§ 32. Ондық бөлшекті жай бөлшекке айналдыру

Математика, 5 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2017). 5 тарау: Ондық бөлшектер және оларға амалдар қолдану. 17–19-беттер.

Нені үйренесің

• Кез келген ондық бөлшекті жай бөлшек етіп жазуды: 0,33 → $\frac{33}{100}$.
• Бүтін бөлігі бар ондық бөлшекті аралас санға айналдыруды: 5,3 → $5\frac{3}{10}$.
• Шыққан бөлшекті қысқартуды: 0,375 → $\frac{3}{8}$.
• Жай бөлшек ыңғайлырақ болған жерде осындай бөлшектермен есептеуді.

Ой қозғау

Бұл — өткен сабақтағы № 606 және 607 жаттығулар мен бірнеше өз сұрағымыз.

• Теңіздерді тереңдігінің кемуі бойынша орналастыр: Жапон — 3699 м, Жерорта — 5121 м, Қара — 2210 м, Баренц — 600 м. Жерорта (5121), Жапон (3699), Қара (2210), Баренц (600).
• 9,401 және 0,876 бөлшектерінің қайсысында жүздік үлес разрядында жұп цифр, ал мыңдық үлес разрядында тақ цифр тұр? 9,401-де: жүздік үлесте 0 (жұп), мыңдық үлесте 1 (тақ). 0,876-да мыңдық үлесте 6 — жұп, сондықтан келмейді.
• 3,940; 0,56 766; 5,403; 7,005; 17,286 тізімінен осындай қасиеті бар барлық бөлшекті тап. 0,56 766; 5,403; 7,005.
• 0,07 санын қалай оқимыз? «Нөл бүтін жүзден жеті».
• $\frac{25}{100}$ бөлшегін қысқарт. 25-ке бөлеміз: $\frac{1}{4}$.

💡 Байқадың ба? 0,07-ні «жүзден жеті» деп оқығанда, сен жай бөлшек $\frac{7}{100}$-ті жазып қойдың десе де болады. Бүгінгі сабақ осы тұспалға құрылған.

Тақырыпты талдаймыз

Оқы да — жаз

Анасы 0,75 кг кәмпит сатып алды. Бұл жай бөлшекпен қанша болады? Дауыстап оқы: «нөл бүтін жүзден жетпіс бес». Солай жазамыз: $\frac{75}{100}$. 25-ке қысқартсақ, $\frac{3}{4}$ кг шығады.

Екі қадамдық ереже

📌 Ондық бөлшекті жай бөлшек түрінде жазу үшін:

1. бөлшектің бүтін бөлігін өзгеріссіз қалдырамыз;
2. үтірден кейінгі санды алымына жазамыз; бөліміне бір цифры мен үтірден кейінгі цифрлар санына тең нөлдер жазамыз. Содан кейін, мүмкін болса, қысқартамыз.

Бұл қалай жұмыс істейтінін қара:

• $10{,}63 = 10\frac{63}{100}$ — үтірден кейін 2 цифр бар, демек, бөлімі 100.
• $1{,}531 = 1\frac{531}{1000}$ — 3 цифр, демек, бөлімі 1000.
• $3{,}5 = 3\frac{5}{10} = 3\frac{1}{2}$ — 5-ке қысқарттық.
• $0{,}038 = \frac{38}{1000} = \frac{19}{500}$ — бүтін бөлігі 0, оны жазбаймыз.

Алымындағы емес, цифрларды санайды

1,049 бөлшегінде үтірден кейін үш цифр бар: 0, 4, 9. Демек, бөлімі 1000. Ал алымына 49 жазылады — алдыңғы нөлді жазбайды: $1{,}049 = 1\frac{49}{1000}$.

⚠️ Жиі кететін қате. «Алымында 49 — екі цифр, демек, бөлімі 100». Жоқ! Нөлдерді үтірден кейінгі цифрлар санына қарай санау керек, алымындағыға қарап емес. $1{,}049 = 1\frac{49}{1000}$, ал $1\frac{49}{100}$ — бұл 1,49.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Баладан алдымен бөлшекті дауыстап оқуын сұраңыз («бір бүтін мыңнан қырық тоғыз»). «Мыңнан» деген сөздің өзі бөлімін айтып тұр — бұл нөлдерді санаудан сенімдірек.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Ондық бөлшекті жай бөлшек немесе аралас сан түрінде қалай жазамыз? Бүтін бөлігін қалдырамыз. Үтірден кейінгі цифрларды алымына, ал бөліміне бір цифры мен үтірден кейінгі цифрлар санындай нөл жазамыз. Мүмкін болса, қысқартамыз.
• Алымындағы цифрлар саны әрқашан бөліміндегі нөлдер санына тең бола ма? Жоқ. Мысалы, $0{,}038 = \frac{38}{1000}$: алымында 2 цифр, ал нөл 3. Үтірден кейін бірден тұрған нөлдер алымына түспейді.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 608

0,33; 0,186; 0,9345; 0,07; 0,022; 0,001; 0,304; 0,022; 0,00 804 ондық бөлшектерін оқып, оларды жай бөлшек немесе аралас сан түрінде жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Дауыстап оқимыз: соңғы сөз («жүзден», «мыңнан») — дәл сол бөлімі.

Шешуі.

1. 0,33 — жүзден отыз үш: $\frac{33}{100}$;
2. 0,186 — мыңнан жүз сексен алты: $\frac{186}{1000}$;
3. 0,9345 — он мыңнан тоғыз мың үш жүз қырық бес: $\frac{9345}{10,000}$;
4. 0,07 — жүзден жеті: $\frac{7}{100}$;
5. 0,022 — мыңнан жиырма екі: $\frac{22}{1000}$;
6. 0,001 — мыңнан бір: $\frac{1}{1000}$;
7. 0,304 — мыңнан үш жүз төрт: $\frac{304}{1000}$;
8. 0,022 — мыңнан жиырма екі: $\frac{22}{1000}$;
9. 0,00 804 — жүз мыңнан сегіз жүз төрт: $\frac{804}{100,000}$.

Жауабы: $\frac{33}{100}$; $\frac{186}{1000}$; $\frac{9345}{10,000}$; $\frac{7}{100}$; $\frac{22}{1000}$; $\frac{1}{1000}$; $\frac{304}{1000}$; $\frac{22}{1000}$; $\frac{804}{100,000}$. (Мұнда қысқарту сұралмайды, бірақ, мысалы, $\frac{22}{1000} = \frac{11}{500}$.)

📕 Оқулықта 8) тармақта 5) тармақтағы 0,022 саны қайталанып кеткен (басқа басылымда мұнда 0,202 тұр). Біз оқулықтағыдай шығардық; қаласаң, 0,202 деп те жаттығып көр: $\frac{202}{1000} = \frac{101}{500}$.

№ 609

5,3; 0,07; 15,9; 101,01; 237,071; 89,005; 18,0404; 901,0901; 1000,0001 ондық бөлшегін аралас сан түрінде жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Үтірге дейінгі сан — бүтін бөлігі. Қалғанын ереже бойынша жазамыз.

Шешуі.

1. $5{,}3 = 5\frac{3}{10}$;
2. $0{,}07 = \frac{7}{100}$ — бүтін бөлігі 0, сондықтан жай ғана бөлшек шығады;
3. $15{,}9 = 15\frac{9}{10}$;
4. $101{,}01 = 101\frac{1}{100}$;
5. $237{,}071 = 237\frac{71}{1000}$;
6. $89{,}005 = 89\frac{5}{1000}$;
7. $18{,}0404 = 18\frac{404}{10,000}$;
8. $901{,}0901 = 901\frac{901}{10,000}$;
9. $1000{,}0001 = 1000\frac{1}{10,000}$.

Жауабы: шешуінде.

№ 610

Дұрыс теңдікті көрсетіңдер: $0{,}81 = \frac{81}{100}$; $1{,}013 = 1\frac{13}{100}$; $16{,}29 = 16\frac{29}{100}$; $200{,}257 = 200\frac{257}{1000}$.

Қалай ойлаймыз. Бөлімін тексереміз: үтірден кейін неше цифр болса, сонша нөл болады.

Шешуі. 1,013 санында үтірден кейін үш цифр бар, демек, бөлімі 1000 болуы керек: $1{,}013 = 1\frac{13}{1000}$. Қалған үш теңдік дұрыс.

Жауабы: 1), 3), 4).

B деңгейі

№ 611

0,398; 0,26; 0,375; 0,0056 ондық бөлшектерін жай бөлшек түрінде жазып, қысқартуды орындаңдар.

Қалай ойлаймыз. Алдымен айналдырамыз, содан кейін алымы мен бөлімінің ортақ бөлгішін іздейміз.

Шешуі.

1. $0{,}398 = \frac{398}{1000} = \frac{199}{500}$ (2-ге бөлеміз);
2. $0{,}26 = \frac{26}{100} = \frac{13}{50}$ (2-ге);
3. $0{,}375 = \frac{375}{1000} = \frac{3}{8}$ (125-ке);
4. $0{,}0056 = \frac{56}{10,000} = \frac{7}{1250}$ (8-ге).

Жауабы: $\frac{199}{500}$; $\frac{13}{50}$; $\frac{3}{8}$; $\frac{7}{1250}$.

💡 0,375 = $\frac{3}{8}$ теңдігін жаттап ал. Сондай-ақ 0,5 = $\frac{1}{2}$, 0,25 = $\frac{1}{4}$, 0,75 = $\frac{3}{4}$, 0,2 = $\frac{1}{5}$. Бұл жұптар үнемі кездесіп отырады.

№ 612

27,16; 61,094; 103,908; 378,378 ондық бөлшектерін аралас санға айналдырып, бөлшек бөлігін қысқартыңдар.

Шешуі.

1. $27{,}16 = 27\frac{16}{100} = 27\frac{4}{25}$ (4-ке);
2. $61{,}094 = 61\frac{94}{1000} = 61\frac{47}{500}$ (2-ге);
3. $103{,}908 = 103\frac{908}{1000} = 103\frac{227}{250}$ (4-ке);
4. $378{,}378 = 378\frac{378}{1000} = 378\frac{189}{500}$ (2-ге).

Жауабы: $27\frac{4}{25}$; $61\frac{47}{500}$; $103\frac{227}{250}$; $378\frac{189}{500}$.

№ 613

5,6; 5,18; 5,61; 5,181 ондық бөлшектерін жай бөлшектер түрінде жазыңдар. Шыққан жай бөлшектерді кему ретімен орналастырыңдар.

Қалай ойлаймыз. Бүтін бөліктері бірдей (5). Бөлшек бөліктерін салыстыру үшін оларды 1000 бөліміне келтіреміз.

Шешуі.

1. $5{,}6 = 5\frac{6}{10} = 5\frac{3}{5}$; $5{,}18 = 5\frac{18}{100} = 5\frac{9}{50}$; $5{,}61 = 5\frac{61}{100}$; $5{,}181 = 5\frac{181}{1000}$.
2. Мыңнан үлестермен: $\frac{600}{1000}$, $\frac{180}{1000}$, $\frac{610}{1000}$, $\frac{181}{1000}$.
3. Алымдары кему ретімен: 610, 600, 181, 180.

Жауабы: $5\frac{61}{100}$; $5\frac{3}{5}$; $5\frac{181}{1000}$; $5\frac{9}{50}$.

C деңгейі

№ 614

23,25 және 23,125 ондық бөлшектерін жай бөлшектер түрінде жазыңдар. Шыққан жай бөлшектердің қосындысын, айырымын, көбейтіндісін, бөліндісін табыңдар және оларды өсу ретімен орналастырыңдар.

Қалай ойлаймыз. $0{,}25 = \frac{1}{4}$, $0{,}125 = \frac{1}{8}$ — бұл ыңғайлы. Көбейту мен бөлу үшін аралас сандарды бұрыс бөлшекке айналдырамыз.

Шешуі. Жоғарыдағы қадамдарды қара. Қосу мен азайту үшін бөлімін 8-ге келтіреміз: $\frac{93}{4} = \frac{186}{8}$.

Жауабы: $\frac{1}{8} < 1\frac{1}{185} < 46\frac{3}{8} < 537\frac{21}{32}$ (айырым, бөлінді, қосынды, көбейтінді).

Жаңа тақырыпты меңгеруге дайындаламыз

№ 615

Бірлік кесіндісінің ұзындығы 2 см болатын координаталық сәулені салыңдар. Оның бойынан A(2), B(4), C(7) нүктелерін белгілеңдер.

Қалай ойлаймыз. Әр бірлік — 2 см. Демек, координатасы $n$ нүкте бастапқы нүктеден $2 \cdot n$ см қашықтықта тұрады.

Шешуі. A: $2 \cdot 2 = 4$ см O нүктесінен; B: $2 \cdot 4 = 8$ см; C: $2 \cdot 7 = 14$ см. Сәулені кемінде 15 см етіп сыз.

Жауабы: OA = 4 см, OB = 8 см, OC = 14 см.

№ 616

49-суретте кескінделген координаталық сәуленің бірлік кесіндісін белгілеңдер (бес сәулеге бір-бір нүкте белгіленген: 3, 7, 4, 6, 9).

Қалай ойлаймыз. 0-ден $n$ санына дейінгі кесінді $n$ бірлік кесіндіден тұрады. Демек, оны $n$ тең бөлікке бөлу керек — бір бөлік бірлік кесінді болады.

Шешуі. 0-ден белгіленген нүктеге дейінгі ұсақ бөліктерді санап, санға бөлеміз:

1. 3-ке дейін — 16 бөлік; бірлік кесінді — осы кесіндінің үштен бірі ($16 : 3 = 5\frac{1}{3}$ бөлік);
2. 7-ге дейін — 20 бөлік; бірлік кесінді — жетіден бірі ($2\frac{6}{7}$ бөлік);
3. 4-ке дейін — 16 бөлік; бірлік кесінді — 4 бөлік;
4. 6-ға дейін — 18 бөлік; бірлік кесінді — 3 бөлік;
5. 9-ға дейін — 17 бөлік; бірлік кесінді — тоғыздан бірі ($1\frac{8}{9}$ бөлік).

Ұсақ бөліктер бүтін санға бөлінбейтін жерде 0-ден нүктеге дейінгі кесіндіні сызғышпен керекті санға тең бөліктерге бөл (ұзындығын өлшеп, бөл).

Жауабы: 3) 4 бөлік; 4) 3 бөлік; 1), 2), 5) — 0-ден нүктеге дейінгі кесіндіні 3, 7 және 9 бөлікке бөлгендегі бір бөлік.

📕 49-суреттің 1), 2) және 5) тармақтарында ұсақ бөліктер саны (16, 20 және 17) 3, 7 және 9-ға бүтін бөлінбейді, сондықтан бұл тармақтарда сурет дәл емес. Сенің суретіңде бүтін бөлінбесе, кесіндіні сызғышпен бөл.

№ 617

50-суреттегі A, B, C, D, E нүктелерінің координаталарын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Алдымен бір бөліктің бағасын табамыз: жазылған санды ондағы бөліктер санына бөлеміз. Содан кейін бағаны нүктенің бөлік нөміріне көбейтеміз.

Шешуі.

1. 100 саны 5-бөлікте тұр: бағасы $100 : 5 = 20$. A = 100, B = $7 \cdot 20 = 140$, C = $11 \cdot 20 = 220$, D = $17 \cdot 20 = 340$, E = $19 \cdot 20 = 380$.
2. 180 саны 6-бөлікте: бағасы 30. A = 120, B = 270, C = 450, D = 510, E = 690.
3. 300 саны 6-бөлікте: бағасы 50. A = 50, B = 300, C = 450, D = 800, E = 900.
4. 100 саны 10-бөлікте: бағасы 10. A = 10, B = 50, C = 80, D = 100, E = 160.
5. 45 саны 3-бөлікте: бағасы 15. A = 45, B = 90, C = 180, D = 270, E = 330.

Жауабы: 1) 100, 140, 220, 340, 380; 2) 120, 270, 450, 510, 690; 3) 50, 300, 450, 800, 900; 4) 10, 50, 80, 100, 160; 5) 45, 90, 180, 270, 330.

Жадынама

• Бүтін бөлігі бүтін бөлік болып қалады.
• Үтірден кейінгі цифрлар → алымы (алдыңғы нөлдерсіз).
• Бөлімі: 1 цифр — 10, 2 цифр — 100, 3 цифр — 1000…
• Бөлшекті дауыстап оқы — соңғы сөз бөлімін айтып тұр.
• Қысқартуды ұмытпа.

Шағын тест