§ 25. Аралас сандарды азайту

Математика, 5 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2017). 3 тарау: Жай бөлшектер және оларға амалдар қолдану. 121–127-беттер.

Нені үйренесің

• Аралас сандарды азайтуды: бүтінді бүтіннен, бөлшекті бөлшектен.
• Бөлшек жетпегенде бүтін бөліктен бір бірлікті «қарызға алуды».
• Натурал саннан аралас санды және аралас саннан натурал санды азайтуды.
• Теңдеулер мен аралас сандар қатысатын өзен ағысымен қозғалысқа берілген есептерді шығаруды.

Ой қозғау

Бұл — өткен сабақтағы № 475–478 тапсырмалар. Алдымен ойша жауап бер, содан кейін жауабын ашып қара.

• $9114 - (529 + 114)$ — мұны қалай тез есептеуге болады? Алдымен 114-ті алып таста: $9114 - 114 = 9000$, сосын $9000 - 529 = 8471$.
• $4637 - (137 + 763)$ ше? $4637 - 137 = 4500$, $4500 - 763 = 3737$.
• 25 санын бөлімі 4 болатын аралас сан түрінде жаз. $25 = 24 + 1 = 24\frac{4}{4}$.
• Ал бөлімі 19 болса ше? $24\frac{19}{19}$.
• $\frac{23}{40}$ және $\frac{29}{30}$ бөлшектерін ортақ бөлімге келтір. ЕКОЕ = 120: $\frac{69}{120}$ және $\frac{116}{120}$.
• $(375 + 286) - (75 + 86)$ және $(375 - 75) + (286 - 86)$ тең бе? Иә, екеуі де 500-ге тең.

💡 Соңғы мысал — сабақтың кілті. Қосындыдан бөліп-бөліп азайтуға болады: бүтінді бүтіннен, бөлшекті бөлшектен.

Тақырыпты талдаймыз

Үстелдегі шоколадтар

Үстел үстінде $3\frac{7}{8}$ шоколад жатыр: үш бүтін плитка және тағы бір плитка, одан бір тілім сындырып алынған (8 тілімнің 7-сі қалған). Одан $1\frac{6}{8}$ шоколад алынды. Қанша шоколад қалды?

Бөліп-бөліп есептейміз. Бүтін плиткалар: $3 - 1 = 2$. Тілімдер: $\frac{7}{8} - \frac{6}{8} = \frac{1}{8}$. Қалғаны: $2\frac{1}{8}$ шоколад.

Тілім жетпесе не істейміз

Енді қулығырақ мысал: $3\frac{1}{4} - 1\frac{3}{4}$. $\frac{1}{4}$-тен $\frac{3}{4}$-ті азайта алмаймыз — тілім аз! Онда бір бүтін плиткаға 4 тілімге «айырбастаймыз»:

$3\frac{1}{4} = 2 + 1 + \frac{1}{4} = 2 + \frac{4}{4} + \frac{1}{4} = 2\frac{5}{4}$.

Бүтін 1-ге азайды, ал алымға бөлімге тең сан қосылды. Енді оңай: $2\frac{5}{4} - 1\frac{3}{4} = 1\frac{2}{4} = 1\frac{1}{2}$.

📌 Аралас сандарды қалай азайтамыз. 1) Бөлімдері әртүрлі болса — бөлшек бөліктерін ортақ бөлімге келтір. 2) Азайғыштың бөлшегі азайтқыштың бөлшегінен үлкен болса — бүтіндерін бүтіндерден, бөлшектерін бөлшектерден азайт. 3) Кіші болса — бүтін бөлігінен 1 алып қой: бүтіні 1-ге кем болады, ал алымға бөлімді қос. Содан кейін азайт.

⚠️ Жиі кететін қате. $23\frac{2}{11} - 20\frac{9}{11}$ мысалында «керісінше» азайту: $\frac{9}{11} - \frac{2}{11}$. Олай болмайды! Дұрысы: $23\frac{2}{11} = 22\frac{13}{11}$, сонда $22\frac{13}{11} - 20\frac{9}{11} = 2\frac{4}{11}$.

Қай бөлшек үлкен екені бірден байқалмағанда

Мысал: $44\frac{5}{6} - 17\frac{7}{8}$. $\frac{5}{6}$ мен $\frac{7}{8}$ қайсысы үлкен? Бірден айту қиын. Сондықтан алдымен ортақ бөлімге келтіреміз.

Бүтін саннан азайтамыз

$98 - 73\frac{4}{21}$: 98-дің бөлшек бөлігі мүлде жоқ. Бір бірлікті жиырма бірден бөліктерге айырбастаймыз: $98 = 97\frac{21}{21}$. Әрі қарай әдеттегідей: $97\frac{21}{21} - 73\frac{4}{21} = 24\frac{17}{21}$.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Мұндағы «қарыз алу» бағанмен азайтқандағыдай, тек ондықты емес, бір бүтінді бөліктерге «айырбастайды». Бала шатасса, шоколад не пицца сызып, біреуін қағаз бетінде-ақ бөліктерге кесіңіз.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Аралас сандарды азайтуды қалай орындаймыз? Бөлшек бөліктерін ортақ бөлімге келтіреміз. Азайғыштың бөлшегі кіші болса — бүтін бөліктен бір бірлікті қарызға аламыз. Содан кейін бүтіндерін бүтіндерден, бөлшектерін бөлшектерден азайтып, нәтижелерді қосамыз.
• Аралас саннан натурал санды қалай азайтамыз? Ал дұрыс бөлшекті ше? Натурал санды бүтін бөліктен азайтамыз, бөлшек өзгермейді: $7\frac{2}{5} - 4 = 3\frac{2}{5}$. Дұрыс бөлшекті бөлшек бөліктен азайтамыз: $7\frac{4}{5} - \frac{1}{5} = 7\frac{3}{5}$. Бөлшек бөлік жетпесе — алдымен бір бірлікті қарызға аламыз: $7\frac{1}{5} - \frac{3}{5} = 6\frac{6}{5} - \frac{3}{5} = 6\frac{3}{5}$.
• Натурал саннан аралас санды қалай азайтамыз? Натурал санды аралас сан түрінде жазамыз: бір бірлікті алып, оны бөлімі сондай бөлшекке айналдырамыз. $8 - 2\frac{3}{7} = 7\frac{7}{7} - 2\frac{3}{7} = 5\frac{4}{7}$.
• Натурал санды аралас сан түрінде жазуға бола ма? Болады: $5 = 4\frac{3}{3} = 4\frac{10}{10}$ және т.с.с. Бүтін бөлігі 1-ге кем, ал бөлшегі бірге тең.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 479

Айырманың мәнін табыңдар: 1) $5\frac{4}{7} - 5$; 2) $13\frac{18}{25} - 10$; 3) $27\frac{6}{53} - 19$; 4) $61\frac{24}{79} - 58$; 5) $141\frac{89}{90} - 84$; 6) $203\frac{64}{77} - 189$.

Қалай ойлаймыз. Натурал санды тек бүтін бөліктен азайтамыз. Бөлшек сол күйінде қалады.

Шешуі.

1. $5 - 5 = 0$, $\frac{4}{7}$ қалады.
2. $13 - 10 = 3$: $3\frac{18}{25}$.
3. $27 - 19 = 8$: $8\frac{6}{53}$.
4. $61 - 58 = 3$: $3\frac{24}{79}$.
5. $141 - 84 = 57$: $57\frac{89}{90}$.
6. $203 - 189 = 14$: $14\frac{64}{77}$.

Жауабы: 1) $\frac{4}{7}$; 2) $3\frac{18}{25}$; 3) $8\frac{6}{53}$; 4) $3\frac{24}{79}$; 5) $57\frac{89}{90}$; 6) $14\frac{64}{77}$.

№ 480

Өрнектің мәнін табыңдар: 1) $4\frac{2}{3} - \frac{2}{3}$; 2) $9\frac{5}{9} - \frac{5}{9}$; 3) $25\frac{21}{31} - \frac{21}{31}$; 4) $75\frac{41}{69} - 3\frac{41}{69}$; 5) $40\frac{5}{106} - 11\frac{5}{106}$; 6) $8\frac{3}{7} - 2\frac{2}{7}$; 7) $20\frac{11}{13} - 9\frac{2}{13}$; 8) $10\frac{5}{17} - 4\frac{3}{17}$; 9) $19\frac{20}{29} - 1\frac{17}{29}$; 10) $83\frac{63}{101} - 19\frac{24}{101}$.

Қалай ойлаймыз. 1)–5) мысалдарда бөлшектері бірдей және бір-бірін «жеп қояды» — тек бүтіндері қалады. 6)–10) мысалдарда бөлімдері тең, алымдарын азайтамыз.

Шешуі.

1. 4; 2) 9; 3) 25; 4) $75 - 3 = 72$; 5) $40 - 11 = 29$.
2. $6\frac{1}{7}$; 7) $11\frac{9}{13}$; 8) $6\frac{2}{17}$; 9) $18\frac{3}{29}$; 10) $64\frac{39}{101}$.

Жауабы: 1) 4; 2) 9; 3) 25; 4) 72; 5) 29; 6) $6\frac{1}{7}$; 7) $11\frac{9}{13}$; 8) $6\frac{2}{17}$; 9) $18\frac{3}{29}$; 10) $64\frac{39}{101}$.

№ 481

Есептеңдер: 1) $2\frac{7}{9} - \frac{1}{3}$; 2) $3\frac{4}{5} - \frac{2}{3}$; 3) $4\frac{5}{6} - 2\frac{1}{3}$; 4) $6\frac{4}{5} - 2\frac{3}{8}$; 5) $9\frac{1}{2} - 4\frac{3}{8}$; 6) $8\frac{19}{20} - 5\frac{7}{10}$.

Қалай ойлаймыз. Бөлшектерді ортақ бөлімге келтіреміз. Мұнда қарыз алу керек емес: азайғыштың бөлшегі барлық жерде үлкен.

Шешуі.

1. $2\frac{7}{9} - \frac{3}{9} = 2\frac{4}{9}$.
2. $3\frac{12}{15} - \frac{10}{15} = 3\frac{2}{15}$.
3. $4\frac{5}{6} - 2\frac{2}{6} = 2\frac{3}{6} = 2\frac{1}{2}$.
4. $6\frac{32}{40} - 2\frac{15}{40} = 4\frac{17}{40}$.
5. $9\frac{4}{8} - 4\frac{3}{8} = 5\frac{1}{8}$.
6. $8\frac{19}{20} - 5\frac{14}{20} = 3\frac{5}{20} = 3\frac{1}{4}$.

Жауабы: 1) $2\frac{4}{9}$; 2) $3\frac{2}{15}$; 3) $2\frac{1}{2}$; 4) $4\frac{17}{40}$; 5) $5\frac{1}{8}$; 6) $3\frac{1}{4}$.

№ 482

Айырымды орындаңдар: 1) $95\frac{19}{34} - 37\frac{1}{2}$; 2) $47\frac{163}{210} - 39\frac{32}{105}$; 3) $301\frac{367}{540} - 277\frac{31}{60}$; 4) $109\frac{22}{25} - 101\frac{83}{250}$.

Қалай ойлаймыз. Үлкен бөлім кішісіне бөлінеді — сол ортақ бөлім болады.

Шешуі.

1. $95\frac{19}{34} - 37\frac{17}{34} = 58\frac{2}{34} = 58\frac{1}{17}$.
2. $47\frac{163}{210} - 39\frac{64}{210} = 8\frac{99}{210} = 8\frac{33}{70}$.
3. $\frac{31}{60} = \frac{279}{540}$: $301\frac{367}{540} - 277\frac{279}{540} = 24\frac{88}{540} = 24\frac{22}{135}$.
4. $109\frac{220}{250} - 101\frac{83}{250} = 8\frac{137}{250}$.

Жауабы: 1) $58\frac{1}{17}$; 2) $8\frac{33}{70}$; 3) $24\frac{22}{135}$; 4) $8\frac{137}{250}$.

№ 483

Амалды орындаңдар: 1) $10\frac{5}{18} - 5\frac{8}{27}$; 2) $25\frac{7}{32} - 21\frac{1}{24}$; 3) $32\frac{8}{21} - 23\frac{7}{15}$; 4) $19\frac{7}{20} - 9\frac{1}{30}$; 5) $41\frac{9}{28} - 15\frac{2}{21}$; 6) $73\frac{5}{24} - 58\frac{19}{36}$; 7) $58\frac{11}{20} - 22\frac{29}{35}$; 8) $91\frac{37}{54} - 47\frac{11}{45}$.

Қалай ойлаймыз. Ең кіші ортақ бөлімге келтіріп, азайғыштың бөлшегі жеткілікті ме, соны қараймыз. 1), 3), 6), 7) мысалдарда бір бірлікті қарызға алуға тура келеді.

Шешуі.

1. Ортақ бөлім 54: $10\frac{15}{54} - 5\frac{16}{54} = 9\frac{69}{54} - 5\frac{16}{54} = 4\frac{53}{54}$.
2. Ортақ бөлім 96: $25\frac{21}{96} - 21\frac{4}{96} = 4\frac{17}{96}$.
3. Ортақ бөлім 105: $32\frac{40}{105} - 23\frac{49}{105} = 31\frac{145}{105} - 23\frac{49}{105} = 8\frac{96}{105} = 8\frac{32}{35}$.
4. Ортақ бөлім 60: $19\frac{21}{60} - 9\frac{2}{60} = 10\frac{19}{60}$.
5. Ортақ бөлім 84: $41\frac{27}{84} - 15\frac{8}{84} = 26\frac{19}{84}$.
6. Ортақ бөлім 72: $73\frac{15}{72} - 58\frac{38}{72} = 72\frac{87}{72} - 58\frac{38}{72} = 14\frac{49}{72}$.
7. Ортақ бөлім 140: $58\frac{77}{140} - 22\frac{116}{140} = 57\frac{217}{140} - 22\frac{116}{140} = 35\frac{101}{140}$.
8. Ортақ бөлім 270: $91\frac{185}{270} - 47\frac{66}{270} = 44\frac{119}{270}$.

Жауабы: 1) $4\frac{53}{54}$; 2) $4\frac{17}{96}$; 3) $8\frac{32}{35}$; 4) $10\frac{19}{60}$; 5) $26\frac{19}{84}$; 6) $14\frac{49}{72}$; 7) $35\frac{101}{140}$; 8) $44\frac{119}{270}$.

№ 484

Теңдеуді шешіңдер: 1) $x + 5\frac{1}{8} = 10\frac{2}{9}$; 2) $x + 29\frac{7}{8} = 51\frac{5}{12}$; 3) $11\frac{1}{12} - x = 9\frac{1}{8}$; 4) $60\frac{3}{14} - x = 41\frac{4}{21}$; 5) $77\frac{4}{15} - x = 59\frac{8}{9}$; 6) $61\frac{5}{8} - x = 52\frac{1}{6}$.

Қалай ойлаймыз. Белгісіз қосылғыш = қосынды − белгілі қосылғыш. Белгісіз азайтқыш = азайғыш − айырма.

Шешуі.

1. $x = 10\frac{16}{72} - 5\frac{9}{72} = 5\frac{7}{72}$.
2. $x = 51\frac{10}{24} - 29\frac{21}{24} = 50\frac{34}{24} - 29\frac{21}{24} = 21\frac{13}{24}$.
3. $x = 11\frac{2}{24} - 9\frac{3}{24} = 10\frac{26}{24} - 9\frac{3}{24} = 1\frac{23}{24}$.
4. $x = 60\frac{9}{42} - 41\frac{8}{42} = 19\frac{1}{42}$.
5. $x = 77\frac{12}{45} - 59\frac{40}{45} = 76\frac{57}{45} - 59\frac{40}{45} = 17\frac{17}{45}$.
6. $x = 61\frac{15}{24} - 52\frac{4}{24} = 9\frac{11}{24}$.

Жауабы: 1) $5\frac{7}{72}$; 2) $21\frac{13}{24}$; 3) $1\frac{23}{24}$; 4) $19\frac{1}{42}$; 5) $17\frac{17}{45}$; 6) $9\frac{11}{24}$.

№ 485

Теңдеудің түбірлерін табыңдар: 1) $x + 2\frac{3}{13} = 10\frac{8}{39}$; 2) $y + 8\frac{7}{12} = 10\frac{5}{24}$; 3) $x + 14\frac{2}{9} = 38\frac{1}{18}$; 4) $y + 3\frac{7}{11} = 9\frac{3}{22}$.

Қалай ойлаймыз. Барлық жерде белгісіз қосылғышты іздейміз. Және барлық жерде бір бірлікті қарызға алуға тура келеді.

Шешуі.

1. $x = 10\frac{8}{39} - 2\frac{9}{39} = 9\frac{47}{39} - 2\frac{9}{39} = 7\frac{38}{39}$.
2. $y = 10\frac{5}{24} - 8\frac{14}{24} = 9\frac{29}{24} - 8\frac{14}{24} = 1\frac{15}{24} = 1\frac{5}{8}$.
3. $x = 38\frac{1}{18} - 14\frac{4}{18} = 37\frac{19}{18} - 14\frac{4}{18} = 23\frac{15}{18} = 23\frac{5}{6}$.
4. $y = 9\frac{3}{22} - 3\frac{14}{22} = 8\frac{25}{22} - 3\frac{14}{22} = 5\frac{11}{22} = 5\frac{1}{2}$.

Жауабы: 1) $7\frac{38}{39}$; 2) $1\frac{5}{8}$; 3) $23\frac{5}{6}$; 4) $5\frac{1}{2}$.

№ 486

Мәтінді есепті шешіңдер, оған кері есеп құрастырыңдар және оны шығарыңдар. Ұзындығы $10\frac{3}{5}$ м жіптен $8\frac{1}{6}$ м кесіп алынды. Жіптің неше метрі қалды?

Шешуі. $10\frac{18}{30} - 8\frac{5}{30} = 2\frac{13}{30}$ м.

Кері есептер.

1. Жіптен $8\frac{1}{6}$ м кесіп алынды, $2\frac{13}{30}$ м қалды. Жіптің ұзындығы қанша болған? $8\frac{5}{30} + 2\frac{13}{30} = 10\frac{18}{30} = 10\frac{3}{5}$ м.
2. Жіптің ұзындығы $10\frac{3}{5}$ м, қалғаны $2\frac{13}{30}$ м. Неше метрі кесіп алынды? $10\frac{18}{30} - 2\frac{13}{30} = 8\frac{5}{30} = 8\frac{1}{6}$ м.

Жауабы: $2\frac{13}{30}$ м.

№ 487

Тауардың жәшігімен бірге есептегендегі массасы $35\frac{4}{15}$ кг, жәшіксіз тауардың өз массасы $29\frac{1}{5}$ кг. Жәшіктің массасын табыңдар. Кері есеп құрастырыңдар.

Шешуі. $35\frac{4}{15} - 29\frac{3}{15} = 6\frac{1}{15}$ кг.

Кері есептер.

1. Тауардың массасы $29\frac{1}{5}$ кг, жәшіктікі $6\frac{1}{15}$ кг. Жәшігімен бірге тауар қанша тартады? $29\frac{3}{15} + 6\frac{1}{15} = 35\frac{4}{15}$ кг.
2. Жәшігімен бірге $35\frac{4}{15}$ кг, жәшіктің массасы $6\frac{1}{15}$ кг. Тауар қанша тартады? $35\frac{4}{15} - 6\frac{1}{15} = 29\frac{3}{15} = 29\frac{1}{5}$ кг.

Жауабы: $6\frac{1}{15}$ кг.

№ 488

Теплоходтың меншікті жылдамдығы $28\frac{5}{6}$ км/сағ. Өзен ағысының жылдамдығы $2\frac{2}{3}$ км/сағ. Теплоходтың өзен ағысымен және ағысқа қарсы жүзгендегі жылдамдығын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Ағыспен жүзгенде өзен көмектеседі: жылдамдықтарды қосамыз. Ағысқа қарсы кедергі жасайды: азайтамыз.

Шешуі.

1. Ағыспен: $28\frac{5}{6} + 2\frac{4}{6} = 30\frac{9}{6} = 31\frac{3}{6} = 31\frac{1}{2}$ км/сағ.
2. Ағысқа қарсы: $28\frac{5}{6} - 2\frac{4}{6} = 26\frac{1}{6}$ км/сағ.

Жауабы: $31\frac{1}{2}$ км/сағ және $26\frac{1}{6}$ км/сағ.

№ 489

Мәтінді есепті шешіңдер, оған кері есеп құрастырыңдар және оны шығарыңдар. Бір бригада $41\frac{3}{4}$ т картоп, ал екіншісі одан $2\frac{1}{2}$ т картоп кем жинады. Екі бригада неше тонна картоп жинаған?

Шешуі.

1. Екінші бригада: $41\frac{3}{4} - 2\frac{2}{4} = 39\frac{1}{4}$ т.
2. Екеуі бірге: $41\frac{3}{4} + 39\frac{1}{4} = 80\frac{4}{4} = 81$ т.

Кері есептер.

1. Екі бригада 81 т картоп жинады, біріншісі — $41\frac{3}{4}$ т. Екіншісі қаншаға кем жинады? Екіншісі: $80\frac{4}{4} - 41\frac{3}{4} = 39\frac{1}{4}$ т; айырмасы $41\frac{3}{4} - 39\frac{1}{4} = 2\frac{2}{4} = 2\frac{1}{2}$ т.
2. Екеуі 81 т жинады, екіншісі біріншісінен $2\frac{1}{2}$ т кем, яғни $39\frac{1}{4}$ т жинады. Біріншісі қанша жинады? $39\frac{1}{4} + 2\frac{2}{4} = 41\frac{3}{4}$ т.

Жауабы: 81 т.

№ 490

Қайық өзен ағысымен $6\frac{4}{5}$ км/сағ жылдамдықпен жүзді. Өзен ағысының жылдамдығы $2\frac{1}{4}$ км/сағ. Қайық ағысқа қарсы қандай жылдамдықпен жүзеді?

Қалай ойлаймыз. Алдымен ағысты «алып тастап», қайықтың меншікті жылдамдығын табамыз. Содан кейін ағысты тағы бір рет азайтамыз.

Шешуі.

1. Меншікті жылдамдығы: $6\frac{16}{20} - 2\frac{5}{20} = 4\frac{11}{20}$ км/сағ.
2. Ағысқа қарсы: $4\frac{11}{20} - 2\frac{5}{20} = 2\frac{6}{20} = 2\frac{3}{10}$ км/сағ.

Кері есеп. Қайық ағысқа қарсы $2\frac{3}{10}$ км/сағ жылдамдықпен жүзеді, ағыс $2\frac{1}{4}$ км/сағ. Ағыспен жүзгендегі жылдамдығы қандай? Меншікті: $2\frac{6}{20} + 2\frac{5}{20} = 4\frac{11}{20}$ км/сағ; ағыспен: $4\frac{11}{20} + 2\frac{5}{20} = 6\frac{16}{20} = 6\frac{4}{5}$ км/сағ.

Жауабы: $2\frac{3}{10}$ км/сағ.

💡 Байқадың ба? Ағыспен және ағысқа қарсы жылдамдықтардың айырмасы ағыс жылдамдығынан екі есе көп: $6\frac{4}{5} - 2\frac{3}{10} = 4\frac{1}{2} = 2\frac{1}{4} + 2\frac{1}{4}$.

B деңгейі

№ 491

Амалды орындаңдар: 1) 12 м $- 5\frac{3}{4}$ м; 2) $8\frac{1}{8}$ дм $- 2\frac{1}{4}$ дм; 3) $5\frac{3}{4}$ см $- 4\frac{1}{8}$ см; 4) 6 сағ $- \frac{2}{7}$ сағ; 5) $3\frac{1}{2}$ сағ $- 2\frac{3}{4}$ сағ; 6) 9 сағ $- 5\frac{1}{4}$ сағ.

Қалай ойлаймыз. Өлшем бірліктері бірдей, сондықтан сандарды ғана азайтамыз. Азайғышта бөлшек жоқ немесе аз болса — бір бірлікті қарызға аламыз.

Шешуі.

1. $11\frac{4}{4} - 5\frac{3}{4} = 6\frac{1}{4}$ м.
2. $8\frac{1}{8} - 2\frac{2}{8} = 7\frac{9}{8} - 2\frac{2}{8} = 5\frac{7}{8}$ дм.
3. $5\frac{6}{8} - 4\frac{1}{8} = 1\frac{5}{8}$ см.
4. $5\frac{7}{7} - \frac{2}{7} = 5\frac{5}{7}$ сағ.
5. $3\frac{2}{4} - 2\frac{3}{4} = 2\frac{6}{4} - 2\frac{3}{4} = \frac{3}{4}$ сағ.
6. $8\frac{4}{4} - 5\frac{1}{4} = 3\frac{3}{4}$ сағ.

Жауабы: 1) $6\frac{1}{4}$ м; 2) $5\frac{7}{8}$ дм; 3) $1\frac{5}{8}$ см; 4) $5\frac{5}{7}$ сағ; 5) $\frac{3}{4}$ сағ (45 мин); 6) $3\frac{3}{4}$ сағ.

№ 492

Өрнектің мәнін табыңдар: 1) $19\frac{5}{6} - 6\frac{1}{12} - 2\frac{7}{9}$; 2) $11\frac{7}{10} - 5\frac{7}{30} - 3\frac{4}{15}$; 3) $9\frac{14}{15} - 2\frac{1}{5} - 4\frac{7}{10}$; 4) $20\frac{3}{8} - \left(6 - 2\frac{1}{6}\right)$; 5) $28\frac{1}{20} - \left(7 - 2\frac{8}{15}\right)$; 6) $29\frac{3}{25} - \left(4 - 2\frac{1}{5}\right)$.

Қалай ойлаймыз. Жақшасыз болса — солдан оңға қарай ретімен. Жақшалы болса — алдымен жақша.

Шешуі.

1. $19\frac{10}{12} - 6\frac{1}{12} = 13\frac{9}{12} = 13\frac{3}{4}$; $13\frac{27}{36} - 2\frac{28}{36} = 12\frac{63}{36} - 2\frac{28}{36} = 10\frac{35}{36}$.
2. $11\frac{21}{30} - 5\frac{7}{30} = 6\frac{14}{30} = 6\frac{7}{15}$; $6\frac{7}{15} - 3\frac{4}{15} = 3\frac{3}{15} = 3\frac{1}{5}$.
3. $9\frac{14}{15} - 2\frac{3}{15} = 7\frac{11}{15}$; $7\frac{22}{30} - 4\frac{21}{30} = 3\frac{1}{30}$.
4. Жақша: $5\frac{6}{6} - 2\frac{1}{6} = 3\frac{5}{6}$. Сосын $20\frac{9}{24} - 3\frac{20}{24} = 19\frac{33}{24} - 3\frac{20}{24} = 16\frac{13}{24}$.
5. Жақша: $6\frac{15}{15} - 2\frac{8}{15} = 4\frac{7}{15}$. Сосын $28\frac{3}{60} - 4\frac{28}{60} = 27\frac{63}{60} - 4\frac{28}{60} = 23\frac{35}{60} = 23\frac{7}{12}$.
6. Жақша: $3\frac{5}{5} - 2\frac{1}{5} = 1\frac{4}{5}$. Сосын $29\frac{3}{25} - 1\frac{20}{25} = 28\frac{28}{25} - 1\frac{20}{25} = 27\frac{8}{25}$.

Жауабы: 1) $10\frac{35}{36}$; 2) $3\frac{1}{5}$; 3) $3\frac{1}{30}$; 4) $16\frac{13}{24}$; 5) $23\frac{7}{12}$; 6) $27\frac{8}{25}$.

№ 493

Есептеңдер: 1) $4\frac{2}{9} + 5\frac{2}{3} - 1\frac{4}{9}$; 2) $9 - 4\frac{2}{17} + 2\frac{3}{17}$; 3) $5\frac{3}{5} - 2\frac{6}{11} + 3\frac{3}{5}$; 4) $4\frac{3}{8} + 3\frac{7}{8} - 1\frac{3}{7}$; 5) $20 - 3\frac{8}{15} + 10\frac{4}{15}$; 6) $30 - 15\frac{9}{10} - 12\frac{3}{10}$; 7) $15\frac{7}{11} - 4\frac{9}{16} + 3\frac{4}{11}$; 8) $49 - 19\frac{3}{5} - 2\frac{2}{5}$; 9) $12\frac{4}{13} - 2\frac{13}{20} + 3\frac{9}{13}$; 10) $29\frac{11}{17} - 4\frac{5}{24} + 10\frac{6}{17}$.

Қалай ойлаймыз. Бөлімдері бірдей сандарды іздейміз: оларды біріктіру ыңғайлы. 7), 9), 10) мысалдарда екі қосылғыш бірге бүтін сан береді!

Шешуі.

1. $4\frac{2}{9} + 5\frac{6}{9} = 9\frac{8}{9}$; $9\frac{8}{9} - 1\frac{4}{9} = 8\frac{4}{9}$.
2. $8\frac{17}{17} - 4\frac{2}{17} = 4\frac{15}{17}$; $4\frac{15}{17} + 2\frac{3}{17} = 6\frac{18}{17} = 7\frac{1}{17}$.
3. $5\frac{33}{55} - 2\frac{30}{55} = 3\frac{3}{55}$; $3\frac{3}{55} + 3\frac{33}{55} = 6\frac{36}{55}$.
4. $4\frac{3}{8} + 3\frac{7}{8} = 7\frac{10}{8} = 8\frac{1}{4}$; $8\frac{7}{28} - 1\frac{12}{28} = 7\frac{35}{28} - 1\frac{12}{28} = 6\frac{23}{28}$.
5. $19\frac{15}{15} - 3\frac{8}{15} = 16\frac{7}{15}$; $16\frac{7}{15} + 10\frac{4}{15} = 26\frac{11}{15}$.
6. $15\frac{9}{10} + 12\frac{3}{10} = 27\frac{12}{10} = 28\frac{1}{5}$; $30 - 28\frac{1}{5} = 29\frac{5}{5} - 28\frac{1}{5} = 1\frac{4}{5}$.
7. $15\frac{7}{11} + 3\frac{4}{11} = 19$; $19 - 4\frac{9}{16} = 18\frac{16}{16} - 4\frac{9}{16} = 14\frac{7}{16}$.
8. $19\frac{3}{5} + 2\frac{2}{5} = 22$; $49 - 22 = 27$.
9. $12\frac{4}{13} + 3\frac{9}{13} = 16$; $16 - 2\frac{13}{20} = 15\frac{20}{20} - 2\frac{13}{20} = 13\frac{7}{20}$.
10. $29\frac{11}{17} + 10\frac{6}{17} = 40$; $40 - 4\frac{5}{24} = 35\frac{19}{24}$.

Жауабы: 1) $8\frac{4}{9}$; 2) $7\frac{1}{17}$; 3) $6\frac{36}{55}$; 4) $6\frac{23}{28}$; 5) $26\frac{11}{15}$; 6) $1\frac{4}{5}$; 7) $14\frac{7}{16}$; 8) 27; 9) $13\frac{7}{20}$; 10) $35\frac{19}{24}$.

№ 494

Өрнектің мәнін табыңдар: 1) $59\frac{25}{64} - \left(32\frac{3}{16} + 4\frac{1}{64}\right)$; 2) $32\frac{2}{45} + \left(20\frac{5}{9} - 18\frac{4}{5}\right)$; 3) $37\frac{29}{36} - \left(4\frac{5}{18} + 1\frac{31}{48}\right)$; 4) $\left(40\frac{61}{80} - 7\frac{17}{20}\right) + 25\frac{3}{40}$.

Шешуі.

1. Жақша: $32\frac{12}{64} + 4\frac{1}{64} = 36\frac{13}{64}$. Сосын $59\frac{25}{64} - 36\frac{13}{64} = 23\frac{12}{64} = 23\frac{3}{16}$.
2. Жақша: $20\frac{25}{45} - 18\frac{36}{45} = 19\frac{70}{45} - 18\frac{36}{45} = 1\frac{34}{45}$. Сосын $32\frac{2}{45} + 1\frac{34}{45} = 33\frac{36}{45} = 33\frac{4}{5}$.
3. Жақша (ортақ бөлім 144): $4\frac{40}{144} + 1\frac{93}{144} = 5\frac{133}{144}$. Сосын $37\frac{116}{144} - 5\frac{133}{144} = 36\frac{260}{144} - 5\frac{133}{144} = 31\frac{127}{144}$.
4. Жақша: $40\frac{61}{80} - 7\frac{68}{80} = 39\frac{141}{80} - 7\frac{68}{80} = 32\frac{73}{80}$. Сосын $32\frac{73}{80} + 25\frac{6}{80} = 57\frac{79}{80}$.

Жауабы: 1) $23\frac{3}{16}$; 2) $33\frac{4}{5}$; 3) $31\frac{127}{144}$; 4) $57\frac{79}{80}$.

№ 495

Теңдеуді шешіңдер: 1) $\left(x - 3\frac{9}{13}\right) + 5\frac{10}{13} = 12\frac{4}{13}$; 2) $\left(3\frac{9}{16} - y\right) + 4\frac{9}{16} = 5\frac{7}{16}$; 3) $13\frac{16}{27} + \left(x - 2\frac{17}{27}\right) = 30\frac{5}{27}$; 4) $\left(y - 2\frac{4}{25}\right) + 4\frac{7}{25} = 14\frac{6}{25}$.

Қалай ойлаймыз. Жақшаны бір белгісіз қосылғыш деп аламыз. Алдымен жақшаны, сосын $x$ немесе $y$-ті табамыз.

Шешуі.

1. Жақша: $12\frac{4}{13} - 5\frac{10}{13} = 11\frac{17}{13} - 5\frac{10}{13} = 6\frac{7}{13}$. $x = 6\frac{7}{13} + 3\frac{9}{13} = 9\frac{16}{13} = 10\frac{3}{13}$.
2. Жақша: $5\frac{7}{16} - 4\frac{9}{16} = 4\frac{23}{16} - 4\frac{9}{16} = \frac{14}{16}$. $y = 3\frac{9}{16} - \frac{14}{16} = 2\frac{25}{16} - \frac{14}{16} = 2\frac{11}{16}$.
3. Жақша: $30\frac{5}{27} - 13\frac{16}{27} = 29\frac{32}{27} - 13\frac{16}{27} = 16\frac{16}{27}$. $x = 16\frac{16}{27} + 2\frac{17}{27} = 18\frac{33}{27} = 19\frac{6}{27} = 19\frac{2}{9}$.
4. Жақша: $14\frac{6}{25} - 4\frac{7}{25} = 13\frac{31}{25} - 4\frac{7}{25} = 9\frac{24}{25}$. $y = 9\frac{24}{25} + 2\frac{4}{25} = 11\frac{28}{25} = 12\frac{3}{25}$.

Жауабы: 1) $10\frac{3}{13}$; 2) $2\frac{11}{16}$; 3) $19\frac{2}{9}$; 4) $12\frac{3}{25}$.

№ 496

Амалдарды орындаңдар: 1) $9 - \frac{2}{3} + 6\frac{7}{24} - 2\frac{1}{4}$; 2) $8\frac{13}{30} + 13\frac{4}{5} - 5\frac{5}{6} + \frac{7}{10}$; 3) $17\frac{3}{4} - 9\frac{1}{32} + 4\frac{3}{8} - 5\frac{3}{16}$; 4) $21\frac{4}{15} + 1\frac{5}{6} - 9\frac{7}{30} + 16\frac{7}{24}$.

Қалай ойлаймыз. Амалдар солдан оңға қарай ретімен орындалады. Әр қадам — аралас сандарды әдеттегідей қосу немесе азайту.

Шешуі.

1. $9 - \frac{2}{3} = 8\frac{1}{3}$; $8\frac{8}{24} + 6\frac{7}{24} = 14\frac{15}{24} = 14\frac{5}{8}$; $14\frac{5}{8} - 2\frac{2}{8} = 12\frac{3}{8}$.
2. $8\frac{13}{30} + 13\frac{24}{30} = 21\frac{37}{30} = 22\frac{7}{30}$; $22\frac{7}{30} - 5\frac{25}{30} = 21\frac{37}{30} - 5\frac{25}{30} = 16\frac{12}{30} = 16\frac{2}{5}$; $16\frac{4}{10} + \frac{7}{10} = 16\frac{11}{10} = 17\frac{1}{10}$.
3. $17\frac{24}{32} - 9\frac{1}{32} = 8\frac{23}{32}$; $8\frac{23}{32} + 4\frac{12}{32} = 12\frac{35}{32} = 13\frac{3}{32}$; $13\frac{3}{32} - 5\frac{6}{32} = 12\frac{35}{32} - 5\frac{6}{32} = 7\frac{29}{32}$.
4. $21\frac{8}{30} + 1\frac{25}{30} = 22\frac{33}{30} = 23\frac{1}{10}$; $23\frac{3}{30} - 9\frac{7}{30} = 22\frac{33}{30} - 9\frac{7}{30} = 13\frac{26}{30} = 13\frac{13}{15}$; $13\frac{104}{120} + 16\frac{35}{120} = 29\frac{139}{120} = 30\frac{19}{120}$.

Жауабы: 1) $12\frac{3}{8}$; 2) $17\frac{1}{10}$; 3) $7\frac{29}{32}$; 4) $30\frac{19}{120}$.

№ 497

Әлия төрт жүйек құлпынай терді. Бірінші жүйектен $5\frac{4}{5}$ кг, екіншісінен біріншісіне қарағанда $\frac{1}{4}$ кг құлпынай кем терді. Үшіншіден алғашқы екі жүйектен терген құлпынайдан $\frac{3}{10}$ кг артық терді, төртіншісінен үшіншіге қарағанда $2\frac{3}{10}$ кг кем жидек терді. Әлия барлық төрт жүйектен қанша құлпынай терді?

Қалай ойлаймыз. Бөлімдері 5, 4 және 10 — олардың ортақ бөлімі 20. Алғашқы екі жүйектің қосындысы үшінші жүйек үшін де, қорытынды үшін де қажет.

Шешуі. 1-жүйек — $5\frac{4}{5}$ кг, 2-жүйек — $5\frac{11}{20}$ кг, 3-жүйек — $11\frac{13}{20}$ кг, 4-жүйек — $9\frac{7}{20}$ кг. Барлығы $32\frac{7}{20}$ кг.

Жауабы: $32\frac{7}{20}$ кг.

№ 498

Оқушы сабаққа $2\frac{2}{3}$ сағ дайындалды. Осы уақыттың $1\frac{1}{3}$ сағ-да ол математикадан үй тапсырмасын орындады, бұдан $\frac{7}{12}$ сағ-қа кем уақытын тарих кітабын оқуға жұмсады, қалған уақытында әдебиет сабағына дайындалды. Оқушы әдебиет сабағына дайындалуға қанша уақыт жұмсады?

Шешуі.

1. Математикасыз: $2\frac{2}{3} - 1\frac{1}{3} = 1\frac{1}{3}$ сағ.
2. Тарихсыз: $1\frac{4}{12} - \frac{7}{12} = \frac{16}{12} - \frac{7}{12} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$ сағ.

Жауабы: $\frac{3}{4}$ сағ, яғни 45 минут.

C деңгейі

№ 499

Егер екі қосылғыштың біреуін: 1) $7\frac{6}{11}$-ға арттырып, ал екіншісін $4\frac{2}{3}$-ға арттырса; 2) $7\frac{6}{11}$-ға, ал екіншісін $4\frac{2}{3}$-ге кемітсе; 3) біріншісін $7\frac{6}{11}$-ға арттырып, екіншісін $4\frac{2}{3}$-ге кемітсе; 4) біріншісін $7\frac{6}{11}$-ға кемітіп, екіншісін $4\frac{2}{3}$-ге арттырса, екі санның қосындысының мәні қалай өзгереді?

Қалай ойлаймыз. Қосынды қосылғыштар бірге қанша өзгерсе, дәл сонша өзгереді. Біреуі өссе, екіншісі кемісе — өзгерістердің айырмасына қараймыз. Сандармен тексер: $10 + 10 = 20$, ал $(10 + 3) + (10 - 1) = 22$.

Шешуі.

1. $7\frac{6}{11} + 4\frac{2}{3} = 7\frac{18}{33} + 4\frac{22}{33} = 11\frac{40}{33} = 12\frac{7}{33}$. Қосынды $12\frac{7}{33}$-ге артады.
2. Қосынды сол $12\frac{7}{33}$-ге кемиді.
3. $7\frac{18}{33} - 4\frac{22}{33} = 6\frac{51}{33} - 4\frac{22}{33} = 2\frac{29}{33}$. Қосқаны азайтқанынан көп: қосынды $2\frac{29}{33}$-ге артады.
4. Азайтқаны қосқанынан көп: қосынды $2\frac{29}{33}$-ге кемиді.

Жауабы: 1) $12\frac{7}{33}$-ге артады; 2) $12\frac{7}{33}$-ге кемиді; 3) $2\frac{29}{33}$-ге артады; 4) $2\frac{29}{33}$-ге кемиді.

№ 500

$17\frac{3}{15} - 8\frac{7}{20} + \left(9\frac{11}{15} - \left(2\frac{1}{15} - 1\frac{37}{90}\right)\right) - 1\frac{17}{60}$ өрнегінің мәні 80 және 176 сандарының ең үлкен ортақ бөлгішіне тең болатыны ақиқат па?

Қалай ойлаймыз. ЕҮОБ-ты тауып, өрнекті амалдар бойынша есептейміз: алдымен ішкі жақшалар, сосын солдан оңға қарай.

Шешуі. ЕҮОБ(80; 176) = 16. Өрнектің мәні $16\frac{29}{45}$ (барлық қадамдар жоғарыдағы виджетте). $16\frac{29}{45} \ne 16$.

Жауабы: жоқ, ақиқат емес: өрнек $16\frac{29}{45}$-ге тең, ал ЕҮОБ(80; 176) = 16.

Жаңа тақырыпты меңгеруге дайындаламыз

№ 501

Математика және құрылыс. 1. Қабырғалар мен ғимараттардың алдыңғы бетін қаптау үшін өлшемдері әртүрлі шаршы және тіктөртбұрыш пішінді тақташалар қолданылады. Әсіресе еденді қаптауға арналған тақташалардың түрлері мен өлшемдері әртүрлі. Керамикалық тақташалардың миллиметрмен берілген өлшемдері 24.1-кестеде көрсетілген: № 1 — 300×300, № 2 — 400×300, № 3 — 250×250, № 4 — 300×200, № 5 — 200×200, № 6 — 200×150, № 7 — 200×100. 1) Ауданы 500 м² тіктөртбұрышты еденді қаптау үшін алынатын тақташалардың ең аз саны қандай? 2) Ауданы 500 м² тіктөртбұрышты еденді қаптаудың екі нұсқасын көрсетіңдер. 2. 9 м² ауданға қыш тастар жапсыру керек. Қыш тастардың түрі, өлшемдері мен бағалары 24.2-кестеде көрсетілген: I — 20×10 см, 250 тг; II — 30×10 см, 420 тг; III — 25×18 см, 600 тг. Қай өлшемді қыш тастарды сатып алған тиімді?

Қалай ойлаймыз. Тақташа неғұрлым үлкен болса, соғұрлым саны аз. Тақташалар саны = еденнің ауданы : бір тақташаның ауданы. Қабырға үшін әр тастың жалпы құнын салыстырамыз.

Шешуі.

1. Ең үлкен тақташа — № 2: $400 \cdot 300 = 120,000$ мм² $= 0{,}12$ м². $500 : 0{,}12 \approx 4166{,}7$, демек, кемінде 4167 тақташа керек (шеткі тақташаларды қиып түзеуге тура келеді).
2. Еденінің өлшемі 25 м × 20 м болғандағы нұсқалар:
   • № 3 тақташа (25 × 25 см): 25 м бойында — 100 тақташа, 20 м бойында — 80; барлығы $100 \cdot 80 = 8000$ тақташа, қиюсыз;
   • № 5 тақташа (20 × 20 см): $125 \cdot 100 = 12,500$ тақташа, мұнда да қиюсыз.
3. Қабырға 9 м² = 90 000 см².
   • I: тақташа 200 см², $90,000 : 200 = 450$ дана керек, құны $450 \cdot 250 = 112,500$ тг.
   • II: тақташа 300 см², 300 дана керек, $300 \cdot 420 = 126,000$ тг.
   • III: тақташа 450 см², 200 дана керек, $200 \cdot 600 = 120,000$ тг.

Жауабы: 1) № 2 тақташадан кемінде 4167; нұсқалар: еденінің өлшемі 25 × 20 м болса, № 3 тақташадан 8000 немесе № 5 тақташадан 12 500; 2) I қыш тас (20 × 10 см) тиімді — 112 500 тг.

🌟 Құрылыста тақташаны әрқашан 5–10 % қорымен алады: бір бөлігі қиғанда сынып қалады. Үйде жуынатын бөлмеге қанша тақташа алынғанын сұрап көр!

№ 502

Алтыбұрыштың қандай бөлігі боялған? (Ол 6 тең үшбұрышқа бөлінген, олардың 4-еуі боялған.)

Шешуі. 6 бөліктің 4-еуі боялған: $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Жауабы: алтыбұрыштың $\frac{2}{3}$ бөлігі.

№ 503

Шаршы алты тең бөлікке бөлінген (2 бағанда 3-тен). Шаршының $\frac{5}{6}$ бөлігін қанша тәсілмен бояуға болады?

Қалай ойлаймыз. 6 бөліктің 5-еуін бояу — боялмай қалатын бір бөлікті таңдаумен бірдей.

Шешуі. Боялмай қалатын бөлік 6 бөліктің кез келгені болуы мүмкін. Демек, тәсілдер саны — 6.

Жауабы: 6 тәсіл.

Жадынама

• Бүтіндерді бүтіндерден, бөлшектерді бөлшектерден азайтамыз.
• Бөлімдері әртүрлі → ең кіші ортақ бөлімге келтіреміз.
• Азайғыштың бөлшегі кіші → 1 қарызға аламыз: $5\frac{1}{4} = 4\frac{5}{4}$.
• Натурал санды аралас сан түрінде жазамыз: $9 = 8\frac{7}{7}$.
• Жауапты қосу арқылы тексереміз.

Шағын тест