§ 30. Бірнеше объектінің бірігіп орындайтын жұмысына берілген есептер

Математика, 5 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2017). 4 тарау: Мәтінді есептер. 8–11-беттер.

Нені үйренесің

• Өнімділікті табуды: 1 сағатта немесе 1 күнде жұмыстың қандай бөлігі орындалады.
• Жұмыс көлемі аталмаса, оны 1 деп алуды.
• «Екеуі бірге тезірек» есептерін шығаруды: құбырлар, шеберлер, экскаваторлар.
• Тек жол жүру уақыты белгілі болатын қарама-қарсы қозғалыс есептерін шығаруды.

Ой қозғау

Бұл — өткен сабақтағы № 577 және № 578 тапсырмалар. Қалай шығарғанымызды еске түсір.

• Оператор 42 бетті 3 сағатта теріп шығады. Сағатына неше бет? $42 : 3 = $ 14.
• Екіншісі сол 42 бетті 6 сағатта тереді. Сағатына неше бет? $42 : 6 = $ 7.
• Екеуі бірге сағатына неше бет терер еді? Бүкіл мәтінді неше сағатта? $14 + 7 = 21$ бет сағатына, $42 : 21 = $ 2 сағ.
• Бассейн 60 м³: бірінші құбыр — 3 сағ-та, екіншісі — 2 сағ-та толтырады. Бірге ше? $20 + 30 = 50$ м³ сағатына, $60 : 50 = $ $1\frac{1}{5}$ сағ.
• Мотоциклшілер ұзындығы 30 км жолмен бір-біріне қарсы жүріп келеді: бірі 45 мин-та, екіншісі 36 мин-та жүріп өтеді. Қашан кездеседі? 20 мин-тан кейін.

💡 Барлық есепте схема біреу: әрқайсысы бірлік уақытта қанша істейтінін біл, қос — және бүкіл жұмысты қосындыға бөл.

Тақырыпты талдаймыз

Өнімділік дегеніміз не

Өнімділік — бірлік уақытта, яғни 1 сағатта, 1 минутта, 1 күнде қанша жұмыс істелетіні. Оператор сағатына 14 бет тереді — бұл оның өнімділігі.

📌 Жұмыс = өнімділік · уақыт. Осыдан: уақыт = жұмыс : өнімділік, өнімділік = жұмыс : уақыт.

Бәрі бірге болғанда тезірек

Ой қозғаудағы бассейнге қара. Бірінші құбыр сағатына 20 м³ құяды, екіншісі — 30 м³, екеуі бірге — 50 м³. Графиктердегі нүктелерді басып көр.

Сызық қаншалықты тік болса, жұмыс соншалықты тез жүреді. «Бірге» сызығы ең тік: 60 м³-ге ол небәрі $1\frac{1}{5}$ сағатта жетеді.

Ал көлемін айтпаса ше?

Көбіне есепте жай ғана былай жазылады: «Бассейн бірінші құбыр арқылы 3 сағ-та, екіншісі арқылы 2 сағ-та толады». Ал оған неше текше метр сыятыны — айтылмайды.

Оқасы жоқ! Бүкіл бассейнді 1 деп алайық. Сонда:

Бірге жұмыс істегендегі уақыт: $1 : \frac{5}{6} = \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5}$ сағ. Жауабы 60 м³ болғандағыдай! Бассейннің көлемі жауапқа әсер етпейді.

📌 Егер жұмыс көлемі көрсетілмесе, оны 1 деп алады.

⚠️ Жиі кететін қате. Уақытты қосады: $3 + 2 = 5$ сағ. Бірақ екеуі бірге істегенде жұмыс тезірек жүреді, баяу емес! Сағаттарды емес, өнімділіктерді қосу керек. Тексеру: бірге істегендегі уақыт ең шапшаңының уақытынан әрқашан кем.

Бір-біріне қарсы

Дәл осы тәсіл қозғалысқа да жарайды. Бір мотоциклші ауылдан ауылға дейін 45 мин жүреді, екіншісі — 36 мин. Жолдың ұзындығын 1 деп алайық.

1. Бірінші мотоциклшінің жылдамдығы: $1 : 45 = \frac{1}{45}$ жол минутына.
2. Екіншісінің жылдамдығы: $1 : 36 = \frac{1}{36}$ жол минутына.
3. Жақындасу жылдамдығы: $\frac{1}{45} + \frac{1}{36} = \frac{4}{180} + \frac{5}{180} = \frac{9}{180} = \frac{1}{20}$.
4. Кездесуге дейінгі уақыт: $1 : \frac{1}{20} = 20$ мин.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Үйден мысал келтіріңіз: «Сен ыдысты 30 минутта жуасың, мен — 15 минутта. Екеуміз бірге қанша минутта жуамыз?» ($\frac{1}{30} + \frac{1}{15} = \frac{1}{10}$, яғни 10 минутта.) Бала неге 45 минут емес екенін өзі айтып берсін.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Өнімділік дегеніміз не? Бірлік уақытта (сағатта, минутта, күнде) орындалатын жұмыс көлемі.
• Өнімділікті біле отырып, белгілі бір уақыттағы жұмыс көлемін қалай табады? Өнімділікті уақытқа көбейтеді. Мысалы, күніне жұмыстың $\frac{1}{6}$ бөлігін 4 күнде орындаса, ол — $\frac{1}{6} \cdot 4 = \frac{2}{3}$ жұмыс.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 579

Шебер жұмысты 3 сағ-та орындайды. Ол шәкірттің осы жұмысқа жіберетін уақытының $\frac{1}{2}$-ін құрайды. Олардың әрқайсысы 1 сағ-та жұмыстың қандай бөлігін орындайды? 1 сағ-та олар бірігіп жұмыстың қандай бөлігін орындайды? Олар барлық жұмысты бірігіп қанша уақытта орындайды?

Қалай ойлаймыз. Алдымен шәкірттің уақытын табамыз (бұл — санды бөлігі бойынша табу есебі), сосын өнімділіктерді.

Шешуі.

1. Шәкірттің уақыты: $3 : \frac{1}{2} = 6$ (сағ).
2. Шебер 1 сағ-та: жұмыстың $\frac{1}{3}$ бөлігін. Шәкірт: $\frac{1}{6}$ бөлігін.
3. Бірге 1 сағ-та: $\frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ жұмыс.
4. Бүкіл жұмысты бірге: $1 : \frac{1}{2} = 2$ (сағ).

Жауабы: шебер — жұмыстың $\frac{1}{3}$, шәкірт — $\frac{1}{6}$, бірге — $\frac{1}{2}$ бөлігін сағатына; екеуі бірге 2 сағ-та орындайды.

№ 580

Сұрақ құрастырып, есепті шығарыңдар: жолды жөндеуге қуаттылығы бірдей екі көлік шықты. Бірінші көлік жұмысты 36 күнде, екіншісі 45 күнде орындайды.

Қалай ойлаймыз. Ең табиғи сұрақ: «Олар бірге жұмыс істесе, жолды неше күнде жөндейді?»

Шешуі.

1. Бірінші күніне: жолдың $\frac{1}{36}$ бөлігі. Екіншісі: $\frac{1}{45}$.
2. Бірге күніне: $\frac{1}{36} + \frac{1}{45} = \frac{5}{180} + \frac{4}{180} = \frac{9}{180} = \frac{1}{20}$.
3. Уақыты: $1 : \frac{1}{20} = 20$ (күн).

Жауабы: «бірге неше күнде жөндейді?» деген сұрақ; 20 күн.

№ 581

Бір пункттен екінші пунктке дейінгі жолды жүк машинасы 9 сағ, жеңіл машина 6 сағ жүріп өтеді. Егер олар бір мезгілде қарама-қарсы бағытта қозғалса, қанша сағаттан кейін кездеседі?

Шешуі.

1. Жол — 1. Жүк машинасы сағатына: $\frac{1}{9}$, жеңіл машина: $\frac{1}{6}$.
2. Сағатына жақындау: $\frac{1}{9} + \frac{1}{6} = \frac{2}{18} + \frac{3}{18} = \frac{5}{18}$.
3. Уақыты: $1 : \frac{5}{18} = \frac{18}{5} = 3\frac{3}{5}$ (сағ) — бұл 3 сағ 36 мин.

Жауабы: $3\frac{3}{5}$ сағ-тан кейін.

№ 582

Екі автомат 3 мин-та 567 құтыны жабады және бірінші автомат екіншіге қарағанда 9 құты артық жабады. 1) Бір минутта әр автомат қанша құты жабады? 2) Осындай өнімділікпен жұмыс аткара отырып, екі автомат 3780 құтыны қанша минутта жабады?

Қалай ойлаймыз. Мұнда жұмыс көлемі белгілі — 567 құты. Алдымен жалпы өнімділікті табамыз, содан кейін оны айырмасы 9 болатын екі бөлікке бөлеміз.

Шешуі.

1. Бірге минутына: $567 : 3 = 189$ құты.
2. Айырманы алып тастасақ: $189 - 9 = 180$ — бұл екі бірдей «екіншінің» өнімділігі. Екіншісі: $180 : 2 = 90$ құты минутына.
3. Біріншісі: $90 + 9 = 99$ құты минутына.
4. 3780 құты: $3780 : 189 = 20$ (мин).

Жауабы: 1) минутына 99 және 90 құты; 2) 20 мин-та.

№ 583

Катер тыныш сумен жүзе отырып, бір кемежайдан екінші кемежайға дейін 18 мин, қайық 36 мин уақыт жібереді. Егер олар бір мезгілде қарама-қарсы бағытта жүзсе, қанша минуттан кейін кездеседі?

Шешуі.

1. Катер минутына: жолдың $\frac{1}{18}$ бөлігін, қайық: $\frac{1}{36}$.
2. Жақындасу: $\frac{1}{18} + \frac{1}{36} = \frac{2}{36} + \frac{1}{36} = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$.
3. Уақыты: $1 : \frac{1}{12} = 12$ (мин).

Жауабы: 12 мин-тан кейін.

B деңгейі

№ 584

Қуаты әртүрлі экскаваторлардың бірі жерді 10 күнде, екіншісі 12 күнде, үшіншісі 15 күнде қазады. Олар бірігіп жұмыс істесе, осы жұмысты қанша күнде орындар еді?

Шешуі.

1. Күніне: қазбаның $\frac{1}{10}$, $\frac{1}{12}$ және $\frac{1}{15}$ бөлігін.
2. Бірге: $\frac{6}{60} + \frac{5}{60} + \frac{4}{60} = \frac{15}{60} = \frac{1}{4}$.
3. Уақыты: $1 : \frac{1}{4} = 4$ (күн).

Жауабы: 4 күнде.

№ 585

Бірінші тігінші жұмысты 20 күнде орындайды, ал екінші тігінші осы жұмысты орындау үшін бірінші тігіншінің уақытының $\frac{3}{5}$-і қажет, үшіншіге екіншіге қарағанда $2\frac{1}{2}$ есе артық уақыт қажет. Осы жұмысты үш тігінші бірігіп қанша күнде бітіреді?

Қалай ойлаймыз. Екінші және үшінші тігіншінің уақытын алдымен есептеу керек. Одан әрі — әдеттегідей.

Шешуі.

1. Екінші: $20 \cdot \frac{3}{5} = 12$ (күн). Үшінші: $12 \cdot 2\frac{1}{2} = 30$ (күн).
2. Бірге күніне: $\frac{1}{20} + \frac{1}{12} + \frac{1}{30} = \frac{1}{6}$.
3. Уақыты: $1 : \frac{1}{6} = 6$ (күн).

Жауабы: 6 күнде.

C деңгейі

№ 586

Аквариумге су екі құбыр арқылы жіберілсе, ол 5 сағ-та, ал бірінші құбыр арқылы 6 сағ-та толады. Аквариум тек екінші су құбыры арқылы қанша уақытта толады?

Қалай ойлаймыз. Мұнда керісінше: жалпы өнімділік белгілі. Одан бірінші құбырды алып тастаймыз — екіншісі қалады.

Шешуі.

1. Екі құбыр бірге сағатына: аквариумның $\frac{1}{5}$ бөлігін. Біріншісі: $\frac{1}{6}$.
2. Екіншісі: $\frac{1}{5} - \frac{1}{6} = \frac{6}{30} - \frac{5}{30} = \frac{1}{30}$.
3. Уақыты: $1 : \frac{1}{30} = 30$ (сағ).

Жауабы: 30 сағ-та.

№ 587

Сұрақ құрастырып, есепті шығарыңдар. Екі трактор жерді 6 сағ жыртады. Сол жерді бірінші трактор жалғыз жыртқанда 15 сағ жұмсайды.

Қалай ойлаймыз. Сұрақ: «Жерді тек екінші трактор неше сағатта жыртар еді?» № 586 сияқты шығарамыз.

Шешуі.

1. Бірге сағатына: алқаптың $\frac{1}{6}$ бөлігін. Біріншісі: $\frac{1}{15}$.
2. Екіншісі: $\frac{1}{6} - \frac{1}{15} = \frac{5}{30} - \frac{2}{30} = \frac{3}{30} = \frac{1}{10}$.
3. Екіншінің уақыты: $1 : \frac{1}{10} = 10$ (сағ).

Жауабы: «екінші трактор неше сағатта жыртады?» деген сұрақ; 10 сағ.

№ 588

Сұрақ құрастырып, есепті шығарыңдар. Бассейнге екі құбыр арқылы су жібергенде, ол $3\frac{1}{3}$ сағ ішінде толады. Су бірінші құбырмен ғана жіберілсе, бассейн 6 сағ-та толады.

Қалай ойлаймыз. Бірге істегендегі уақыт — аралас сан. Жалпы өнімділікті табу үшін 1-ді $3\frac{1}{3}$-ке бөлеміз.

Шешуі.

1. Бірге сағатына: $1 : \frac{10}{3} = \frac{3}{10}$.
2. Екінші құбыр: $\frac{3}{10} - \frac{1}{6} = \frac{2}{15}$.
3. Уақыты: $1 : \frac{2}{15} = 7\frac{1}{2}$ (сағ).

Жауабы: «бассейнді тек екінші құбыр неше сағатта толтырады?» деген сұрақ; $7\frac{1}{2}$ сағ.

№ 589

Сұрақ құрастырып, есепті шығарыңдар. Бірінші бригада ағашты 10 күнде отырғызды. Екінші бригада жұмысты біріншіден $1\frac{1}{2}$ есе баяу орындайды.

Қалай ойлаймыз. «$1\frac{1}{2}$ есе баяу» дегені: сол жұмысқа $1\frac{1}{2}$ есе көп уақыт кетеді. Сұрақ: «Екі бригада бірге ағашты неше күнде отырғызады?»

Шешуі.

1. Екіншінің уақыты: $10 \cdot 1\frac{1}{2} = 15$ (күн).
2. Бірге күніне: $\frac{1}{10} + \frac{1}{15} = \frac{3}{30} + \frac{2}{30} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6}$.
3. Уақыты: $1 : \frac{1}{6} = 6$ (күн).

Жауабы: «бірге неше күнде бітіреді?» деген сұрақ; 6 күн.

🌟 Қазақстанда көктемде сенбіліктер өтеді: сынып-сыныбымен ағаш отырғызады. Біздің формула мұнда қалай жұмыс істейтінін ойлан: адам қанша көп болса, жалпы өнімділік соншалықты жоғары.

Жаңа тақырыпты меңгеруге дайындаламыз

№ 590

28-кестені толтырыңдар: 1 а = … м², 1 га = … м², 1 м² = … дм².

Шешуі. Ар — қабырғасы 10 м шаршы: 100 м². Гектар — қабырғасы 100 м шаршы: 10 000 м². Шаршы метр — қабырғасы 10 дм шаршы: $10 \cdot 10 = 100$ дм².

Жауабы: 1 а = 100 м²; 1 га = 10 000 м²; 1 м² = 100 дм².

№ 591

Дұрыс теңдіктегі бос орындарға сандар қойыңдар: 4230 м = … км … м; 37 980 кг = … ц … кг.

Шешуі. 1 км = 1000 м, сондықтан 4230 м = 4 км 230 м. 1 ц = 100 кг, сондықтан 37 980 кг = 379 ц 80 кг.

Жауабы: 4 км 230 м; 379 ц 80 кг.

№ 592

Шамаларды салыстырыңдар: 1) 499 ц және 4 т 99 ц; 2) 6 дм² және 6000 см².

Қалай ойлаймыз. Бәрін бір өлшем бірлікке аударамыз.

Шешуі.

1. 4 т 99 ц = 40 ц + 99 ц = 139 ц. 499 ц > 139 ц.
2. 6 дм² = 600 см². 600 см² < 6000 см².

Жауабы: 1) 499 ц > 4 т 99 ц; 2) 6 дм² < 6000 см².

№ 593

Шамаларға амалдар қолданыңдар: 1) 821 400 мм + 218 600 мм − 7 м; 2) 200 т + 30 т · 3 − 19 000 кг.

Шешуі.

1. $821,400 + 218,600 = 1,040,000$ мм = 1040 м. $1040 - 7 = 1033$ м.
2. $30 \cdot 3 = 90$ т; $200 + 90 = 290$ т; 19 000 кг = 19 т; $290 - 19 = 271$ т.

Жауабы: 1) 1033 м; 2) 271 т.

Жадынама

• Біреу жұмысты $a$ сағ-та орындаса, ол сағатына жұмыстың $\frac{1}{a}$ бөлігін орындайды.
• Бірге сағатына: $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$.
• Бірге істегендегі уақыт: $1 : \left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right)$.
• «Бірге» және «бірінші» белгілі болса — екіншісін табу үшін алып тастаймыз.
• Бірге істегендегі уақыт ең шапшаңының уақытынан әрқашан кем.

Шағын тест