 - \frac{3}{4} = 13\frac{1}{4}$ ✓.

Жауабы: $C\left(13\frac{1}{4}\right)$.

Жаңа тақырыпты меңгеруге дайындаламыз

№ 377

1) $\frac{2}{5} = \frac{8}{20}$; 2) $\frac{11}{20} = \frac{55}{100}$ теңдігінің дұрыстығын тексеріңдер.

Шешуі. 1) $\frac{2 \cdot 4}{5 \cdot 4} = \frac{8}{20}$ — дұрыс. 2) $\frac{11 \cdot 5}{20 \cdot 5} = \frac{55}{100}$ — дұрыс.

Жауабы: екі теңдік те дұрыс.

№ 378

1) 45 және 225; 2) 23 және 31; 3) 34 және 85 сандарының ең кіші ортақ еселігін табыңдар.

Шешуі.

1. 225 саны 45-ке бөлінеді ($45 \cdot 5 = 225$), демек, ЕКОЕ = 225.
2. 23 және 31 — жай сандар, ЕКОЕ $= 23 \cdot 31 = 713$.
3. $34 = 2 \cdot 17$, $85 = 5 \cdot 17$, ЕКОЕ $= 2 \cdot 5 \cdot 17 = 170$.

Жауабы: 225; 713; 170.

№ 379

4, 13, 20, 26, 51 сандарының қайсылары өзара жай сандар болады?

Қалай ойлаймыз. Көбейткіштерге жіктейміз: $4 = 2 \cdot 2$, $13$ — жай сан, $20 = 2 \cdot 2 \cdot 5$, $26 = 2 \cdot 13$, $51 = 3 \cdot 17$. Егер ортақ көбейткіш болмаса, жұп өзара жай болады.

Шешуі. Өзара жай жұптар: 4 және 13; 4 және 51; 13 және 20; 13 және 51; 20 және 51; 26 және 51. Келмейтіндер: 4 және 20, 4 және 26, 20 және 26 (ортақ көбейткіш 2), 13 және 26 (ортақ көбейткіш 13).

Жауабы: 4 және 13; 4 және 51; 13 және 20; 13 және 51; 20 және 51; 26 және 51.

№ 380

1) $\frac{7}{9}$ жай бөлшегін бөлімі 18; 45; 99; 117; 2) $\frac{4}{15}$ жай бөлшегін бөлімі 30; 75; 150; 165 болатын жай бөлшекке келтіріңдер.

Шешуі.

1. Қосымша көбейткіштер 2, 5, 11, 13: $\frac{14}{18}$; $\frac{35}{45}$; $\frac{77}{99}$; $\frac{91}{117}$.
2. Қосымша көбейткіштер 2, 5, 10, 11: $\frac{8}{30}$; $\frac{20}{75}$; $\frac{40}{150}$; $\frac{44}{165}$.

Жауабы: 1) $\frac{14}{18}$; $\frac{35}{45}$; $\frac{77}{99}$; $\frac{91}{117}$; 2) $\frac{8}{30}$; $\frac{20}{75}$; $\frac{40}{150}$; $\frac{44}{165}$.

№ 381

1) $\frac{20}{31}$ жай бөлшегін бөлімі 62; 124; 279; 310; 2) $\frac{25}{44}$ жай бөлшегін бөлімі 132; 220; 396; 484 болатын жай бөлшекке келтіріңдер.

Шешуі.

1. Қосымша көбейткіштер 2, 4, 9, 10: $\frac{40}{62}$; $\frac{80}{124}$; $\frac{180}{279}$; $\frac{200}{310}$.
2. Қосымша көбейткіштер 3, 5, 9, 11: $\frac{75}{132}$; $\frac{125}{220}$; $\frac{225}{396}$; $\frac{275}{484}$.

Жауабы: 1) $\frac{40}{62}$; $\frac{80}{124}$; $\frac{180}{279}$; $\frac{200}{310}$; 2) $\frac{75}{132}$; $\frac{125}{220}$; $\frac{225}{396}$; $\frac{275}{484}$.

Жадынама

• $\frac{a}{b}$ бөлшегі: бірлікті $b$ бөлікке бөліп, $a$ бөлік санаймыз.
• Ыңғайлы бірлік кесінді — бөлімдегі сан қанша болса, сонша торкөз (немесе оған еселі).
• $1\frac{3}{5}$: алдымен 1-ді өтеміз, сосын тағы $\frac{3}{5}$.
• 7 мен 8 арасында, 9 бөліктің 4-інде тұрған нүкте — $7\frac{4}{9}$.

Шағын тест