§ 36. Ондық бөлшектерді көбейту

Математика, 5 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2017). 5 тарау: Ондық бөлшектер және оларға амалдар қолдану. 33–35-беттер.

Нені үйренесің

• Бір ондық бөлшекті екіншісіне көбейтуді.
• Жауабында үтірмен неше цифр айыру керегін санауды.
• Цифр аз болса, алдына нөл жазуды.
• $0{,}3 \cdot 0{,}4 = 0{,}12$ неге екенін торкөздерден көруді.
• Ондық бөлшектерді квадраттау мен кубқа шығаруды.

Ой қозғау

Бұл — өткен сабақтағы № 666–669 жаттығулар. Ойша жауап бер, содан кейін жауабын аш.

• 53 мм — бұл неше сантиметр? Ал 7 мм? 5,3 см және 0,7 см (1 см-де 10 мм).
• 300 см² — неше квадрат дециметр? 1 дм²-де 100 см², сондықтан 3 дм².
• 40 см² және 8 см² — дм²-мен? 0,4 дм² және 0,08 дм².
• 1 м матаның бағасы 880 тг. $\frac{2}{5}$ м қанша тұрады? $880 : 5 \cdot 2 =$ 352 тг.
• $2{,}4 \cdot 3$ неше болады? $24 \cdot 3 = 72$, жауабы 7,2 — бұл өткен сабақ.

💡 Есіңде болсын: 1 дм² — қабырғасы 10 см шаршы, оның ішінде 1 см²-ден дәл 100 шағын шаршы бар. Бүгін осы шаршы бәрін түсіндіреді.

Тақырыпты талдаймыз

Төсеніш туралы есеп

Төсеніш тіктөртбұрыш пішінді: ұзындығы 9,1 дм, ені 1,9 дм. Оның ауданы қанша?

Сантиметрге айналдырамыз: 9,1 дм = 91 см, 1,9 дм = 19 см. Ауданы: $91 \cdot 19 = 1729$ см². 1 дм²-де 100 см², демек, $1729$ см² $= 17{,}29$ дм².

Шықты: $9{,}1 \cdot 1{,}9 = 17{,}29$. Көбейткіштерде үтірден кейін бір-бірден цифр, барлығы екеу. Жауабында да екеу!

Торкөздерге қарайық

Төмендегі үлкен шаршы — 1 дм². Оның қабырғасы — 1 дм, ол 0,1 дм-ден 10 бөлікке бөлінген. Әр тор — $0{,}1 \cdot 0{,}1 = 0{,}01$ дм².

Боялған бөлікте $4 \cdot 3 = 12$ тор бар. Барлығы 100 тор. Демек, ауданы — $\frac{12}{100} = 0{,}12$ дм². Осыдан $0{,}4 \cdot 0{,}3 = 0{,}12$ — екі көбейткіштен де кіші!

💡 0,3-ке көбейту — санның оннан үш бөлігін алу деген сөз. Сондықтан 1-ден кіші бөлшекке көбейткенде нәтиже кішірейеді.

Ереже

📌 Ондық бөлшектерді көбейту үшін:

1. үтірге мән бермей, оларды натурал сандар сияқты көбейт;
2. екі көбейткіште бірге үтірден кейін неше цифр бар екенін сана да, сонша цифрды оң жақтан үтірмен айыр.

Мысалы: $10{,}49 \cdot 4{,}09$. Үтірсіз: $1049 \cdot 409 = 429,041$. Үтірден кейінгі цифрлар: $2 + 2 = 4$. Жауабы: 42,9041.

Цифр жетпегенде

$4{,}19 \cdot 0{,}0106$. Үтірсіз: $419 \cdot 106 = 44,414$ — бес цифр. Ал айыру керегі $2 + 4 = 6$. Сол жағына нөл жазамыз: 0,044414.

⚠️ Жиі кететін қате. Үтірді «қосудағыдай» — үтірдің астына қояды. Көбейтуде үтірлерді теңестірмейді: сандарды бағанға оң жақ шетінен жазады, ал үтірді тек соңында, цифрларды санап қояды.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Жақсы тексеру — болжам. $10{,}49 \cdot 4{,}09$ — шамамен $10 \cdot 4 = 40$. Демек, жауабы 42,9041, ал 4,29 немесе 429 емес.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Ондық бөлшектерді қалай көбейтеміз? Үтірлерге назар аудармай, натурал сандардай көбейтеміз. Содан кейін оң жақтан екі көбейткіште бірге үтірден кейін неше цифр болса, сонша цифрды үтірмен айырамыз.
• Көбейтіндіде цифр айыруға керектіден аз болса, не істейміз? Сол жағына керекті санда нөл жазамыз. Мысалы, $0{,}02 \cdot 0{,}3$: $2 \cdot 3 = 6$, 3 цифр айыру керек — 0,006.
• $31 \cdot 13 = 403$ екенін біле отырып, $3{,}1 \cdot 1{,}3$ және $0{,}31 \cdot 0{,}13$ табыңдар. $3{,}1 \cdot 1{,}3 = 4{,}03$ (екі цифр); $0{,}31 \cdot 0{,}13 = 0{,}0403$ (төрт цифр).

📕 Оқулықтағы осы сұрақта «$31 \cdot 13 = 4036$» деп басылған — бұл қате: дұрысы $31 \cdot 13 = 403$. Біз 403 деп алдық.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 670

$629 \cdot 51 = 32,079$ болатынын ескеріп, 1) $62{,}9 \cdot 31$; 2) $629 \cdot 3{,}1$; 3) $62{,}9 \cdot 3{,}1$; 4) $6{,}29 \cdot 3{,}1$; 5) $62{,}9 \cdot 0{,}31$; 6) $6{,}29 \cdot 0{,}031$; 7) $0{,}629 \cdot 0{,}31$; 8) $6{,}29 \cdot 0{,}0031$; 9) $0{,}629 \cdot 0{,}0031$ көбейтіндісінің мәнін есептеңдер.

📕 Шартта $629 \cdot 51 = 32,079$ берілген, ал барлық мысалдарда көбейткіш 31. Көрінеді, қате басылған: дұрысы $629 \cdot 31 = 19,499$. Біз осылай шештік.

Қалай ойлаймыз. Мұнда қате басылым жасырынған! Барлық мысалда екінші көбейткіш — 31, 3,1, 0,31… ал 51 емес. Сондықтан бізге $629 \cdot 31 = 19,499$ керек. (51 болғанда, жауаптар 32 079-дан дәл солай шығар еді.) Әрі қарай тек үтірден кейінгі цифрларды санаймыз.

Шешуі.

Жауабы: 1) 1949,9; 2) 1949,9; 3) 194,99; 4) 19,499; 5) 19,499; 6) 0,19499; 7) 0,19499; 8) 0,019499; 9) 0,0019499.

№ 671

Көбейтуді орындаңдар: 1) $1{,}3 \cdot 1{,}2$; 2) $2{,}7 \cdot 5{,}3$; 3) $1{,}28 \cdot 4{,}9$; 4) $0{,}467 \cdot 2{,}4$; 5) $18{,}2 \cdot 6{,}1$; 6) $9{,}05 \cdot 2{,}3$; 7) $11{,}07 \cdot 0{,}63$; 8) $29{,}1 \cdot 4{,}5$; 9) $0{,}782 \cdot 1{,}4$.

Шешуі.

Жауабы: 1) 1,56; 2) 14,31; 3) 6,272; 4) 1,1208; 5) 111,02; 6) 20,815; 7) 6,9741; 8) 130,95; 9) 1,0948.

№ 672

Есептеңдер: 1) $5{,}13 \cdot 0{,}007$; 2) $0{,}016 \cdot 0{,}25$; 3) $0{,}008 \cdot 2{,}2$; 4) $0{,}019 \cdot 6{,}2$; 5) $7{,}5 \cdot 0{,}0204$; 6) $0{,}07 \cdot 0{,}61$; 7) $10{,}2 \cdot 0{,}055$; 8) $4{,}3 \cdot 0{,}062$; 9) $7{,}04 \cdot 0{,}009$.

Қалай ойлаймыз. Мұнда дерлік барлық жерде сол жағына нөл жазуға тура келеді. Цифрларды мұқият сана.

Шешуі.

1. $513 \cdot 7 = 3591$, 5 цифр айырамыз: 0,03591.
2. $16 \cdot 25 = 400$, 5 айырамыз: 0,00400 = 0,004.
3. $8 \cdot 22 = 176$, 4 айырамыз: 0,0176.
4. $19 \cdot 62 = 1178$, 4 айырамыз: 0,1178.
5. $75 \cdot 204 = 15,300$, 5 айырамыз: 0,15300 = 0,153.
6. $7 \cdot 61 = 427$, 4 айырамыз: 0,0427.
7. $102 \cdot 55 = 5610$, 4 айырамыз: 0,5610 = 0,561.
8. $43 \cdot 62 = 2666$, 4 айырамыз: 0,2666.
9. $704 \cdot 9 = 6336$, 5 айырамыз: 0,06336.

Жауабы: 1) 0,03591; 2) 0,004; 3) 0,0176; 4) 0,1178; 5) 0,153; 6) 0,0427; 7) 0,561; 8) 0,2666; 9) 0,06336.

№ 673

Теңдеуді шешіңдер: 1) $x : 5{,}8 = 365$; 2) $x : 8{,}4 = 2{,}3$; 3) $x : 8{,}1 = 0{,}15$; 4) $x : 0{,}22 = 4{,}9$.

Қалай ойлаймыз. $x$ — белгісіз бөлінгіш. Оны табу үшін бөліндіні бөлгішке көбейтеміз.

Шешуі.

1. $x = 365 \cdot 5{,}8 = 2117$.
2. $x = 2{,}3 \cdot 8{,}4 = 19{,}32$.
3. $x = 0{,}15 \cdot 8{,}1 = 1{,}215$.
4. $x = 4{,}9 \cdot 0{,}22 = 1{,}078$.

Жауабы: 1) 2117; 2) 19,32; 3) 1,215; 4) 1,078.

№ 674

Есепке сұрақ құрастырыңдар және оны шығарыңдар: бөлменің ұзындығы 11,75 м, ені 9,5 м.

Қалай ойлаймыз. Ұзындығы мен ені бар — сұрақ өзі келіп тұр: бөлменің ауданы қанша? (Периметрін де сұрауға болады — плинтус қанша керек.)

Шешуі. $S = 11{,}75 \cdot 9{,}5$. Үтірсіз: $1175 \cdot 95 = 111,625$. $2 + 1 = 3$ цифр айырамыз: 111,625 м².

Жауабы: бөлменің ауданы 111,625 м².

№ 675

Тұрғын үйді жылыту үшін айына 1 м²-қа 63,6 тг төленеді. Егер үйдің ауданы 95,6 м² болса, онда үй иесі жылу жүйесіне қанша ақша төлейді?

Қалай ойлаймыз. Аудан мен 1 м²-дың бағасы белгілі. Ауданды бағаға көбейтеміз — айына төленетін ақша шығады.

Шешуі. $95{,}6 \cdot 63{,}6 = 6080{,}16$ (тг), себебі $956 \cdot 636 = 608,016$ және үтірден кейін $1 + 1 = 2$ цифр.

Жылына (12 ай) төлесе: $6080{,}16 \cdot 12 = 72,961{,}92$ (тг). Көп қалада жылуға тек жылыту маусымында, шамамен 7 ай төлейді: $6080{,}16 \cdot 7 = 42,561{,}12$ тг.

Жауабы: айына 6080,16 тг.

🌟 Менің өміріндегі математика. Үйден жылыту үшін төлем түбіртегін тап. Соманы пәтердің ауданына бөл — 1 м²-дың өздеріңдегі бағасын білесің.

B деңгейі

№ 676

Амалдарды орындаңдар: 1) $85{,}6 \cdot (20{,}2 - 18{,}51) + 13{,}136$; 2) $(11{,}12 + 32{,}68) \cdot 17{,}9 - 95{,}02$.

Шешуі.

1. $20{,}2 - 18{,}51 = 1{,}69$; $85{,}6 \cdot 1{,}69 = 144{,}664$; $144{,}664 + 13{,}136 = 157{,}8$.
2. $11{,}12 + 32{,}68 = 43{,}8$; $43{,}8 \cdot 17{,}9 = 784{,}02$; $784{,}02 - 95{,}02 = 689$.

Жауабы: 1) 157,8; 2) 689.

№ 677

Өрнектің мәнін табыңдар: 1) $600 \cdot (8{,}671 - 2{,}271) \cdot 2{,}05 + 7{,}68$; 2) $500 - 5{,}32 - 3{,}05 \cdot (9{,}438 - 5{,}238)$.

Шешуі.

1. Жоғарыдағы қадамдарды қара: 7879,68.
2. $9{,}438 - 5{,}238 = 4{,}2$; $3{,}05 \cdot 4{,}2 = 12{,}81$; $500 - 5{,}32 = 494{,}68$; $494{,}68 - 12{,}81 = 481{,}87$.

Жауабы: 1) 7879,68; 2) 481,87.

№ 678

Есептеңдер: 1) $0{,}5^2$; 2) $0{,}3^3$; 3) $0{,}08^2$; 4) $0{,}011^2$.

Қалай ойлаймыз. Дәреже — санды өзіне көбейту. Үтірден кейінгі цифрлар қосылады: квадратта олар екі есе, кубта үш есе көп.

Шешуі.

1. $0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}25$.
2. $0{,}3 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}3 = 0{,}027$.
3. $0{,}08 \cdot 0{,}08 = 0{,}0064$.
4. $0{,}011 \cdot 0{,}011 = 0{,}000121$.

Жауабы: 1) 0,25; 2) 0,027; 3) 0,0064; 4) 0,000121.

⚠️ Жиі кететін қате. $0{,}5^2 = 0{,}10$? Жоқ! Бұл «2-ге көбейту» емес, «өзін-өзіне көбейту». $0{,}5^2 = 0{,}25$.

№ 679

Есепке сұрақ құрастырыңдар және оны шығарыңдар: тіктөртбұрыштың ені 3,8 см, ұзындығы одан 2,5 есе артық.

Қалай ойлаймыз. Сұрақ: тіктөртбұрыштың ауданы қанша? Алдымен ұзындығын табамыз.

Шешуі.

1. Ұзындығы: $3{,}8 \cdot 2{,}5 = 9{,}5$ (см).
2. Ауданы: $9{,}5 \cdot 3{,}8 = 36{,}1$ (см²).

Жауабы: ауданы 36,1 см².

C деңгейі

№ 680

Екі елді мекеннен бір мезгілде бір-біріне қарама-қарсы екі велосипедші шықты. Біреуінің жылдамдығы 16,2 км/сағ, екіншісінікі 17 км/сағ. Олар 1,5 сағ-тан кейін кездессе, екі елді мекеннің арасындағы жолдың ұзындығы неге тең?

Қалай ойлаймыз. Қарама-қарсы шығады — әр сағат сайын арақашықтық жылдамдықтардың қосындысындай қысқарады.

Шешуі.

1. Жақындасу жылдамдығы: $16{,}2 + 17 = 33{,}2$ (км/сағ).
2. Қашықтық: $33{,}2 \cdot 1{,}5 = 49{,}8$ (км).

Жауабы: 49,8 км.

№ 681

Велосипед жарысына қатысушы спортшылар 325 км жол жүруі тиіс. Бірінші күні олар барлық жолдың 0,4-ін, екінші күні барлық жолдың 0,2-сін жүріп өтті. Спортшылар тағы қанша жол жүруі керек?

Қалай ойлаймыз. «Жолдың 0,4-і» — жолды 0,4-ке көбейту деген сөз.

Шешуі.

1. Бірінші күні: $325 \cdot 0{,}4 = 130$ (км).
2. Екінші күні: $325 \cdot 0{,}2 = 65$ (км).
3. Қалғаны: $325 - 130 - 65 = 130$ (км).

Жауабы: 130 км.

№ 682

Қараторғайдың ұшу жылдамдығы 19,5 м/с, ал сұр қарлығаштың жылдамдығы одан 1,4 есе артық. 1) 1 с-та; 2) 1 мин-та сұр қарлығашқа қарағанда қараторғай қанша метр жолды кем ұшып өтеді?

Шешуі.

1. Қарлығаштың жылдамдығы: $19{,}5 \cdot 1{,}4 = 27{,}3$ (м/с).
2. 1 с-та айырмасы: $27{,}3 - 19{,}5 = 7{,}8$ (м).
3. 1 мин = 60 с-та: $7{,}8 \cdot 60 = 468$ (м).

Жауабы: 1) 7,8 м-ге; 2) 468 м-ге.

🌟 Қарлығаш пен соған ұқсас құстар — ең жылдам ұшқыштардың бірі. Олар ұшқан күйі аулап, тіпті ұшып жүріп ішіп-жейді.

Жаңа тақырыпты меңгеруге дайындаламыз

№ 683

Біздің жерімізде өмір сүрген ежелгі үйсін тайпасы өздері жасайтын керамика бұйымдарымен әйгілі болған. Ол бұйымдардың ішінде кең таралғаны құмыра мен тостағандар еді. 3 құмыра жасау үшін қанша сазбалшық керек болса, сонша сазбалшық 7 тостаған жасау үшін кетеді. 12 құмыра жасауға қажет сазбалшықтан қанша тостаған жасауға болар еді?

Қалай ойлаймыз. 12 құмыра — 3 құмыраның 4 еселенгені.

Шешуі. $12 : 3 = 4$; $7 \cdot 4 = 28$ (тостаған).

Жауабы: 28 тостаған.

№ 684

Биологтердің мәліметтері бойынша елімізде сақталып қалған сұр аюлардың саны Қырғызстанда сақталған сұр аюлар санының $\frac{2}{3}$ бөлігін, ал Тәжікстанда сақталып қалған сұр аюлар саны Қырғызстанда сақталып қалған сұр аюлар санының $\frac{13}{30}$ бөлігін құрайды. Егер елімізде сақталып қалған сұр аюлар саны Тәжікстандағы сұр аюлар санынан 350-ге көп болса, онда осы мемлекеттерде барлығы қанша сұр аю қалған?

Қалай ойлаймыз. Бәрі Қырғызстанмен салыстырылады. 350 айырмасы қандай бөлікті құрайтынын табамыз.

Шешуі.

1. $\frac{2}{3} = \frac{20}{30}$; үлестер айырмасы: $\frac{20}{30} - \frac{13}{30} = \frac{7}{30}$.
2. $\frac{7}{30}$ — бұл 350 аю, демек, Қырғызстанда $350 : 7 \cdot 30 = 1500$.
3. Қазақстан: $1500 : 3 \cdot 2 = 1000$. Тәжікстан: $1500 : 30 \cdot 13 = 650$.
4. Барлығы: $1500 + 1000 + 650 = 3150$.

Жауабы: 3150 аю (Қырғызстанда — 1500, Қазақстанда — 1000, Тәжікстанда — 650).

№ 685

7, 9, 13, 17 сандарын бөлімі 10-ға тең болатын жай бөлшек түрінде жазыңдар.

Шешуі. $7 = \frac{70}{10}$; $9 = \frac{90}{10}$; $13 = \frac{130}{10}$; $17 = \frac{170}{10}$.

Жауабы: $\frac{70}{10}$; $\frac{90}{10}$; $\frac{130}{10}$; $\frac{170}{10}$.

Жадынама

• Бағандағы үтірлерді теңестірмейміз — оң жақ шетінен жазамыз.
• Жауабындағы үтірден кейінгі цифрлар = көбейткіштердегі үтірден кейінгі цифрлар қосындысы.
• Цифр жетпесе — сол жағына нөл жазамыз.
• 1-ден кіші санға көбейту нәтижені кішірейтеді.
• Болжам: көбейткіштерді дөңгелектеп, жауаптың өлшемін тексер.

Шағын тест