§ 33. Координаталық сәуледе ондық бөлшектерді кескіндеу. Ондық бөлшектерді салыстыру

Математика, 5 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2017). 5 тарау: Ондық бөлшектер және оларға амалдар қолдану. 20–25-беттер.

Нені үйренесің

• Ондық бөлшектерді координаталық сәулеге түсіруді және нүктелердің координаталарын табуды.
• 0,3 = 0,30 = 0,300 неге екенін түсінуді.
• Ондық бөлшектерді разрядтары бойынша жылдам әрі қатесіз салыстыруды.
• Бөлшектерді өсу және кему ретімен орналастыруды.

Ой қозғау

Бұл — өткен сабақтағы № 615–617 жаттығулар.

• Бірлік кесіндісі 2 см. C(7) нүктесі бастапқы нүктеден қандай қашықтықта тұр? $7 \cdot 2 = 14$ см.
• 100 саны 5-бөлікте тұр. Бір бөліктің бағасы қанша? $100 : 5 = 20$.
• Ендеше, 11-бөліктегі нүктенің координатасы қандай? $11 \cdot 20 = 220$.
• 4 саны 16-бөлікте тұр. Бірлік кесіндіде неше бөлік бар? $16 : 4 = 4$.
• Қайсысы үлкен: $\frac{3}{10}$ ма, әлде $\frac{30}{100}$ ба? Олар тең: $\frac{30}{100}$ бөлшегі $\frac{3}{10}$-ға қысқарады.

💡 Сәуленің басты тәсілі: бір бөліктің «бағасын» біл. Бүгін бөліктердің бағасы 0,1 және 0,01 болады.

Тақырыпты талдаймыз

Бірлікті 10 бөлікке бөлеміз

0,3 санын белгілеу үшін бірлік кесіндіні 10 тең бөлікке бөлеміз. Әр бөлік — оннан бір үлес, 0,1. Нөлден үш бөлік санап шық — бұл 0,3 болады.

Ал жүзден бір үлестер қажет болса ше, мысалы, 1,23? Онда әр оннан бір үлесті тағы 10 бөлікке бөлеміз — жүзден бір үлестер шығады. Бірліктен 2 оннан бір үлес және тағы 3 жүзден бір үлес санап шығамыз.

Соңғы нөлдер ештеңені өзгертпейді

$0{,}3 = \frac{3}{10}$, $0{,}30 = \frac{30}{100}$, $0{,}300 = \frac{300}{1000}$. Қысқартсаң — бәрінде $\frac{3}{10}$ шығады. Демек, сәуледе бұл — бір нүкте.

📌 Ондық бөлшектің оң жағына нөл жазсақ — бөлшек өзгермейді. Соңындағы нөлдерді алып тастасақ та — өзгермейді.

Дүкендегідей: 5,50 теңге мен 5,5 теңге — бір баға.

⚠️ Жиі кететін қате. Нөлдерді тек бөлшек бөліктің соңына жазуға және өшіруге болады. 0,3 және 0,03 — әртүрлі сандар! Үтірден кейін бірден тұрған нөл цифрды басқа разрядқа жылжытады.

Оң жақта тұрғаны үлкен

Сәуледе 0,7 саны 0,35-тен оңға қарай орналасқан. Демек, $0{,}7 > 0{,}35$. Ереже натурал сандардағыдай: оң жақта — үлкен, сол жақта — кіші.

Разрядтары бойынша салыстырамыз

Сәулесіз спорттағы нәтижелерді салыстыратындай салыстырамыз — ең жоғарғы разрядтан бастап:

1. Бүтін бөліктері әртүрлі ме? Бүтін бөлігі үлкен сан үлкен: $12{,}1 > 6{,}987$, себебі $12 > 6$.
2. Бүтін бөліктері тең бе? Үтірден кейінгі разрядтарды солдан оңға қарай алғашқы айырмаға дейін қарап шығамыз: $2{,}74 < 2{,}81$, себебі оннан бір үлестерде $7 < 8$.
3. Үтірден кейінгі цифрлар саны әртүрлі ме? Тең болу үшін нөлдер жазамыз: $3{,}297 = 3{,}2970$, ал $3{,}2970 < 3{,}2974$.

⚠️ Жиі кететін қате. «0,35 санында цифр көп, демек, ол 0,7-ден үлкен». Жоқ! Нөл жазып көр: 0,70 және 0,35. Енді көрінеді: жүзден жетпіс жүзден отыз бестен үлкен.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Жақсы тәсіл — «құйрықтарды теңестіру». Бала екі бөлшектің де үтірден кейінгі цифрлары тең болғанша нөл жазсын. Сонда салыстыру натурал сандарды салыстыруға айналады: 0,70 және 0,35 → 70 және 35.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Оң жағына нөл жазсақ, ондық бөлшек өзгере ме? Жоқ: 0,3 = 0,30 = 0,300. Бұл — сәуледегі бір нүкте.
• Ондық бөлшектерді қалай салыстырамыз? Сәуле бойынша (оң жақтағысы үлкен) немесе разрядтары бойынша: алдымен бүтін бөліктерін, содан кейін оннан бір, жүзден бір үлестерін және т.с.с. алғашқы айырмаға дейін.
• Разряд саны көп бөлшек әрқашан үлкен болады деген рас па? Жоқ. Мысалы, 0,35-те цифр 0,7-ге қарағанда көп, бірақ $0{,}35 < 0{,}7$.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 618

55-суретте координаталық сәуленің бөлігі кескінделген. A, B, C, D, E, F нүктелерінің координаталарын табыңдар (төрт сәуле, әрқайсысында үш сан жазылған, олардың арасында 10 бөліктен).

Қалай ойлаймыз. Көрші жазулардың арасында 10 бөлік бар. Демек, бір бөліктің бағасы жазулар айырмасынан 10 есе кіші: 1) сәуледе ол 0,1, 2) және 3) сәулелерде — 0,01, 4) сәуледе — 0,001.

Шешуі. Бірінші жазуға (бөліктер саны) × (бөліктің бағасы) қосамыз:

1. 7-ден бастап, қадамы 0,1: A = 7,2; B = 7,7; C = 8,4; D = 8,9; E = 9,1; F = 9,6;
2. 0,6-дан бастап, қадамы 0,01: A = 0,66; B = 0,72; C = 0,75; D = 0,77; E = 0,84; F = 0,87;
3. 5,1-ден бастап, қадамы 0,01: A = 5,12; B = 5,19; C = 5,24; D = 5,26; E = 5,31; F = 5,35;
4. 9,76-дан бастап, қадамы 0,001: A = 9,764; B = 9,766; C = 9,778; D = 9,781; E = 9,784; F = 9,787.

Жауабы: шешуінде.

📕 Оқулықтағы тапсырма мәтінінде «A, D, C, D, E, F нүктелері» деп басылған — бұл қате басылым: A, B, C, D, E, F болуы керек.

№ 619

Бірлік кесіндісі 5 см-ге тең санды сәулені салыңдар және оның бойынан A(0,4), B(0,8), C(1,3), D(1,7), E(2,1), F(2,5) нүктелерін белгілеңдер.

Қалай ойлаймыз. Бірлік — 5 см = 50 мм. Онда оннан бір үлес — 5 мм. Миллиметрмен өлшеген ыңғайлы.

Шешуі. Бастапқы нүктеден қашықтық = координата × 5 см: A: $0{,}4 \cdot 5 = 2$ см; B: $0{,}8 \cdot 5 = 4$ см; C: $1{,}3 \cdot 5 = 6{,}5$ см; D: $1{,}7 \cdot 5 = 8{,}5$ см; E: $2{,}1 \cdot 5 = 10{,}5$ см; F: $2{,}5 \cdot 5 = 12{,}5$ см.

Жауабы: OA = 2 см, OB = 4 см, OC = 6,5 см, OD = 8,5 см, OE = 10,5 см, OF = 12,5 см.

№ 620

2,4 және 2,5; 13,13 және 13,12; 8,7 және 9,7; 16,375 және 16,374; 100,05 және 99,05; 81,09 және 81,9; 0,4253 және 0,4235; 46,4646 және 46,4664 ондық бөлшектерін салыстырыңдар.

Қалай ойлаймыз. Алдымен бүтін бөліктерін, содан кейін үтірден кейінгі разрядтарды солдан оңға қарай салыстырамыз.

Шешуі.

1. $2{,}4 < 2{,}5$ — оннан бір үлестер: 4 < 5;
2. $13{,}13 > 13{,}12$ — жүзден бір үлестер: 3 > 2;
3. $8{,}7 < 9{,}7$ — бүтін бөліктері: 8 < 9;
4. $16{,}375 > 16{,}374$ — мыңнан бір үлестер: 5 > 4;
5. $100{,}05 > 99{,}05$ — бүтін бөліктері: 100 > 99;
6. $81{,}09 < 81{,}9$ — оннан бір үлестер: 0 < 9;
7. $0{,}4253 > 0{,}4235$ — мыңнан бір үлестер: 5 > 3;
8. $46{,}4646 < 46{,}4664$ — мыңнан бір үлестер: 4 < 6.

Жауабы: <; >; <; >; >; <; >; <.

№ 621

1) 3,4; 3,43; 3,34; 3,3 ондық бөлшектерін кему; 2) 6,21; 6,12; 6,2; 6,1; 6,02 ондық бөлшектерін өсу ретімен орналастырыңдар.

Қалай ойлаймыз. «Құйрықтарды» теңестір: үтірден кейін екі таңбаға дейін нөл жаз.

Шешуі.

1. 3,40; 3,43; 3,34; 3,30 → кему ретімен: 3,43; 3,40; 3,34; 3,30.
2. 6,21; 6,12; 6,20; 6,10; 6,02 → өсу ретімен: 6,02; 6,10; 6,12; 6,20; 6,21.

Жауабы: 1) 3,43; 3,4; 3,34; 3,3. 2) 6,02; 6,1; 6,12; 6,2; 6,21.

№ 622

30-кестеде 2014 жылғы мәліметтер бойынша әр облыстағы халық саны (мың адам) көрсетілген. 30-кестедегі мәліметтерді қолданып, қай облыстың халық саны 1) ең көп; 2) ең аз болғанын анықтаңдар. 2014 жылы қай облыстарда 1) 1 млн адамнан; 2) 700 мың адамнан артық болған?

Қалай ойлаймыз. 1 млн = 1000 мың. Кестедегі сандарды 1000-мен және 700-мен салыстырамыз.

Шешуі.

1. Ең көп — Оңтүстік Қазақстан (2733,3 мың).
2. Ең аз — Атырау (567,9 мың).
3. 1000 мыңнан артық: Оңтүстік Қазақстан, Алматы, Шығыс Қазақстан, Қарағанды, Жамбыл.
4. 700 мыңнан артық: сол бесеуі және Қостанай, Ақтөбе, Павлодар, Қызылорда, Ақмола.

Жауабы: ең көбі — Оңтүстік Қазақстан, ең азы — Атырау; 1 млн-нан артық — 5 облыс, 700 мыңнан артық — 10 облыс (жоғарыда аталған).

🌟 2018 жылдан бастап Оңтүстік Қазақстан облысы Түркістан облысы деп аталады, ал 2022 жылы жаңа облыстар құрылды. Кестедегі мәліметтер — 2014 жылғы.

№ 623

31-кестеде 2016 жылдың 1 қантарына берілген мәліметтер бойынша облыс орталығының халық саны (мың адам) көрсетілген. 31-кестені қолданып, қай облыс орталығында 2016 жылдың 1 қантарында: 1) халық саны ең көп; 2) халық саны ең аз; 3) халық саны 100 мың адамнан артық, бірақ 200 мың адамнан кем; 4) халық саны 300 мың адамнан артық, бірақ 400 мың адамнан кем болғанын анықтаңдар.

Шешуі.

1. Ең көбі — Шымкент (885,8 мың).
2. Ең азы — Талдықорған (140,7 мың).
3. 100 мыңнан артық, бірақ 200 мыңнан кем: Көкшетау (159,8), Талдықорған (140,7), Ақтау (183,2).
4. 300 мыңнан артық, бірақ 400 мыңнан кем: Ақтөбе (397,6), Өскемен (321,5), Тараз (363,0), Павлодар (335,2).

Жауабы: 1) Шымкент; 2) Талдықорған; 3) Көкшетау, Талдықорған, Ақтау; 4) Ақтөбе, Өскемен, Тараз, Павлодар.

B деңгейі

№ 624

1) 4,45 және 13,01 ондық бөлшектерінің арасында орналасқан барлық натурал сандарды кему ретімен; 2) 2,003 және 9,1 ондық бөлшектерінің арасында орналасқан натурал сандарды өсу ретімен жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. 4,45-тен кейінгі алғашқы натурал сан — 5, ал 13,01-ден бұрынғы соңғысы — 13.

Шешуі.

1. 13, 12, 11, 10, 9, 8, 7, 6, 5.
2. 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Жауабы: 1) 13; 12; 11; 10; 9; 8; 7; 6; 5. 2) 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9.

№ 625

Берілген ондық бөлшек қандай екі көршілес натурал сандардың арасында орналасқан: 1) 5,6; 2) 11,01; 3) 25,091; 4) 101,99?

Қалай ойлаймыз. Бүтін бөлігін және одан кейінгі санды аламыз.

Шешуі. $5 < 5{,}6 < 6$; $11 < 11{,}01 < 12$; $25 < 25{,}091 < 26$; $101 < 101{,}99 < 102$.

Жауабы: 5 пен 6; 11 мен 12; 25 пен 26; 101 мен 102.

№ 626

1) $1{,}2 < ... < 1{,}4$; 2) $35{,}127 < ... < 35{,}327$; 3) $8{,}29 < ... < 8{,}78$; 4) $11{,}1 < ... < 12{,}9$; 5) $42{,}925 < ... < 44{,}971$; 6) $90{,}05 < ... < 91{,}05$ қостеңсіздігі дұрыс болатын етіп көп нүктенің орнына ондық бөлшекті жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Нұсқалар көп — шектердің арасындағы кез келген сан келеді. Ортасынан «дөңгелек» санды алған ыңғайлы.

Шешуі (нұсқалардың бірі).

1. $1{,}2 < 1{,}3 < 1{,}4$;
2. $35{,}127 < 35{,}2 < 35{,}327$;
3. $8{,}29 < 8{,}5 < 8{,}78$;
4. $11{,}1 < 12{,}5 < 12{,}9$;
5. $42{,}925 < 43{,}5 < 44{,}971$;
6. $90{,}05 < 90{,}5 < 91{,}05$.

Жауабы: мысалы, 1,3; 35,2; 8,5; 12,5; 43,5; 90,5.

№ 627

1) 6,9; 9,1; 8,8; 7,2; 7,5; 8; 7,82; 8,99; 7,3 сандарының қайсысы 7-ден үлкен, бірақ 9-дан кіші; 2) 0,99; 1,01; 0,93; 1,073; 1,02; 0,87; 0,98; 1,1; 0,93 сандарының қайсысы 0,9-дан үлкен, бірақ 1-ден кіші болады?

Шешуі.

1. 6,9 (7-ден кіші) және 9,1 (9-дан үлкен) келмейді. Қалғандары келеді.
2. Бүтін бөлігі 1 сандар 1-ден үлкен — келмейді. 0,87 саны 0,90-нан кіші — ол да келмейді. 0,99; 0,93; 0,98 келеді (тізімде 0,93 екі рет кездеседі).

Жауабы: 1) 8,8; 7,2; 7,5; 8; 7,82; 8,99; 7,3. 2) 0,99; 0,93; 0,98.

№ 628

1) $1{,}8 > 1{,}68$; 2) $5{,}3 < 5{,}42$; 3) $0{,}18 < 0{,}148$; 4) $5{,}3* > 5{,}3$; 5) $2{,}18 < 2{,}18$; 6) $9{,}67 < 9{,}68$; 7) $13{,}6 > 13{,}38$; 8) $4{,}9 < 4{,}42$; 9) $9{,}57 < 9{,}345$; 10) $8{,}2* > 8{,}125$; 11) $6{,}3 < 6{,}3$; 12) $36{,}7 < 36{,}78$ теңсіздігі дұрыс болатын етіп жұлдызшаның орнына цифр қойыңдар.

Қалай ойлаймыз. Жұлдызша тұрған разрядты табып, тек соны салыстырамыз (солдағы қалған цифрлар бірдей). Егер жұлдызша «артық» разрядта тұрса, екінші санға нөл жаз.

Шешуі.

1. $1{,}*8 > 1{,}68$: * = 6 болғанда теңдік шығады, демек, * = 7, 8 немесе 9;
2. $5{,}*3 < 5{,}42$: * = 0, 1, 2, 3 (5,43 бұрыннан үлкен);
3. $0{,}1*8 < 0{,}148$: * = 0, 1, 2, 3;
4. $5{,}3* > 5{,}30$: * — 1-ден 9-ға дейінгі кез келген цифр;
5. $2{,}180 < 2{,}18*$: * — 1-ден 9-ға дейін;
6. $9{,}67* < 9{,}680$: 0–9 кез келген цифр келеді;
7. $13{,}*6 > 13{,}38$: * = 4, 5, 6, 7, 8, 9 (13,36 кіші);
8. $4{,}*9 < 4{,}42$: * = 0, 1, 2, 3;
9. $9{,}*57 < 9{,}345$: * = 0, 1, 2 (9,357 бұрыннан үлкен);
10. $8{,}2* > 8{,}125$: 0–9 кез келген цифр (оннан бір үлесте 2 > 1);
11. $6{,}30 < 6{,}3*$: * — 1-ден 9-ға дейін;
12. $36{,}7* < 36{,}78$: * = 0–7.

Жауабы: 1) 7–9; 2) 0–3; 3) 0–3; 4) 1–9; 5) 1–9; 6) 0–9; 7) 4–9; 8) 0–3; 9) 0–2; 10) 0–9; 11) 1–9; 12) 0–7.

C деңгейі

№ 629

*$12{,}*3 < x < 12{,}3$ қостеңсіздігі орындалатындай * жұлдызшалар орнына цифрлар, ал $x$-тің орнына жай бөлшекті қойыңдар.

Қалай ойлаймыз. Жұлдызшалар әртүрлі цифрлар болуы мүмкін. Сол жақтағы сан оң жақтағыдан кіші болуы керек — демек, бірінші цифр екіншісінен кіші. Ал $x$ — олардың арасындағы кез келген бөлшек.

Шешуі. Бірінші жұлдызша 1, екіншісі 2 болсын: $12{,}13 < x < 12{,}23$. $x = 12{,}2 = 12\frac{1}{5}$ деп алайық. Тексеру: $12{,}13 < 12{,}20 < 12{,}23$ ✓. Бірінші цифры екіншісінен кіші кез келген жұп келеді (0 және 1, 3 және 7, 8 және 9…). Мысалы, $12{,}03 < 12\frac{1}{10} < 12{,}13$.

Жауабы: мысалы, $12{,}13 < 12\frac{1}{5} < 12{,}23$ (бірінші цифр екіншісінен кіші болуы керек).

№ 630

56,8; 56,1; 56,8 ондық бөлшектерін кему ретімен орналастырғанда бірінші ондық бөлшекті (56,8) үшінші болатындай етіп қанша тәсілмен жазуға болады?

Қалай ойлаймыз. Егер 56,8* үшінші (соңғы) орында тұрса, ол ең кіші болады. Қалған екеуінің қандай ретпен тұра алатынын анықтау қалды.

Шешуі. Қадамдарды қара. Маңыздысы — екі нұсқа үшін де цифрларды таңдауға болады.

Жауабы: 2 тәсіл: 56,91; 56,88; 56,80 немесе 56,98; 56,81; 56,80.

Жаңа тақырыпты меңгеруге дайындаламыз

№ 631

Жазуды толықтырыңдар: 1) $\frac{1}{10}$ см = … мм; 2) $\frac{3}{10}$ дм = … см; 3) $\frac{7}{10}$ м = … дм; 4) $\frac{9}{100}$ м = … см; 5) $\frac{11}{100}$ т = … ц; 6) $\frac{37}{100}$ га = … а; 7) $\frac{61}{1000}$ км = … м; 8) $\frac{327}{1000}$ кг = … г; 9) $\frac{577}{1000}$ т = … кг.

Қалай ойлаймыз. Ірі өлшемде неше ұсақ өлшем бар екенін еске түсіреміз: 1 см = 10 мм, 1 м = 100 см, 1 км = 1000 м, 1 т = 10 ц = 1000 кг, 1 га = 100 а.

Шешуі.

1. 1 мм; 2) 3 см; 3) 7 дм; 4) 9 см; 5) $\frac{11}{100}$ т = 110 кг = 1 ц 10 кг (немесе 1,1 ц); 6) 37 а; 7) 61 м; 8) 327 г; 9) 577 кг.

Жауабы: 1; 3; 7; 9; 1,1 (1 ц 10 кг); 37; 61; 327; 577.

№ 632

1) 25 мм; 39 мм; 51 мм; 9 мм-ді сантиметрмен; 2) 4821 кг; 5077 кг; 981 кг; 36 кг-ды тоннамен өрнектеңдер.

Шешуі.

1. 1 мм = 0,1 см: 2,5 см; 3,9 см; 5,1 см; 0,9 см.
2. 1 кг = 0,001 т: 4,821 т; 5,077 т; 0,981 т; 0,036 т.

Жауабы: 2,5; 3,9; 5,1; 0,9 см. 4,821; 5,077; 0,981; 0,036 т.

№ 633

1) а) 25 см + 57 см; ә) 83 см + 16 см қосындысының мәнін дециметрмен өрнектеңдер. 2) а) 5 дм − 14 см; ә) 8 дм 2 см − 43 см айырымының мәнін метрмен жазыңдар.

Шешуі.

1. а) $25 + 57 = 82$ см = 8,2 дм; ә) $83 + 16 = 99$ см = 9,9 дм.
2. а) 5 дм = 50 см, $50 - 14 = 36$ см = 0,36 м; ә) 8 дм 2 см = 82 см, $82 - 43 = 39$ см = 0,39 м.

Жауабы: 8,2 дм; 9,9 дм; 0,36 м; 0,39 м.

Жадынама

• Бірлік кесіндіні 10 бөлікке бөлеміз — оннан бір үлестер, тағы 10-ға бөлеміз — жүзден бір үлестер.
• Тең бөлшектер — сәуледегі бір нүкте.
• Үтірден кейін цифр көп болса да ≠ сан үлкен.
• Салыстырамыз: бүтін бөліктері → оннан бір → жүзден бір → мыңнан бір үлестер…

Шағын тест