§ 38. Ондық бөлшекті ондық бөлшекке бөлу

Математика, 5 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2017). 5 тарау: Ондық бөлшектер және оларға амалдар қолдану. 40–42-беттер.

Нені үйренесің

• Ондық бөлшекті ондық бөлшекке бөлуді.
• Бөлінгіш пен бөлгіштегі үтірді бөлгіш натурал сан болатындай етіп жылжытуды.
• Үтірді жылжыту үшін цифр жетпесе, нөл тіркеп жазуды.
• Ондық бөлшекке бөлу керек болатын теңдеулер мен есептерді шығаруды.

Ой қозғау

Бұл — өткен сабақтағы № 699–701 тапсырмалары. Алдымен ойша жауап бер, содан кейін жауабын ашып қара.

• 17,8 санын нешеге көбейткенде натурал сан шығады? 10-ға: $17{,}8 \cdot 10 = 178$.
• Ал 0,328 ше? 1000-ға: 328 шығады. Үтірден кейін неше цифр болса, көбейткіште сонша нөл болады.
• $15{,}79 : 1{,}9$ бөліндісін бөлімі натурал сан болатын жай бөлшек түрінде қалай жазамыз? Алым мен бөлімді 10-ға көбейтеміз: $\frac{157{,}9}{19}$, тағы 10-ға көбейтсек — $\frac{1579}{190}$.
• Ұзындығы 9,6 м арқанды тең 6 бөлікке бөлді. Бір бөліктің ұзындығы қандай? $9{,}6 : 6 = 1{,}6$ м.

💡 Байқадың ба? Бөлінгіш пен бөлгішті бір санға көбейтсе, бөлінді өзгермейді. Бүгінгі сабақтың кілті осы.

Тақырыпты талдаймыз

Бөлгіштегі үтірден қалай құтыламыз

Елестет: 8 теңгені 2 досқа бөлді — әрқайсысына 4-тен. Ал 80 теңгені 20 досқа бөлсе ше? Тағы да 4-тен! Бөлінгіш пен бөлгішті бірдей есе арттырғанда бөлінді өзгермейді.

Біз осыны пайдаланамыз. $3{,}792 : 7{,}9$ бөліндісін тапсақ. Екі санды да 10-ға көбейтеміз:

$3{,}792 : 7{,}9 = 37{,}92 : 79$.

Ал ондық бөлшекті натурал санға бөлуді сен бұрыннан білесің!

📌 Ондық бөлшекті ондық бөлшекке бөлу үшін: 1) бөлгіште үтірден кейін неше цифр болса, бөлінгіш пен бөлгіштегі үтірді оңға қарай сонша цифрға жылжыт; 2) шыққан натурал санға бөл.

Цифр жетпесе

$60 : 0{,}25$ бөліндісін табайық. Бөлгіште үтірден кейін екі цифр бар, ал 60-та үтір жоқ сияқты. Қиын емес: $60 = 60{,}00$. Үтірді 2 цифрға жылжытамыз: $6000 : 25 = 240$.

Тағы бір мысал: $129{,}47 : 2{,}354$. Бөлгіште үтірден кейін үш цифр, бөлінгіште тек екеу. Нөл тіркеп жазамыз: $129{,}470 : 2{,}354 = 129,470 : 2354 = 55$.

⚠️ Жиі кететін қате. Үтірді тек бөлгіште жылжытып, бөлінгіш туралы ұмытып кетеді. Сонда жауап 10, 100 немесе 1000 есе кіші шығады. Үтір екі санда да бірдей қадамға «жүреді».

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Баладан бөлуді көбейтумен тексеруді сұраңыз: $0{,}48 \cdot 7{,}9 = 3{,}792$. Бұл үтірге байланысты қателерді тез ұстайды.

Бөлінді неге бөлінгіштен үлкен болуы мүмкін

$1{,}96 : 0{,}04 = 49$. Жауап бөлінгіштен үлкен! Солай болуы керек: 1,96-ға 0,04-ке тең ұсақ бөліктер көп сияды. 1-ден кіші санға бөлгенде бөлінді бөлінгіштен үлкен болады.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Ондық бөлшекті ондық бөлшекке қалай бөлеміз? Бөлгіште үтірден кейін неше цифр болса, бөлінгіш пен бөлгіштегі үтірді оңға қарай сонша цифрға жылжытамыз. Бөлінгіште цифр жетпесе — нөл тіркеп жазамыз. Содан кейін натурал санға бөлеміз.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 702

Бөлуді орындаңдар: 1) $3{,}6 : 0{,}4$; 2) $5{,}5 : 0{,}5$; 3) $8{,}4 : 1{,}2$; 4) $2{,}46 : 0{,}6$; 5) $4{,}68 : 0{,}9$; 6) $1{,}96 : 0{,}04$; 7) $0{,}522 : 0{,}3$; 8) $1{,}414 : 0{,}07$; 9) $0{,}275 : 0{,}5$.

Қалай ойлаймыз. Бөлгішке қара: үтірден кейін бір цифр болса — үтірді 1 цифрға, екі болса — 2 цифрға жылжытамыз.

Шешуі.

1. $36 : 4 = 9$
2. $55 : 5 = 11$
3. $84 : 12 = 7$
4. $24{,}6 : 6 = 4{,}1$
5. $46{,}8 : 9 = 5{,}2$
6. $196 : 4 = 49$
7. $5{,}22 : 3 = 1{,}74$
8. $141{,}4 : 7 = 20{,}2$
9. $2{,}75 : 5 = 0{,}55$

Жауабы: 9; 11; 7; 4,1; 5,2; 49; 1,74; 20,2; 0,55.

№ 703

Есептеңдер: 1) $2{,}7 : 0{,}09$; 2) $4{,}2 : 0{,}21$; 3) $5{,}72 : 0{,}052$; 4) $60 : 0{,}25$; 5) $18 : 0{,}005$; 6) $12{,}6 : 0{,}042$; 7) $3{,}24 : 0{,}18$; 8) $62{,}5 : 0{,}0025$; 9) $0{,}0869 : 0{,}011$.

Қалай ойлаймыз. Мұнда бөлінгіште цифр жиі жетпейді — нөл тіркеп жазамыз.

Шешуі.

1. $270 : 9 = 30$
2. $420 : 21 = 20$
3. $5720 : 52 = 110$
4. $6000 : 25 = 240$
5. $18,000 : 5 = 3600$
6. $12,600 : 42 = 300$
7. $324 : 18 = 18$
8. $625,000 : 25 = 25,000$
9. $86{,}9 : 11 = 7{,}9$

Жауабы: 30; 20; 110; 240; 3600; 300; 18; 25 000; 7,9.

№ 704

Өрнектердің мәнін салыстырыңдар: 1) $1{,}8 : 0{,}05$ және $1{,}48 : 0{,}04$; 2) $3 : 1{,}25$ және $3{,}3 : 1{,}32$.

Қалай ойлаймыз. Екі бөліндіні де тауып, сандарды салыстырамыз.

Шешуі.

1. $1{,}8 : 0{,}05 = 180 : 5 = 36$; $1{,}48 : 0{,}04 = 148 : 4 = 37$. $36 < 37$.
2. $3 : 1{,}25 = 300 : 125 = 2{,}4$; $3{,}3 : 1{,}32 = 330 : 132 = 2{,}5$. $2{,}4 < 2{,}5$.

Жауабы: 1) $1{,}8 : 0{,}05 < 1{,}48 : 0{,}04$; 2) $3 : 1{,}25 < 3{,}3 : 1{,}32$.

№ 705

Тік төртбұрыштың ауданы 1,17 см², ұзындығы 1,3 см. Есепке сұрақ құрастырып, шығарыңдар.

Қалай ойлаймыз. Сұрақ өзі-ақ туады: ені қанша? Тағы периметрін де сұрауға болады.

Шешуі.

1. Сұрақ: тік төртбұрыштың ені қандай? $1{,}17 : 1{,}3 = 11{,}7 : 13 = 0{,}9$ см.
2. Тағы сұрақ: периметрі қандай? $2 \cdot (1{,}3 + 0{,}9) = 2 \cdot 2{,}2 = 4{,}4$ см.

Жауабы: ені 0,9 см; периметрі 4,4 см.

№ 706

Қарбыздың массасы 8,5 кг және ол қауынның массасынан 1,7 есе артық. Есепке сұрақ құрастырып, шығарыңдар.

Қалай ойлаймыз. «1,7 есе артық» дегеніміз — қауын 1,7 есе жеңіл. Демек, бөлеміз.

Шешуі.

1. Сұрақ: қауынның массасы қанша? $8{,}5 : 1{,}7 = 85 : 17 = 5$ кг.
2. Тағы сұрақ: екеуінің массасы бірге қанша? $8{,}5 + 5 = 13{,}5$ кг.

Жауабы: қауын 5 кг; бірге 13,5 кг.

№ 707

Бірінші жәшікте 27 кг көгеніс, екінші жәшікте біріншіден 1,2 есе кем көгеніс бар. Есепке сұрақ құрастырып, шығарыңдар.

Шешуі.

1. Сұрақ: екінші жәшікте қанша көгеніс бар? $27 : 1{,}2 = 270 : 12 = 22{,}5$ кг.
2. Тағы сұрақ: екі жәшікте бірге қанша көгеніс бар? $27 + 22{,}5 = 49{,}5$ кг.

Жауабы: 22,5 кг; бірге 49,5 кг.

№ 708

Теңдеуді шешіңдер: 1) $0{,}21x = 6{,}3$; 2) $0{,}04x = 2$; 3) $2{,}7x = 2{,}727$; 4) $0{,}132x = 132$; 5) $0{,}6x = 4{,}2$; 6) $17{,}5x = 0{,}63$; 7) $13{,}5x = 1{,}08$; 8) $0{,}34x = 10{,}54$; 9) $0{,}09x = 94{,}5$; 10) $0{,}32x = 16{,}48$; 11) $0{,}35x = 2597$; 12) $1{,}2x = 4{,}02$.

Қалай ойлаймыз. $x$ — белгісіз көбейткіш. Көбейтіндіні белгілі көбейткішке бөлеміз.

Шешуі.

1. $x = 6{,}3 : 0{,}21 = 630 : 21 = 30$
2. $x = 2 : 0{,}04 = 200 : 4 = 50$
3. $x = 2{,}727 : 2{,}7 = 27{,}27 : 27 = 1{,}01$
4. $x = 132 : 0{,}132 = 132,000 : 132 = 1000$
5. $x = 4{,}2 : 0{,}6 = 42 : 6 = 7$
6. $x = 0{,}63 : 17{,}5 = 6{,}3 : 175 = 0{,}036$
7. $x = 1{,}08 : 13{,}5 = 10{,}8 : 135 = 0{,}08$
8. $x = 10{,}54 : 0{,}34 = 1054 : 34 = 31$
9. $x = 94{,}5 : 0{,}09 = 9450 : 9 = 1050$
10. $x = 16{,}48 : 0{,}32 = 1648 : 32 = 51{,}5$
11. $x = 2597 : 0{,}35 = 259,700 : 35 = 7420$
12. $x = 4{,}02 : 1{,}2 = 40{,}2 : 12 = 3{,}35$

Жауабы: 30; 50; 1,01; 1000; 7; 0,036; 0,08; 31; 1050; 51,5; 7420; 3,35.

№ 709

Амалдарды орындаңдар: 1) $4{,}37 : 1{,}9 + 8{,}78$; 2) $7{,}91 - 6{,}72 : 1{,}2$; 3) $6{,}88 : 1{,}6 - 3{,}99$; 4) $10{,}05 + 7{,}31 : 1{,}7$; 5) $85{,}8 : 0{,}33 - 258{,}1$; 6) $1{,}968 : 0{,}41 + 28{,}2$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен бөлу, содан кейін қосу немесе азайту.

Шешуі.

1. $4{,}37 : 1{,}9 = 2{,}3$; $2{,}3 + 8{,}78 = 11{,}08$
2. $6{,}72 : 1{,}2 = 5{,}6$; $7{,}91 - 5{,}6 = 2{,}31$
3. $6{,}88 : 1{,}6 = 4{,}3$; $4{,}3 - 3{,}99 = 0{,}31$
4. $7{,}31 : 1{,}7 = 4{,}3$; $10{,}05 + 4{,}3 = 14{,}35$
5. $85{,}8 : 0{,}33 = 8580 : 33 = 260$; $260 - 258{,}1 = 1{,}9$
6. $1{,}968 : 0{,}41 = 196{,}8 : 41 = 4{,}8$; $4{,}8 + 28{,}2 = 33$

Жауабы: 11,08; 2,31; 0,31; 14,35; 1,9; 33.

📕 Оқулықтың соңындағы жауаптарда 709-жаттығудың 1) тармағына «88,3» деп жазылған. Дұрысы — 11,08: $2{,}3 + 8{,}78 = 11{,}08$.

B деңгейі

№ 710

Амалдарды орындаңдар: 1) $2{,}093 : 9{,}1 + 0{,}2166 : 0{,}38$; 2) $0{,}004 : 0{,}25 - 0{,}2 : 16$; 3) $0{,}5415 : 0{,}57 - 0{,}003 : 0{,}024$; 4) $28{,}29 : 12{,}3 + 269{,}44 : 0{,}064$.

Қалай ойлаймыз. Әр мысалда екі бөлу бар — оларды кезекпен орындап, соңғы амалды жасаймыз.

Шешуі.

1. $2{,}093 : 9{,}1 = 20{,}93 : 91 = 0{,}23$; $0{,}2166 : 0{,}38 = 21{,}66 : 38 = 0{,}57$; $0{,}23 + 0{,}57 = 0{,}8$.
2. $0{,}004 : 0{,}25 = 0{,}4 : 25 = 0{,}016$; $0{,}2 : 16 = 0{,}0125$; $0{,}016 - 0{,}0125 = 0{,}0035$.
3. $0{,}5415 : 0{,}57 = 54{,}15 : 57 = 0{,}95$; $0{,}003 : 0{,}024 = 3 : 24 = 0{,}125$; $0{,}95 - 0{,}125 = 0{,}825$.
4. $28{,}29 : 12{,}3 = 282{,}9 : 123 = 2{,}3$; $269{,}44 : 0{,}064 = 269,440 : 64 = 4210$; $2{,}3 + 4210 = 4212{,}3$.

Жауабы: 0,8; 0,0035; 0,825; 4212,3.

№ 711

$x$-тің мәнін 0,3; 0,7; 1,8-ге тең деп алып, $6{,}57 : (x + 0{,}2) + 7{,}56 : (x - 0{,}2)$ өрнегінің мәнін табыңдар.

Қалай ойлаймыз. $x$ орнына санды қоямыз, жақшаларды есептейміз, сосын екі бөлуді және қосындыны табамыз.

Шешуі.

1. $x = 0{,}3$: $6{,}57 : 0{,}5 + 7{,}56 : 0{,}1 = 13{,}14 + 75{,}6 = 88{,}74$.
2. $x = 0{,}7$: $6{,}57 : 0{,}9 + 7{,}56 : 0{,}5 = 7{,}3 + 15{,}12 = 22{,}42$.
3. $x = 1{,}8$: $6{,}57 : 2 + 7{,}56 : 1{,}6 = 3{,}285 + 4{,}725 = 8{,}01$.

Жауабы: 88,74; 22,42; 8,01.

№ 712

Массасы 0,099 г қарағайдың дәнінен 25 жыл ішінде тал өсіп шығады. Егер қарағай дәнінің массасы тал массасының 0,0000011-ін құраса, онда талдың массасы қандай?

Қалай ойлаймыз. Бөлік (дәннің массасы) және оның бүтіннің қандай үлесі екені белгілі. Бүтінді бөлу арқылы табамыз.

Шешуі.

1. $0{,}099 : 0{,}0000011 = 990,000 : 11 = 90,000$ г.
2. $90,000$ г $= 90$ кг.

Жауабы: 90 кг.

🌟 Грамның оннан бір бөлігіндей дәннен ересек адамнан ауыр ағаш өседі! Қарағай өз массасының басым бөлігін ауадан (көмірқышқыл газы) және судан алады.

№ 713

Теңдеудің түбірін табыңдар: 1) $(12 - x) \cdot 6{,}5 = 23{,}4$; 2) $(y - 3{,}3) : 5{,}3 = 0{,}07$; 3) $153 + 0{,}625y = 215{,}5$; 4) $0{,}32x + 0{,}47 = 12{,}8$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен бүкіл жақшаны (немесе әріпі бар қосылғышты) табамыз, содан кейін әріптің өзін.

Шешуі.

1. $12 - x = 23{,}4 : 6{,}5 = 3{,}6$; $x = 12 - 3{,}6 = 8{,}4$.
2. $y - 3{,}3 = 0{,}07 \cdot 5{,}3 = 0{,}371$; $y = 3{,}671$.
3. $0{,}625y = 215{,}5 - 153 = 62{,}5$; $y = 62{,}5 : 0{,}625 = 100$.
4. $0{,}32x = 12{,}8 - 0{,}47 = 12{,}33$; $x = 12{,}33 : 0{,}32 = 38{,}53125$.

Жауабы: 8,4; 3,671; 100; 38,53125.

№ 714

9 мин; 36 мин; 2 сағ 12 мин; 2 сағ 15 мин; 3 сағ 48 мин уақыт өлшемдерін сағатпен өрнектеңдер және нәтижесін ондық бөлшек түрінде жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. 1 минут — сағаттың $\frac{1}{60}$ бөлігі. Минутты 60-қа бөлеміз.

Шешуі.

1. $9 : 60 = 0{,}15$ сағ.
2. $36 : 60 = 0{,}6$ сағ.
3. $12 : 60 = 0{,}2$, демек, 2,2 сағ.
4. $15 : 60 = 0{,}25$, демек, 2,25 сағ.
5. $48 : 60 = 0{,}8$, демек, 3,8 сағ.

Жауабы: 0,15 сағ; 0,6 сағ; 2,2 сағ; 2,25 сағ; 3,8 сағ.

№ 715

Есепті теңдеу құру арқылы шешіңдер, оған кері есептер құрастырыңдар және оларды шығарыңдар. Ұзындығы 4,8 см, ені 1,5 см және көлемі 18,72 см³ тікбұрышты параллелепипедтің биіктігін табыңдар.

Қалай ойлаймыз. $V = a \cdot b \cdot h$. Биіктік — белгісіз көбейткіш.

Шешуі.

1. Биіктігі $h$ см болсын. Сонда $4{,}8 \cdot 1{,}5 \cdot h = 18{,}72$.
2. $7{,}2h = 18{,}72$; $h = 18{,}72 : 7{,}2 = 187{,}2 : 72 = 2{,}6$.

Кері есептер:

• Ұзындығы 4,8 см, ені 1,5 см, биіктігі 2,6 см. Көлемін тап: $4{,}8 \cdot 1{,}5 \cdot 2{,}6 = 18{,}72$ см³.
• Көлемі 18,72 см³, ені 1,5 см, биіктігі 2,6 см. Ұзындығын тап: $18{,}72 : (1{,}5 \cdot 2{,}6) = 18{,}72 : 3{,}9 = 4{,}8$ см.
• Көлемі 18,72 см³, ұзындығы 4,8 см, биіктігі 2,6 см. Енін тап: $18{,}72 : (4{,}8 \cdot 2{,}6) = 18{,}72 : 12{,}48 = 1{,}5$ см.

Жауабы: 2,6 см.

C деңгейі

№ 716

$89{,}89 : x + 6{,}16 : 0{,}56 = 100$ және $0{,}824 : (x - 0{,}61) = 2{,}06$ теңдеулерінің түбірлерін салыстырыңдар.

Қалай ойлаймыз. Бұл — күрделілігі жоғары есеп. Әр теңдеуді қадамдап шығарамыз — алдымен бірден есептеуге болатынын есептейміз.

Шешуі. Біріншісі: $89{,}89 : x = 100 - 11 = 89$, $x = 1{,}01$. Екіншісі: $x - 0{,}61 = 0{,}4$, $x = 1{,}01$.

Жауабы: түбірлері тең (1,01).

№ 717

$12{,}6 : 5{,}6 : 0{,}3 : 0{,}75$ өрнегінің мәні ең кіші екітаңбалы санға тең болатынын анықтаңдар.

Қалай ойлаймыз. Солдан оңға қарай кезекпен бөлеміз. Ең кіші екітаңбалы сан — 10.

Шешуі.

1. $12{,}6 : 5{,}6 = 126 : 56 = 2{,}25$
2. $2{,}25 : 0{,}3 = 22{,}5 : 3 = 7{,}5$
3. $7{,}5 : 0{,}75 = 750 : 75 = 10$

Жауабы: дұрыс, 10 шығады.

Жаңа тақырыпты меңгеруге дайындаламыз

№ 718

1) 200 санының бірлік, ондық, жүздік разрядында қандай цифр орналасқан? 200 санында қанша бірлік, ондық, жүздік бар? 2) 1234 санының бірлік, ондық, жүздік, мыңдық разрядында қандай цифр орналасқан? 1234 санында қанша бірлік, ондық, жүздік, мыңдық бар? 3) 501 284 санының жүздік, он мыңдық разрядында қандай цифр орналасқан? 501 284 санында қанша жүздік, он мыңдық бар? 4) 19 200 346 санының жүз мыңдық, миллион бірлігінде, он миллион бірлігінде қандай цифр орналасқан? 19 200 346 санында қанша мыңдық, миллион бар?

Қалай ойлаймыз. «Разрядта қандай цифр тұр?» деген сұраққа — бір цифрға қараймыз. «Барлығы қанша ондық бар?» деген сұраққа — осы разрядтан оңдағы цифрларды алып тастаймыз.

Шешуі.

1. 200: бірліктер разрядында 0, ондықтарда 0, жүздіктерде 2. Барлығы 200 бірлік, 20 ондық, 2 жүздік.
2. 1234: бірліктерде 4, ондықтарда 3, жүздіктерде 2, мыңдықтарда 1. Барлығы 1234 бірлік, 123 ондық, 12 жүздік, 1 мыңдық.
3. 501 284: жүздіктер разрядында 2, он мыңдықтар разрядында 0. Барлығы 5012 жүздік, 50 он мыңдық.
4. 19 200 346: жүз мыңдықтар разрядында 2, миллион бірліктерінде 9, он миллион бірліктерінде 1. Барлығы 19 200 мыңдық, 19 миллион.

Жауабы: шешуін қара.

№ 719

1) 0,235 санында ондық үлес, жүздік үлес, мыңдық үлес разрядында қандай цифр орналасқан? 2) 0,67 235 санында ондық үлес, жүздік, мыңдық, онмыңдық үлес разрядында қандай цифр орналасқан? 3) 612,809 санында ондық және ондық үлес, жүздік және жүздік үлес, мыңдық және мыңдық үлес разрядында қандай цифрлар орналасқан?

Шешуі.

1. 0,235: ондық үлес 2, жүздік үлес 3, мыңдық үлес 5.
2. 0,67235: ондық үлес 6, жүздік үлес 7, мыңдық үлес 2, онмыңдық үлес 3.
3. 612,809: ондық 1 және ондық үлес 8; жүздік 6 және жүздік үлес 0; мыңдық жоқ (0) және мыңдық үлес 9.

Жауабы: 2, 3, 5; 6, 7, 2, 3; 1 және 8, 6 және 0, 0 және 9.

№ 720

Тура теңдік шығатындай жұлдызша белгісінің орнына цифр қойыңдар: 1) $26{,}7 \le 26{,}75$; 2) $120{,}7* \ge 120{,}74$; 3) $708{,}26 \le 7058{,}26$.

Қалай ойлаймыз. Бір цифрдан басқасының бәрі бірдей. Демек, тек сол цифрды салыстырамыз.

Шешуі.

1. $* \le 5$: 0, 1, 2, 3, 4, 5 сәйкес келеді.
2. $* \ge 4$: 4, 5, 6, 7, 8, 9 сәйкес келеді.
3. $* \le 5$: 0, 1, 2, 3, 4, 5 сәйкес келеді.

Жауабы: 1) 0–5; 2) 4–9; 3) 0–5.

Жадынама

• $3{,}792 : 7{,}9 = 37{,}92 : 79 = 0{,}48$.
• Үтірді бөлінгіш пен бөлгіште оңға қарай бірдей цифр санына жылжытамыз.
• Бағдар — бөлгіш: ол натурал сан болуы керек.
• Цифр жетпесе, нөл тіркеп жазамыз.
• 1-ден кіші санға бөлсең — жауап өседі.

Шағын тест