§ 27. Жай бөлшектерді және аралас сандарды бөлу

Математика, 5 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2017). 3 тарау: Жай бөлшектер және оларға амалдар қолдану. 132–136-беттер.

Нені үйренесің

• Өзара кері сандарды табуды: $\frac{3}{7}$ үшін ол $\frac{7}{3}$.
• Бөлшекті бөлшекке бөлуді, бөлуді көбейтумен алмастырып.
• Бөлшекті натурал санға және санды бөлшекке бөлуді.
• Аралас сандарды бөлуді.

Ой қозғау

Бұл — өткен сабақтағы № 518–519 тапсырмалар және өз сұрақтарымыз.

• $8\frac{2}{3}$ және $101\frac{1}{6}$ сандарын бұрыс бөлшек түрінде жаз. $\frac{26}{3}$ және $\frac{607}{6}$.
• Қайсысы үлкен: $\frac{11}{20}$ немесе $\frac{20}{11}$? $\frac{20}{11}$: ол 1-ден үлкен, ал $\frac{11}{20}$ 1-ден кіші.
• $\frac{5}{7} \cdot \frac{7}{5}$ неге тең? $\frac{35}{35} = 1$.
• Ал $\frac{123}{400} \cdot \frac{400}{123}$ ше? Мұнда да 1 — алымдары мен бөлімдері бірдей, бәрі қысқарады.
• $12 : 3$ және $12 \cdot \frac{1}{3}$ неге тең? Екі жағдайда да 4. Қызық емес пе?

💡 3-ке бөлу — $\frac{1}{3}$-ке көбейтумен бірдей. Бөлшектерді бөлудің бүкіл құпиясы осы. Неге олай екенін талдайық.

Тақырыпты талдаймыз

«Аударылған» сандар

$\frac{2}{5}$ санын $\frac{5}{2}$ санына көбейт: $\frac{10}{10} = 1$ шығады. Ал $3 \cdot \frac{1}{3} = 1$. Және $\frac{29}{37} \cdot \frac{37}{29} = 1$.

📌 Көбейтіндісінің мәні 1-ге тең екі сан өзара кері сандар деп аталады. $\frac{a}{b}$ жай бөлшегі үшін ($a$ мен $b$ нөлге тең емес) кері бөлшек — $\frac{b}{a}$: алымы мен бөлімінің орны ауысады.

Аралас санға кері санды қалай табамыз? Алдымен оны бұрыс бөлшекке айналдыр, сосын аудар: $5\frac{3}{8} = \frac{43}{8}$, кері сан — $\frac{8}{43}$.

Ал натурал сан үшін: $25 = \frac{25}{1}$, кері сан — $\frac{1}{25}$.

⚠️ Жиі кететін қате. Нөлге кері сан жоқ. Нөлді неше рет көбейтсең де, бір шықпайды.

Бөлу неге көбейтуге айналады

3 пиццадан пиццаның неше ширегі шығады? Әрқайсысын 4 бөлікке кесеміз — барлығы $3 \cdot 4 = 12$ кесек. Яғни $3 : \frac{1}{4} = 3 \cdot 4 = 12$.

$\frac{1}{4}$-ке бөлу 4-ке көбейтумен бірдей болып шықты — кері санға көбейту! Бұл әрқашан орындалады. $\frac{11}{7} : \frac{3}{4}$ мысалымен тексерейік. Жауап $x$ болсын, сонда $x \cdot \frac{3}{4} = \frac{11}{7}$. Екі жағын да $\frac{4}{3}$-ке көбейтеміз: сол жағы $\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3} = 1$, және $x = \frac{11}{7} \cdot \frac{4}{3} = \frac{44}{21} = 2\frac{2}{21}$ қалады.

📌 Жай бөлшекті жай бөлшекке бөлу үшін бөлінгішті бөлгішке кері бөлшекке көбейтеміз: $\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$.

Мысалы: $\frac{38}{79} : \frac{19}{237} = \frac{38}{79} \cdot \frac{237}{19} = \frac{2 \cdot 3}{1 \cdot 1} = 6$ (38 пен 19-ды 19-ға, 237 мен 79-ды 79-ға қысқарттық).

⚠️ Жиі кететін қате. Керісінше, дұрыс емес бөлшекті аударып жіберу. Бірінші бөлшек (бөлінгіш) сол күйінде қалады, тек екіншісін — бөлетін бөлшекті ғана аударамыз.

Аралас сандар және натурал сандар

Аралас сандарды, көбейтудегідей, алдымен бұрыс бөлшекке айналдырамыз:

$1\frac{7}{8} : 8\frac{7}{16} = \frac{15}{8} : \frac{135}{16} = \frac{15}{8} \cdot \frac{16}{135} = \frac{1 \cdot 2}{1 \cdot 9} = \frac{2}{9}$.

Бөлшекті натурал санға бөлеміз: $\frac{18}{19} : 6 = \frac{18}{19} \cdot \frac{1}{6} = \frac{3}{19}$.

📌 Жай бөлшекті натурал санға бөлу үшін алымын сол күйінде қалдырып, бөлімін осы натурал санға көбейтеміз: $\frac{a}{b} : n = \frac{a}{b \cdot n}$.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Баладан айтып отыруын сұраңыз: «Біріншісін қайта жазамын, таңбаны көбейтуге ауыстырамын, екіншісін аударамын». 5–6 мысалдан кейін бұл өздігінен шығады. Бөлуді көбейтумен тексереді: $\frac{2}{9} \cdot 8\frac{7}{16}$ көбейтіндісі $1\frac{7}{8}$ беруі керек.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Қандай сандар өзара кері сандар деп аталады? Көбейтіндісі 1-ге тең екі сан. Мысалы, $\frac{3}{8}$ және $\frac{8}{3}$, 5 және $\frac{1}{5}$.
• Жай бөлшекті жай бөлшекке қалай бөлеміз? Бөлінгішті бөлгішке кері бөлшекке көбейтеміз.
• Аралас сандарды қалай бөлеміз? Оларды бұрыс бөлшек түрінде жазып, бөлшектерді бөлу ережесімен бөлеміз.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 520

Берілген сандарға кері сандарды атаңдар: $\frac{3}{10}$; $\frac{4}{5}$; $\frac{13}{15}$; $\frac{6}{25}$; $\frac{21}{28}$; $\frac{5}{3}$; $\frac{35}{44}$; $\frac{200}{11}$; 25; 71; 321.

Қалай ойлаймыз. Бөлшектің алымы мен бөлімінің орнын ауыстырамыз. Натурал сан $n$ — бұл $\frac{n}{1}$, оған кері сан — $\frac{1}{n}$.

Шешуі. $\frac{10}{3}$; $\frac{5}{4}$; $\frac{15}{13}$; $\frac{25}{6}$; $\frac{28}{21}$ (немесе қысқартқаннан кейін $\frac{4}{3}$); $\frac{3}{5}$; $\frac{44}{35}$; $\frac{11}{200}$; $\frac{1}{25}$; $\frac{1}{71}$; $\frac{1}{321}$.

Жауабы: $\frac{10}{3}$; $\frac{5}{4}$; $\frac{15}{13}$; $\frac{25}{6}$; $\frac{4}{3}$; $\frac{3}{5}$; $\frac{44}{35}$; $\frac{11}{200}$; $\frac{1}{25}$; $\frac{1}{71}$; $\frac{1}{321}$.

№ 521

Теңдеудің түбірлерін табыңдар: 1) $x \cdot \frac{5}{13} = 1$; 2) $\frac{6}{7} \cdot x = 1$; 3) $\frac{9}{10} \cdot x = 1$; 4) $y \cdot \frac{11}{16} = 1$; 5) $y \cdot \frac{20}{51} = 1$; 6) $y \cdot \frac{32}{35} = 1$.

Қалай ойлаймыз. Көбейтінді 1-ге тең болса, белгісіз сан белгілі санға кері сан болады.

Шешуі. 1) $x = \frac{13}{5} = 2\frac{3}{5}$; 2) $x = \frac{7}{6} = 1\frac{1}{6}$; 3) $x = \frac{10}{9} = 1\frac{1}{9}$; 4) $y = \frac{16}{11} = 1\frac{5}{11}$; 5) $y = \frac{51}{20} = 2\frac{11}{20}$; 6) $y = \frac{35}{32} = 1\frac{3}{32}$.

Жауабы: 1) $2\frac{3}{5}$; 2) $1\frac{1}{6}$; 3) $1\frac{1}{9}$; 4) $1\frac{5}{11}$; 5) $2\frac{11}{20}$; 6) $1\frac{3}{32}$.

№ 522

Берілген санға кері санды табыңдар: 1) $5\frac{2}{9}$; 2) $6\frac{3}{5}$; 3) $4\frac{4}{9}$; 4) $4\frac{5}{7}$; 5) $9\frac{4}{7}$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен бұрыс бөлшек, сосын аударамыз.

Шешуі.

1. $5\frac{2}{9} = \frac{47}{9}$ → $\frac{9}{47}$.
2. $6\frac{3}{5} = \frac{33}{5}$ → $\frac{5}{33}$.
3. $4\frac{4}{9} = \frac{40}{9}$ → $\frac{9}{40}$.
4. $4\frac{5}{7} = \frac{33}{7}$ → $\frac{7}{33}$.
5. $9\frac{4}{7} = \frac{67}{7}$ → $\frac{7}{67}$.

Жауабы: 1) $\frac{9}{47}$; 2) $\frac{5}{33}$; 3) $\frac{9}{40}$; 4) $\frac{7}{33}$; 5) $\frac{7}{67}$.

№ 523

Бөлуді орындаңдар (16 мысал): 1) $\frac{2}{5} : \frac{2}{25}$; 2) $\frac{2}{3} : \frac{14}{15}$; 3) $\frac{3}{28} : \frac{6}{7}$; 4) $\frac{3}{8} : \frac{27}{32}$; 5) $\frac{2}{3} : 10$; 6) $\frac{4}{5} : 8$; 7) $\frac{5}{6} : 10$; 8) $\frac{3}{7} : 12$; 9) $4 : \frac{2}{5}$; 10) $21 : \frac{7}{8}$; 11) $25 : \frac{5}{8}$; 12) $8 : \frac{16}{21}$; 13) $\frac{1}{8} : \frac{3}{4}$; 14) $\frac{1}{2} : 9$; 15) $\frac{2}{5} : 7$; 16) $\frac{3}{4} : \frac{9}{16}$.

Қалай ойлаймыз. Бөлгішті аударып, көбейтеміз. Натурал санға бөлсек — бөлімін көбейтеміз.

Шешуі.

Жауабы: 1) 5; 2) $\frac{5}{7}$; 3) $\frac{1}{8}$; 4) $\frac{4}{9}$; 5) $\frac{1}{15}$; 6) $\frac{1}{10}$; 7) $\frac{1}{12}$; 8) $\frac{1}{28}$; 9) 10; 10) 24; 11) 40; 12) $10\frac{1}{2}$; 13) $\frac{1}{6}$; 14) $\frac{1}{18}$; 15) $\frac{2}{35}$; 16) $1\frac{1}{3}$.

№ 524

Бөліндінің мәнін табыңдар: 1) $\frac{6}{25} : \frac{3}{5}$; 2) $\frac{8}{15} : \frac{20}{21}$; 3) $\frac{14}{15} : \frac{28}{33}$; 4) $\frac{39}{43} : \frac{13}{43}$; 5) $\frac{27}{32} : \frac{9}{16}$; 6) $\frac{21}{22} : \frac{7}{18}$; 7) $\frac{2}{7} : \frac{16}{35}$; 8) $\frac{44}{45} : \frac{11}{18}$.

Қалай ойлаймыз. Бөлгішті аударамыз, қысқартамыз, көбейтеміз. 4-мысалда бөлімдері бірдей — алымдарын-ақ бөлуге болады: $39 : 13 = 3$.

Шешуі.

1. $\frac{6}{25} \cdot \frac{5}{3} = \frac{2}{5}$.
2. $\frac{8}{15} \cdot \frac{21}{20} = \frac{2 \cdot 7}{5 \cdot 5} = \frac{14}{25}$.
3. $\frac{14}{15} \cdot \frac{33}{28} = \frac{11}{10} = 1\frac{1}{10}$.
4. $\frac{39}{43} \cdot \frac{43}{13} = 3$.
5. $\frac{27}{32} \cdot \frac{16}{9} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$.
6. $\frac{21}{22} \cdot \frac{18}{7} = \frac{27}{11} = 2\frac{5}{11}$.
7. $\frac{2}{7} \cdot \frac{35}{16} = \frac{5}{8}$.
8. $\frac{44}{45} \cdot \frac{18}{11} = \frac{8}{5} = 1\frac{3}{5}$.

Жауабы: 1) $\frac{2}{5}$; 2) $\frac{14}{25}$; 3) $1\frac{1}{10}$; 4) 3; 5) $1\frac{1}{2}$; 6) $2\frac{5}{11}$; 7) $\frac{5}{8}$; 8) $1\frac{3}{5}$.

№ 525

Бөлуді орындаңдар: 1) $3\frac{4}{5} : 5\frac{7}{10}$; 2) $2\frac{2}{3} : 1\frac{7}{9}$; 3) $6\frac{5}{9} : 6\frac{4}{19}$; 4) $5\frac{3}{7} : 7\frac{1}{8}$; 5) $4\frac{8}{15} : 1\frac{9}{25}$; 6) $1\frac{13}{15} : 1\frac{3}{5}$.

Шешуі.

1. $\frac{19}{5} : \frac{57}{10} = \frac{19}{5} \cdot \frac{10}{57} = \frac{2}{3}$.
2. $\frac{8}{3} \cdot \frac{9}{16} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$.
3. $\frac{59}{9} \cdot \frac{19}{118} = \frac{19}{18} = 1\frac{1}{18}$.
4. $\frac{38}{7} \cdot \frac{8}{57} = \frac{16}{21}$.
5. $\frac{68}{15} \cdot \frac{25}{34} = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3}$.
6. $\frac{28}{15} \cdot \frac{5}{8} = \frac{7}{6} = 1\frac{1}{6}$.

Жауабы: 1) $\frac{2}{3}$; 2) $1\frac{1}{2}$; 3) $1\frac{1}{18}$; 4) $\frac{16}{21}$; 5) $3\frac{1}{3}$; 6) $1\frac{1}{6}$.

№ 526

Шаршының периметрі $4\frac{4}{5}$ дм-ге тең. Шаршы қабырғасының ұзындығын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Шаршының 4 тең қабырғасы бар, периметрді 4-ке бөлеміз.

Шешуі. $4\frac{4}{5} : 4 = \frac{24}{5} : 4 = \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5}$ дм.

Жауабы: $1\frac{1}{5}$ дм.

№ 527

Бірдей 24 тетік дайындауға $7\frac{1}{5}$ сағ жұмсалды. Бір тетікті дайындауға қанша уақыт керек? Жауапты минутпен беріңдер.

Шешуі.

1. $7\frac{1}{5} : 24 = \frac{36}{5} \cdot \frac{1}{24} = \frac{3}{10}$ сағ.
2. $\frac{3}{10}$ сағ $= 60 \cdot \frac{3}{10} = 18$ мин.

Жауабы: 18 мин.

№ 528

Тіктөртбұрыштың ауданы 4 дм². Тіктөртбұрыштың ені 1) $\frac{1}{2}$ дм; 2) $\frac{2}{5}$ дм; 3) $1\frac{3}{5}$ дм; 4) $1\frac{1}{4}$ дм болса, оның ұзындығы қандай?

Қалай ойлаймыз. Ұзындығы = ауданы : ені.

Шешуі.

1. $4 : \frac{1}{2} = 4 \cdot 2 = 8$ дм.
2. $4 : \frac{2}{5} = 4 \cdot \frac{5}{2} = 10$ дм.
3. $4 : \frac{8}{5} = 4 \cdot \frac{5}{8} = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2}$ дм.
4. $4 : \frac{5}{4} = 4 \cdot \frac{4}{5} = \frac{16}{5} = 3\frac{1}{5}$ дм.

Жауабы: 1) 8 дм; 2) 10 дм; 3) $2\frac{1}{2}$ дм; 4) $3\frac{1}{5}$ дм.

B деңгейі

№ 529

Өрнектің мәнін табыңдар: жақшалы 8 өрнек, мысалы $2\frac{1}{6} : \left(8\frac{3}{4} - 5\frac{1}{2}\right)$ (барлық мысалдар — шешуінде).

Қалай ойлаймыз. Алдымен жақша (қосу немесе азайту), сосын бөлу. 5-мысалда жақша жоқ: алдымен бөлу, сосын азайту.

Шешуі.

1. $2\frac{1}{6} : \left(8\frac{3}{4} - 5\frac{1}{2}\right) = \frac{13}{6} : 3\frac{1}{4} = \frac{13}{6} \cdot \frac{4}{13} = \frac{2}{3}$.
2. $3\frac{17}{20} : \left(3\frac{2}{5} + 1\frac{11}{15}\right) = \frac{77}{20} : 5\frac{2}{15} = \frac{77}{20} \cdot \frac{15}{77} = \frac{3}{4}$.
3. $\left(4\frac{3}{5} - 2\frac{1}{5}\right) : 1\frac{1}{10} = \frac{12}{5} \cdot \frac{10}{11} = \frac{24}{11} = 2\frac{2}{11}$.
4. $\left(1\frac{7}{10} + \frac{4}{5}\right) : 1\frac{7}{8} = \frac{5}{2} \cdot \frac{8}{15} = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$.
5. $3\frac{1}{8} : \frac{15}{16} - \frac{1}{4} = \frac{25}{8} \cdot \frac{16}{15} - \frac{1}{4} = \frac{10}{3} - \frac{1}{4} = \frac{37}{12} = 3\frac{1}{12}$.
6. $1\frac{9}{35} : \left(1\frac{1}{5} + \frac{2}{3}\right) = \frac{44}{35} : \frac{28}{15} = \frac{44}{35} \cdot \frac{15}{28} = \frac{33}{49}$.
7. $\left(11\frac{5}{8} + 7\frac{1}{6}\right) : 3\frac{5}{12} = \frac{451}{24} \cdot \frac{12}{41} = \frac{11}{2} = 5\frac{1}{2}$.
8. $\left(8\frac{7}{12} - 2\frac{5}{8}\right) : 2\frac{1}{6} = \frac{143}{24} \cdot \frac{6}{13} = \frac{11}{4} = 2\frac{3}{4}$.

Жауабы: 1) $\frac{2}{3}$; 2) $\frac{3}{4}$; 3) $2\frac{2}{11}$; 4) $1\frac{1}{3}$; 5) $3\frac{1}{12}$; 6) $\frac{33}{49}$; 7) $5\frac{1}{2}$; 8) $2\frac{3}{4}$.

№ 530

Амалдарды орындаңдар: көбейту мен бөлуден тұратын 8 тізбек, мысалы $\frac{8}{27} \cdot \frac{9}{7} : \frac{4}{7}$.

Қалай ойлаймыз. Көбейту мен бөлуді солдан оңға қарай орындаймыз. Барлық бөлуді бірден кері санға көбейтумен ауыстырып, бәрін бір-ақ қысқарту ыңғайлы.

Шешуі.

1. $\frac{8}{27} \cdot \frac{9}{7} \cdot \frac{7}{4} = \frac{2}{3}$.
2. $\frac{11}{12} : \frac{7}{24} : 2\frac{2}{21} = \frac{11}{12} \cdot \frac{24}{7} \cdot \frac{21}{44} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$.
3. $2\frac{2}{3} : \frac{24}{35} : 2\frac{7}{9} = \frac{8}{3} \cdot \frac{35}{24} \cdot \frac{9}{25} = \frac{7}{5} = 1\frac{2}{5}$.
4. $13\frac{1}{2} \cdot 1\frac{1}{2} : 2\frac{1}{4} = \frac{27}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{9} = 9$.
5. $\frac{15}{16} : \frac{5}{8} \cdot 1\frac{1}{9} = \frac{15}{16} \cdot \frac{8}{5} \cdot \frac{10}{9} = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3}$.
6. $\frac{13}{14} : 1\frac{4}{21} : \frac{13}{5} = \frac{13}{14} \cdot \frac{21}{25} \cdot \frac{5}{13} = \frac{3}{10}$.
7. $4\frac{9}{38} \cdot \frac{5}{23} : \frac{7}{19} = \frac{161}{38} \cdot \frac{5}{23} \cdot \frac{19}{7} = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2}$.
8. $2\frac{16}{19} \cdot 2\frac{1}{9} : 3\frac{3}{8} = \frac{54}{19} \cdot \frac{19}{9} \cdot \frac{8}{27} = \frac{16}{9} = 1\frac{7}{9}$.

Жауабы: 1) $\frac{2}{3}$; 2) $1\frac{1}{2}$; 3) $1\frac{2}{5}$; 4) 9; 5) $1\frac{2}{3}$; 6) $\frac{3}{10}$; 7) $2\frac{1}{2}$; 8) $1\frac{7}{9}$.

№ 531

Бірінші сан $8\frac{8}{9}$, екіншісі одан 15 есе кем. Осы сандардың қосындысы мен айырмасының мәндерін табыңдар.

Шешуі.

1. Екінші сан: $8\frac{8}{9} : 15 = \frac{80}{9} \cdot \frac{1}{15} = \frac{16}{27}$.
2. Қосындысы: $8\frac{24}{27} + \frac{16}{27} = 8\frac{40}{27} = 9\frac{13}{27}$.
3. Айырмасы: $8\frac{24}{27} - \frac{16}{27} = 8\frac{8}{27}$.

Жауабы: қосындысы $9\frac{13}{27}$, айырмасы $8\frac{8}{27}$.

№ 532

Тіктөртбұрыштың ұзындығы $2\frac{6}{7}$ м, ені $4\frac{1}{5}$ м. Ауданы осы тіктөртбұрыштың ауданына тең, ұзындығы $4\frac{2}{3}$ м болатын екінші тіктөртбұрыштың енін табыңдар.

Шешуі.

1. Бірінші тіктөртбұрыштың ауданы: $\frac{20}{7} \cdot \frac{21}{5} = 12$ м².
2. Екіншісінің ені: $12 : 4\frac{2}{3} = 12 \cdot \frac{3}{14} = \frac{18}{7} = 2\frac{4}{7}$ м.

Жауабы: $2\frac{4}{7}$ м.

C деңгейі

№ 533

Туристер үш күнде 45 км жол жүрді. Бірінші күні жүрген жол екінші күнгіден $1\frac{2}{3}$ есе артық, ал үшінші күні 15 км жүрді. Туристер бірінші күні қанша километр жол жүрген?

Қалай ойлаймыз. Алдымен белгілі үшінші күнді алып тастаймыз. Қалғаны бірінші және екінші күнге бөлінеді: екінші күні — бір «бөлік», бірінші күні — бір бүтін үштен екі бөлік.

Шешуі. $45 - 15 = 30$ км; $30 : 2\frac{2}{3} = 11\frac{1}{4}$ км (екінші күн); $11\frac{1}{4} \cdot 1\frac{2}{3} = 18\frac{3}{4}$ км.

Жауабы: $18\frac{3}{4}$ км.

№ 534

Мәтінді есепті шешіңдер, оған кері есеп құрастырыңдар және оны шығарыңдар: бірінші жұмысшы 27 тетік дайындау үшін $15\frac{3}{4}$ сағ, екінші жұмысшы 18 тетік дайындау үшін $13\frac{1}{2}$ сағ жібереді. Бір тетікті дайындау үшін қай жұмысшы аз уақыт жұмсайды және ол қанша минутқа кем?

Қалай ойлаймыз. Әр жұмысшының бір тетікке кеткен уақытын тауып, минутқа айналдырамыз.

Шешуі.

1. Біріншісі: $15\frac{3}{4} : 27 = \frac{63}{4} \cdot \frac{1}{27} = \frac{7}{12}$ сағ $= 35$ мин.
2. Екіншісі: $13\frac{1}{2} : 18 = \frac{27}{2} \cdot \frac{1}{18} = \frac{3}{4}$ сағ $= 45$ мин.
3. $45 - 35 = 10$ мин.

Кері есептер (мысал).

1. Бірінші жұмысшы бір тетікке $\frac{7}{12}$ сағ жұмсайды. 27 тетікті неше сағатта жасайды? $\frac{7}{12} \cdot 27 = \frac{63}{4} = 15\frac{3}{4}$ сағ.
2. Екінші жұмысшы бір тетікке $\frac{3}{4}$ сағ жұмсайды. $13\frac{1}{2}$ сағ ішінде неше тетік жасайды? $13\frac{1}{2} : \frac{3}{4} = \frac{27}{2} \cdot \frac{4}{3} = 18$ тетік.
3. Біріншісі бір тетікке 35 мин жұмсайды, екіншісі — 10 мин артық. Екіншісі 18 тетікке неше сағат жұмсайды? $45 \cdot 18 = 810$ мин $= 13\frac{1}{2}$ сағ.

Жауабы: бірінші жұмысшы, 10 мин кем.

Жаңа тақырыпты меңгеруге дайындаламыз

№ 535

Есептеңдер: 1) $813 \cdot 41^2 - 513 \cdot 41^2$; 2) $496 \cdot 68^2 + 400 \cdot 68^2 + 104 \cdot 68^2$; 3) $84^2 \cdot 717 - 84^2 \cdot 317$; 4) $79 \cdot 182 - 79^2 - 79 \cdot 103$.

Қалай ойлаймыз. Ортақ көбейткішті жақшаның алдына шығарамыз — сонда жақшада «дөңгелек» сандар шығады.

Шешуі.

1. $41^2 \cdot (813 - 513) = 1681 \cdot 300 = 504,300$.
2. $68^2 \cdot (496 + 400 + 104) = 4624 \cdot 1000 = 4,624,000$.
3. $84^2 \cdot (717 - 317) = 7056 \cdot 400 = 2,822,400$.
4. $79 \cdot (182 - 79 - 103) = 79 \cdot 0 = 0$.

Жауабы: 1) 504 300; 2) 4 624 000; 3) 2 822 400; 4) 0.

№ 536

Төмендегі сөйлемдерден өрнек құрыңдар және оның мәнін табыңдар: 1) 309 санын 5 есе арттырыңдар; 2) 618 және 399 сандарының қосындысын 2 есе арттырыңдар; 3) 10 000 санынан 999 және 9 сандарының бөліндісін азайтыңдар; 4) 7777 және 223 сандарының қосындысының мәнін 3000-ға арттырыңдар; 5) 700 000 санынан 76 543 және 8 сандарының көбейтіндісін азайтыңдар; 6) 31 406 және 1409 сандарының айырмын 29 990-ға азайтыңдар.

Қалай ойлаймыз. «… есе арттыр» — көбейту, «…-ға арттыр» — қосу, «…-ға азайт» — азайту.

Шешуі.

1. $309 \cdot 5 = 1545$.
2. $(618 + 399) \cdot 2 = 1017 \cdot 2 = 2034$.
3. $10,000 - 999 : 9 = 10,000 - 111 = 9889$.
4. $(7777 + 223) + 3000 = 8000 + 3000 = 11,000$.
5. $700,000 - 76,543 \cdot 8 = 700,000 - 612,344 = 87,656$.
6. $(31,406 - 1409) - 29,990 = 29,997 - 29,990 = 7$.

Жауабы: 1) 1545; 2) 2034; 3) 9889; 4) 11 000; 5) 87 656; 6) 7.

№ 537

Амалдар ретін анықтаңдар және өрнектің мәнін табыңдар: 1) $(4,869,484 : 1621 + 59,058 : 18) : (7560 : 504)$; 2) $31,440 + 1040 : (150 - 2400 : (67 + 53)) \cdot 20$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен ең ішкі жақшалар, сосын көбейту мен бөлуді солдан оңға қарай, соңында қосу.

Шешуі.

1. $4,869,484 : 1621 = 3004$; $59,058 : 18 = 3281$; $3004 + 3281 = 6285$; $7560 : 504 = 15$; $6285 : 15 = 419$.
2. $67 + 53 = 120$; $2400 : 120 = 20$; $150 - 20 = 130$; $1040 : 130 = 8$; $8 \cdot 20 = 160$; $31,440 + 160 = 31,600$.

Жауабы: 1) 419; 2) 31 600.

Жадынама

• Өзара кері сандардың көбейтіндісі 1-ге тең.
• Бөлшекке бөлу = кері бөлшекке көбейту.
• Аралас сандарды бөлместен бұрын бұрыс бөлшек түрінде жазамыз.
• $\frac{a}{b} : n = \frac{a}{b \cdot n}$.
• Тек бөлгішті аударамыз, бөлінгішке тиіспейміз.

Шағын тест