§ 21. Жай бөлшектерді ортақ бөлімге келтіру

Математика, 5 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2017). 3 тарау: Жай бөлшектер және оларға амалдар қолдану. 103–105-беттер.

Нені үйренесің

• Ортақ бөлім және ең кіші ортақ бөлім дегеніміз не екенін түсінуді.
• Әр бөлшектің қосымша көбейткішін табуды.
• Екі және үш бөлшекті ең кіші ортақ бөлімге келтіруді.
• Екі ыңғайлы жағдайды тез байқауды: бір бөлім екіншісіне бөлінгенде және бөлімдер өзара жай болғанда.

Ой қозғау

Бұл — өткен сабақтағы № 377–380 тапсырмалары. Ойша шығарып көр, содан кейін жауабын ашып қара.

• $\frac{2}{5} = \frac{8}{20}$ теңдігі дұрыс па? Иә: алым мен бөлімді 4-ке көбейттік.
• $\frac{11}{20} = \frac{55}{100}$ теңдігі дұрыс па? Иә: 5-ке көбейттік.
• ЕКОЕ (45; 225) неге тең? 225 — ол 45-ке бөлінеді ($225 = 45 \cdot 5$).
• Ал ЕКОЕ (23; 31) ше? Сандар жай, сондықтан ЕКОЕ — олардың көбейтіндісі: $23 \cdot 31 = 713$.
• ЕКОЕ (34; 85)? $34 = 2 \cdot 17$, $85 = 5 \cdot 17$, демек, ЕКОЕ $= 2 \cdot 5 \cdot 17 = 170$.
• 4, 13, 20, 26, 51 сандарының қайсылары өзара жай? 4 және 13, 4 және 51, 13 және 20, 13 және 51, 20 және 51, 26 және 51 жұптары. Олардың 1-ден басқа ортақ бөлгіші жоқ.
• $\frac{7}{9}$ бөлшегін бөлімі 18; 45; 99; 117 болатын бөлшекке келтір. $\frac{14}{18}$; $\frac{35}{45}$; $\frac{77}{99}$; $\frac{91}{117}$.
• $\frac{4}{15}$ бөлшегін бөлімі 30; 75; 150; 165 болатын бөлшекке келтір. $\frac{8}{30}$; $\frac{20}{75}$; $\frac{40}{150}$; $\frac{44}{165}$.

💡 Байқадың ба? ЕКОЕ-ні де, бөлшектің негізгі қасиетін де білеміз. Бүгін оларды жай ғана біріктіреміз.

Тақырыпты талдаймыз

Бөлшектерге неге бір бөлім керек

Анаң бір пирогты 4 бөлікке, екіншісін 7 бөлікке кесті. Сен бірінші пирогтың $\frac{1}{4}$ бөлігін жедің, ал досың екіншісінің $\frac{3}{7}$ бөлігін жеді. Кім көп жеді? Бірден айту қиын: тілімдердің өлшемі әртүрлі.

Бөлшектерді салыстыру, қосу және азайту үшін оларды бірдей тілімдерге «кеседі». Міне, осы — ортақ бөлімге келтіру. $\frac{4}{15}$ және $\frac{7}{15}$ бөлшектерінің бөлімі бұрыннан ортақ — 15.

Бір бөлшек — көп жазу

Алым мен бөлімді бір санға көбейтсең, бөлшек өзгермейді. Қарашы: жолақтың боялған бөлігі бір және сол.

Сондықтан $\frac{1}{4}$ бөлшегін бөлімі 8, 12, 16, 20, 24, 28… болатындай етіп жазуға болады. Ал $\frac{3}{7}$ бөлшегін бөлімі 14, 21, 28… етіп. Екі тізімде де кездесетін алғашқы сан — 28. Бұл — ЕКОЕ (4; 7).

📌 Кез келген екі бөлшекті ортақ бөлімге келтіруге болады. Бөлімдердің кез келген ортақ еселігі жарайды. Ең ыңғайлысы — ең кішісі, ол ең кіші ортақ бөлім деп аталады және бөлімдердің ЕКОЕ-не тең.

Ортақ бөлімге үш қадам

$\frac{1}{4}$ және $\frac{3}{7}$ бөлшектерін 28 бөліміне келтірейік.

Қосымша көбейткішті бөлшектің оң жағына, жоғарыға кішкентай цифрмен жазған ыңғайлы: $\frac{1^{\backslash 7}}{4}$, $\frac{3^{\backslash 4}}{7}$.

⚠️ Жиі кететін қате. Тек бөлімді көбейтеді: $\frac{1}{4} = \frac{1}{28}$. Сонда бөлшек 7 есе кішірейіп кетеді! Көбейткіш әрқашан алымға да, бөлімге де жазылады.

Екі қысқа жол

ЕКОЕ-ні әрдайым ұзақ іздеудің қажеті жоқ.

1. Үлкен бөлім кішіге бөлінеді. Онда ол — ортақ бөлім. $\frac{3}{5}$ және $\frac{24}{25}$ үшін бұл — 25, себебі $25 : 5 = 5$.
2. Бөлімдер өзара жай. Онда ортақ бөлім — олардың көбейтіндісі. $\frac{2}{3}$ және $\frac{7}{8}$ үшін бұл — $3 \cdot 8 = 24$.

💡 Айла: үлкен бөлімді алып, кішіге бөлінгенше 2-ге, 3-ке, 4-ке… көбейте бер. 6 және 8 үшін: 8 — жоқ, 16 — жоқ, 24 — иә!

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Баладан көбейтпес бұрын әр бөлшектің қосымша көбейткішін дауыстап айтуын сұраңыз. Осы тақырыптағы қателердің көбі көбейткіштің түсіп қалуынан немесе шатасуынан болады.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Бөлшектерді ең кіші ортақ бөлімге қалай келтіреміз? 1) Бөлімдердің ЕКОЕ-н табамыз — бұл ең кіші ортақ бөлім. 2) Оны әр бөлімге бөлеміз — қосымша көбейткіштер шығады. 3) Әр бөлшектің алымы мен бөлімін өз көбейткішіне көбейтеміз.
• Кез келген екі бөлшекті ортақ бөлімге келтіруге бола ма? Иә. Бөлімдердің кез келген ортақ еселігі жарайды, мысалы, олардың көбейтіндісі.
• $\frac{1}{4}$ және $\frac{3}{7}$ бөлшектерін неге 28-ге, 56-ға және басқа сандарға келтіруге болады? Себебі бұл сандардың бәрі 4-ке де, 7-ге де бөлінеді. Олардың ең кішісі — 28.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 382

Бөлшектерді ең кіші ортақ бөлімге келтір: 1) $\frac{24}{25}$ және $\frac{3}{5}$; 2) $\frac{11}{36}$ және $\frac{7}{12}$; 3) $\frac{3}{4}$ және $\frac{19}{40}$; 4) $\frac{5}{6}$ және $\frac{31}{42}$; 5) $\frac{9}{20}$ және $\frac{13}{40}$; 6) $\frac{17}{25}$ және $\frac{1}{100}$; 7) $\frac{23}{32}$ және $\frac{1}{96}$; 8) $\frac{69}{70}$ және $\frac{139}{140}$.

Қалай ойлаймыз. Барлық жерде үлкен бөлім кішіге бөлінеді. Демек, ол — ортақ бөлім. Тек екінші бөлшекті өзгертеміз.

Шешуі.

1. $\frac{24}{25}$ және $\frac{15}{25}$ (көбейткіш 5).
2. $\frac{11}{36}$ және $\frac{21}{36}$ (көбейткіш 3).
3. $\frac{30}{40}$ және $\frac{19}{40}$ (көбейткіш 10).
4. $\frac{35}{42}$ және $\frac{31}{42}$ (көбейткіш 7).
5. $\frac{18}{40}$ және $\frac{13}{40}$ (көбейткіш 2).
6. $\frac{68}{100}$ және $\frac{1}{100}$ (көбейткіш 4).
7. $\frac{69}{96}$ және $\frac{1}{96}$ (көбейткіш 3).
8. $\frac{138}{140}$ және $\frac{139}{140}$ (көбейткіш 2).

Жауабы: 1) $\frac{24}{25}$, $\frac{15}{25}$; 2) $\frac{11}{36}$, $\frac{21}{36}$; 3) $\frac{30}{40}$, $\frac{19}{40}$; 4) $\frac{35}{42}$, $\frac{31}{42}$; 5) $\frac{18}{40}$, $\frac{13}{40}$; 6) $\frac{68}{100}$, $\frac{1}{100}$; 7) $\frac{69}{96}$, $\frac{1}{96}$; 8) $\frac{138}{140}$, $\frac{139}{140}$.

№ 383

Бөлшектерді ең кіші ортақ бөлімге келтір: 1) $\frac{7}{8}$ және $\frac{2}{3}$; 2) $\frac{6}{7}$ және $\frac{4}{5}$; 3) $\frac{3}{5}$ және $\frac{4}{9}$; 4) $\frac{8}{11}$ және $\frac{5}{6}$; 5) $\frac{9}{10}$ және $\frac{1}{3}$; 6) $\frac{11}{15}$ және $\frac{4}{7}$; 7) $\frac{5}{8}$ және $\frac{1}{11}$; 8) $\frac{17}{20}$ және $\frac{2}{9}$.

Қалай ойлаймыз. Мұнда бөлімдер өзара жай. Ортақ бөлім — олардың көбейтіндісі. Бірінші бөлшектің көбейткіші — екінші бөлім, және керісінше.

Шешуі.

1. $8 \cdot 3 = 24$: $\frac{21}{24}$ және $\frac{16}{24}$.
2. $7 \cdot 5 = 35$: $\frac{30}{35}$ және $\frac{28}{35}$.
3. $5 \cdot 9 = 45$: $\frac{27}{45}$ және $\frac{20}{45}$.
4. $11 \cdot 6 = 66$: $\frac{48}{66}$ және $\frac{55}{66}$.
5. $10 \cdot 3 = 30$: $\frac{27}{30}$ және $\frac{10}{30}$.
6. $15 \cdot 7 = 105$: $\frac{77}{105}$ және $\frac{60}{105}$.
7. $8 \cdot 11 = 88$: $\frac{55}{88}$ және $\frac{8}{88}$.
8. $20 \cdot 9 = 180$: $\frac{153}{180}$ және $\frac{40}{180}$.

Жауабы: 1) $\frac{21}{24}$, $\frac{16}{24}$; 2) $\frac{30}{35}$, $\frac{28}{35}$; 3) $\frac{27}{45}$, $\frac{20}{45}$; 4) $\frac{48}{66}$, $\frac{55}{66}$; 5) $\frac{27}{30}$, $\frac{10}{30}$; 6) $\frac{77}{105}$, $\frac{60}{105}$; 7) $\frac{55}{88}$, $\frac{8}{88}$; 8) $\frac{153}{180}$, $\frac{40}{180}$.

№ 384

Бөлшектерді ең кіші ортақ бөлімге келтір: 1) $\frac{3}{4}$ және $\frac{1}{6}$; 2) $\frac{5}{6}$ және $\frac{7}{8}$; 3) $\frac{9}{10}$ және $\frac{1}{4}$; 4) $\frac{2}{15}$ және $\frac{1}{6}$; 5) $\frac{11}{12}$ және $\frac{3}{8}$; 6) $\frac{1}{16}$ және $\frac{5}{12}$; 7) $\frac{13}{18}$ және $\frac{1}{10}$; 8) $\frac{5}{24}$ және $\frac{15}{16}$.

Қалай ойлаймыз. Бұл — «қиын» жағдай: бөлімдердің ортақ бөлгіші бар, бірақ бірі екіншісіне бөлінбейді. Оларды көбейту тиімсіз — бөлім ең кіші болып шықпайды. ЕКОЕ-ні іздейміз: үлкен бөлімді кішіге бөлінгенше 2-ге, 3-ке… көбейтеміз.

Шешуі.

1. ЕКОЕ (4; 6) = 12: $\frac{9}{12}$ және $\frac{2}{12}$.
2. ЕКОЕ (6; 8) = 24: $\frac{20}{24}$ және $\frac{21}{24}$.
3. ЕКОЕ (10; 4) = 20: $\frac{18}{20}$ және $\frac{5}{20}$.
4. ЕКОЕ (15; 6) = 30: $\frac{4}{30}$ және $\frac{5}{30}$.
5. ЕКОЕ (12; 8) = 24: $\frac{22}{24}$ және $\frac{9}{24}$.
6. ЕКОЕ (16; 12) = 48: $\frac{3}{48}$ және $\frac{20}{48}$.
7. ЕКОЕ (18; 10) = 90: $\frac{65}{90}$ және $\frac{9}{90}$.
8. ЕКОЕ (24; 16) = 48: $\frac{10}{48}$ және $\frac{45}{48}$.

Жауабы: 1) $\frac{9}{12}$, $\frac{2}{12}$; 2) $\frac{20}{24}$, $\frac{21}{24}$; 3) $\frac{18}{20}$, $\frac{5}{20}$; 4) $\frac{4}{30}$, $\frac{5}{30}$; 5) $\frac{22}{24}$, $\frac{9}{24}$; 6) $\frac{3}{48}$, $\frac{20}{48}$; 7) $\frac{65}{90}$, $\frac{9}{90}$; 8) $\frac{10}{48}$, $\frac{45}{48}$.

⚠️ Жиі кететін қате. $\frac{5}{6}$ және $\frac{7}{8}$ үшін $6 \cdot 8 = 48$ бөлімін алады. Бұл — ортақ бөлім, бірақ ең кішісі емес. Сандар үлкен шығады, содан кейін қысқартуға тура келеді.

№ 385

Бөлшектерді ең кіші ортақ бөлімге келтір: 1) $\frac{119}{300}$ және $\frac{23}{60}$; 2) $\frac{3}{25}$ және $\frac{5}{16}$; 3) $\frac{29}{40}$ және $\frac{17}{30}$; 4) $\frac{33}{100}$ және $\frac{77}{900}$; 5) $\frac{2}{55}$ және $\frac{7}{66}$; 6) $\frac{11}{16}$ және $\frac{9}{88}$.

Қалай ойлаймыз. Үлкен бөлімдерді көбейткіштерге жіктеген ыңғайлы. $55 = 5 \cdot 11$, $66 = 2 \cdot 3 \cdot 11$, демек, ЕКОЕ $= 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 11 = 330$.

Шешуі.

1. 300 саны 60-қа бөлінеді: бөлім 300; $\frac{119}{300}$ және $\frac{115}{300}$.
2. 25 және 16 өзара жай: $25 \cdot 16 = 400$; $\frac{48}{400}$ және $\frac{125}{400}$.
3. ЕКОЕ (40; 30) = 120: $\frac{87}{120}$ және $\frac{68}{120}$.
4. 900 саны 100-ге бөлінеді: $\frac{297}{900}$ және $\frac{77}{900}$.
5. ЕКОЕ (55; 66) = 330: $\frac{12}{330}$ және $\frac{35}{330}$.
6. $16 = 2^4$, $88 = 2^3 \cdot 11$, ЕКОЕ $= 16 \cdot 11 = 176$: $\frac{121}{176}$ және $\frac{18}{176}$.

Жауабы: 1) $\frac{119}{300}$, $\frac{115}{300}$; 2) $\frac{48}{400}$, $\frac{125}{400}$; 3) $\frac{87}{120}$, $\frac{68}{120}$; 4) $\frac{297}{900}$, $\frac{77}{900}$; 5) $\frac{12}{330}$, $\frac{35}{330}$; 6) $\frac{121}{176}$, $\frac{18}{176}$.

№ 386

Берілген жай бөлшектерді ең кіші ортақ бөлімге келтіріп, координаталық сәуледе кескінде: 1) $\frac{2}{3}$; $\frac{1}{3}$; $\frac{1}{9}$; $\frac{2}{9}$; 2) $\frac{3}{4}$; $\frac{1}{4}$; $\frac{3}{8}$; $\frac{5}{8}$; 3) $\frac{1}{2}$; $\frac{2}{3}$; $\frac{1}{6}$; $\frac{1}{12}$; 4) $\frac{1}{2}$; $\frac{2}{3}$; $\frac{3}{4}$; $\frac{1}{12}$.

Қалай ойлаймыз. Ортақ бөлім бірлік кесіндіні неше бөлікке бөлу керегін көрсетеді. Кесіндінің ұзындығын бөлік санына қарай 9, 8 немесе 12 торкөз етіп алған ыңғайлы.

Шешуі.

1. Бөлім 9: $\frac{6}{9}$; $\frac{3}{9}$; $\frac{1}{9}$; $\frac{2}{9}$. Бірлік кесінді — 9 торкөз. Нүктелер 1-, 2-, 3- және 6-бөліктерде.
2. Бөлім 8: $\frac{6}{8}$; $\frac{2}{8}$; $\frac{3}{8}$; $\frac{5}{8}$. Кесінді — 8 торкөз. Нүктелер 2-, 3-, 5- және 6-бөліктерде.
3. Бөлім 12: $\frac{6}{12}$; $\frac{8}{12}$; $\frac{2}{12}$; $\frac{1}{12}$. Кесінді — 12 торкөз. Нүктелер 1-, 2-, 6- және 8-бөліктерде.
4. Бөлім 12: $\frac{6}{12}$; $\frac{8}{12}$; $\frac{9}{12}$; $\frac{1}{12}$. Нүктелер 1-, 6-, 8- және 9-бөліктерде.

Жауабы: 1) $\frac{6}{9}$, $\frac{3}{9}$, $\frac{1}{9}$, $\frac{2}{9}$; 2) $\frac{6}{8}$, $\frac{2}{8}$, $\frac{3}{8}$, $\frac{5}{8}$; 3) $\frac{6}{12}$, $\frac{8}{12}$, $\frac{2}{12}$, $\frac{1}{12}$; 4) $\frac{6}{12}$, $\frac{8}{12}$, $\frac{9}{12}$, $\frac{1}{12}$.

B деңгейі

№ 387

Үш бөлшекті ең кіші ортақ бөлімге келтір: 1) $\frac{3}{4}$; $\frac{5}{8}$; $\frac{17}{32}$; 2) $\frac{5}{6}$; $\frac{7}{9}$; $\frac{15}{36}$; 3) $\frac{7}{72}$; $\frac{2}{9}$; $\frac{3}{8}$; 4) $\frac{67}{120}$; $\frac{11}{24}$; $\frac{29}{30}$.

Қалай ойлаймыз. Ең үлкен бөлімді тексер: ол қалғандарына бөлінеді ме? Төрт тармақта да — иә.

Шешуі.

1. 32 саны 4-ке және 8-ге бөлінеді: $\frac{24}{32}$; $\frac{20}{32}$; $\frac{17}{32}$.
2. 36 саны 6-ға және 9-ға бөлінеді: $\frac{30}{36}$; $\frac{28}{36}$; $\frac{15}{36}$.
3. 72 саны 9-ға және 8-ге бөлінеді: $\frac{7}{72}$; $\frac{16}{72}$; $\frac{27}{72}$.
4. 120 саны 24-ке және 30-ға бөлінеді: $\frac{67}{120}$; $\frac{55}{120}$; $\frac{116}{120}$.

Жауабы: 1) $\frac{24}{32}$, $\frac{20}{32}$, $\frac{17}{32}$; 2) $\frac{30}{36}$, $\frac{28}{36}$, $\frac{15}{36}$; 3) $\frac{7}{72}$, $\frac{16}{72}$, $\frac{27}{72}$; 4) $\frac{67}{120}$, $\frac{55}{120}$, $\frac{116}{120}$.

№ 388

Бөлшектерді ең кіші ортақ бөлімге келтір: 1) $\frac{3}{11}$; $\frac{2}{13}$; $\frac{4}{5}$; 2) $\frac{5}{16}$; $\frac{6}{7}$; $\frac{2}{9}$; 3) $\frac{13}{15}$; $\frac{5}{8}$; $\frac{1}{11}$; 4) $\frac{7}{19}$; $\frac{3}{4}$; $\frac{1}{9}$.

Қалай ойлаймыз. Барлық бөлім жұп-жұбымен өзара жай. Ортақ бөлім — үшеуінің көбейтіндісі. Әр бөлшектің көбейткіші — қалған екі бөлімнің көбейтіндісі.

Шешуі.

1. $11 \cdot 13 \cdot 5 = 715$. Көбейткіштер: 65, 55, 143. Шығады: $\frac{195}{715}$; $\frac{110}{715}$; $\frac{572}{715}$.
2. $16 \cdot 7 \cdot 9 = 1008$. Көбейткіштер: 63, 144, 112. Шығады: $\frac{315}{1008}$; $\frac{864}{1008}$; $\frac{224}{1008}$.
3. $15 \cdot 8 \cdot 11 = 1320$. Көбейткіштер: 88, 165, 120. Шығады: $\frac{1144}{1320}$; $\frac{825}{1320}$; $\frac{120}{1320}$.
4. $19 \cdot 4 \cdot 9 = 684$. Көбейткіштер: 36, 171, 76. Шығады: $\frac{252}{684}$; $\frac{513}{684}$; $\frac{76}{684}$.

Жауабы: 1) $\frac{195}{715}$, $\frac{110}{715}$, $\frac{572}{715}$; 2) $\frac{315}{1008}$, $\frac{864}{1008}$, $\frac{224}{1008}$; 3) $\frac{1144}{1320}$, $\frac{825}{1320}$, $\frac{120}{1320}$; 4) $\frac{252}{684}$, $\frac{513}{684}$, $\frac{76}{684}$.

№ 389

Бөлшектерді ең кіші ортақ бөлімге келтір: 1) $\frac{3}{10}$; $\frac{5}{12}$; $\frac{11}{15}$; 2) $\frac{1}{18}$; $\frac{5}{12}$; $\frac{3}{16}$; 3) $\frac{11}{16}$; $\frac{17}{24}$; $\frac{19}{30}$; 4) $\frac{13}{15}$; $\frac{9}{20}$; $\frac{24}{25}$.

Қалай ойлаймыз. Мұнда бірде-бір қысқа жол келмейді. Бөлімдерді жай көбейткіштерге жіктеп, ЕКОЕ-ні табамыз.

Шешуі.

1. ЕКОЕ (10; 12; 15) = 60. Көбейткіштер 6, 5, 4: $\frac{18}{60}$; $\frac{25}{60}$; $\frac{44}{60}$.
2. $18 = 2 \cdot 3^2$, $12 = 2^2 \cdot 3$, $16 = 2^4$; ЕКОЕ $= 2^4 \cdot 3^2 = 144$. Көбейткіштер 8, 12, 9: $\frac{8}{144}$; $\frac{60}{144}$; $\frac{27}{144}$.
3. ЕКОЕ = 240 (жоғарыдағы қадамдарды қара): $\frac{165}{240}$; $\frac{170}{240}$; $\frac{152}{240}$.
4. $15 = 3 \cdot 5$, $20 = 2^2 \cdot 5$, $25 = 5^2$; ЕКОЕ $= 2^2 \cdot 3 \cdot 5^2 = 300$. Көбейткіштер 20, 15, 12: $\frac{260}{300}$; $\frac{135}{300}$; $\frac{288}{300}$.

Жауабы: 1) $\frac{18}{60}$, $\frac{25}{60}$, $\frac{44}{60}$; 2) $\frac{8}{144}$, $\frac{60}{144}$, $\frac{27}{144}$; 3) $\frac{165}{240}$, $\frac{170}{240}$, $\frac{152}{240}$; 4) $\frac{260}{300}$, $\frac{135}{300}$, $\frac{288}{300}$.

№ 390

$\frac{3}{25}$; $\frac{2}{35}$; $\frac{7}{10}$; $\frac{13}{14}$; $\frac{1}{30}$; $\frac{3}{20}$ жай бөлшектерінің арасынан ең кіші ортақ бөлімі 1) 70-ке; 2) 140-қа; 3) 150-ге тең болатын екі жай бөлшекті таңда.

Қалай ойлаймыз. Тек бөлімдерге қараймыз: 25, 35, 10, 14, 30, 20. Жұптың екі бөлімі де керекті санды бөлуі, ал олардың ЕКОЕ-і соған тең болуы керек.

Шешуі.

1. Бөлімдердің ішінде 70-тің бөлгіштері: 35, 10, 14. ЕКОЕ (35; 10) = 70, ЕКОЕ (35; 14) = 70, ЕКОЕ (10; 14) = 70. Кез келген жұп жарайды, мысалы, $\frac{2}{35}$ және $\frac{7}{10}$.
2. 140-тың бөлгіштері: 35, 10, 14, 20. ЕКОЕ 140 болатын жұптар (35; 20) және (14; 20): $\frac{2}{35}$ және $\frac{3}{20}$ немесе $\frac{13}{14}$ және $\frac{3}{20}$.
3. 150-дің бөлгіштері: 25, 10, 30. ЕКОЕ (25; 30) = 150, ал басқа жұптарда одан кіші. Бұл — $\frac{3}{25}$ және $\frac{1}{30}$.

Жауабы: 1) мысалы, $\frac{2}{35}$ және $\frac{7}{10}$ (сондай-ақ $\frac{2}{35}$ және $\frac{13}{14}$, $\frac{7}{10}$ және $\frac{13}{14}$); 2) $\frac{2}{35}$ және $\frac{3}{20}$ немесе $\frac{13}{14}$ және $\frac{3}{20}$; 3) $\frac{3}{25}$ және $\frac{1}{30}$.

C деңгейі

№ 391

$x$-тің қандай мәнінде $\frac{x}{4} = \frac{72}{a}$ теңдігі ақиқат болады? Теңдіктегі $a$-ның мәні — 4 санына еселік болатын ең үлкен екітаңбалы сан.

Қалай ойлаймыз. Алдымен $a$-ны табамыз, содан кейін $\frac{72}{a}$ бөлшегін бөлімі 4 болғанша қысқартамыз.

Шешуі.

1. $96 = 4 \cdot 24$, ал 100 — үштаңбалы сан. Демек, $a = 96$.
2. $\frac{72}{96}$: алым мен бөлімді 24-ке бөлеміз, $\frac{3}{4}$ шығады.
3. $\frac{x}{4} = \frac{3}{4}$, демек, $x = 3$.

Жауабы: $x = 3$.

№ 392

1) $\frac{a}{5} = \frac{48}{c}$ теңдігі үшін ақиқат тұжырымды көрсет: «$a$-ның мәні 5 санына еселік болады», «$c$-ның мәні 5 санына еселік болады». Жауапты түсіндір. 2) $a$-ның мәні ең кіші құрама санға тең. $c$-ның мәнін тап.

Қалай ойлаймыз. Тапқырлыққа есеп. $\frac{a}{5}$ бөлшегінен $\frac{48}{c}$ қалай шыққанын ойла: бөлшектің негізгі қасиеті бойынша алым мен бөлім бір санға көбейтіледі.

Шешуі.

1. $\frac{48}{c}$ бөлшегі $\frac{a}{5}$ бөлшегінен $k$ санына көбейту арқылы шықты делік. Сонда $48 = a \cdot k$ және $c = 5 \cdot k$. Демек, $c$ саны 5-ке еселік. Ал $a$ — 48-дің бөлгіші, ол 5-ке бөлінбейді.
2. Ең кіші құрама сан — 4. Демек, $\frac{4}{5} = \frac{48}{c}$. Алым $48 : 4 = 12$ есе өсті, сондықтан бөлім де сонша өседі: $c = 5 \cdot 12 = 60$.

Жауабы: 1) $c$ саны 5-ке еселік; 2) $c = 60$.

💡 Қызыққан оқушыға қулық жағдай: егер $a = 240$ болса, $\frac{240}{5} = \frac{48}{1}$, және 5-ке еселік енді $a$ болады. Бірақ бөлшекті көбейту арқылы «созғанда» 5-ке еселік дәл $c$ болады.

Жаңа тақырыпты меңгеруге дайындаламыз

№ 393

Атлант мұхитының тереңдігі 3597 м, Үнді мұхитының тереңдігі 3711 м, Тынық мұхитының тереңдігі 3976 м, Солтүстік Мұзды мұхиттың тереңдігі 1225 м. Мұхиттардың аттарын тереңдігіне қарай кему ретімен орналастыр.

Қалай ойлаймыз. Бұл сандардың бәрі төртаңбалы. Разрядтар бойынша солдан оңға қарай салыстырамыз.

Шешуі. Тапсырма «кему ретімен» деп тұр, сондықтан үлкенінен бастаймыз: 3976 > 3711 > 3597 > 1225.

Жауабы: Тынық, Үнді, Атлант, Солтүстік Мұзды.

🌟 Бұл — орташа тереңдіктер. Планетадағы ең терең жер — Тынық мұхитындағы Мариана шұңғымасы, тереңдігі 11 км-ге таяу!

№ 394

Өрнектердің мәндерін тауып, оларды салыстыр: $((16,000 : 32 - 1640 : 82) : 15 \cdot 7000 - 192,000) : 40$ және $((97,264 : 8 + 1,284,200 : 100) : 1000 \cdot 7 + 947) \cdot 100$.

Шешуі. Біріншісі:

1. $16,000 : 32 = 500$; $1640 : 82 = 20$; $500 - 20 = 480$.
2. $480 : 15 = 32$; $32 \cdot 7000 = 224,000$.
3. $224,000 - 192,000 = 32,000$; $32,000 : 40 = 800$.

Екіншісі:

1. $97,264 : 8 = 12,158$; $1,284,200 : 100 = 12,842$; қосынды $25,000$.
2. $25,000 : 1000 = 25$; $25 \cdot 7 = 175$; $175 + 947 = 1122$.
3. $1122 \cdot 100 = 112,200$.

Жауабы: $800 < 112,200$.

№ 395

36 беттен тұратын мәтінді бірінші оператор 9 сағатта, екіншісі 6 сағатта тереді. Олардың өнімділігін салыстыр.

Қалай ойлаймыз. Өнімділік — 1 сағатта неше бет терілетіні.

Шешуі. Біріншісі: $36 : 9 = 4$ бет сағатына. Екіншісі: $36 : 6 = 6$ бет сағатына. $4 < 6$.

Жауабы: екінші оператордың өнімділігі жоғары (сағатына 6 бет, біріншісінде — 4 бет).

№ 396

Теңдеуді шеш және олардың түбірлерін кему ретімен жаз: 1) $319 + x = 502$; 2) $10,000 - x = 1096$; 3) $x \cdot 205 = 2255$; 4) $3417 : x = 17$.

Шешуі.

1. $x = 502 - 319 = 183$.
2. $x = 10,000 - 1096 = 8904$.
3. $x = 2255 : 205 = 11$.
4. $x = 3417 : 17 = 201$.

Жауабы: 8904; 201; 183; 11.

№ 397

$1000 - (58 \cdot 101 - 5000)$ және $(8989 : 89 + 98) - 158$ өрнектерінің мәндерін салыстыр.

Шешуі.

1. $58 \cdot 101 = 5858$; $5858 - 5000 = 858$; $1000 - 858 = 142$.
2. $8989 : 89 = 101$; $101 + 98 = 199$; $199 - 158 = 41$.

Жауабы: $142 > 41$, бірінші өрнек үлкен.

№ 398

Төрт сыныптасыңның бойының ұзындығын жаз. Алынған мәліметтерге өзіңнің бойыңның ұзындығын қосып, сандарды кему ретімен жаз.

Қалай ойлаймыз. Бойды қабырғаның түбінде өлшеуішпен, жақсысы сантиметрмен өлше. Содан кейін сандарды салыстыр.

Шешуі. Мысалы: Айгерім — 148 см, Данияр — 141 см, сен — 145 см, Тимур — 152 см, Мадина — 139 см. Кему ретімен: 152; 148; 145; 141; 139.

Жауабы: әркімдікі әртүрлі; мысалы, Тимур, Айгерім, сен, Данияр, Мадина.

Жадынама

• Ең кіші ортақ бөлім = бөлімдердің ЕКОЕ-і.
• Қосымша көбейткіш = ортақ бөлім : бөлшектің бөлімі.
• Көбейткішке алымды да, бөлімді де көбейтеміз.
• Үлкен бөлім кішіге бөлінсе — ол ортақ бөлім болады.
• Бөлімдер өзара жай болса — оларды көбейтеміз.

Шағын тест