§ 24. Аралас сандарды қосу

Математика, 5 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2017). 3 тарау: Жай бөлшектер және оларға амалдар қолдану. 117–120-беттер.

Нені үйренесің

• Аралас сандарды қосуды: бүтінді бүтінге, бөлшекті бөлшекке.
• Аралас санға натурал санды немесе жай бөлшекті қосуды.
• Бөлшек бөлік «толып кеткенін» байқап, артық бүтінді бүтін бөлікке көшіруді.
• Аралас сандарды қосуды қажет ететін теңдеулер мен есептерді шығаруды.

Ой қозғау

Бұл — өткен сабақтағы № 451, 453 және 454 тапсырмалар. Алдымен ойша жауап бер, содан кейін жауабын ашып қара.

• $354 + 1239 + 646 + 761$ — мұны қалай тез есептеуге болады? Жұптап қос: $(354 + 646) + (1239 + 761) = 1000 + 2000 = 3000$.
• Ал $\frac{4}{7} + \frac{15}{19} + \frac{3}{7} + \frac{4}{19}$ ше? Мұнда да жұптап қосамыз: $\left(\frac{4}{7} + \frac{3}{7}\right) + \left(\frac{15}{19} + \frac{4}{19}\right) = 1 + 1 = 2$.
• $\frac{787}{25}$ бөлшегін аралас сан түрінде жаз. $787 : 25 = 31$ (қалдық 12), демек, $31\frac{12}{25}$.
• Ал $\frac{144}{17}$ ше? $144 : 17 = 8$ (қалдық 8): $8\frac{8}{17}$.
• Ал $\frac{1000}{33}$ ше? $1000 : 33 = 30$ (қалдық 10): $30\frac{10}{33}$.
• $3\frac{15}{41}$ санын бұрыс бөлшек түрінде жаз. $3 \cdot 41 + 15 = 138$, яғни $\frac{138}{41}$.
• Ал $11\frac{9}{37}$ және $100\frac{1}{19}$ ше? $\frac{416}{37}$ және $\frac{1901}{19}$.

💡 Алғашқы екі мысалды байқадың ба? «Өз-өзін» қосқан ыңғайлы. Бүгін аралас сандармен де солай істейміз: бүтінді бүтінге, бөлшекті бөлшекке қосамыз.

Тақырыпты талдаймыз

Бүтінді бүтінге, бөлшекті бөлшекке

Анам $2\frac{3}{4}$ кг алма сатып алды, ал әжем тағы $1\frac{2}{4}$ кг алып келді. Барлығы неше килограмм алма болды? Әр санды бөліктерге жіктейік: $2\frac{3}{4} = 2 + \frac{3}{4}$, ал $1\frac{2}{4} = 1 + \frac{2}{4}$.

Қосылғыштарды кез келген ретпен қосуға болады. Сондықтан бүтіндерді бөлек қосамыз: $2 + 1 = 3$. Ал бөлшектерді бөлек қосамыз: $\frac{3}{4} + \frac{2}{4} = \frac{5}{4}$.

$3\frac{5}{4}$ шықты. Бірақ $\frac{5}{4}$ — бұрыс бөлшек: оның ішінде бір бүтін жасырынып жатыр. $\frac{5}{4} = 1\frac{1}{4}$, демек, барлығы $3 + 1\frac{1}{4} = 4\frac{1}{4}$ кг.

📌 Аралас сандарды қалай қосамыз. 1) Бүтін бөліктерін қос. 2) Бөлшек бөліктерін қос (бөлімдері әртүрлі болса — алдымен ортақ бөлімге келтір). 3) Бөлшек бұрыс болып шықса, одан бүтінді бөліп алып, бүтіндерге қос. Бөлшек қысқарса — қысқарт.

Бөлімдері әртүрлі болғанда

Күрделірек мысал алайық: $2\frac{7}{24} + 5\frac{29}{32}$. Бүтіндерді қосу оңай. Ал бөлшектердің бөлімдері әртүрлі, оларды ортақ бөлімге келтіру керек.

⚠️ Жиі кететін қате. Жауапты $7\frac{115}{96}$ деп жазып, тоқтап қалу. Аралас санның бөлшек бөлігі әрқашан бірден кіші болады. Алымы бөлімінен үлкен болса — бүтінді бөліп ал!

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Баладан жауапты «көзбен мөлшерлеп» болжап көруін сұраңыз: бүтін бөліктері $2 + 5 = 7$, екі бөлшек бірге 2-ден кем, демек, жауап 7 мен 9 аралығында. Мұндай болжам өрескел қателерді ұстап алады.

Қосылғыш — жай сан немесе жай бөлшек болса

Натурал сан — бөлшек бөлігі жоқ аралас сан. Сондықтан $6 + 5\frac{2}{9} = 11\frac{2}{9}$: бүтіндерді қостық, бөлшек сол күйі қалды.

Ал дұрыс бөлшек — бүтін бөлігі жоқ аралас сан: $3\frac{1}{8} + \frac{5}{8} = 3\frac{6}{8} = 3\frac{3}{4}$.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Аралас сандарды басқа тәсілмен қалай қосуға болады? Екі санды да бұрыс бөлшекке айналдырып, қосып, жауапты қайтадан аралас сан түрінде жазамыз: $1\frac{1}{2} + 2\frac{1}{4} = \frac{6}{4} + \frac{9}{4} = \frac{15}{4} = 3\frac{3}{4}$. Тәсіл жұмыс істейді, бірақ сандар үлкен болса ыңғайсыз.
• Натурал сан мен аралас санның қосындысын қалай табамыз? Натурал санды аралас санның бүтін бөлігіне қосамыз, бөлшек бөлігін өзгертпейміз: $8 + 2\frac{3}{5} = 10\frac{3}{5}$.
• Дұрыс бөлшек пен аралас санды қалай қосамыз? Бөлшекті бөлшек бөлікке қосамыз, бүтін бөлік әзірге өзгермейді: $4\frac{1}{6} + \frac{2}{6} = 4\frac{3}{6} = 4\frac{1}{2}$. Бөлшектер бірге бірден асып кетсе, артық бүтінді бүтін бөлікке көшіреміз.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 455

Қосындының мәнін табыңдар: 1) $3 + \frac{1}{7}$; 2) $6 + 5\frac{2}{9}$; 3) $5 + 4\frac{9}{10}$; 4) $9\frac{13}{16} + 23$; 5) $4\frac{2}{6} + 2\frac{3}{6}$; 6) $10\frac{9}{13} + 8\frac{3}{13}$; 7) $6\frac{5}{16} + 2\frac{3}{16}$; 8) $2\frac{5}{22} + 8\frac{15}{22}$; 9) $5\frac{29}{40} + 4\frac{31}{40}$.

Қалай ойлаймыз. Барлық жерде бөлімдері бірдей. Бүтіндерді және алымдарды қосамыз, содан кейін бүтінді бөліп алу не қысқарту керек пе, соны қараймыз.

Шешуі.

1. $3 + \frac{1}{7} = 3\frac{1}{7}$.
2. $6 + 5\frac{2}{9} = 11\frac{2}{9}$.
3. $5 + 4\frac{9}{10} = 9\frac{9}{10}$.
4. $9\frac{13}{16} + 23 = 32\frac{13}{16}$.
5. $4\frac{2}{6} + 2\frac{3}{6} = 6\frac{5}{6}$.
6. $10\frac{9}{13} + 8\frac{3}{13} = 18\frac{12}{13}$.
7. $6\frac{5}{16} + 2\frac{3}{16} = 8\frac{8}{16} = 8\frac{1}{2}$.
8. $2\frac{5}{22} + 8\frac{15}{22} = 10\frac{20}{22} = 10\frac{10}{11}$.
9. $5\frac{29}{40} + 4\frac{31}{40} = 9\frac{60}{40} = 9 + 1\frac{20}{40} = 10\frac{1}{2}$.

Жауабы: 1) $3\frac{1}{7}$; 2) $11\frac{2}{9}$; 3) $9\frac{9}{10}$; 4) $32\frac{13}{16}$; 5) $6\frac{5}{6}$; 6) $18\frac{12}{13}$; 7) $8\frac{1}{2}$; 8) $10\frac{10}{11}$; 9) $10\frac{1}{2}$.

№ 456

Өрнектің мәнін табыңдар: 1) $2\frac{58}{61} + 1\frac{12}{61}$; 2) $4\frac{121}{300} + 7\frac{199}{300}$; 3) $5\frac{380}{401} + 1\frac{127}{401}$; 4) $4\frac{253}{540} + 18\frac{307}{540}$.

Қалай ойлаймыз. Бөлімдері бірдей, бірақ алымдары үлкен. Төрт мысалдың бәрінде де бөлшектер бірге бірден асады.

Шешуі.

1. $3\frac{70}{61} = 3 + 1\frac{9}{61} = 4\frac{9}{61}$.
2. $11\frac{320}{300} = 12\frac{20}{300} = 12\frac{1}{15}$ (20-ға қысқарттық).
3. $6\frac{507}{401} = 7\frac{106}{401}$.
4. $22\frac{560}{540} = 23\frac{20}{540} = 23\frac{1}{27}$ (20-ға қысқарттық).

Жауабы: 1) $4\frac{9}{61}$; 2) $12\frac{1}{15}$; 3) $7\frac{106}{401}$; 4) $23\frac{1}{27}$.

№ 457

Қосудың мәнін табыңдар: 1) $2\frac{1}{6} + 2\frac{5}{12}$; 2) $9\frac{3}{8} + 7\frac{5}{6}$; 3) $5\frac{1}{10} + 8\frac{3}{8}$; 4) $6\frac{2}{15} + 42\frac{18}{25}$; 5) $5\frac{3}{18} + 18\frac{1}{27}$; 6) $9\frac{3}{20} + 7\frac{4}{15}$; 7) $2\frac{19}{44} + 5\frac{52}{66}$; 8) $38\frac{21}{26} + 14\frac{34}{39}$; 9) $6\frac{11}{12} + 3\frac{15}{16}$.

Қалай ойлаймыз. Бөлімдері әртүрлі: алдымен ЕКОЕ-ні табамыз, бөлшектерді ортақ бөлімге келтіреміз, сосын қосамыз. 5) және 7) мысалдарда бөлшекті алдымен қысқарту ыңғайлы.

Шешуі.

1. Ортақ бөлім 12: $\frac{2}{12} + \frac{5}{12} = \frac{7}{12}$; жауабы $4\frac{7}{12}$.
2. Ортақ бөлім 24: $\frac{9}{24} + \frac{20}{24} = \frac{29}{24} = 1\frac{5}{24}$; $16 + 1\frac{5}{24} = 17\frac{5}{24}$.
3. Ортақ бөлім 40: $\frac{4}{40} + \frac{15}{40} = \frac{19}{40}$; жауабы $13\frac{19}{40}$.
4. Ортақ бөлім 75: $\frac{10}{75} + \frac{54}{75} = \frac{64}{75}$; жауабы $48\frac{64}{75}$.
5. $\frac{3}{18} = \frac{1}{6}$; ортақ бөлім 54: $\frac{9}{54} + \frac{2}{54} = \frac{11}{54}$; жауабы $23\frac{11}{54}$.
6. Ортақ бөлім 60: $\frac{9}{60} + \frac{16}{60} = \frac{25}{60} = \frac{5}{12}$; жауабы $16\frac{5}{12}$.
7. $\frac{52}{66} = \frac{26}{33}$; ортақ бөлім 132: $\frac{57}{132} + \frac{104}{132} = \frac{161}{132} = 1\frac{29}{132}$; $7 + 1\frac{29}{132} = 8\frac{29}{132}$.
8. Ортақ бөлім 78: $\frac{63}{78} + \frac{68}{78} = \frac{131}{78} = 1\frac{53}{78}$; $52 + 1\frac{53}{78} = 53\frac{53}{78}$.
9. Ортақ бөлім 48: $\frac{44}{48} + \frac{45}{48} = \frac{89}{48} = 1\frac{41}{48}$; $9 + 1\frac{41}{48} = 10\frac{41}{48}$.

Жауабы: 1) $4\frac{7}{12}$; 2) $17\frac{5}{24}$; 3) $13\frac{19}{40}$; 4) $48\frac{64}{75}$; 5) $23\frac{11}{54}$; 6) $16\frac{5}{12}$; 7) $8\frac{29}{132}$; 8) $53\frac{53}{78}$; 9) $10\frac{41}{48}$.

№ 458

Теңдеуді шешіңдер: 1) $x - 2\frac{7}{12} = 5\frac{3}{18}$; 2) $x - 26\frac{7}{21} = 100\frac{5}{28}$; 3) $x - 37\frac{17}{54} = 15\frac{16}{45}$; 4) $x - 33\frac{21}{25} = 42\frac{17}{35}$.

Қалай ойлаймыз. Мұндағы $x$ — азайғыш. Оны табу үшін айырмаға азайтқышты қосамыз.

Шешуі.

1. $x = 5\frac{3}{18} + 2\frac{7}{12} = 5\frac{6}{36} + 2\frac{21}{36} = 7\frac{27}{36} = 7\frac{3}{4}$.
2. $x = 100\frac{5}{28} + 26\frac{1}{3} = 100\frac{15}{84} + 26\frac{28}{84} = 126\frac{43}{84}$.
3. $x = 15\frac{16}{45} + 37\frac{17}{54} = 15\frac{96}{270} + 37\frac{85}{270} = 52\frac{181}{270}$.
4. $x = 42\frac{17}{35} + 33\frac{21}{25} = 42\frac{85}{175} + 33\frac{147}{175} = 75\frac{232}{175} = 76\frac{57}{175}$.

Жауабы: 1) $7\frac{3}{4}$; 2) $126\frac{43}{84}$; 3) $52\frac{181}{270}$; 4) $76\frac{57}{175}$.

№ 459

Екі ыдыс бірдей көлемдегі сумен толтырылды. Бірінші ыдыстағы судың $\frac{5}{7}$-і, екіншісіндегі судың $\frac{5}{9}$-і жұмсалды. Есепке сұрақ құрастырыңдар және шығарыңдар.

Қалай ойлаймыз. Ыдыстар бірдей, сондықтан «бүтін» ортақ — бір толық ыдыс. Қайсысынан көп алынғанын, барлығы қанша алынғанын және қанша қалғанын сұрауға болады.

Шешуі.

1. Қай ыдыстан көп алынды? $\frac{5}{7} > \frac{5}{9}$: алымдары тең, ал бірінші бөлшектің бөлімі кіші. Бірінші ыдыстан.
2. Қаншаға көп? $\frac{5}{7} - \frac{5}{9} = \frac{45}{63} - \frac{35}{63} = \frac{10}{63}$ ыдыс.
3. Барлығы қанша су жұмсалды? $\frac{45}{63} + \frac{35}{63} = \frac{80}{63} = 1\frac{17}{63}$ ыдыс.
4. Екі ыдыста қанша су қалды? Біріншісінде $\frac{2}{7}$, екіншісінде $\frac{4}{9}$: $\frac{18}{63} + \frac{28}{63} = \frac{46}{63}$ ыдыс.

Жауабы: мысалы, барлығы $1\frac{17}{63}$ ыдыс су жұмсалды, $\frac{46}{63}$ ыдыс қалды; бірінші ыдыстан $\frac{10}{63}$ ыдысқа көп алынды.

№ 460

Ұзындықтары бірдей қызғылт, көк және жасыл түсті жолақ алынды. Қызғылт жолақтың ұзындығының $\frac{1}{12}$-і, көктен $\frac{5}{6}$-і, жасылдан $\frac{4}{9}$-і қиып алынды. Есепке сұрақ құрастырыңдар және шығарыңдар.

Қалай ойлаймыз. Бүтін ретінде бір жолақты аламыз. 12, 6 және 9 сандарының ортақ бөлімі — 36.

Шешуі.

1. Қай жолақтан ең көп қиылды? $\frac{1}{12} = \frac{3}{36}$, $\frac{5}{6} = \frac{30}{36}$, $\frac{4}{9} = \frac{16}{36}$. Ең көбі — көк жолақтан.
2. Барлығы қанша қиылды? $\frac{3}{36} + \frac{30}{36} + \frac{16}{36} = \frac{49}{36} = 1\frac{13}{36}$ жолақ.
3. Үш жолақтан қанша қалды? Қалғандары: $\frac{11}{12}$, $\frac{1}{6}$, $\frac{5}{9}$. Бірге $\frac{33}{36} + \frac{6}{36} + \frac{20}{36} = \frac{59}{36} = 1\frac{23}{36}$ жолақ.
4. Тексеру: $1\frac{13}{36} + 1\frac{23}{36} = 2\frac{36}{36} = 3$ жолақ ✓.

Жауабы: мысалы, ең көп көк жолақтан қиылды; барлығы $1\frac{13}{36}$ жолақ қиылды, $1\frac{23}{36}$ жолақ қалды.

№ 461

Ансамбль мүшелеріне киім тігу үшін мата сатып алынды. Қыз балалардың костюмін тігуге $10\frac{2}{15}$ м, ер балалардың костюміне $8\frac{7}{10}$ м мата жұмсалды. Барлығы неше метр мата жұмсалды?

Шешуі. $10\frac{2}{15} + 8\frac{7}{10} = 10\frac{4}{30} + 8\frac{21}{30} = 18\frac{25}{30} = 18\frac{5}{6}$ м.

Жауабы: $18\frac{5}{6}$ м.

№ 462

Бірінші егістіктен $13\frac{5}{9}$ т, екіншісінен оған қарағанда $11\frac{1}{6}$ т артық бидай жиналды. Екі егістіктен барлығы неше тонна бидай жиналды?

Қалай ойлаймыз. Алдымен екінші егістіктің өнімін табамыз, содан кейін екеуін қосамыз.

Шешуі.

1. Екінші егістік: $13\frac{5}{9} + 11\frac{1}{6} = 13\frac{10}{18} + 11\frac{3}{18} = 24\frac{13}{18}$ т.
2. Екі егістік: $13\frac{10}{18} + 24\frac{13}{18} = 37\frac{23}{18} = 38\frac{5}{18}$ т.

Жауабы: $38\frac{5}{18}$ т.

B деңгейі

№ 463

Қосындының мәнін табыңдар: 1) $4\frac{3}{5} + 2\frac{5}{7} + 5\frac{9}{35}$; 2) $1\frac{2}{3} + 6\frac{4}{15} + 8\frac{17}{45}$; 3) $8\frac{3}{40} + 12\frac{11}{20} + 6\frac{7}{80}$; 4) $5\frac{7}{20} + 20\frac{4}{15} + 12\frac{11}{60}$; 5) $5\frac{2}{5} + 19\frac{9}{10} + 4\frac{33}{50}$; 6) $31\frac{7}{9} + 4\frac{11}{27} + 35\frac{43}{54}$.

Қалай ойлаймыз. Үш қосылғыш болса да тәсіл сол: барлық бүтіндерді бірге, барлық бөлшектерді бірге қосамыз. Әр мысалда ең үлкен бөлім қалғандарына бөлінеді — бұл ыңғайлы.

Шешуі.

1. Бүтіндері: 11. Бөлшектері (ортақ бөлім 35): $\frac{21 + 25 + 9}{35} = \frac{55}{35} = 1\frac{20}{35} = 1\frac{4}{7}$. Барлығы $12\frac{4}{7}$.
2. Бүтіндері: 15. Бөлшектері (ортақ бөлім 45): $\frac{30 + 12 + 17}{45} = \frac{59}{45} = 1\frac{14}{45}$. Барлығы $16\frac{14}{45}$.
3. Бүтіндері: 26. Бөлшектері (ортақ бөлім 80): $\frac{6 + 44 + 7}{80} = \frac{57}{80}$. Барлығы $26\frac{57}{80}$.
4. Бүтіндері: 37. Бөлшектері (ортақ бөлім 60): $\frac{21 + 16 + 11}{60} = \frac{48}{60} = \frac{4}{5}$. Барлығы $37\frac{4}{5}$.
5. Бүтіндері: 28. Бөлшектері (ортақ бөлім 50): $\frac{20 + 45 + 33}{50} = \frac{98}{50} = 1\frac{48}{50} = 1\frac{24}{25}$. Барлығы $29\frac{24}{25}$.
6. Бүтіндері: 70. Бөлшектері (ортақ бөлім 54): $\frac{42 + 22 + 43}{54} = \frac{107}{54} = 1\frac{53}{54}$. Барлығы $71\frac{53}{54}$.

Жауабы: 1) $12\frac{4}{7}$; 2) $16\frac{14}{45}$; 3) $26\frac{57}{80}$; 4) $37\frac{4}{5}$; 5) $29\frac{24}{25}$; 6) $71\frac{53}{54}$.

№ 464

Қосуды орындаңдар: 1) $3\frac{161}{175} + \left(53\frac{13}{25} + 18\frac{34}{35}\right)$; 2) $9\frac{21}{25} + \left(30\frac{4}{15} + 18\frac{64}{75}\right)$; 3) $78\frac{37}{48} + \left(39\frac{23}{24} + 14\frac{15}{16}\right)$; 4) $304\frac{59}{80} + \left(99\frac{21}{40} + 14\frac{127}{160}\right)$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен жақшаны, сосын бірінші қосылғышты қосамыз. Бірінші қосылғыштың бөлімі бүкіл мысалдың ортақ бөлімін меңзейді.

Шешуі.

1. Жақша: $53\frac{91}{175} + 18\frac{170}{175} = 71\frac{261}{175} = 72\frac{86}{175}$. Сосын $3\frac{161}{175} + 72\frac{86}{175} = 75\frac{247}{175} = 76\frac{72}{175}$.
2. Жақша: $30\frac{20}{75} + 18\frac{64}{75} = 48\frac{84}{75} = 49\frac{9}{75} = 49\frac{3}{25}$. Сосын $9\frac{21}{25} + 49\frac{3}{25} = 58\frac{24}{25}$.
3. Жақша: $39\frac{46}{48} + 14\frac{45}{48} = 53\frac{91}{48} = 54\frac{43}{48}$. Сосын $78\frac{37}{48} + 54\frac{43}{48} = 132\frac{80}{48} = 133\frac{32}{48} = 133\frac{2}{3}$.
4. Жақша: $99\frac{84}{160} + 14\frac{127}{160} = 113\frac{211}{160} = 114\frac{51}{160}$. Сосын $304\frac{118}{160} + 114\frac{51}{160} = 418\frac{169}{160} = 419\frac{9}{160}$.

Жауабы: 1) $76\frac{72}{175}$; 2) $58\frac{24}{25}$; 3) $133\frac{2}{3}$; 4) $419\frac{9}{160}$.

№ 465

Қосуды тиімді тәсілмен орындаңдар: 1) $\left(8\frac{13}{20} + 11\frac{19}{30}\right) + \left(9\frac{7}{20} + 12\frac{11}{30}\right)$; 2) $\left(21\frac{22}{35} + 5\frac{17}{21}\right) + \left(9\frac{13}{35} + 24\frac{4}{21}\right)$.

Қалай ойлаймыз. Қосылғыштардың орнын ауыстырайық: бөлімдері бірдей бөлшектер қатар тұрсын. Олар дәл бір-бірден береді!

Шешуі.

1. $\left(8\frac{13}{20} + 9\frac{7}{20}\right) + \left(11\frac{19}{30} + 12\frac{11}{30}\right) = 18 + 24 = 42$.
2. $\left(21\frac{22}{35} + 9\frac{13}{35}\right) + \left(5\frac{17}{21} + 24\frac{4}{21}\right) = 31 + 30 = 61$.

Жауабы: 1) 42; 2) 61.

№ 466

Теңдеуді шешіңдер: 1) $x - 24\frac{5}{8} = 30\frac{5}{6} + 41\frac{7}{12}$; 2) $x - 49\frac{7}{12} = 51\frac{5}{6} + 10\frac{1}{18}$; 3) $x - 92\frac{3}{10} = 8\frac{19}{20} + 4\frac{2}{15}$; 4) $x - 44\frac{13}{15} = 44\frac{1}{21} + 50\frac{2}{35}$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен оң жағын есептейміз — бұл айырма. Содан кейін $x$ = айырма + азайтқыш.

Шешуі.

1. Оң жағы: $30\frac{10}{12} + 41\frac{7}{12} = 71\frac{17}{12} = 72\frac{5}{12}$. $x = 72\frac{10}{24} + 24\frac{15}{24} = 96\frac{25}{24} = 97\frac{1}{24}$.
2. Оң жағы: $51\frac{15}{18} + 10\frac{1}{18} = 61\frac{16}{18} = 61\frac{8}{9}$. $x = 61\frac{32}{36} + 49\frac{21}{36} = 110\frac{53}{36} = 111\frac{17}{36}$.
3. Оң жағы: $8\frac{57}{60} + 4\frac{8}{60} = 12\frac{65}{60} = 13\frac{1}{12}$. $x = 13\frac{5}{60} + 92\frac{18}{60} = 105\frac{23}{60}$.
4. Оң жағы: $44\frac{5}{105} + 50\frac{6}{105} = 94\frac{11}{105}$. $x = 94\frac{11}{105} + 44\frac{91}{105} = 138\frac{102}{105} = 138\frac{34}{35}$.

Жауабы: 1) $97\frac{1}{24}$; 2) $111\frac{17}{36}$; 3) $105\frac{23}{60}$; 4) $138\frac{34}{35}$.

№ 467

Бірінші сан $\frac{3}{4}$-ке тең, ал әр келесісі алдыңғысынан $\frac{4}{5}$-ке артық болатын бірнеше сан тізбектей жазылған. Осы тізбектегі бесінші орында тұрған санды табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Бірінші саннан бесіншіге дейін — $\frac{4}{5}$-тен 4 қадам. Жиырмадан бөліктермен: $\frac{3}{4} = \frac{15}{20}$, $\frac{4}{5} = \frac{16}{20}$.

Шешуі.

1. Біріншісі: $\frac{15}{20}$.
2. Екіншісі: $\frac{15}{20} + \frac{16}{20} = \frac{31}{20} = 1\frac{11}{20}$.
3. Үшіншісі: $1\frac{11}{20} + \frac{16}{20} = 1\frac{27}{20} = 2\frac{7}{20}$.
4. Төртіншісі: $2\frac{7}{20} + \frac{16}{20} = 2\frac{23}{20} = 3\frac{3}{20}$.
5. Бесіншісі: $3\frac{3}{20} + \frac{16}{20} = 3\frac{19}{20}$.

Жауабы: $3\frac{19}{20}$.

№ 468

Құдыққа лақтырылған тас бірінші секундта $4\frac{1}{5}$ м, ал келесі әрбір секундта алдыңғыдан $6\frac{1}{4}$ м артық жол жүріп отырады. Егер тас су бетіне 5 с-та жетсе, құдықтың тереңдігі қандай?

Қалай ойлаймыз. Тас әр секунд сайын жылдамдай түседі. 5 секундтың әрқайсысындағы жолды тауып, қосамыз: бұл — тереңдік.

Шешуі. Секундтар бойынша тас $4\frac{1}{5}$; $10\frac{9}{20}$; $16\frac{7}{10}$; $22\frac{19}{20}$; $29\frac{1}{5}$ м ұшады. Бәрі бірге: $81\frac{50}{20} = 83\frac{1}{2}$ м.

Жауабы: $83\frac{1}{2}$ м (соңғы, бесінші секундта тас $29\frac{1}{5}$ м ұшты).

📕 Оқулықтың № 468 жауабында $29\frac{1}{5}$ м тұр, бірақ бұл — тек бесінші секундтағы жол. Құдықтың тереңдігі — 5 секундтағы бүкіл жол: $83\frac{1}{2}$ м.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Мұнда «бесінші секундтағы жолды» және «бес секундтағы жолды» шатастыру оңай. Баладан сұраңыз: құдықтың тереңдігі — тастың бүкіл жолы ма, әлде тек соңғы бөлігі ме?

№ 469

Эстафетаға 5 спортшы қатысты. Біріншісі өзіне тиісті кезеңді $4\frac{13}{60}$ мин, екіншісі $4\frac{1}{4}$ мин, үшіншісі $4\frac{1}{12}$ мин, төртіншісі $4\frac{1}{10}$ мин және бесіншісі $4\frac{2}{15}$ мин жүгіріп өтті. Қай спортшы өзіне тиісті жолды жылдам жүгіріп өткен? Спортшылар барлық жолға қанша уақыт жұмсады?

Қалай ойлаймыз. Бәрінде 4 бүтін минуттан, сондықтан тек бөлшектерді салыстырамыз. Оларды алпыстан бөліктерге келтірген ыңғайлы: $\frac{1}{60}$ мин — бұл 1 секунд.

Шешуі.

1. Бөлшектері: $\frac{13}{60}$, $\frac{15}{60}$, $\frac{5}{60}$, $\frac{6}{60}$, $\frac{8}{60}$. Ең кішісі $\frac{5}{60}$ — үшінші спортшыда (4 мин 5 с).
2. Бүкіл эстафета: $4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 20$ мин және тағы $\frac{13 + 15 + 5 + 6 + 8}{60} = \frac{47}{60}$ мин. Барлығы $20\frac{47}{60}$ мин.

Жауабы: ең жылдамы — үшінші спортшы; бүкіл эстафета $20\frac{47}{60}$ мин.

№ 470

Ұшаққа мінерде жолаушылардың жүктері өлшенеді. 30 кг-ға дейінгі жүк тегін тасымалданады. Жолаушының бір шабаданы $13\frac{2}{3}$ кг, екіншісі $11\frac{1}{6}$ кг, сөмкесі $5\frac{8}{9}$ кг болды. Осы жүктерді алып жүру үшін оған ақша төлеу керек пе?

Шешуі. $13\frac{12}{18} + 11\frac{3}{18} + 5\frac{16}{18} = 29\frac{31}{18} = 30\frac{13}{18}$ кг. Бұл 30 кг-нан $\frac{13}{18}$ кг артық.

Жауабы: иә, жүктің салмағы $30\frac{13}{18}$ кг — артық салмағы $\frac{13}{18}$ кг.

№ 471

Жан-жағынан қоршалған жер телімінің ені $19\frac{3}{4}$ м, ал ұзындығы енінен $5\frac{2}{3}$ м-ге артық. Осы жер қоршауының периметрін табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Периметр — төрт қабырғаның қосындысы: екі ұзындық пен екі ен.

Шешуі.

1. Ұзындығы: $19\frac{9}{12} + 5\frac{8}{12} = 24\frac{17}{12} = 25\frac{5}{12}$ м.
2. Ұзындығы + ені: $25\frac{5}{12} + 19\frac{9}{12} = 44\frac{14}{12} = 45\frac{1}{6}$ м.
3. Периметрі: $45\frac{1}{6} + 45\frac{1}{6} = 90\frac{2}{6} = 90\frac{1}{3}$ м.

Жауабы: $90\frac{1}{3}$ м.

C деңгейі

№ 472

Бірінші күні $5\frac{9}{16}$ га, екінші күні бірінші күнге қарағанда $\frac{7}{24}$ га артық ауданнан астық жиналды. Үшінші күні астық бірінші және екінші күндері жиналған ауданнан $\frac{3}{8}$ га артық жиналды. Үш күнде барлығы қанша гектар ауданнан астық жиналды?

Қалай ойлаймыз. Алғашқы екі күннің қосындысы екі рет керек: үшінші күн үшін және қорытынды үшін. Сондықтан оны бөлек табамыз.

Шешуі. 2-күні $5\frac{41}{48}$ га; екі күн бірге $11\frac{5}{12}$ га; 3-күні $11\frac{19}{24}$ га; барлығы $11\frac{5}{12} + 11\frac{19}{24} = 23\frac{5}{24}$ га.

Жауабы: $23\frac{5}{24}$ га.

№ 473

Сұрақ құрастырып есепті шығарыңдар: анасы 2700 тг-ге 6 ас қасық, ал 2200 тг-ге 8 шай қасық сатып алды.

Қалай ойлаймыз. Мұнда бәрі бүтін сандармен. Бір қасықтың бағасы, бағалардың айырмасы және бүкіл сатып алудың құны туралы сұрауға болады.

Шешуі.

1. Бір ас қасық қанша тұрады? $2700 : 6 = 450$ тг.
2. Бір шай қасық қанша тұрады? $2200 : 8 = 275$ тг.
3. Ас қасық шай қасықтан қаншаға қымбат? $450 - 275 = 175$ тг.
4. Анасы бүкіл сатып алуға қанша төледі? $2700 + 2200 = 4900$ тг.

Жауабы: мысалы, ас қасық — 450 тг, шай қасық — 275 тг, ас қасық 175 тг-ге қымбат; барлығы 4900 тг.

№ 474

$5\frac{1}{15} + 7\frac{7}{20} + 10\frac{11}{15} + 5\frac{47}{60} + 1\frac{1}{15}$ өрнегінің мәні 5 және 6 сандарының ең кіші ортақ еселігіне тең болатыны ақиқат па?

Қалай ойлаймыз. ЕКОЕ(5; 6) = 30. Қосындыны есептейміз, бөлімдері бірдей бөлшектерді топтаймыз.

Шешуі.

1. Бүтіндері: $5 + 7 + 10 + 5 + 1 = 28$.
2. Он бестен бөліктері: $\frac{1}{15} + \frac{11}{15} + \frac{1}{15} = \frac{13}{15} = \frac{52}{60}$.
3. Қалғандары: $\frac{7}{20} + \frac{47}{60} = \frac{21}{60} + \frac{47}{60} = \frac{68}{60}$.
4. Барлық бөлшектер: $\frac{52}{60} + \frac{68}{60} = \frac{120}{60} = 2$. Қосынды: $28 + 2 = 30$.

Жауабы: ақиқат, қосынды 30 = ЕКОЕ(5; 6).

Жаңа тақырыпты меңгеруге дайындаламыз

№ 475

Есептеңдер: 1) $9114 - (529 + 114)$; 2) $2398 - (389 + 698)$; 3) $4637 - (137 + 763)$; 4) $5942 - (942 + 924)$.

Қалай ойлаймыз. Қосындыны азайту — әр қосылғышты кезекпен азайтумен бірдей. «Дөңгелек» сан беретінінен баста.

Шешуі.

1. $9114 - 114 - 529 = 9000 - 529 = 8471$.
2. $2398 - 698 - 389 = 1700 - 389 = 1311$.
3. $4637 - 137 - 763 = 4500 - 763 = 3737$.
4. $5942 - 942 - 924 = 5000 - 924 = 4076$.

Жауабы: 1) 8471; 2) 1311; 3) 3737; 4) 4076.

№ 476

25 санын бөлімі 4; 19; 97 болатын аралас сан түрінде жазыңдар. Үлгі: $41 = 40 + 1 = 40 + \frac{23}{23} = 40\frac{23}{23}$.

Қалай ойлаймыз. 25-тен бір бірлікті алып, оны алымы бөліміне тең бөлшек етіп жазамыз.

Шешуі. $25 = 24 + 1 = 24\frac{4}{4} = 24\frac{19}{19} = 24\frac{97}{97}$.

Жауабы: $24\frac{4}{4}$; $24\frac{19}{19}$; $24\frac{97}{97}$.

💡 Бұл айла — бір бірлікті бөлшекке «айырбастау» — келесі сабақтың, азайту сабағының басты құпиясы.

№ 477

Бөлшектерді ең кіші ортақ бөлімге келтіріңдер: 1) $\frac{23}{40}$ және $\frac{29}{30}$; 2) $\frac{2}{187}$ және $\frac{16}{55}$.

Шешуі.

1. ЕКОЕ(40; 30) = 120: $\frac{23}{40} = \frac{69}{120}$, $\frac{29}{30} = \frac{116}{120}$.
2. $187 = 11 \cdot 17$, $55 = 5 \cdot 11$, ЕКОЕ $= 5 \cdot 11 \cdot 17 = 935$: $\frac{2}{187} = \frac{10}{935}$, $\frac{16}{55} = \frac{272}{935}$.

Жауабы: 1) $\frac{69}{120}$ және $\frac{116}{120}$; 2) $\frac{10}{935}$ және $\frac{272}{935}$.

№ 478

$(375 + 286) - (75 + 86)$ және $(375 - 75) + (286 - 86)$ өрнектерінің мәндерін салыстырыңдар.

Шешуі. Біріншісі: $661 - 161 = 500$. Екіншісі: $300 + 200 = 500$. Мәндері тең.

Жауабы: тең (екеуі де 500).

💡 Көрдің бе? Қосындыдан «бөліп-бөліп» азайтуға болады: үлкенін үлкенінен, кішісін кішісінен. Аралас сандарды да солай азайтамыз: бүтінді бүтіннен, бөлшекті бөлшектен.

Жадынама

• Аралас сан = бүтін бөлік + бөлшек бөлік.
• Бүтіндерді бүтіндермен, бөлшектерді бөлшектермен қосамыз.
• Бөлімдері әртүрлі → ең кіші ортақ бөлімге келтіреміз.
• Бұрыс бөлшек шықты → бүтінді бөліп аламыз: $7\frac{9}{8} = 8\frac{1}{8}$.
• Жауаптағы қысқарта алатын бөлшекті қысқартамыз.

Шағын тест