§ 31. Ондық бөлшек. Ондық бөлшектерді оқу және жазу

Математика, 5 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2017). 5 тарау: Ондық бөлшектер және оларға амалдар қолдану. 12–16-беттер.

Нені үйренесің

• Ондық бөлшекті танып, оның бүтін және бөлшек бөлігін ажыратуды.
• Бөлімі 10, 100, 1000… болатын бөлшектерді үтірмен жазуды.
• Ондық бөлшектерді дұрыс оқуды: «нөл бүтін оннан жеті».
• Үтірден кейінгі разрядтардың атын білуді: ондық, жүздік, мыңдық үлес…

Ой қозғау

Бұл — өткен сабақтағы № 590–593 тапсырмалар.

• 1 арда неше шаршы метр бар? 1 гектарда ше? 100 м² және 10 000 м².
• 1 м²-та неше шаршы дециметр бар? 100 дм².
• 4230 м — бұл неше километр және неше метр? 4 км 230 м.
• 37 980 кг — бұл неше центнер және неше килограмм? 379 ц 80 кг.
• Қайсысы үлкен: 6 дм² әлде 6000 см²? 6 дм² = 600 см², демек, 6000 см² үлкен.

💡 Байқадың ба? Метрді километрге, граммды килограммға аударғанда — бәрінде 10-ға, 100-ге, 1000-ға бөлеміз. Бүгін дәл осындай «дөңгелек» бөлімдер басты кейіпкер болады.

Тақырыпты талдаймыз

«Дөңгелек» бөлімді бөлшектер

Ұсақ өлшемдерді ірі өлшемдермен өрнектеп көрейік:

• 9 мм = $\frac{9}{10}$ см (сантиметрде 10 мм бар);
• 15 м² 39 дм² = $15\frac{39}{100}$ м²;
• 18 кг 327 г = $18\frac{327}{1000}$ кг;
• 937 895 мм³ = $\frac{937,895}{1,000,000}$ м³.

Барлық бөлім — 10, 100, 1000, 1 000 000. Мұндай бөлшектерді қысқаша, бөлімсіз, үтір арқылы жазуға болады:

$\frac{9}{10} = 0{,}9$; $15\frac{39}{100} = 15{,}39$; $18\frac{327}{1000} = 18{,}327$; $\frac{937,895}{1,000,000} = 0{,}937,895$.

Міне, бұл — ондық бөлшектер. Үтірге дейінгі бөлігі — бүтін бөлігі, үтірден кейінгі бөлігі — бөлшек бөлігі.

Енді жолақты 100 бөлікке бөлейік. Әр тор — жүзден бір үлес, 0,01.

Қалай оқимыз

Аралас санды және оған тең ондық бөлшекті бірдей оқиды: $7\frac{3}{10}$ және 7,3 — «жеті бүтін оннан үш».

🌟 Дұрыс сөйлеп үйрен. $\frac{7}{10}$ — «оннан жеті», ал 0,7 — «нөл бүтін оннан жеті». «Нөл бүтін» деген сөздер міндетті!

Бөлшек бөлігін оқығанда соңғы сөз үтірден кейін неше цифр барына байланысты: бір цифр — «оннан», екі — «жүзден», үш — «мыңнан», төрт — «он мыңнан», бес — «жүз мыңнан», алты — «миллионнан».

Цифр жетпегенде

$23\frac{71}{1000}$ санын қалай жазамыз? Бөлімде үш нөл, ал алымда тек екі цифр. Алымның алдына нөл қосамыз: $23\frac{071}{1000} = 23{,}071$.

📌 Бөлімі 10, 100, 1000… болатын бөлшекті ондық бөлшек етіп жазу үшін:

1. үтірден кейін бөлімдегі нөлдер санындай цифр тұруы керек — жетпесе, алымның алдына нөл қос;
2. бүтін бөлігін жаз (ол болмаса — 0 жаз);
3. үтір қой;
4. алымды жаз.

Тағы мысалдар: $\frac{7}{1000} = 0{,}007$; $14\frac{423}{1,000,000} = 14{,}000,423$.

⚠️ Жиі кететін қате. $\frac{7}{1000}$ санын 0,7 деп жазады. Бірақ 0,7 — бұл $\frac{7}{10}$, жүз есе үлкен! Бөлімдегі нөлдерді сана: үш нөл — үтірден кейін үш цифр: 0,007.

Үтірден кейінгі разрядтар

Үтірдің оң жағындағы разрядтар былай аталады: ондық үлес, жүздік үлес, мыңдық үлес, он мыңдық үлес, жүз мыңдық үлес, миллиондық үлес.

Бұл — $38\frac{135}{100,000} = 38{,}00135$ саны. «Айнаны» көрдің бе? Бірліктің сол жағында — ондықтар, жүздіктер, мыңдықтар; үтірдің оң жағында — ондық, жүздік, мыңдық үлестер. Тек оң жақта «бірлік үлес» жоқ.

Егер үтірден кейін төрттен артық цифр болса, оларды үтірден бастап үш-үштен топтап, шағын аралықпен жазады — осылай оқу оңай: 0,937 895.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Ондық бөлшектер айналамызда көп: бағалар, дүкендегі таразының көрсеткіші, жүгіру нәтижелері. Баладан чектегі сатып алынған заттың салмағын дауыстап оқып беруін сұраңыз — «бір бүтін жүзден жиырма бес килограмм». Осылай ереже тез әдетке айналады.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Бөлшек бөлігінің бөлімі 10 болатын санды қалай жазуға болады? Үтірден кейін бір цифр тұрған ондық бөлшек түрінде: $3\frac{7}{10} = 3{,}7$.
• Үтірден кейін неше цифр болуы мүмкін? Қанша болса да: біреу, екеу, он…
• Ондық бөлшектің разрядтары қалай аталады? Мұнда қандай заңдылық бар? Бүтін бөлігінде натурал сандағыдай: бірлік, ондық, жүздік. Бөлшек бөлігінде — ондық үлес, жүздік үлес, мыңдық үлес… Атаулар «айнадағыдай»: ондық — ондық үлес, жүздік — жүздік үлес, мыңдық — мыңдық үлес.
• Бөлімі 10, 100, 1000, 10 000, 100 000, 1 000 000 болса, үтірден кейін неше таңба болады? Сәйкесінше 1, 2, 3, 4, 5, 6 — бөлімдегі нөлдер санындай.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 594

Ондық бөлшектерді оқыңдар: 25,4; 0,136; 103,15; 8,234; 1,39; 267,267; 1015,1; 307,3078; 36,04; 0,003; 181,105; 0,0809; 200,7001.

Қалай ойлаймыз. Бүтін бөлігін «бүтін» деген сөзбен оқимыз, содан кейін бөлшек бөлігін әдеттегі сан ретінде оқып, соңғы разрядтың атын қосамыз.

Шешуі.

1. 25,4 — жиырма бес бүтін оннан төрт.
2. 0,136 — нөл бүтін мыңнан жүз отыз алты.
3. 103,15 — жүз үш бүтін жүзден он бес.
4. 8,234 — сегіз бүтін мыңнан екі жүз отыз төрт.
5. 1,39 — бір бүтін жүзден отыз тоғыз.
6. 267,267 — екі жүз алпыс жеті бүтін мыңнан екі жүз алпыс жеті.
7. 1015,1 — бір мың он бес бүтін оннан бір.
8. 307,3078 — үш жүз жеті бүтін он мыңнан үш мың жетпіс сегіз.
9. 36,04 — отыз алты бүтін жүзден төрт.
10. 0,003 — нөл бүтін мыңнан үш.
11. 181,105 — жүз сексен бір бүтін мыңнан жүз бес.
12. 0,0809 — нөл бүтін он мыңнан сегіз жүз тоғыз.
13. 200,7001 — екі жүз бүтін он мыңнан жеті мың бір.

Жауабы: жоғарыда оқылды.

№ 595

987,654 321 саны берілген. Осы санның 1) ондық үлес; 2) жүздік үлес; 3) мыңдық үлес; 4) он мыңдық үлес; 5) жүз мыңдық үлес; 6) миллиондық үлес разрядында қандай цифр жазылған?

Шешуі. Үтірден кейін ретімен: 6 — ондық үлес, 5 — жүздік үлес, 4 — мыңдық үлес, 3 — он мыңдық үлес, 2 — жүз мыңдық үлес, 1 — миллиондық үлес.

Жауабы: 1) 6; 2) 5; 3) 4; 4) 3; 5) 2; 6) 1.

№ 596

Сөйлемде кездесетін сандарды жазыңдар: 1) мұхиттардың орташа тереңдігі — үш бүтін оннан тоғыз километр; 2) Жердің Күнді айналу жылдамдығы — жиырма тоғыз бүтін оннан тоғыз километр секунд; 3) Бұқтырма су қоймасының толық көлемі — қырық тоғыз бүтін жүзден алпыс екі текше километр.

Шешуі. 1) 3,9 км; 2) 29,9 км/с; 3) 49,62 км³.

Жауабы: 3,9 км; 29,9 км/с; 49,62 км³.

🌟 Бұқтырма су қоймасы — Ертіс өзенінде, Шығыс Қазақстан облысында. Бұл — Қазақстандағы ең ірі су қоймаларының бірі.

№ 597

Бөлшектерді ондық бөлшек түрінде жазыңдар және оқыңдар: $\frac{5}{10}$; $\frac{31}{100}$; $\frac{419}{1000}$; $\frac{81}{100}$; $5\frac{7}{10}$; $6\frac{37}{100}$; $8\frac{111}{1000}$; $9\frac{97}{100}$; $\frac{23}{100}$; $\frac{271}{1000}$; $\frac{93}{10,000}$; $\frac{619}{100,000}$; $21\frac{614}{1000}$; $3\frac{706}{1000}$; $13\frac{23}{100}$; $9\frac{8007}{100,000}$.

Қалай ойлаймыз. Бөлімдегі нөлдерді санаймыз — үтірден кейін сонша цифр болады. Цифр жетпесе, алымның алдына нөл қосамыз.

Шешуі.

Жауабы: 0,5; 0,31; 0,419; 0,81; 5,7; 6,37; 8,111; 9,97; 0,23; 0,271; 0,0093; 0,00619; 21,614; 3,706; 13,23; 9,08007.

B деңгейі

№ 598

9 043 206 санының оң жағынан бір орын үтір айырып, шыққан санды оқыңдар. Содан кейін үтірді солға бір орын жылжыта отырып, шыққан сандарды оқып шығыңдар.

Шешуі.

1. 904 320,6 — тоғыз жүз төрт мың үш жүз жиырма бүтін оннан алты.
2. 90 432,06 — тоқсан мың төрт жүз отыз екі бүтін жүзден алты.
3. 9043,206 — тоғыз мың қырық үш бүтін мыңнан екі жүз алты.
4. 904,3206 — тоғыз жүз төрт бүтін он мыңнан үш мың екі жүз алты.
5. 90,43206 — тоқсан бүтін жүз мыңнан қырық үш мың екі жүз алты.
6. 9,043206 — тоғыз бүтін миллионнан қырық үш мың екі жүз алты.
7. 0,9043206 — нөл бүтін он миллионнан тоғыз миллион қырық үш мың екі жүз алты.

Жауабы: жоғарыда жазылды.

💡 Үтірді солға әр жылжытқан сайын сан 10 есе кішірейеді. Бұл жақында өте керек болады!

№ 599

Қосындының мәнін ондық бөлшек түрінде жазыңдар: 1) $\frac{7}{100} + \frac{11}{100}$; 2) $70 + \frac{481}{10,000}$; 3) $5 + \frac{17}{1000}$; 4) $11 + \frac{17}{1000} + \frac{17}{1000}$.

Шешуі.

1. $\frac{7}{100} + \frac{11}{100} = \frac{18}{100} = 0{,}18$.
2. $70 + \frac{481}{10,000} = 70\frac{0481}{10,000} = 70{,}0481$.
3. $5 + \frac{17}{1000} = 5\frac{017}{1000} = 5{,}017$.
4. $11 + \frac{34}{1000} = 11{,}034$.

Жауабы: 1) 0,18; 2) 70,0481; 3) 5,017; 4) 11,034.

№ 600

Бұрыс бөлшегін аралас сан түрінде жазыңдар. Шыққан аралас санды ондық бөлшекке келтіріңдер: $\frac{73}{10}$; $\frac{231}{10}$; $\frac{459}{100}$; $\frac{963}{100}$; $\frac{1115}{100}$; $\frac{3329}{1000}$; $\frac{6552}{1000}$; $\frac{78,787}{1000}$; $\frac{50,032}{10,000}$; $\frac{81,193}{10,000}$; $\frac{223,399}{10,000}$; $\frac{555,553}{100,000}$.

Қалай ойлаймыз. 10-ға, 100-ге, 1000-ға бөлгенде бүтін бөлігі — алымның «сол жақ» цифрлары, ал қалғаны — бөлімдегі нөлдер санындай оң жақ цифрлар.

Шешуі.

1. $\frac{73}{10} = 7\frac{3}{10} = 7{,}3$
2. $\frac{231}{10} = 23\frac{1}{10} = 23{,}1$
3. $\frac{459}{100} = 4\frac{59}{100} = 4{,}59$
4. $\frac{963}{100} = 9\frac{63}{100} = 9{,}63$
5. $\frac{1115}{100} = 11\frac{15}{100} = 11{,}15$
6. $\frac{3329}{1000} = 3\frac{329}{1000} = 3{,}329$
7. $\frac{6552}{1000} = 6\frac{552}{1000} = 6{,}552$
8. $\frac{78,787}{1000} = 78\frac{787}{1000} = 78{,}787$
9. $\frac{50,032}{10,000} = 5\frac{32}{10,000} = 5{,}0032$
10. $\frac{81,193}{10,000} = 8\frac{1193}{10,000} = 8{,}1193$
11. $\frac{223,399}{10,000} = 22\frac{3399}{10,000} = 22{,}3399$
12. $\frac{555,553}{100,000} = 5\frac{55,553}{100,000} = 5{,}55553$

Жауабы: 7,3; 23,1; 4,59; 9,63; 11,15; 3,329; 6,552; 78,787; 5,0032; 8,1193; 22,3399; 5,55553.

№ 601

1) 9 мм; 29 мм; 31 мм; 256 мм; 491 мм; 12 см 3 мм; 8 см 5 мм өлшемді сантиметрмен; 2) 3 ц 24 кг; 11 ц 8 кг; 5 ц 24 кг; 632 кг; 3750 кг; 41 141 кг өлшемді центнермен; 3) 2 мин 33 с; 18 с; 5 мин 42 с; 9 мин 54 с өлшемді минутпен өрнектеңдер. Нәтижесін ондық бөлшек түрінде жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. 1 см = 10 мм, 1 ц = 100 кг. Минуттармен қулық бар: минутта 60 секунд, 10 немесе 100 емес. Алдымен бөлшекті қысқартамыз, содан кейін бөлімін 10-ға немесе 100-ге келтіреміз.

Шешуі.

1. 9 мм = $\frac{9}{10}$ см = 0,9 см; 29 мм = 2,9 см; 31 мм = 3,1 см; 256 мм = 25,6 см; 491 мм = 49,1 см; 12 см 3 мм = 12,3 см; 8 см 5 мм = 8,5 см.

2. 3 ц 24 кг = $3\frac{24}{100}$ ц = 3,24 ц; 11 ц 8 кг = 11,08 ц; 5 ц 24 кг = 5,24 ц; 632 кг = 6,32 ц; 3750 кг = 37,5 ц; 41 141 кг = 411,41 ц.

3. 2 мин 33 с = $2\frac{33}{60} = 2\frac{11}{20} = 2\frac{55}{100}$ = 2,55 мин; 18 с = $\frac{18}{60} = \frac{3}{10}$ = 0,3 мин; 5 мин 42 с = $5\frac{42}{60} = 5\frac{7}{10}$ = 5,7 мин; 9 мин 54 с = $9\frac{54}{60} = 9\frac{9}{10}$ = 9,9 мин.

Жауабы: 1) 0,9; 2,9; 3,1; 25,6; 49,1; 12,3; 8,5 см; 2) 3,24; 11,08; 5,24; 6,32; 37,5; 411,41 ц; 3) 2,55; 0,3; 5,7; 9,9 мин.

⚠️ Жиі кететін қате. 2 мин 33 с-ты 2,33 мин деп жазады. Бірақ 33 секунд — минуттың $\frac{33}{60}$ бөлігі, $\frac{33}{100}$ емес!

№ 602

Амалды орындап, нәтижесін ондық бөлшек түрінде жазыңдар: 1) $8\frac{1}{2} + 1\frac{2}{5}$; 2) $10\frac{1}{4} - 6\frac{1}{5}$; 3) $11\frac{5}{8} + 8\frac{101}{125}$; 4) $21\frac{15}{16} - 19\frac{3}{125}$.

Қалай ойлаймыз. Бөлшектерді бірден 10, 100, 1000 немесе 10 000 бөлімге келтіреміз — сонда жауапты үтірмен жазу оңай.

Шешуі.

1. $8\frac{5}{10} + 1\frac{4}{10} = 9\frac{9}{10} = 9{,}9$.
2. $10\frac{5}{20} - 6\frac{4}{20} = 4\frac{1}{20} = 4\frac{5}{100} = 4{,}05$.
3. $11\frac{625}{1000} + 8\frac{808}{1000} = 20\frac{433}{1000} = 20{,}433$.
4. $\frac{15}{16} = \frac{9375}{10,000}$, $\frac{3}{125} = \frac{240}{10,000}$; $21\frac{9375}{10,000} - 19\frac{240}{10,000} = 2\frac{9135}{10,000} = 2{,}9135$.

Жауабы: 1) 9,9; 2) 4,05; 3) 20,433; 4) 2,9135.

C деңгейі

№ 603

Бөлшегінің бөлімі 10-ға еселік болатын бөлшекке келтіріп, оған тең ондық бөлшекті жазыңдар: 1) $\frac{3}{5}$; 2) $\frac{1}{4}$; 3) $\frac{13}{20}$; 4) $\frac{3}{25}$; 5) $\frac{19}{40}$; 6) $\frac{103}{125}$; 7) $\frac{7}{250}$; 8) $\frac{492}{500}$; 9) $\frac{83}{400}$; 10) $\frac{1231}{2500}$.

Қалай ойлаймыз. Бөлімді қандай санға көбейткенде 10, 100, 1000 немесе 10 000 шығатынын іздейміз. Алымды да сол санға көбейтеміз.

Шешуі.

1. $\frac{3}{5} = \frac{6}{10} = 0{,}6$
2. $\frac{1}{4} = \frac{25}{100} = 0{,}25$
3. $\frac{13}{20} = \frac{65}{100} = 0{,}65$
4. $\frac{3}{25} = \frac{12}{100} = 0{,}12$
5. $\frac{19}{40} = \frac{475}{1000} = 0{,}475$
6. $\frac{103}{125} = \frac{824}{1000} = 0{,}824$
7. $\frac{7}{250} = \frac{28}{1000} = 0{,}028$
8. $\frac{492}{500} = \frac{984}{1000} = 0{,}984$
9. $\frac{83}{400} = \frac{2075}{10,000} = 0{,}2075$
10. $\frac{1231}{2500} = \frac{4924}{10,000} = 0{,}4924$

Жауабы: 0,6; 0,25; 0,65; 0,12; 0,475; 0,824; 0,028; 0,984; 0,2075; 0,4924.

№ 604

$3\frac{1}{40}$ және $3\frac{5}{200}$ жай бөлшектерін ондық бөлшектерге айналдырыңдар. Неліктен бірдей ондық бөлшектер шығатынын түсіндіріңдер.

Шешуі.

1. $3\frac{1}{40} = 3\frac{25}{1000} = 3{,}025$ (25-ке көбейттік).
2. $3\frac{5}{200} = 3\frac{25}{1000} = 3{,}025$ (5-ке көбейттік).
3. Бұл — бір сан: $\frac{5}{200}$ бөлшегін 5-ке қысқартсақ, $\frac{1}{40}$ шығады.

Жауабы: екеуі де 3,025-ке тең, өйткені $\frac{5}{200} = \frac{1}{40}$.

Хабарлама дайындаңдар

№ 605

Симон Стевин — еуропалық математикаға ондық бөлшек терминін енгізген және оны 1585 жылы шыққан «Десятая» («Ондық») кітабында қолданған математик ғалым және инженер. Ол туралы хабарлама дайындаңдар.

Қалай ойлаймыз. Жақсы хабарлама үш сұраққа жауап береді: ол кім, не ойлап тапты, неге бұл маңызды. Күндер мен деректерді энциклопедиядан тексер.

Шешуі. Хабарламаның үлгісі:

Симон Стевин 1548–1620 жылдары Нидерландыда өмір сүрген, Брюгге қаласында туған. Ол бухгалтер, инженер және математик болған: бөгеттер мен бекіністер салған, судың қысымын зерттеген, тіпті желкенді арба да ойлап тапқан. 1585 жылы ол «Ондық» деген шағын кітап шығарды. Онда бөлімі 10, 100, 1000 болатын бөлшектермен есептеу әлдеқайда жеңіл екенін көрсетіп, оларды бөлімсіз жазуды ұсынды. Оның жазбасында үтір әлі жоқ еді: разрядтардың нөмірін цифрлардың үстіне шеңбердің ішіне жазатын. Бірақ дәл осы кітаптан кейін ондық бөлшектер Еуропада әдетке айналды. Бүгін оларды сатушыдан бастап ғарыш инженеріне дейін бәрі қолданады.

Жауабы: хабарламаның үлгісі жоғарыда.

🌟 Бұдан да ертерек, XV ғасырда, ондық бөлшектерді Ұлықбектің обсерваториясында жұмыс істеген самарқандтық ғалым әл-Қашы қолданған. Стевин оларды Еуропаға қайта ашты.

Жаңа тақырыпты меңгеруге дайындаламыз

№ 606

Жапон теңізінің ең терең жері үш мың алты жүз тоқсан тоғыз метрге тең, Жерорта теңізінің тереңдігі — бес мың жүз жиырма бір метр, Қара теңіздікі — екі мың екі жүз он метр, Баренц теңізінің тереңдігі — алты жүз метр. Тереңдіктерінің кемуіне қарай теңіздердің аттарын жазыңдар.

Шешуі. Сандарды салыстырамыз: $5121 > 3699 > 2210 > 600$.

Жауабы: Жерорта, Жапон, Қара, Баренц.

№ 607

Ондық бөлшектер арасынан жүздік үлес разрядында жұп цифр, ал мыңдық үлес разрядында тақ цифр берілген ондық бөлшектерді жазыңдар: 3,940; 0,876; 5,2394; 0,56 766; 8,235; 6,198; 4,7139; 5,23 941; 0,413; 9,401; 0,2945; 1,699 508; 5,403; 7,005; 2,1107; 17,286.

Қалай ойлаймыз. Тек үтірден кейінгі екінші және үшінші цифрға қараймыз. Нөл — жұп цифр!

Шешуі. Сәйкес келетіндері: 0,56 766 (6 және 7); 9,401 (0 және 1); 5,403 (0 және 3); 7,005 (0 және 5). Қалғандарында не жүздік үлес тақ (мысалы, 0,876: жүздік үлес 7), не мыңдық үлес жұп (3,940: мыңдық үлес 0; 17,286: мыңдық үлес 6).

Жауабы: 0,56 766; 9,401; 5,403; 7,005.

Жадынама

• $\frac{9}{10} = 0{,}9$; $15\frac{39}{100} = 15{,}39$; $\frac{7}{1000} = 0{,}007$.
• Бүтін бөлігі болмаса — үтірдің алдына 0 жаз.
• Оқығанда соңғы сөз — соңғы разрядтың аты.
• Ұзын бөлшек бөлікті үш цифрдан топтайды.
• $\frac{3}{5}$ сияқты бөлшекті алдымен $\frac{6}{10}$-ға келтіреміз, содан кейін 0,6 деп жазамыз.

Шағын тест