§ 37. Ондық бөлшекті натурал санға бөлу

Математика, 5 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2017). 5 тарау: Ондық бөлшектер және оларға амалдар қолдану. 36–39-беттер.

Нені үйренесің

• Ондық бөлшекті натурал санға бұрыштап бөлуді.
• Бөліндіде үтірді қай сәтте қою керегін түсінуді.
• Бөлу аяқталу үшін бөлінгішке нөл жазуды.
• Жай бөлшекті бөлу арқылы ондық бөлшекке айналдыруды.
• 0,666… сияқты шексіз ондық бөлшектерді танып білуді.

Ой қозғау

Бұл — өткен сабақтағы № 683–685 жаттығулар. Ойша жауап бер, содан кейін жауабын аш.

• 3 құмыраға жететін сазбалшық 7 тостағанға жетеді. 12 құмыраға жететін сазбалшықтан неше тостаған шығады? 12 — 3-тің 4 еселенгені, демек, $7 \cdot 4 =$ 28 тостаған.
• 7 санын бөлімі 10 болатын бөлшек түрінде жаз. $7 = \frac{70}{10}$.
• Ал 13 және 17? $\frac{130}{10}$ және $\frac{170}{10}$.
• 3 бірлікте неше оннан бір үлес бар? $3 = \frac{30}{10}$ — 30 оннан бір үлес.
• $486 : 9$ неше болады? 54. Бұл жауапты есіңде сақта — қазір керек болады.

💡 Соңғы екі сұрақ — сабақтың кілті. Бүтін санды әрқашан оннан бір үлестерге «ұсақтауға» болады: 3 бірлік = 30 оннан бір үлес. Мың теңгелік купюраны он жүздікке ауыстырғандай.

Тақырыпты талдаймыз

Лентаны бөлеміз

Ұзындығы 48,6 дм лентаны 9 тең кесекке кесеміз. Әр кесек қанша болады?

Сантиметрмен ол 486 см, ал $486 : 9 = 54$ см $= 5{,}4$ дм. Демек, $48{,}6 : 9 = 5{,}4$. Цифрлар натурал сандардағыдай — сұрақ тек үтірді қайда қою керегінде.

Бұрыштап бөлеміз

📌 Ондық бөлшекті натурал санға бөлу үшін:

1. бөлшектің бүтін бөлігін бөліп, бүтін бөлік бітісімен бөліндіге үтір қой;
2. әрі қарай әдеттегідей бөл; цифрлар біткенде қалдық болса, бөлінгіште үтірден кейін нөл жаза бер.

Бүтін бөлік бөлгіштен кіші болса

$1{,}43 : 11$. Бүтін бөлігі 1 саны 11-ге бөлінбейді — бөліндіге 0 жазып, үтір қоямыз. Әрі қарай: $14 : 11 = 1$, қалдық 3; $33 : 11 = 3$. Жауабы: 0,13.

Дәл солай $99{,}90 : 135 = 0{,}74$: 99 бүтін 135-тен кіші, сондықтан бөлінді «0,»-ден басталады.

⚠️ Жиі кететін қате. $1{,}43 : 11 = 13$ немесе $1{,}3$ деп жазады — нөл бүтінді ұмытады. Көбейтумен тексер: $0{,}13 \cdot 11 = 1{,}43$ ✓.

Жай бөлшек → ондық бөлшек

Бөлшек сызығы — бөлу таңбасы: $\frac{5}{16} = 5 : 16$. Ал 5-ке үтір қойып, қалағанша нөл жазуға болады: $5 = 5{,}0000$. Бөлеміз!

📌 Жай бөлшекті ондық бөлшекке айналдыру үшін жай бөлшектің алымын бөліміне бөл.

Бітпейтін бөлу

$\frac{2}{3} = 2 : 3$ есептеп көр. 0,6 шығады, қалдық 2. Тағы 20 : 3 = 6, қалдық 2. Және тағы… Қалдық үнемі 2, ал алтылықтар соңсыз жүре береді: $\frac{2}{3} = 0{,}666\ldots$

Мұндай бөлшекті шексіз ондық бөлшек дейді. Көп нүкте «цифрлар әрі қарай жалғаса береді» дегенді білдіреді.

🌟 Атақты сан $\frac{1}{3} = 0{,}333\ldots$ Сондықтан 100 теңгені үшеуіне тиынына дейін тең бөлуге болмайды — біреуіне әрқашан сәл көбірек тиеді.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Баладан әр бөлуді көбейтумен тексеруін сұраңыз: бөлінді · бөлгіш = бөлінгіш. Бұған жарты минут кетеді, ал үтірге байланысты қателердің дерлік бәрін ұстайды.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Ондық бөлшекті натурал санға қалай бөлеміз? Бүтін бөлігін бөлеміз, бөліндіге үтір қоямыз және бөлуді жалғастырамыз. Керек болса, бөлінгіште үтірден кейін нөл жазамыз.
• Жай бөлшекті ондық бөлшекке қалай айналдырамыз? Алымын бөліміне бөлеміз.
• Осылай айналдырғанда қандай ондық бөлшектер шығуы мүмкін? Ақырлы (бөлу аяқталады, $\frac{5}{16} = 0{,}3125$ сияқты) немесе шексіз (цифрлар соңсыз қайталанады, $\frac{2}{3} = 0{,}666\ldots$ сияқты).

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 686

Есептеңдер: 1) $1{,}4 : 7$; 2) $2{,}5 : 5$; 3) $2{,}7 : 9$; 4) $4{,}2 : 7$; 5) $0{,}15 : 3$; 6) $0{,}24 : 8$; 7) $0{,}36 : 4$; 8) $0{,}48 : 6$; 9) $0{,}63 : 9$; 10) $10{,}2 : 2$; 11) $33{,}3 : 3$; 12) $44{,}8 : 2$; 13) $18{,}45 : 15$; 14) $8{,}715 : 21$; 15) $67{,}52 : 32$; 16) $5{,}424 : 452$; 17) $4{,}238 : 326$; 18) $8{,}652 : 721$.

Қалай ойлаймыз. Алғашқы тоғызын ауызша, көбейту кестесі арқылы: $1{,}4 : 7$ — бұл 14 оннан бір үлес : 7 = 2 оннан бір үлес. Қалғандарын бұрыштап. Көбейтумен тексер.

Шешуі.

Жауабы: 1) 0,2; 2) 0,5; 3) 0,3; 4) 0,6; 5) 0,05; 6) 0,03; 7) 0,09; 8) 0,08; 9) 0,07; 10) 5,1; 11) 11,1; 12) 22,4; 13) 1,23; 14) 0,415; 15) 2,11; 16) 0,012; 17) 0,013; 18) 0,012.

⚠️ Жиі кететін қате. $5{,}424 : 452$ есебінде 0,12 деп жазады. Қара: 5 : 452 — 0 бүтін; 54 : 452 — 0 оннан бір үлес; 542 : 452 = 1 жүзден бір үлес. Бөліндідегі нөлдерді жоғалтуға болмайды: 0,012.

№ 687

$\frac{41}{20}$; $\frac{63}{40}$; $\frac{23}{25}$; $\frac{101}{100}$; $\frac{17}{50}$; $\frac{31}{50}$; $3\frac{2}{5}$; $5\frac{3}{8}$; $6\frac{1}{4}$; $11\frac{4}{25}$ жай бөлшегін ондық бөлшекке айналдырыңдар.

Қалай ойлаймыз. Алымын бөліміне бөлеміз. Аралас санда бүтін бөлігі бүтін күйінде қалады, тек бөлшегін айналдырамыз. Кейде бөлімін 10, 100 немесе 1000-ға дейін көбейткен тез: $\frac{23}{25} = \frac{92}{100}$.

Шешуі.

1. $41 : 20 = 2{,}05$.
2. $63 : 40 = 1{,}575$.
3. $\frac{23}{25} = \frac{92}{100} = 0{,}92$.
4. $\frac{101}{100} = 1{,}01$.
5. $\frac{17}{50} = \frac{34}{100} = 0{,}34$.
6. $\frac{31}{50} = \frac{62}{100} = 0{,}62$.
7. $\frac{2}{5} = 0{,}4$, демек, $3\frac{2}{5} = 3{,}4$.
8. $3 : 8 = 0{,}375$, демек, $5\frac{3}{8} = 5{,}375$.
9. $\frac{1}{4} = 0{,}25$, демек, $6\frac{1}{4} = 6{,}25$.
10. $\frac{4}{25} = \frac{16}{100} = 0{,}16$, демек, $11\frac{4}{25} = 11{,}16$.

Жауабы: 1) 2,05; 2) 1,575; 3) 0,92; 4) 1,01; 5) 0,34; 6) 0,62; 7) 3,4; 8) 5,375; 9) 6,25; 10) 11,16.

№ 688

Марат ойлаған санын 79,29-ға кемітті. Сосын айырымның мәнін 4 есе арттырғанда 6,84 саны шықты. Марат қандай сан ойлаған?

Қалай ойлаймыз. Соңынан бастап шиеленісті ашамыз. Әр амалды кері амалмен ауыстырамыз: «4 есе арттырды» → 4-ке бөлеміз, «79,29-ға кемітті» → 79,29 қосамыз.

Шешуі.

1. $6{,}84 : 4 = 1{,}71$.
2. $1{,}71 + 79{,}29 = 81$.

Тексеру: $(81 - 79{,}29) \cdot 4 = 1{,}71 \cdot 4 = 6{,}84$ ✓.

Жауабы: 81.

№ 689

Теңдеуді шешіңдер: 1) $68x = 39{,}44$; 2) $71x = 3{,}266$; 3) $26x = 31{,}98$; 4) $18x = 813{,}6$.

Қалай ойлаймыз. $x$ — белгісіз көбейткіш. Көбейтіндіні белгілі көбейткішке бөлеміз.

Шешуі.

1. $x = 39{,}44 : 68 = 0{,}58$.
2. $x = 3{,}266 : 71 = 0{,}046$.
3. $x = 31{,}98 : 26 = 1{,}23$.
4. $x = 813{,}6 : 18 = 45{,}2$.

Жауабы: 1) 0,58; 2) 0,046; 3) 1,23; 4) 45,2.

№ 690

Өрнектің мәнін табыңдар: 1) $80{,}16 + 10{,}5 : 25$; 2) $200{,}2 - 5{,}04 : 36$; 3) $119{,}6 : 13 - 5{,}82$; 4) $30{,}34 : 37 + 18{,}18$.

Қалай ойлаймыз. Бөлуді қосу мен азайтудан бұрын орындаймыз.

Шешуі.

1. $10{,}5 : 25 = 0{,}42$; $80{,}16 + 0{,}42 = 80{,}58$.
2. $5{,}04 : 36 = 0{,}14$; $200{,}2 - 0{,}14 = 200{,}06$.
3. $119{,}6 : 13 = 9{,}2$; $9{,}2 - 5{,}82 = 3{,}38$.
4. $30{,}34 : 37 = 0{,}82$; $0{,}82 + 18{,}18 = 19$.

Жауабы: 1) 80,58; 2) 200,06; 3) 3,38; 4) 19.

№ 691

Өрнектердің мәндерін салыстырыңдар: 1) $14{,}7 : 35$ және $36{,}55 : 85$; 2) $25{,}41 : 21$ және $65{,}49 : 59$; 3) $125{,}475 : 15$ және $91{,}205 : 17$; 4) $556{,}92 : 42$ және $456{,}32 : 32$.

Қалай ойлаймыз. Екі бөліндіні де есептеп, ондық бөлшектерді разрядтары бойынша салыстырамыз.

Шешуі.

1. $0{,}42$ және $0{,}43$: $0{,}42 < 0{,}43$.
2. $1{,}21$ және $1{,}11$: $1{,}21 > 1{,}11$.
3. $8{,}365$ және $5{,}365$: $8{,}365 > 5{,}365$.
4. $13{,}26$ және $14{,}26$: $13{,}26 < 14{,}26$.

Жауабы: 1) <; 2) >; 3) >; 4) <.

B деңгейі

№ 692

Өрнектің мәнін табыңдар: 1) $0{,}36 : 9 + 2{,}55 \cdot 16 - 32{,}16 : 402$; 2) $27{,}027 : 27 + 88 \cdot 9{,}1 + 1{,}8 : 12$; 3) $6{,}16 : 28 + 100{,}2 : 3 - 5{,}2 \cdot 0{,}6$; 4) $232{,}323 : 23 - 40{,}4 : 8 + 0{,}16 \cdot 125$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен барлық көбейту мен бөлуді, содан кейін қосу мен азайтуды солдан оңға қарай орындаймыз.

Шешуі.

1. $0{,}04 + 40{,}8 - 0{,}08 = 40{,}76$.
2. $1{,}001 + 800{,}8 + 0{,}15 = 801{,}951$.
3. $0{,}22 + 33{,}4 - 3{,}12 = 30{,}5$.
4. $10{,}101 - 5{,}05 + 20 = 25{,}051$.

Жауабы: 1) 40,76; 2) 801,951; 3) 30,5; 4) 25,051.

№ 693

Теңдеуді шешіңдер: 1) $8x + 42{,}15 = 44{,}75$; 2) $31{,}14 - 5x = 0{,}52$; 3) $10x - 133{,}2 = 11{,}6$; 4) $0{,}874 + 4x = 21{,}374$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен бүкіл көбейтіндіні ($8x$, $5x$…) белгісіз қосылғыш, азайғыш немесе кемітілгіш ретінде табамыз. Содан кейін бөлеміз.

Шешуі.

1. $8x = 44{,}75 - 42{,}15 = 2{,}6$; $x = 2{,}6 : 8 = 0{,}325$.
2. $5x = 31{,}14 - 0{,}52 = 30{,}62$; $x = 30{,}62 : 5 = 6{,}124$.
3. $10x = 11{,}6 + 133{,}2 = 144{,}8$; $x = 14{,}48$.
4. $4x = 21{,}374 - 0{,}874 = 20{,}5$; $x = 20{,}5 : 4 = 5{,}125$.

Жауабы: 1) 0,325; 2) 6,124; 3) 14,48; 4) 5,125.

№ 694

Жай бөлшекті ондық бөлшекке айналдырыңдар: 1) $\frac{19}{101}$; 2) $\frac{29}{55}$; 3) $\frac{31}{36}$; 4) $\frac{611}{4950}$.

Қалай ойлаймыз. Алымын бөліміне бөлеміз. Қалдық қайталанған бойда бөлінді цифрлары да қайталана бастайды. Бұл — шексіз бөлшек, көп нүкте қоямыз.

Шешуі.

1. $19 : 101 = 0{,}18811881\ldots$ (1881 қайталанады).
2. $29 : 55 = 0{,}52727\ldots$ (27 қайталанады).
3. $31 : 36 = 0{,}86111\ldots$ (1 қайталанады).
4. $611 : 4950 = 0{,}1234343\ldots$ (34 қайталанады).

Жауабы: 1) 0,18811881…; 2) 0,52727…; 3) 0,86111…; 4) 0,1234343…

№ 695

Тіктөртбұрыштың ұзындығы 7,2 см, ал ені одан 6 есе кем. Тіктөртбұрыштың периметрін табыңдар.

Шешуі.

1. Ені: $7{,}2 : 6 = 1{,}2$ (см).
2. Периметрі: $(7{,}2 + 1{,}2) \cdot 2 = 16{,}8$ (см).

Жауабы: 16,8 см.

C деңгейі

№ 696

Өсу жылдамдығы бойынша санырауқұлақтар өсімдіктер ішінде бірінші орында тұр. Егер үш тәулікте санырауқұлақ 51,84 мм өссе, бір тәуліктегі биіктігі қандай болады?

Шешуі. $51{,}84 : 3 = 17{,}28$ (мм).

Жауабы: 17,28 мм-ге.

🌟 Кейбір санырауқұлақтар бір минутта бірнеше миллиметр өседі! Жаңбырдан кейін оларды тура көзбен бақылауға болады.

№ 697

$0{,}3542 : 23 : 7 : 11 + 1{,}9998$ өрнегінің мәні ең кіші жай санға тең болатынын тексеріңдер.

Қалай ойлаймыз. Ең кіші жай сан — 2. Солдан оңға қарай ретімен бөлеміз.

Шешуі.

1. $0{,}3542 : 23 = 0{,}0154$.
2. $0{,}0154 : 7 = 0{,}0022$.
3. $0{,}0022 : 11 = 0{,}0002$.
4. $0{,}0002 + 1{,}9998 = 2$.

Жауабы: иә, дұрыс: мәні 2.

№ 698

$(91{,}125 : 45 : 25 + 1{,}519) : 4$ өрнегінің мәні 0,4 санына тең болатынын тексеріңдер.

Шешуі.

1. $91{,}125 : 45 = 2{,}025$.
2. $2{,}025 : 25 = 0{,}081$.
3. $0{,}081 + 1{,}519 = 1{,}6$.
4. $1{,}6 : 4 = 0{,}4$ ✓.

Жауабы: дұрыс, мәні 0,4.

Жаңа тақырыпты меңгеруге дайындаламыз

№ 699

1) $15{,}79 : 1{,}9$; 2) $3{,}258 : 3{,}74$; 3) $74{,}0013 : 0{,}13$; 4) $473{,}37 : 4{,}7$ бөліндісін бөлімі натурал сан болатын жай бөлшек түрінде жазыңдар.

📕 Оқулықтың соңындағы жауаптарда № 699-ға «8» деп көрсетілген, бірақ бұл сан тапсырмаға келмейді (басқа нөмірдің жауабы сияқты). Біз өз жауабымызды бердік.

Қалай ойлаймыз. Бөліндіні бөлшек түрінде жазуға болады. Бөлінгіш пен бөлгішті бір санға көбейтсек, бөлінді өзгермейді. Екеуі де натурал сан болғанша 10, 100… көбейтеміз.

Шешуі.

1. $\frac{15{,}79}{1{,}9} = \frac{1579}{190}$ (100-ге көбейттік).
2. $\frac{3{,}258}{3{,}74} = \frac{3258}{3740}$ (1000-ға көбейттік).
3. $\frac{74{,}0013}{0{,}13} = \frac{740,013}{1300}$ (10 000-ға көбейттік).
4. $\frac{473{,}37}{4{,}7} = \frac{47,337}{470}$ (100-ге көбейттік).

Жауабы: $\frac{1579}{190}$; $\frac{3258}{3740}$ ($\frac{1629}{1870}$ дейін қысқартуға болады); $\frac{740,013}{1300}$; $\frac{47,337}{470}$.

№ 700

1) $17{,}8$; 2) $3{,}45$; 3) $0{,}328$; 4) $425{,}36$; 5) $74{,}006$ ондық бөлшегін қандай санға көбейткенде нәтижесінде натурал сан шығады?

📕 Оқулықтың соңындағы жауаптарда № 700-ге «42 км» деп көрсетілген, бірақ тапсырмада километр жоқ (басқа нөмірдің жауабы сияқты). Біз өз жауабымызды бердік.

Қалай ойлаймыз. 10, 100, 1000-ға көбейту үтірді оңға қарай 1, 2, 3 таңбаға жылжытады. Үтірден кейін неше цифр болса, сонша нөл керек.

Шешуі.

• 1. $17{,}8 \cdot 10 = 178$;
• 2. $3{,}45 \cdot 100 = 345$;
• 3. $0{,}328 \cdot 1000 = 328$;
• 4. $425{,}36 \cdot 100 = 42,536$;
• 5. $74{,}006 \cdot 1000 = 74,006$.

Осылардың еселігі болатын кез келген сан да келеді (мысалы, 20 немесе 200).

Жауабы: 1) 10-ға; 2) 100-ге; 3) 1000-ға; 4) 100-ге; 5) 1000-ға.

№ 701

Ұзындығы 9,6 м арқан тең 6 бөлікке бөлінген. Бір бөліктің ұзындығы қандай?

Шешуі. $9{,}6 : 6 = 1{,}6$ (м).

Жауабы: 1,6 м.

Жадынама

• Бүтін бөлікті бөлеміз → үтір қоямыз → әрі қарай бөлеміз.
• Бөліндідегі нөлдерді (0,012) жоғалтпаймыз.
• Бөлінгіште үтірден кейін нөл жаза беруге болады.
• Жай бөлшек = алымы : бөлімі.
• Қалдық қайталанса — бөлшек шексіз, «…» қоямыз.

Шағын тест