§ 26. Жай бөлшектер және аралас сандарды көбейту

Математика, 5 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2017). 3 тарау: Жай бөлшектер және оларға амалдар қолдану. 128–131-беттер.

Нені үйренесің

• Бөлшекті бөлшекке көбейтуді: алымын алымына, бөлімін бөліміне.
• Үлкен сандармен әуре болмау үшін көбейтуден бұрын қысқартуды.
• Бөлшекті натурал санға көбейтуді.
• Аралас сандарды бұрыс бөлшекке айналдырып көбейтуді.

Ой қозғау

Бұл — өткен сабақтағы № 502–503 тапсырмалар және бірнеше өз сұрағымыз.

• Алтыбұрыш 6 тең үшбұрышқа бөлінген, олардың 4-еуі боялған. Қандай бөлігі боялған? $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
• Шаршы 6 тең бөлікке бөлінген. Шаршының $\frac{5}{6}$ бөлігін қанша тәсілмен бояуға болады? 6 бөліктің 5-еуін бояймыз, яғни біреуін ақ қалдырамыз. Оны 6 тәсілмен таңдауға болады.
• Тіктөртбұрыштың ауданын қалай табамыз? Ұзындығын еніне көбейтеміз: $S = a \cdot b$.
• $2\frac{1}{3}$ санын бұрыс бөлшек түрінде жаз. $\frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$.
• $\frac{2}{9} + \frac{2}{9} + \frac{2}{9}$ неге тең? $\frac{6}{9} = \frac{2}{3}$. Ал бұл — $\frac{2}{9} \cdot 3$!

💡 Аудан — бұл көбейту. Тіктөртбұрыштың қабырғалары бөлшек болса, аудан бөлшектерді қалай көбейтуді көрсетеді. Содан бастайық.

Тақырыпты талдаймыз

Кесектерге бөлінген шаршы

Қабырғасы $e$ болатын шаршыны алайық. Оны ені бойынша 3 жолаққа, биіктігі бойынша 6 жолаққа бөлеміз. $3 \cdot 6 = 18$ бірдей кішкентай тіктөртбұрыш шығады. Бұрышын бояйық: ені бойынша 3 жолақтың 2-еуін, биіктігі бойынша 6 жолақтың 4-еуін.

1-тәсіл — формула бойынша. Боялған тіктөртбұрыштың ені $\frac{2}{3}e$, биіктігі $\frac{4}{6}e$. Ауданы — олардың көбейтіндісі: $\frac{4}{6} \cdot \frac{2}{3} \cdot e^2$.

2-тәсіл — кесектерді санаймыз. 18 кесектің $2 \cdot 4 = 8$ кесегі боялған. Демек, бұл шаршы ауданының $\frac{8}{18}$ бөлігі, яғни $\frac{8}{18} \cdot e^2$.

Аудан бір, сондықтан $\frac{4}{6} \cdot \frac{2}{3} = \frac{8}{18}$. Қарашы: $8 = 4 \cdot 2$ — бұл алымдар, ал $18 = 6 \cdot 3$ — бөлімдер!

📌 Жай бөлшекті жай бөлшекке көбейту үшін алымдарын көбейтіп, көбейтіндіні жоғарыға жазамыз, ал бөлімдерін көбейтіп, төменге жазамыз: $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$.

Алдымен қысқарт, сосын көбейт

$\frac{27}{32} \cdot \frac{24}{45}$ есептейік. Тіке көбейтсек, $\frac{648}{1440}$ шығады — сосын ұзақ қысқартуға тура келеді. Алдын ала айқастыра қысқарту ақылдырақ:

• 27 мен 45 сандары 9-ға бөлінеді: 3 пен 5 қалады;
• 24 пен 32 сандары 8-ге бөлінеді: 3 пен 4 қалады.

$\frac{27}{32} \cdot \frac{24}{45} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 5} = \frac{9}{20}$.

⚠️ Жиі кететін қате. Тек алымды бөліммен (жоғарғыны төменгімен) қысқартуға болады. Екі алымды бір-бірімен қысқартпайды: $\frac{4}{7} \cdot \frac{2}{9}$ мысалында төрт пен екіге тиісуге болмайды.

Бөлшекті бүтін санға көбейту

Кез келген натурал сан — бөлімі 1 болатын бөлшек: $3 = \frac{3}{1}$. Сондықтан

$\frac{11}{12} \cdot 3 = \frac{11 \cdot 3}{12} = \frac{11}{4} = 2\frac{3}{4}$.

📌 Бөлшекті натурал санға көбейту үшін осы санды алымына көбейтеміз, ал бөлімін өзгертпей қалдырамыз.

Елестет: сенде 3 қорап кәмпит бар, әрқайсысында $\frac{11}{12}$ кг. Барлығы $\frac{33}{12}$ кг. Бөлім «он екіден» болып қалды, тек он екіден бөліктер 3 есе көбейді.

Аралас сандар — бұрыс бөлшекке «киіндір»

Аралас сандарды тікелей көбейтпейді. Алдымен оларды бұрыс бөлшекке айналдырамыз:

$3\frac{3}{5} \cdot 9\frac{1}{6} = \frac{18}{5} \cdot \frac{55}{6} = \frac{3 \cdot 11}{1 \cdot 1} = 33$.

⚠️ Жиі кететін қате. «$2\frac{1}{2} \cdot 2\frac{1}{2} = 4\frac{1}{4}$» — бүтін бөліктерін және бөлшек бөліктерін бөлек көбейтіп жіберген. Олай болмайды! Дұрысы: $\frac{5}{2} \cdot \frac{5}{2} = \frac{25}{4} = 6\frac{1}{4}$.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Баланың қалай қысқартатынын тексеріңіз: ол жоғарғы санды да, төменгі санды да бір санға бөлуі керек. Көбейтпес бұрын «Мұнда нені қысқартуға болады?» деп өзіне сұрақ қою — жақсы әдет.

Көбейтудің ауыстырымдылық және терімділік қасиеттері бөлшектер үшін де орындалады. Қысқартуға ыңғайлы болса, көбейткіштердің орнын ауыстыруға болады.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Жай бөлшектерді қалай көбейтеміз? Алымын алымына, бөлімін бөліміне көбейтеміз. Бірінші көбейтінді — жаңа алым, екіншісі — жаңа бөлім.
• Бөлшекті натурал санға қалай көбейтеміз? Алымын осы санға көбейтеміз, бөлімін сол күйінде қалдырамыз.
• Аралас сандарды қалай көбейтеміз? Оларды бұрыс бөлшек түрінде жазып, бөлшектерді көбейту ережесімен көбейтеміз.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 504

Өрнектің мәнін табыңдар: 1) $\frac{2}{3} \cdot \frac{6}{7}$; 2) $\frac{4}{7} \cdot \frac{21}{40}$; 3) $\frac{27}{32} \cdot \frac{8}{9}$; 4) $\frac{5}{11} \cdot \frac{22}{25}$; 5) $\frac{8}{35} \cdot \frac{5}{12}$.

Қалай ойлаймыз. Көбейтпес бұрын айқастыра нені қысқартуға болатынын іздейміз.

Шешуі.

1. $\frac{2}{3} \cdot \frac{6}{7} = \frac{2 \cdot 2}{1 \cdot 7} = \frac{4}{7}$ (6 мен 3-ті 3-ке қысқарттық).
2. $\frac{4}{7} \cdot \frac{21}{40} = \frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 10} = \frac{3}{10}$.
3. $\frac{27}{32} \cdot \frac{8}{9} = \frac{3 \cdot 1}{4 \cdot 1} = \frac{3}{4}$.
4. $\frac{5}{11} \cdot \frac{22}{25} = \frac{1 \cdot 2}{1 \cdot 5} = \frac{2}{5}$.
5. $\frac{8}{35} \cdot \frac{5}{12} = \frac{2 \cdot 1}{7 \cdot 3} = \frac{2}{21}$.

Жауабы: 1) $\frac{4}{7}$; 2) $\frac{3}{10}$; 3) $\frac{3}{4}$; 4) $\frac{2}{5}$; 5) $\frac{2}{21}$.

№ 505

Көбейтуді орындаңдар: 1) $\frac{7}{9} \cdot 6$; 2) $4 \cdot \frac{3}{20}$; 3) $\frac{5}{6} \cdot 3$; 4) $14 \cdot \frac{7}{16}$; 5) $27 \cdot \frac{2}{9}$.

Қалай ойлаймыз. Бүтін санды тек алымына көбейтеміз. Бірақ алдымен оның бөліммен қысқарады-қысқармайтынын тексер.

Шешуі.

1. $\frac{7 \cdot 6}{9} = \frac{7 \cdot 2}{3} = \frac{14}{3} = 4\frac{2}{3}$.
2. $\frac{4 \cdot 3}{20} = \frac{3}{5}$.
3. $\frac{5 \cdot 3}{6} = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2}$.
4. $\frac{14 \cdot 7}{16} = \frac{7 \cdot 7}{8} = \frac{49}{8} = 6\frac{1}{8}$.
5. $\frac{27 \cdot 2}{9} = 3 \cdot 2 = 6$.

Жауабы: 1) $4\frac{2}{3}$; 2) $\frac{3}{5}$; 3) $2\frac{1}{2}$; 4) $6\frac{1}{8}$; 5) 6.

№ 506

Өрнектің мәнін табыңдар: 12 жұп аралас сан — $1\frac{1}{4} \cdot 1\frac{1}{5}$ мысалынан $7\frac{5}{9} \cdot 1\frac{1}{17}$ мысалына дейін (барлық жұптар төмендегі кестеде).

Қалай ойлаймыз. Әр аралас санды бұрыс бөлшекке айналдырамыз, сосын қысқартып, көбейтеміз.

Шешуі.

Жауабы: 1) $1\frac{1}{2}$; 2) 7; 3) $2\frac{4}{7}$; 4) 12; 5) $4\frac{4}{7}$; 6) $5\frac{1}{2}$; 7) $4\frac{1}{2}$; 8) $5\frac{5}{6}$; 9) 4; 10) $3\frac{1}{2}$; 11) 53; 12) 8.

№ 507

Есептеңдер: 1) $12 \cdot 2\frac{1}{6}$; 2) $14 \cdot 2\frac{11}{14}$; 3) $5 \cdot 2\frac{1}{25}$; 4) $24 \cdot 5\frac{5}{12}$; 5) $11 \cdot 1\frac{1}{22}$; 6) $15 \cdot 1\frac{1}{30}$.

Қалай ойлаймыз. Бұрыс бөлшекке айналдыруға болады. Ал ақылдырақ жолы — үлестірімділік қасиеті бойынша: $12 \cdot 2\frac{1}{6} = 12 \cdot 2 + 12 \cdot \frac{1}{6}$.

Шешуі.

1. $24 + 2 = 26$.
2. $28 + 11 = 39$.
3. $10 + \frac{5}{25} = 10\frac{1}{5}$.
4. $120 + 10 = 130$.
5. $11 + \frac{11}{22} = 11\frac{1}{2}$.
6. $15 + \frac{15}{30} = 15\frac{1}{2}$.

Жауабы: 1) 26; 2) 39; 3) $10\frac{1}{5}$; 4) 130; 5) $11\frac{1}{2}$; 6) $15\frac{1}{2}$.

№ 508

Теңдеуді шешіңдер: 1) $x : \frac{9}{10} = 1$; 2) $x : 19 = \frac{16}{10}$; 3) $x : 3 = \frac{5}{9}$; 4) $x : \frac{1}{4} = 4$; 5) $x : \frac{7}{13} = 1$; 6) $x : \frac{2}{18} = 18$; 7) $x : 10 = \frac{1}{25}$; 8) $x : \frac{3}{10} = 2$.

Қалай ойлаймыз. $x$ — бөлінгіш. Бөлінгішті табу үшін бөліндіні бөлгішке көбейтеміз.

Шешуі.

1. $x = 1 \cdot \frac{9}{10} = \frac{9}{10}$.
2. $x = \frac{16}{10} \cdot 19 = \frac{8 \cdot 19}{5} = \frac{152}{5} = 30\frac{2}{5}$.
3. $x = \frac{5}{9} \cdot 3 = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3}$.
4. $x = 4 \cdot \frac{1}{4} = 1$.
5. $x = 1 \cdot \frac{7}{13} = \frac{7}{13}$.
6. $x = 18 \cdot \frac{2}{18} = 2$.
7. $x = \frac{1}{25} \cdot 10 = \frac{10}{25} = \frac{2}{5}$.
8. $x = 2 \cdot \frac{3}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.

Жауабы: 1) $\frac{9}{10}$; 2) $30\frac{2}{5}$; 3) $1\frac{2}{3}$; 4) 1; 5) $\frac{7}{13}$; 6) 2; 7) $\frac{2}{5}$; 8) $\frac{3}{5}$.

📕 Оқулықтың 2) теңдеуінде $\frac{16}{10}$ деп басылған, бірақ кітап соңындағы жауапта 16 тұр — бұл $x : 19 = \frac{16}{19}$ болғанда шығады. Көрінеді, бөлімінде қате басылған. Басылған шартпен жауап — $30\frac{2}{5}$, ал $\frac{16}{19}$ болса — 16.

№ 509

1) Қауынның массасы $3\frac{1}{2}$ кг, қарбыздың массасы қауын массасынан 4 есе артық. Қауын мен қарбыздың бірге алғандағы массасы қандай? 2) Асқабақтың массасы $2\frac{4}{5}$ кг, қарбыздың массасы одан 5 есе артық. Асқабақ пен қарбыздың бірге алғандағы массасы қандай?

Қалай ойлаймыз. Қарбыз 4 қауындай тартса, қауынмен бірге бұл 5 қауын болады. Бірден 5-ке көбейтуге де болады.

Шешуі.

1. Қарбыз: $3\frac{1}{2} \cdot 4 = \frac{7}{2} \cdot 4 = 14$ кг. Бірге: $14 + 3\frac{1}{2} = 17\frac{1}{2}$ кг.
2. Қарбыз: $2\frac{4}{5} \cdot 5 = \frac{14}{5} \cdot 5 = 14$ кг. Бірге: $14 + 2\frac{4}{5} = 16\frac{4}{5}$ кг.

Жауабы: 1) $17\frac{1}{2}$ кг; 2) $16\frac{4}{5}$ кг.

B деңгейі

№ 510

Есептеңдер: 1) $\left(\frac{1}{4}\right)^2$; 2) $\left(\frac{1}{9}\right)^3$; 3) $\left(\frac{2}{5}\right)^3$; 4) $\left(\frac{4}{7}\right)^3$; 5) $\left(1\frac{1}{2}\right)^2$; 6) $\left(1\frac{1}{6}\right)^2$; 7) $\left(2\frac{1}{3}\right)^3$; 8) $\left(3\frac{1}{2}\right)^3$.

Қалай ойлаймыз. Дәреже — санды өзіне-өзін көбейту. Бөлшекті дәрежеге шығарғанда алымын да, бөлімін де дәрежеге шығарамыз.

Шешуі.

1. $\frac{1 \cdot 1}{4 \cdot 4} = \frac{1}{16}$.
2. $\frac{1}{9 \cdot 9 \cdot 9} = \frac{1}{729}$.
3. $\frac{2 \cdot 2 \cdot 2}{5 \cdot 5 \cdot 5} = \frac{8}{125}$.
4. $\frac{64}{343}$.
5. $\left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4} = 2\frac{1}{4}$.
6. $\left(\frac{7}{6}\right)^2 = \frac{49}{36} = 1\frac{13}{36}$.
7. $\left(\frac{7}{3}\right)^3 = \frac{343}{27} = 12\frac{19}{27}$.
8. $\left(\frac{7}{2}\right)^3 = \frac{343}{8} = 42\frac{7}{8}$.

Жауабы: 1) $\frac{1}{16}$; 2) $\frac{1}{729}$; 3) $\frac{8}{125}$; 4) $\frac{64}{343}$; 5) $2\frac{1}{4}$; 6) $1\frac{13}{36}$; 7) $12\frac{19}{27}$; 8) $42\frac{7}{8}$.

№ 511

Өрнектің мәнін табыңдар: 1) $\left(\frac{2}{7} + 3\frac{1}{2}\right) \cdot 4\frac{2}{3}$; 2) $\left(4\frac{1}{5} - 2\frac{3}{4}\right) \cdot 2\frac{2}{19}$; 3) $\left(5\frac{6}{7} + 3\frac{5}{21}\right) \cdot 2\frac{1}{10}$; 4) $\left(7\frac{5}{12} - 3\frac{1}{6}\right) \cdot 2\frac{2}{17}$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен жақшадағы амал, сосын көбейту.

Шешуі.

1. $3\frac{11}{14} \cdot 4\frac{2}{3} = \frac{53}{14} \cdot \frac{14}{3} = \frac{53}{3} = 17\frac{2}{3}$.
2. $4\frac{4}{20} - 2\frac{15}{20} = 1\frac{9}{20} = \frac{29}{20}$; $\frac{29}{20} \cdot \frac{40}{19} = \frac{58}{19} = 3\frac{1}{19}$.
3. $5\frac{18}{21} + 3\frac{5}{21} = 9\frac{2}{21} = \frac{191}{21}$; $\frac{191}{21} \cdot \frac{21}{10} = \frac{191}{10} = 19\frac{1}{10}$.
4. $7\frac{5}{12} - 3\frac{2}{12} = 4\frac{3}{12} = 4\frac{1}{4} = \frac{17}{4}$; $\frac{17}{4} \cdot \frac{36}{17} = 9$.

Жауабы: 1) $17\frac{2}{3}$; 2) $3\frac{1}{19}$; 3) $19\frac{1}{10}$; 4) 9.

№ 512

Ені $\frac{9}{25}$ см, ал ұзындығы одан 5 есе артық тіктөртбұрыштың ауданын табыңдар.

Шешуі.

1. Ұзындығы: $\frac{9}{25} \cdot 5 = \frac{9}{5}$ см $= 1\frac{4}{5}$ см.
2. Ауданы: $\frac{9}{5} \cdot \frac{9}{25} = \frac{81}{125}$ см².

Жауабы: $\frac{81}{125}$ см².

№ 513

Өрнектің мәнін табыңдар: үш көбейткіштің тоғыз көбейтіндісі, мысалы $2\frac{2}{3} \cdot \frac{9}{32} \cdot 5\frac{1}{3}$ (барлық мысалдар — шешуінде).

Қалай ойлаймыз. Үш бөлшекті бір сызықтың астына жазамыз да, жоғарыдағы кез келген санды төмендегі кез келген санмен қысқартамыз.

Шешуі.

1. $2\frac{2}{3} \cdot \frac{9}{32} \cdot 5\frac{1}{3} = \frac{8}{3} \cdot \frac{9}{32} \cdot \frac{16}{3} = \frac{8 \cdot 9 \cdot 16}{3 \cdot 32 \cdot 3} = 4$.
2. $4\frac{2}{5} \cdot \frac{15}{77} \cdot \frac{7}{20} = \frac{22 \cdot 15 \cdot 7}{5 \cdot 77 \cdot 20} = \frac{3}{10}$.
3. $\frac{18}{25} \cdot \frac{10}{27} \cdot 7\frac{1}{2} = \frac{18 \cdot 10 \cdot 15}{25 \cdot 27 \cdot 2} = 2$.
4. $5\frac{2}{5} \cdot \frac{40}{81} \cdot \frac{15}{16} = \frac{27 \cdot 40 \cdot 15}{5 \cdot 81 \cdot 16} = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2}$.
5. $6\frac{1}{4} \cdot 1\frac{1}{35} \cdot 2\frac{1}{3} = \frac{25}{4} \cdot \frac{36}{35} \cdot \frac{7}{3} = 15$.
6. $12\frac{6}{7} \cdot \frac{2}{25} \cdot \frac{7}{18} = \frac{90}{7} \cdot \frac{2}{25} \cdot \frac{7}{18} = \frac{2}{5}$.
7. $\frac{15}{16} \cdot 1\frac{13}{27} \cdot 2\frac{4}{25} = \frac{15}{16} \cdot \frac{40}{27} \cdot \frac{54}{25} = 3$.
8. $3\frac{9}{10} \cdot \frac{8}{13} \cdot 4\frac{1}{6} = \frac{39}{10} \cdot \frac{8}{13} \cdot \frac{25}{6} = 10$.
9. $8\frac{1}{3} \cdot 2\frac{1}{5} \cdot 1\frac{1}{11} = \frac{25}{3} \cdot \frac{11}{5} \cdot \frac{12}{11} = 20$.

Жауабы: 1) 4; 2) $\frac{3}{10}$; 3) 2; 4) $2\frac{1}{2}$; 5) 15; 6) $\frac{2}{5}$; 7) 3; 8) 10; 9) 20.

C деңгейі

№ 514

1) $a$ саны 1-ден артық екені белгілі. $a^2$ пен $a^3$ сандарын салыстырыңдар. 2) $b$ саны 1-ден кем екені белгілі. $b^2$ пен $b^3$ сандарын салыстырыңдар.

Қалай ойлаймыз. $a^3 = a^2 \cdot a$. 1-ден үлкен санға көбейтсек — нәтиже өседі. 1-ден кіші санға көбейтсек — азаяды. Мысалдармен тексер: $2^2 = 4$, $2^3 = 8$; $\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$, $\left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$.

Шешуі.

1. $a^3 = a^2 \cdot a$, және $a > 1$, демек $a^3 > a^2$.
2. $b^3 = b^2 \cdot b$, және $b < 1$, демек $b^3 < b^2$ ($b$ нөлге тең болмаса; $b = 0$ болғанда екеуі де нөлге тең).

Жауабы: 1) $a^2 < a^3$; 2) $b^2 > b^3$ ($b \ne 0$ болғанда).

№ 515

Тікбұрышты параллелепипедтің ені $4\frac{1}{2}$ см, ұзындығы енінен $1\frac{5}{27}$ есе артық, биіктігі ұзындығынан $\frac{3}{8}$ есе артық. Тікбұрышты параллелепипедтің көлемін табыңдар.

Қалай ойлаймыз. «$\frac{3}{8}$ есе артық» деп жазылған, бірақ мұнда санды $\frac{3}{8}$-ке көбейту керек екені түсінікті (кеміп кетеді). Сондай-ақ ұзындығы енімен салыстырылады.

Шешуі.

1. Ұзындығы: $\frac{9}{2} \cdot \frac{32}{27} = \frac{16}{3} = 5\frac{1}{3}$ см.
2. Биіктігі: $\frac{16}{3} \cdot \frac{3}{8} = 2$ см.
3. Көлемі: $\frac{9}{2} \cdot \frac{16}{3} \cdot 2 = 48$ см³.

Жауабы: 48 см³.

№ 516

$1\frac{1}{24} \cdot 1\frac{29}{40} \cdot 1\frac{127}{161} : 4\frac{3}{5} : \frac{25}{966}$ өрнегінің мәні 3 санының кубына тең деген ақиқат па?

Қалай ойлаймыз. Мұнда бөлшектерді бөлу бар — бұл келесі сабақтың тақырыбы. Бөлшекке бөлу — «аударылған» бөлшекке көбейту деген сөз. Үштің кубы: $3^3 = 27$.

Шешуі.

1. Айналдырамыз: $\frac{25}{24} \cdot \frac{69}{40} \cdot \frac{288}{161} : \frac{23}{5} : \frac{25}{966}$.
2. Бөлуді көбейтумен ауыстырамыз: $\frac{25}{24} \cdot \frac{69}{40} \cdot \frac{288}{161} \cdot \frac{5}{23} \cdot \frac{966}{25}$.
3. Жіктейміз: $69 = 3 \cdot 23$, $161 = 7 \cdot 23$, $966 = 42 \cdot 23$, $288 = 24 \cdot 12$. 25-ті, 24-ті, екі «23»-ті және 7-ні қысқартамыз.
4. $\frac{3 \cdot 12 \cdot 5 \cdot 6}{40} = \frac{1080}{40} = 27$ қалады.

Жауабы: иә, ақиқат: мәні $27 = 3^3$.

Аспаз мамандығындағы математика

№ 517

Тосапты түрлі жеміс-жидектерден дайындауға болады. Алмұрт пен бегеден (айва) дайындалатын тосапқа керек ингредиенттер 25-кестеде көрсетілген (1 стакан — 200 г): алмұрттан — алмұрт 1 кг, құмшекер $4\frac{1}{2}$ стакан, су $3\frac{1}{4}$ стакан; бегеден — беге 5 кг, құмшекер 6 кг, су $1\frac{4}{5}$ л + 1 стакан. 1) Алмұрттан 5 кг тосап жасауға керек ингредиенттердің мөлшерін беретін кесте құрыңдар. 2) 5 кг беге мен алмұртты қайнатуға жұмсалатын су мен қанттың мөлшерлерін салыстырыңдар.

Қалай ойлаймыз. Алмұрт 5 есе көп болса — бәрін 5 есе көп аламыз. 200 г су — 200 мл, яғни $\frac{1}{5}$ л.

Шешуі.

1. Құмшекер: $4\frac{1}{2} \cdot 5 = 22\frac{1}{2}$ стакан; бұл $22\frac{1}{2} \cdot 200 = 4500$ г $= 4\frac{1}{2}$ кг.
2. Су: $3\frac{1}{4} \cdot 5 = 16\frac{1}{4}$ стакан; бұл 3250 г, шамамен $3\frac{1}{4}$ л.

3. Беге: су $1\frac{4}{5}$ л $+ \frac{1}{5}$ л $= 2$ л, құмшекер 6 кг.
4. Салыстырамыз: алмұртқа қант $6 - 4\frac{1}{2} = 1\frac{1}{2}$ кг аз керек, ал су $3\frac{1}{4} - 2 = 1\frac{1}{4}$ л көп.

Жауабы: 5 кг алмұртқа — $22\frac{1}{2}$ стакан құмшекер және $16\frac{1}{4}$ стакан су; қант бегеге қарағанда $1\frac{1}{2}$ кг аз, су $1\frac{1}{4}$ л көп.

🌟 Беге — қатты әрі тұтқыр жеміс. Сондықтан оған қантты көбірек салады: шәрбатта беге жұмсарып, тәтті болады.

Жаңа тақырыпты меңгеруге дайындаламыз

№ 518

Аралас сандарды бұрыс бөлшек түрінде жазыңдар: 1) $8\frac{2}{3}$; 2) $9\frac{1}{7}$; 3) $10\frac{2}{13}$; 4) $101\frac{1}{6}$.

Қалай ойлаймыз. Бүтін бөлікті бөлімге көбейтіп, алымын қосамыз.

Шешуі.

1. $\frac{8 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{26}{3}$.
2. $\frac{9 \cdot 7 + 1}{7} = \frac{64}{7}$.
3. $\frac{10 \cdot 13 + 2}{13} = \frac{132}{13}$.
4. $\frac{101 \cdot 6 + 1}{6} = \frac{607}{6}$.

Жауабы: 1) $\frac{26}{3}$; 2) $\frac{64}{7}$; 3) $\frac{132}{13}$; 4) $\frac{607}{6}$.

№ 519

Бөлшектерді салыстырыңдар: 1) $\frac{5}{7}$ және $\frac{7}{5}$; 2) $\frac{11}{20}$ және $\frac{20}{11}$; 3) $\frac{123}{400}$ және $\frac{400}{123}$. Осы бөлшектердің көбейтіндісінің мәнін табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Әр жұпта бірінші бөлшек дұрыс (1-ден кіші), екіншісі — бұрыс (1-ден үлкен).

Шешуі.

1. $\frac{5}{7} < \frac{7}{5}$; $\frac{5}{7} \cdot \frac{7}{5} = \frac{35}{35} = 1$.
2. $\frac{11}{20} < \frac{20}{11}$; $\frac{11 \cdot 20}{20 \cdot 11} = 1$.
3. $\frac{123}{400} < \frac{400}{123}$; көбейтіндісі де 1-ге тең.

Жауабы: барлық жұпта бірінші бөлшек кіші; барлық көбейтінді 1-ге тең.

💡 Байқадың ба? Бөлшекті «аударып», бастапқы бөлшекке көбейтсек, әрқашан 1 шығады. Мұндай сандарды өзара кері сандар дейді — келесі сабақ солар туралы.

Жадынама

• $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$.
• $\frac{a}{b} \cdot n = \frac{a \cdot n}{b}$.
• Аралас сандарды көбейтпес бұрын бұрыс бөлшек түрінде жазамыз.
• Көбейтуге дейін қысқартамыз — сонда сандар кішкентай болып қалады.
• Бүтін және бөлшек бөліктерін бөлек көбейтуге болмайды.

Шағын тест