§ 23. Жай бөлшектерді қосу және азайту

Математика, 5 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2017). 3 тарау: Жай бөлшектер және оларға амалдар қолдану. 110–116-беттер.

Нені үйренесің

• Бөлімдері бірдей бөлшектерді қосуды және азайтуды.
• Бөлімдері әртүрлі бөлшектерді қосуды және азайтуды.
• Жауапты қысқартып, одан бүтін бөлікті бөліп алуды.
• Бөлшектері бар теңдеулер мен есептерді шығаруды.

Ой қозғау

Бұл — өткен сабақтағы № 418–420 тапсырмалары.

• Екі санның қосындысы 432, бірі екіншісінен 18-ге артық. Бұл қандай сандар? $432 - 18 = 414$, $414 : 2 = 207$. Сандар — 207 және 225.
• Екі санның қосындысы 537, біріншісі екіншісінен 131-ге кем. Қандай сандар? $537 - 131 = 406$, $406 : 2 = 203$. Сандар — 203 және 334.
• Ұзындығы 7 торкөз тіктөртбұрыштың $\frac{2}{7}$ бөлігін көкке, $\frac{3}{7}$ бөлігін қызылға боядық. Қанша бөлігі боялды? 2 торкөз + 3 торкөз = 5 торкөз, яғни $\frac{5}{7}$.
• Жұлдызда жолақтың $\frac{5}{9}$ бөлігі қалды, одан тағы $\frac{4}{9}$ бөлігін қиып алады. Қанша қалады? 5 тоғыздан бір − 4 тоғыздан бір = $\frac{1}{9}$.

💡 Соңғы екі сұрақта сен бөлшектерді қосып та, азайтып та қойдың! Жай ғана «торкөздерді» және «тоғыздан бірлерді» кәдімгі заттар сияқты санадың.

Тақырыпты талдаймыз

Бірдей тілімдерді қосамыз

Алтыбұрышты 12 тең бөлікке бөлді. 7 бөлігін сары түске, 3 бөлігін жасыл түске боядық. Қанша бөлігі боялды? $7 + 3 = 10$ бөлік, 12-нің ішінен.

Он екіден бірлер — «дана» сияқты. 7 дана мен 3 дана — 10 дана. Бөлім тек қандай дана екенін көрсетеді.

📌 Бөлімдері бірдей болса, алымдарын қосады, ал бөлімін өзгеріссіз қалдырады: $\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c}$.

⚠️ Жиі кететін қате. $\frac{2}{7} + \frac{3}{7} = \frac{5}{14}$ — бөлімдерін де қосып жібереді. Ақылға салып тексер: $\frac{5}{14}$ жарты бөліктен кіші, ал $\frac{2}{7} + \frac{3}{7}$ — бәліштің жартысынан көп! Бөлім өзгермейді.

Азайту да солай

$\frac{5}{8}$ бәліш болды, $\frac{3}{8}$ бөлігін жеп қойды. $5 - 3 = 2$ сегізден бір қалды: $\frac{5}{8} - \frac{3}{8} = \frac{2}{8}$.

📌 $\frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a - b}{c}$: алымнан алымды азайтамыз, бөлім сол күйінде қалады.

Бөлімдері әртүрлі — алдымен ортақ бөлім

Үштен бір мен төрттен бірді бірден қосуға болмайды: тілімдердің өлшемі әртүрлі. Алдымен оларды бірдей тілімдерге «кесеміз» — ортақ бөлімге келтіреміз.

Азайту да осылай: $\frac{9}{10} - \frac{1}{15} = \frac{27}{30} - \frac{2}{30} = \frac{25}{30} = \frac{5}{6}$.

📌 Жауапты әрдайым аяғына дейін жеткіземіз: қысқартылатын бөлшекті қысқартамыз, бұрыс бөлшекті аралас санға айналдырамыз.

Ауыстырымдылық қасиетінің айлалары

Қосудың барлық қасиеттері бөлшектер үшін де орындалады. Демек, қосылғыштардың орнын ауыстыруға және қалағанымызша топтауға болады:

$\frac{15}{21} + \frac{1}{3} + \frac{2}{9} + \frac{6}{21} = \left(\frac{15}{21} + \frac{6}{21}\right) + \left(\frac{1}{3} + \frac{2}{9}\right) = 1 + \frac{5}{9} = 1\frac{5}{9}$.

💡 «Достарды» іздеп көр: бөлімдері бірдей, бірге бүтін санды беретін бөлшектер.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Есептеуден бұрын баладан жауапты шамалап көруін сұраңыз: «жарымнан көп пе, аз ба? бірден көп пе, аз ба?». Бұл бөлімдерді қосып жіберу қатесін тез ұстайды.

Тұжырымды қалай оқимыз

$\frac{2}{7} + \frac{3}{8}$ жазуы былай оқылады: «жетіден екі мен сегізден үштің қосындысы» немесе «жетіден екіге сегізден үшті қосу». $\frac{5}{6} - \frac{3}{5}$ жазуы: «алтыдан бес пен бестен үштің айырымы» немесе «алтыдан беске дейін бестен үшті азайту».

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Бөлімдері бірдей бөлшектерді қалай қосады және азайтады? Алымдарын қосады (азайтады), бөлімін сол күйінде қалдырады.
• Бөлімдері әртүрлі бөлшектерді қалай қосады және азайтады? Ең кіші ортақ бөлімге келтіреді, содан кейін бөлімдері бірдей бөлшектердей әрекет етеді.
• $\frac{15}{21} + \frac{1}{3} + \frac{2}{9} + \frac{6}{21}$ өрнегін есептеуге қосудың қандай қасиеттері көмектесті? Ауыстырымдылық (қосылғыштардың орнын ауыстырдық) және терімділік (жақшаға топтадық).

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 421

Өрнектің мәнін тап: 1) $\frac{1}{9} + \frac{4}{9}$; 2) $\frac{7}{8} - \frac{3}{8}$; 3) $\frac{15}{19} - \frac{6}{19}$; 4) $\frac{5}{16} + \frac{1}{16}$; 5) $\frac{3}{14} + \frac{11}{14}$; 6) $\frac{11}{21} + \frac{4}{21}$.

Қалай ойлаймыз. Бөлімдері бірдей. Тек алымдарымен жұмыс істейміз және қысқартуды ұмытпаймыз.

Шешуі.

1. $\frac{1 + 4}{9} = \frac{5}{9}$.
2. $\frac{7 - 3}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.
3. $\frac{15 - 6}{19} = \frac{9}{19}$.
4. $\frac{5 + 1}{16} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$.
5. $\frac{3 + 11}{14} = \frac{14}{14} = 1$.
6. $\frac{11 + 4}{21} = \frac{15}{21} = \frac{5}{7}$.

Жауабы: 1) $\frac{5}{9}$; 2) $\frac{1}{2}$; 3) $\frac{9}{19}$; 4) $\frac{3}{8}$; 5) 1; 6) $\frac{5}{7}$.

№ 422

Есептеңдер: 1) $\frac{2}{5} + \frac{3}{5}$; 2) $\frac{3}{7} - \frac{2}{7}$; 3) $\frac{7}{20} - \frac{3}{20}$; 4) $\frac{1}{9} + \frac{5}{9}$; 5) $\frac{6}{23} - \frac{2}{23}$; 6) $\frac{3}{20} + \frac{7}{20}$; 7) $\frac{13}{29} - \frac{2}{29}$; 8) $\frac{11}{51} + \frac{13}{51}$; 9) $\frac{17}{72} - \frac{13}{72}$; 10) $\frac{32}{55} + \frac{23}{55}$; 11) $\frac{5}{33} + \frac{6}{33}$; 12) $\frac{13}{48} - \frac{11}{48}$.

Шешуі.

Жауабы: 1) 1; 2) $\frac{1}{7}$; 3) $\frac{1}{5}$; 4) $\frac{2}{3}$; 5) $\frac{4}{23}$; 6) $\frac{1}{2}$; 7) $\frac{11}{29}$; 8) $\frac{8}{17}$; 9) $\frac{1}{18}$; 10) 1; 11) $\frac{1}{3}$; 12) $\frac{1}{24}$.

№ 423

Қосындының мәнін табыңдар: 1) $\frac{1}{10} + \frac{9}{100}$; 2) $\frac{27}{100} + \frac{7}{10}$; 3) $\frac{7}{5} + \frac{7}{10}$; 4) $\frac{2}{3} + \frac{5}{9}$; 5) $\frac{15}{24} + \frac{1}{6}$; 6) $\frac{5}{9} + \frac{2}{27}$.

Қалай ойлаймыз. Барлық жерде үлкен бөлім кішіге бөлінеді — ол ортақ бөлім болады.

Шешуі.

1. $\frac{10}{100} + \frac{9}{100} = \frac{19}{100}$.
2. $\frac{27}{100} + \frac{70}{100} = \frac{97}{100}$.
3. $\frac{14}{10} + \frac{7}{10} = \frac{21}{10} = 2\frac{1}{10}$.
4. $\frac{6}{9} + \frac{5}{9} = \frac{11}{9} = 1\frac{2}{9}$.
5. $\frac{15}{24} + \frac{4}{24} = \frac{19}{24}$.
6. $\frac{15}{27} + \frac{2}{27} = \frac{17}{27}$.

Жауабы: 1) $\frac{19}{100}$; 2) $\frac{97}{100}$; 3) $2\frac{1}{10}$; 4) $1\frac{2}{9}$; 5) $\frac{19}{24}$; 6) $\frac{17}{27}$.

№ 424

Қосуды орындаңдар: 1) $\frac{2}{45} + \frac{7}{9}$; 2) $\frac{2}{5} + \frac{4}{25}$; 3) $\frac{1}{6} + \frac{7}{18}$; 4) $\frac{19}{42} + \frac{6}{7}$; 5) $\frac{3}{32} + \frac{5}{8}$; 6) $\frac{3}{8} + \frac{1}{56}$.

Шешуі.

1. $\frac{2}{45} + \frac{35}{45} = \frac{37}{45}$.
2. $\frac{10}{25} + \frac{4}{25} = \frac{14}{25}$.
3. $\frac{3}{18} + \frac{7}{18} = \frac{10}{18} = \frac{5}{9}$.
4. $\frac{19}{42} + \frac{36}{42} = \frac{55}{42} = 1\frac{13}{42}$.
5. $\frac{3}{32} + \frac{20}{32} = \frac{23}{32}$.
6. $\frac{21}{56} + \frac{1}{56} = \frac{22}{56} = \frac{11}{28}$.

Жауабы: 1) $\frac{37}{45}$; 2) $\frac{14}{25}$; 3) $\frac{5}{9}$; 4) $1\frac{13}{42}$; 5) $\frac{23}{32}$; 6) $\frac{11}{28}$.

№ 425

Азайтуды орындаңдар: 1) $\frac{1}{3} - \frac{1}{9}$; 2) $\frac{10}{21} - \frac{1}{3}$; 3) $\frac{14}{15} - \frac{3}{5}$; 4) $\frac{17}{18} - \frac{1}{9}$; 5) $\frac{4}{9} - \frac{13}{45}$; 6) $\frac{1}{3} - \frac{7}{30}$.

Шешуі.

1. $\frac{3}{9} - \frac{1}{9} = \frac{2}{9}$.
2. $\frac{10}{21} - \frac{7}{21} = \frac{3}{21} = \frac{1}{7}$.
3. $\frac{14}{15} - \frac{9}{15} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}$.
4. $\frac{17}{18} - \frac{2}{18} = \frac{15}{18} = \frac{5}{6}$.
5. $\frac{20}{45} - \frac{13}{45} = \frac{7}{45}$.
6. $\frac{10}{30} - \frac{7}{30} = \frac{3}{30} = \frac{1}{10}$.

Жауабы: 1) $\frac{2}{9}$; 2) $\frac{1}{7}$; 3) $\frac{1}{3}$; 4) $\frac{5}{6}$; 5) $\frac{7}{45}$; 6) $\frac{1}{10}$.

№ 426

Өрнектің мәнін табыңдар: 1) $\frac{1}{5} - \frac{1}{6}$; 2) $\frac{3}{4} - \frac{1}{3}$; 3) $\frac{7}{9} - \frac{2}{11}$; 4) $\frac{3}{4} - \frac{4}{9}$; 5) $\frac{7}{8} - \frac{5}{12}$; 6) $\frac{11}{12} - \frac{11}{18}$.

Қалай ойлаймыз. 1–4-тармақтарда бөлімдері өзара жай — көбейтеміз. 5 және 6-да ЕКОЕ-ні іздейміз.

Шешуі.

1. $\frac{6}{30} - \frac{5}{30} = \frac{1}{30}$.
2. $\frac{9}{12} - \frac{4}{12} = \frac{5}{12}$.
3. $\frac{77}{99} - \frac{18}{99} = \frac{59}{99}$.
4. $\frac{27}{36} - \frac{16}{36} = \frac{11}{36}$.
5. ЕКОЕ (8; 12) = 24: $\frac{21}{24} - \frac{10}{24} = \frac{11}{24}$.
6. ЕКОЕ (12; 18) = 36: $\frac{33}{36} - \frac{22}{36} = \frac{11}{36}$.

Жауабы: 1) $\frac{1}{30}$; 2) $\frac{5}{12}$; 3) $\frac{59}{99}$; 4) $\frac{11}{36}$; 5) $\frac{11}{24}$; 6) $\frac{11}{36}$.

№ 427

Амалдарды орындаңдар: 1) $\frac{7}{12} + \frac{7}{20}$; 2) $\frac{3}{8} + \frac{1}{18}$; 3) $\frac{1}{12} + \frac{11}{14}$; 4) $\frac{2}{15} + \frac{7}{12}$; 5) $\frac{9}{14} - \frac{5}{12}$; 6) $\frac{19}{75} + \frac{7}{50}$.

Шешуі.

1. ЕКОЕ (12; 20) = 60: $\frac{35}{60} + \frac{21}{60} = \frac{56}{60} = \frac{14}{15}$.
2. ЕКОЕ (8; 18) = 72: $\frac{27}{72} + \frac{4}{72} = \frac{31}{72}$.
3. ЕКОЕ (12; 14) = 84: $\frac{7}{84} + \frac{66}{84} = \frac{73}{84}$.
4. ЕКОЕ (15; 12) = 60: $\frac{8}{60} + \frac{35}{60} = \frac{43}{60}$.
5. ЕКОЕ (14; 12) = 84: $\frac{54}{84} - \frac{35}{84} = \frac{19}{84}$.
6. ЕКОЕ (75; 50) = 150: $\frac{38}{150} + \frac{21}{150} = \frac{59}{150}$.

Жауабы: 1) $\frac{14}{15}$; 2) $\frac{31}{72}$; 3) $\frac{73}{84}$; 4) $\frac{43}{60}$; 5) $\frac{19}{84}$; 6) $\frac{59}{150}$.

📕 Оқулықтың соңындағы жауаптарда № 427 (6) үшін $\frac{54}{150}$ тұр, бірақ дұрысы — $\frac{59}{150}$: $\frac{19}{75} = \frac{38}{150}$, $\frac{7}{50} = \frac{21}{150}$, ал $38 + 21 = 59$.

№ 428

Есептеңдер: 1) $\frac{25}{28} - \frac{2}{21}$; 2) $\frac{41}{54} - \frac{35}{72}$; 3) $\frac{20}{21} - \frac{3}{14}$; 4) $\frac{40}{143} + \frac{39}{110}$; 5) $\frac{43}{140} + \frac{41}{150}$; 6) $\frac{73}{80} - \frac{37}{100}$.

Қалай ойлаймыз. Бөлімдері үлкен — оларды көбейткіштерге жіктейміз. Мысалы, $143 = 11 \cdot 13$, $110 = 2 \cdot 5 \cdot 11$, ЕКОЕ $= 2 \cdot 5 \cdot 11 \cdot 13 = 1430$.

Шешуі.

1. ЕКОЕ (28; 21) = 84: $\frac{75}{84} - \frac{8}{84} = \frac{67}{84}$.
2. ЕКОЕ (54; 72) = 216: $\frac{164}{216} - \frac{105}{216} = \frac{59}{216}$.
3. ЕКОЕ (21; 14) = 42: $\frac{40}{42} - \frac{9}{42} = \frac{31}{42}$.
4. ЕКОЕ (143; 110) = 1430: $\frac{400}{1430} + \frac{507}{1430} = \frac{907}{1430}$.
5. ЕКОЕ (140; 150) = 2100: $\frac{645}{2100} + \frac{574}{2100} = \frac{1219}{2100}$.
6. ЕКОЕ (80; 100) = 400: $\frac{365}{400} - \frac{148}{400} = \frac{217}{400}$.

Жауабы: 1) $\frac{67}{84}$; 2) $\frac{59}{216}$; 3) $\frac{31}{42}$; 4) $\frac{907}{1430}$; 5) $\frac{1219}{2100}$; 6) $\frac{217}{400}$.

№ 429

Назгүл кітаптың $\frac{2}{5}$-сін оқыды, сонан соң тағы $\frac{1}{5}$-ін оқыды. Ол кітаптың қанша бөлігін оқыды?

Шешуі. $\frac{2}{5} + \frac{1}{5} = \frac{3}{5}$.

Жауабы: кітаптың $\frac{3}{5}$ бөлігі.

№ 430

Бірінші күні жолдың $\frac{1}{7}$-і, екінші күні $\frac{2}{7}$-сі асфальтталды. Жолдың қандай бөлігі асфальтталмаған?

Қалай ойлаймыз. Бүкіл жол — бір бүтін, яғни $\frac{7}{7}$. Одан істелгенін азайтамыз.

Шешуі.

1. Екі күнде: $\frac{1}{7} + \frac{2}{7} = \frac{3}{7}$.
2. Қалғаны: $\frac{7}{7} - \frac{3}{7} = \frac{4}{7}$.

Жауабы: жолдың $\frac{4}{7}$ бөлігі.

№ 431

Дүкенге аяқкиімдер әкелінген. Бірінші күні әкелінген аяқкиімнің $\frac{2}{11}$-сі, екінші күні $\frac{3}{11}$-і сатылды. Екі күнде аяқкиімдердің қанша бөлігі сатылды?

Шешуі. $\frac{2}{11} + \frac{3}{11} = \frac{5}{11}$.

Жауабы: аяқкиімнің $\frac{5}{11}$ бөлігі.

№ 432

Спортшы бірінші минутта белгіленген аралықтың $\frac{2}{9}$-сін, екінші минутта $\frac{5}{9}$ бөлігін жүгіріп өтті. Ол екі минутта жолдың қанша бөлігін жүгіріп өтті?

Шешуі. $\frac{2}{9} + \frac{5}{9} = \frac{7}{9}$.

Жауабы: аралықтың $\frac{7}{9}$ бөлігі.

№ 433

Экскаватор бірінші күні ордың $\frac{3}{10}$-ін, екінші күні $\frac{1}{15}$-ін қазды. Экскаватор екі күнде ордың қанша бөлігін қазып шықты?

Шешуі. ЕКОЕ (10; 15) = 30: $\frac{9}{30} + \frac{2}{30} = \frac{11}{30}$.

Жауабы: ордың $\frac{11}{30}$ бөлігі.

№ 434

Теңдеуді шешіңдер: 1) $\frac{9}{16} - x = \frac{1}{2}$; 2) $x + \frac{2}{3} = \frac{7}{8}$; 3) $\frac{1}{2} + x = \frac{23}{24}$; 4) $x - \frac{3}{8} = \frac{1}{4}$.

Қалай ойлаймыз. Ережелері натурал сандардағыдай. Белгісіз қосылғыш = қосынды − белгілі қосылғыш. Белгісіз азайтқыш = азайғыш − айырым. Белгісіз азайғыш = айырым + азайтқыш.

Шешуі.

1. $x = \frac{9}{16} - \frac{1}{2} = \frac{9}{16} - \frac{8}{16} = \frac{1}{16}$.
2. $x = \frac{7}{8} - \frac{2}{3} = \frac{21}{24} - \frac{16}{24} = \frac{5}{24}$.
3. $x = \frac{23}{24} - \frac{1}{2} = \frac{23}{24} - \frac{12}{24} = \frac{11}{24}$.
4. $x = \frac{1}{4} + \frac{3}{8} = \frac{2}{8} + \frac{3}{8} = \frac{5}{8}$.

Жауабы: 1) $\frac{1}{16}$; 2) $\frac{5}{24}$; 3) $\frac{11}{24}$; 4) $\frac{5}{8}$.

№ 435

Теңдеудің түбірін табыңдар: 1) $\frac{1}{4} + y = \frac{3}{7}$; 2) $y - \frac{5}{12} = \frac{3}{10}$; 3) $y + \frac{4}{11} = \frac{3}{5}$; 4) $\frac{4}{15} + y = \frac{11}{25}$.

Шешуі.

1. $y = \frac{3}{7} - \frac{1}{4} = \frac{12}{28} - \frac{7}{28} = \frac{5}{28}$.
2. $y = \frac{3}{10} + \frac{5}{12} = \frac{18}{60} + \frac{25}{60} = \frac{43}{60}$.
3. $y = \frac{3}{5} - \frac{4}{11} = \frac{33}{55} - \frac{20}{55} = \frac{13}{55}$.
4. $y = \frac{11}{25} - \frac{4}{15} = \frac{33}{75} - \frac{20}{75} = \frac{13}{75}$.

Жауабы: 1) $\frac{5}{28}$; 2) $\frac{43}{60}$; 3) $\frac{13}{55}$; 4) $\frac{13}{75}$.

B деңгейі

№ 436

Өрнектің мәнін табыңдар: 1) $\frac{5}{8} + \frac{5}{6} + \frac{7}{12}$; 2) $\frac{1}{5} + \frac{3}{8} - \frac{2}{9}$; 3) $\frac{1}{4} + \frac{2}{9} - \frac{5}{36}$; 4) $\frac{3}{4} + \frac{4}{5} + \frac{1}{20}$; 5) $\frac{3}{4} + \frac{5}{12} - \frac{1}{9}$; 6) $\frac{4}{15} + \frac{2}{5} + \frac{7}{10}$.

Қалай ойлаймыз. Үш бөлшекті бірден бір ортақ бөлімге келтіреміз — үшеуінің ЕКОЕ-не.

Шешуі.

1. Бөлімі 24: $\frac{15}{24} + \frac{20}{24} + \frac{14}{24} = \frac{49}{24} = 2\frac{1}{24}$.
2. Бөлімі 360: $\frac{72}{360} + \frac{135}{360} - \frac{80}{360} = \frac{127}{360}$.
3. Бөлімі 36: $\frac{9}{36} + \frac{8}{36} - \frac{5}{36} = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}$.
4. Бөлімі 20: $\frac{15}{20} + \frac{16}{20} + \frac{1}{20} = \frac{32}{20} = 1\frac{12}{20} = 1\frac{3}{5}$.
5. Бөлімі 36: $\frac{27}{36} + \frac{15}{36} - \frac{4}{36} = \frac{38}{36} = 1\frac{2}{36} = 1\frac{1}{18}$.
6. Бөлімі 30: $\frac{8}{30} + \frac{12}{30} + \frac{21}{30} = \frac{41}{30} = 1\frac{11}{30}$.

Жауабы: 1) $2\frac{1}{24}$; 2) $\frac{127}{360}$; 3) $\frac{1}{3}$; 4) $1\frac{3}{5}$; 5) $1\frac{1}{18}$; 6) $1\frac{11}{30}$.

№ 437

Есептеңдер: 1) $\frac{1}{2} + \frac{4}{7} - \frac{3}{14}$; 2) $\frac{1}{5} - \frac{2}{15} + \frac{1}{30}$; 3) $\frac{1}{10} + \frac{7}{20} - \frac{2}{40}$; 4) $\frac{17}{20} - \frac{3}{10} - \frac{11}{60}$; 5) $\frac{3}{20} + \frac{7}{10} - \frac{3}{40}$; 6) $\frac{9}{40} + \frac{3}{4} - \frac{19}{20}$.

Шешуі.

1. $\frac{7}{14} + \frac{8}{14} - \frac{3}{14} = \frac{12}{14} = \frac{6}{7}$.
2. $\frac{6}{30} - \frac{4}{30} + \frac{1}{30} = \frac{3}{30} = \frac{1}{10}$.
3. $\frac{4}{40} + \frac{14}{40} - \frac{2}{40} = \frac{16}{40} = \frac{2}{5}$.
4. $\frac{51}{60} - \frac{18}{60} - \frac{11}{60} = \frac{22}{60} = \frac{11}{30}$.
5. $\frac{6}{40} + \frac{28}{40} - \frac{3}{40} = \frac{31}{40}$.
6. $\frac{9}{40} + \frac{30}{40} - \frac{38}{40} = \frac{1}{40}$.

Жауабы: 1) $\frac{6}{7}$; 2) $\frac{1}{10}$; 3) $\frac{2}{5}$; 4) $\frac{11}{30}$; 5) $\frac{31}{40}$; 6) $\frac{1}{40}$.

№ 438

Өрнектің мәнін табыңдар: 1) $\frac{79}{80} - \left(\frac{3}{16} + \frac{39}{80}\right)$; 2) $\frac{2}{45} + \left(\frac{41}{45} - \frac{7}{9}\right)$; 3) $\frac{7}{15} - \left(\frac{2}{15} + \frac{1}{5}\right)$; 4) $\frac{3}{16} + \left(\frac{15}{16} - \frac{5}{8}\right)$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен жақшадағы амал, содан кейін екінші амал.

Шешуі.

1. Жақша: $\frac{15}{80} + \frac{39}{80} = \frac{54}{80}$. Сонан соң $\frac{79}{80} - \frac{54}{80} = \frac{25}{80} = \frac{5}{16}$.
2. Жақша: $\frac{41}{45} - \frac{35}{45} = \frac{6}{45}$. Сонан соң $\frac{2}{45} + \frac{6}{45} = \frac{8}{45}$.
3. Жақша: $\frac{2}{15} + \frac{3}{15} = \frac{5}{15}$. Сонан соң $\frac{7}{15} - \frac{5}{15} = \frac{2}{15}$.
4. Жақша: $\frac{15}{16} - \frac{10}{16} = \frac{5}{16}$. Сонан соң $\frac{3}{16} + \frac{5}{16} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$.

Жауабы: 1) $\frac{5}{16}$; 2) $\frac{8}{45}$; 3) $\frac{2}{15}$; 4) $\frac{1}{2}$.

№ 439

Амалдарды орындаңдар: 1) $\frac{31}{60} + \left(\frac{7}{20} + \frac{11}{60}\right)$; 2) $\frac{53}{54} - \left(\frac{1}{6} + \frac{7}{9}\right)$; 3) $\frac{13}{35} + \left(\frac{23}{35} - \frac{2}{7}\right)$; 4) $\frac{7}{16} - \left(\frac{3}{4} - \frac{5}{16}\right)$.

Шешуі.

1. Жақша: $\frac{21}{60} + \frac{11}{60} = \frac{32}{60}$. Сонан соң $\frac{31}{60} + \frac{32}{60} = \frac{63}{60} = 1\frac{3}{60} = 1\frac{1}{20}$.
2. Жақша: $\frac{9}{54} + \frac{42}{54} = \frac{51}{54}$. Сонан соң $\frac{53}{54} - \frac{51}{54} = \frac{2}{54} = \frac{1}{27}$.
3. Жақша: $\frac{23}{35} - \frac{10}{35} = \frac{13}{35}$. Сонан соң $\frac{13}{35} + \frac{13}{35} = \frac{26}{35}$.
4. Жақша: $\frac{12}{16} - \frac{5}{16} = \frac{7}{16}$. Сонан соң $\frac{7}{16} - \frac{7}{16} = 0$.

Жауабы: 1) $1\frac{1}{20}$; 2) $\frac{1}{27}$; 3) $\frac{26}{35}$; 4) 0.

№ 440

Жай бөлшекті екі жай бөлшектің қосындысы түрінде жазыңдар: 1) $\frac{5}{11}$; 2) $\frac{7}{9}$; 3) $\frac{9}{13}$; 4) $\frac{6}{17}$.

Қалай ойлаймыз. Ең оңайы — бөлімін сол күйінде қалдырып, алымын екі қосылғышқа бөлу.

Шешуі.

1. $\frac{5}{11} = \frac{2}{11} + \frac{3}{11}$.
2. $\frac{7}{9} = \frac{2}{9} + \frac{5}{9}$.
3. $\frac{9}{13} = \frac{4}{13} + \frac{5}{13}$.
4. $\frac{6}{17} = \frac{1}{17} + \frac{5}{17}$.

Жауабы: мысалы, $\frac{2}{11} + \frac{3}{11}$; $\frac{2}{9} + \frac{5}{9}$; $\frac{4}{13} + \frac{5}{13}$; $\frac{1}{17} + \frac{5}{17}$. Басқа нұсқалар да бар.

№ 441

Қосындысының мәні 1-ге тең болатындай 1) $\frac{8}{9}$; 2) $\frac{3}{5}$; 3) $\frac{10}{19}$; 4) $\frac{8}{13}$; 5) $\frac{41}{50}$; 6) $\frac{58}{69}$ бөлшегіне қандай жай бөлшекті қосу керек?

Қалай ойлаймыз. Бір — алымы бөліміне тең бөлшек. Жетпейтіні — «бөлім минус алым» бөлік.

Шешуі. 1) $\frac{9}{9} - \frac{8}{9} = \frac{1}{9}$; 2) $\frac{2}{5}$; 3) $\frac{9}{19}$; 4) $\frac{5}{13}$; 5) $\frac{9}{50}$; 6) $\frac{11}{69}$.

Жауабы: 1) $\frac{1}{9}$; 2) $\frac{2}{5}$; 3) $\frac{9}{19}$; 4) $\frac{5}{13}$; 5) $\frac{9}{50}$; 6) $\frac{11}{69}$.

№ 442

Санды $\frac{5}{12}$-ке арттырғанда $\frac{17}{36}$ бөлшегі шықты. Арттырылған санды табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Теңдеу құрамыз: $x + \frac{5}{12} = \frac{17}{36}$.

Шешуі. $x = \frac{17}{36} - \frac{5}{12} = \frac{17}{36} - \frac{15}{36} = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$.

Жауабы: $\frac{1}{18}$.

№ 443

Ыдыста $\frac{7}{16}$ кг бал болды. Бос ыдыстың массасы балдың массасынан $\frac{3}{20}$ кг жеңіл. Бал салынған ыдыстың массасын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Екі қадам: алдымен бос ыдыстың массасын табамыз, сосын балды қосамыз.

Шешуі.

1. Бос ыдыс: $\frac{7}{16} - \frac{3}{20} = \frac{35}{80} - \frac{12}{80} = \frac{23}{80}$ кг.
2. Балымен: $\frac{7}{16} + \frac{23}{80} = \frac{35}{80} + \frac{23}{80} = \frac{58}{80} = \frac{29}{40}$ кг.

Жауабы: $\frac{29}{40}$ кг.

⚠️ Жиі кететін қате. $\frac{23}{80}$ кг деп жауап береді — бұл тек бос ыдыс. Сұрақты қайта оқы: бізге балы бар ыдыс керек.

№ 444

Бір сағатта Жанболат үй тапсырмасының $\frac{1}{5}$-ін, ал екінші сағатта одан үй тапсырмасының $\frac{1}{6}$-ін артық орындайды. Ол екі сағатта үй тапсырмасының қандай бөлігін орындайды?

Қалай ойлаймыз. Екінші сағатта Жанболат біріншіге қарағанда $\frac{1}{6}$ бөлікке артық жұмыс істейді, сондықтан екінші сағаттағы үлесті табу үшін $\frac{1}{6}$-ді қосамыз.

Шешуі.

1. Екінші сағатта: $\frac{1}{5} + \frac{1}{6} = \frac{6}{30} + \frac{5}{30} = \frac{11}{30}$.
2. Екі сағатта барлығы: $\frac{1}{5} + \frac{11}{30} = \frac{6}{30} + \frac{11}{30} = \frac{17}{30}$.

Жауабы: $\frac{17}{30}$ үй тапсырмасы.

№ 445

Егер: 1) $k = \frac{5}{6}$ болса, онда $k + \frac{3}{4}$; 2) $k = \frac{1}{6}$ болса, онда $\frac{9}{10} - k$ өрнегінің мәнін табыңдар.

Шешуі.

1. $\frac{5}{6} + \frac{3}{4} = \frac{10}{12} + \frac{9}{12} = \frac{19}{12} = 1\frac{7}{12}$.
2. $\frac{9}{10} - \frac{1}{6} = \frac{27}{30} - \frac{5}{30} = \frac{22}{30} = \frac{11}{15}$.

Жауабы: 1) $1\frac{7}{12}$; 2) $\frac{11}{15}$.

№ 446

1) $a = \frac{1}{3}$; $b = \frac{4}{5}$; $c = \frac{1}{12}$ болғанда $a + b - c$ өрнегінің; 2) $a = \frac{2}{7}$; $b = \frac{1}{6}$; $c = \frac{1}{9}$ болғанда $a - b + c$ өрнегінің мәнін табыңдар.

Шешуі.

1. Бөлімі 60: $\frac{20}{60} + \frac{48}{60} - \frac{5}{60} = \frac{63}{60} = 1\frac{3}{60} = 1\frac{1}{20}$.
2. ЕКОЕ (7; 6; 9) = 126: $\frac{36}{126} - \frac{21}{126} + \frac{14}{126} = \frac{29}{126}$.

Жауабы: 1) $1\frac{1}{20}$; 2) $\frac{29}{126}$.

№ 447

Теңдеуді шешіңдер: 1) $x + \frac{4}{21} = \frac{2}{3} + \frac{2}{7}$; 2) $y + \frac{1}{4} = \frac{4}{5} - \frac{3}{10}$; 3) $\left(\frac{4}{5} - x\right) + \frac{13}{20} = \frac{7}{10}$; 4) $\frac{2}{3} - \left(\frac{2}{9} + x\right) = \frac{1}{3}$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен оң жағын ықшамдаймыз. Белгісіз жақшаның ішінде тұрса, жақшаның өзін толықтай белгісіз деп аламыз.

Шешуі.

1. Оң жағы: $\frac{14}{21} + \frac{6}{21} = \frac{20}{21}$. Сонда $x = \frac{20}{21} - \frac{4}{21} = \frac{16}{21}$.
2. Оң жағы: $\frac{8}{10} - \frac{3}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$. Сонда $y = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$.
3. Жақша $= \frac{7}{10} - \frac{13}{20} = \frac{14}{20} - \frac{13}{20} = \frac{1}{20}$. Сонда $x = \frac{4}{5} - \frac{1}{20} = \frac{16}{20} - \frac{1}{20} = \frac{15}{20} = \frac{3}{4}$.
4. Жақша $= \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$. Сонда $x = \frac{1}{3} - \frac{2}{9} = \frac{3}{9} - \frac{2}{9} = \frac{1}{9}$.

Жауабы: 1) $\frac{16}{21}$; 2) $\frac{1}{4}$; 3) $\frac{3}{4}$; 4) $\frac{1}{9}$.

C деңгейі

№ 448

Бірінші күні $\frac{2}{15}$ т көгөніс, екінші күні бірінші күнге қарағанда $\frac{1}{21}$ т артық көгөніс сатылды. Үшінші күні бірінші және екінші күндері сатылған көгөністен $\frac{4}{35}$ т кем сатылды. Үшінші күні қанша тонна сатылған?

Қалай ойлаймыз. Күндер бойынша жүреміз: екінші күн — біріншісі арқылы, үшінші — алғашқы екеуінің қосындысы арқылы. 15, 21 және 35 үшін ортақ бөлім — 105.

Шешуі.

1. Екінші күні: $\frac{2}{15} + \frac{1}{21} = \frac{14}{105} + \frac{5}{105} = \frac{19}{105}$ т.
2. Бірінші және екінші күні бірге: $\frac{14}{105} + \frac{19}{105} = \frac{33}{105} = \frac{11}{35}$ т.
3. Үшінші күні: $\frac{11}{35} - \frac{4}{35} = \frac{7}{35} = \frac{1}{5}$ т.

Жауабы: $\frac{1}{5}$ т.

№ 449

Алымы ең кіші жай санға, ал бөлімі 31 санына еселік екітаңбалы сандарды беретін барлық мүмкін болатын жай бөлшектерді жазыңдар. Жазылған бөлшектердің қосындысының мәнін табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Ең кіші жай сан — 2. 31-ге еселік екітаңбалы сандар: 31, 62, 93 (124 — үштаңбалы).

Шешуі.

1. Бөлшектер: $\frac{2}{31}$; $\frac{2}{62}$; $\frac{2}{93}$.
2. ЕКОЕ (31; 62; 93) = 186: $\frac{12}{186} + \frac{6}{186} + \frac{4}{186} = \frac{22}{186} = \frac{11}{93}$.

Жауабы: $\frac{2}{31}$, $\frac{2}{62}$, $\frac{2}{93}$; қосындысы $\frac{11}{93}$.

№ 450

Самал ойлаған санына $\frac{5}{33}$ бөлшегін қосып, қосындының мәнінен $\frac{9}{10}$ азайтты. Айырымның мәніне $\frac{47}{330}$ бөлшегін қосқанда бір саны шықты. Самал қандай сан ойлаған?

Қалай ойлаймыз. «Соңынан» шығарылатын есеп: әр амалды кері амалға ауыстырып, бірден кері қарай жүреміз. Барлық бөлшектің ортақ бөлімі — 330.

Шешуі.

1. Соңғы қадамға дейін: $1 - \frac{47}{330} = \frac{283}{330}$.
2. $\frac{9}{10}$ азайтқанға дейін: $\frac{283}{330} + \frac{297}{330} = \frac{580}{330}$.
3. $\frac{5}{33}$ қосқанға дейін: $\frac{580}{330} - \frac{50}{330} = \frac{530}{330} = \frac{53}{33} = 1\frac{20}{33}$.
4. Тексеру: $\frac{530}{330} + \frac{50}{330} - \frac{297}{330} + \frac{47}{330} = \frac{330}{330} = 1$ ✓.

Жауабы: $1\frac{20}{33}$.

Жаңа тақырыпты меңгеруге дайындаламыз

№ 451

Өрнектің мәнін табыңдар: 1) $354 + 1239 + 646 + 761$; 2) $\frac{4}{7} + \frac{15}{19} + \frac{3}{7} + \frac{4}{19}$.

Қалай ойлаймыз. «Достарды» топтаймыз: олар дөңгелек санды береді.

Шешуі.

1. $(354 + 646) + (1239 + 761) = 1000 + 2000 = 3000$.
2. $\left(\frac{4}{7} + \frac{3}{7}\right) + \left(\frac{15}{19} + \frac{4}{19}\right) = 1 + 1 = 2$.

Жауабы: 1) 3000; 2) 2.

№ 452

Бөлшекті қысқартыңдар: 1) $\frac{15 \cdot 7}{30 \cdot 4}$; 2) $\frac{15 \cdot 11}{18 \cdot 33}$; 3) $\frac{7 \cdot 9 \cdot 25}{21 \cdot 3 \cdot 50}$; 4) $\frac{16 \cdot 13 \cdot 23}{69 \cdot 8 \cdot 26}$; 5) $\frac{29 \cdot 5 \cdot 13}{52 \cdot 20 \cdot 58}$; 6) $\frac{37 \cdot 39 \cdot 75}{111 \cdot 42 \cdot 100}$.

Қалай ойлаймыз. Көбейтпе! Көбейткіштерді үстінен және астынан жұптап қысқарт.

Шешуі.

1. $15$ пен $30$-ды 15-ке қысқартамыз: $\frac{1 \cdot 7}{2 \cdot 4} = \frac{7}{8}$.
2. $\frac{15}{18} = \frac{5}{6}$, $\frac{11}{33} = \frac{1}{3}$: $\frac{5 \cdot 1}{6 \cdot 3} = \frac{5}{18}$.
3. $\frac{7}{21} = \frac{1}{3}$, $\frac{9}{3} = 3$, $\frac{25}{50} = \frac{1}{2}$: $\frac{1 \cdot 3 \cdot 1}{3 \cdot 1 \cdot 2} = \frac{1}{2}$.
4. $\frac{16}{8} = 2$, $\frac{13}{26} = \frac{1}{2}$, $\frac{23}{69} = \frac{1}{3}$: $\frac{2 \cdot 1 \cdot 1}{1 \cdot 2 \cdot 3} = \frac{1}{3}$.
5. $\frac{29}{58} = \frac{1}{2}$, $\frac{5}{20} = \frac{1}{4}$, $\frac{13}{52} = \frac{1}{4}$: $\frac{1}{2 \cdot 4 \cdot 4} = \frac{1}{32}$.
6. $\frac{37}{111} = \frac{1}{3}$, $\frac{39}{42} = \frac{13}{14}$, $\frac{75}{100} = \frac{3}{4}$: $\frac{1 \cdot 13 \cdot 3}{3 \cdot 14 \cdot 4} = \frac{13}{56}$.

Жауабы: 1) $\frac{7}{8}$; 2) $\frac{5}{18}$; 3) $\frac{1}{2}$; 4) $\frac{1}{3}$; 5) $\frac{1}{32}$; 6) $\frac{13}{56}$.

№ 453

1) $\frac{787}{25}$; 2) $\frac{144}{17}$; 3) $\frac{1000}{33}$ бөлшектерін аралас сан түрінде жазыңдар.

Шешуі.

1. $787 : 25 = 31$ (қалдығы 12): $31\frac{12}{25}$.
2. $144 : 17 = 8$ (қалдығы 8): $8\frac{8}{17}$.
3. $1000 : 33 = 30$ (қалдығы 10): $30\frac{10}{33}$.

Жауабы: 1) $31\frac{12}{25}$; 2) $8\frac{8}{17}$; 3) $30\frac{10}{33}$.

№ 454

$3\frac{15}{41}$; $11\frac{9}{37}$; $100\frac{1}{19}$ аралас сандарын бұрыс бөлшек түрінде жазыңдар.

Шешуі.

1. $3 \cdot 41 + 15 = 138$: $\frac{138}{41}$.
2. $11 \cdot 37 + 9 = 416$: $\frac{416}{37}$.
3. $100 \cdot 19 + 1 = 1901$: $\frac{1901}{19}$.

Жауабы: $\frac{138}{41}$; $\frac{416}{37}$; $\frac{1901}{19}$.

Жадынама

• Бөлімдері тең — тек алымдарын қосамыз немесе азайтамыз.
• Бөлімдері әртүрлі — ең кіші ортақ бөлімге келтіреміз.
• Жауапты қысқартамыз, бұрыс бөлшекті аралас санға айналдырамыз.
• Қосылғыштардың орнын ауыстырып, топтап, бүтін сан шығар.
• Теңдеулер натурал сандардағы ережелермен шешіледі.

Шағын тест