§ 39. 10, 100, 1000, … және 0,1, 0,01, 0,001, … сандарына көбейту және бөлу

Математика, 5 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2017). 5 тарау: Ондық бөлшектер және оларға амалдар қолдану. 43–46-беттер.

Нені үйренесің

• Ондық бөлшекті 10, 100, 1000-ға көбейтуді және бөлуді үтірді жылжыту арқылы бір қимылмен орындауды.
• 0,1; 0,01; 0,001 сандарына да солай тез көбейтуді және бөлуді.
• 0,1-ге көбейту неге 10-ға бөлумен бірдей екенін түсінуді.
• Өлшем бірліктерін ауыстыруды: метрді сантиметрге, килограммды тоннаға, гектарды шаршы километрге.

Ой қозғау

Бұл — өткен сабақтағы № 718–720 тапсырмалары. Алдымен ойша жауап бер, содан кейін жауабын ашып қара.

• 0,235 санының ондық үлес разрядында қандай цифр тұр? Ал мыңдық үлес разрядында ше? Ондық үлес — 2, мыңдық үлес — 5.
• 1234 санында барлығы қанша ондық бар? 123 ондық (бірліктерді алып тастаймыз).
• $26{,}7 \le 26{,}75$ болу үшін * орнына қандай цифрлар қоюға болады?* 0-ден 5-ке дейін.
• Бірі 23 теңгеден 10 кәмпит қанша тұрады? 230 теңге — санның соңына жай ғана нөл жазып қойдық.

💡 Әр разряд оң жақтағы көршісінен 10 есе үлкен. Сондықтан 10-ға көбейткенде барлық цифрлар бір разрядқа солға «көшеді». Ал үтір, керісінше, оңға жылжығандай болады.

Тақырыпты талдаймыз

Үтір оңға жүреді

7,654 санын 10, 100, 1000-ға көбейтейік:

• $7{,}654 \cdot 10 = 76{,}54$
• $7{,}654 \cdot 100 = 765{,}4$
• $7{,}654 \cdot 1000 = 7654$

Заңдылықты көріп тұрсың ба? Көбейткіште неше нөл болса, үтір сонша цифрға оңға жылжиды.

📌 10, 100, 1000 т.с.с. сандарына көбейткенде үтірді оңға қарай 1, 2, 3 т.с.с. орынға жылжыт. Цифр жетпесе, оң жағына нөлдер тіркеп жаз: $0{,}58 \cdot 1000 = 580$.

Үтір солға жүреді

Бөлу — кері амал, демек, үтір де кері жаққа, солға жүреді:

• $12{,}34 : 10 = 1{,}234$
• $12{,}34 : 100 = 0{,}1234$
• $12{,}34 : 1000 = 0{,}01234$

Сол жақта цифр жетпесе, нөл тіркеп жазамыз: соңғы мысалда үтірден кейін нөл пайда болды.

⚠️ Жиі кететін қате. Бағытты шатастырады. Былай есте сақта: 10-ға көбейткенде сан өседі, демек, үтір оңға кетеді, «бүтін бөлігі» ұзарады. Бөлгенде сан кішірейеді, үтір солға кетеді.

0,1 мен 10 неге «ағайынды»

0,1-ге көбейту — санның оннан бір бөлігін алу деген сөз. Ал бұл 10-ға бөлумен бірдей! Дәл солай $\cdot, 0{,}01$ — бұл $: 100$, ал $\cdot, 0{,}001$ — бұл $: 1000$.

Керісінше: 0,1-ге бөлу — санда неше оннан бір үлес бар екенін табу. Бір бүтінде олар 10, сондықтан $: 0{,}1$ — бұл $\cdot, 10$.

• $1234{,}56 \cdot 0{,}01 = 12{,}3456$ ($: 100$ сияқты)
• $1234{,}56 : 0{,}01 = 123,456$ ($\cdot, 100$ сияқты)

📌 0,1; 0,01; 0,001 сандарына көбейткенде үтірді көбейткіште үтірден кейін неше цифр болса, сонша цифрға солға жылжыт. Бөлгенде — сонша цифрға оңға.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Ақылға салып тексеріңіз: «Сен 35,4 санын 0,1-ге көбейттің — жауап үлкен шығуы керек пе, әлде кіші ме?» Бала кіші болатынын (оннан бір бөлігі) түсінсе, бағытты шатастырмайды.

Өзің белгіле

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Ондық бөлшекті 10, 100, 1000 т.с.с. санына қалай көбейтеміз? Үтірді көбейткіште неше нөл болса, сонша цифрға оңға жылжытамыз.
• 10, 100, 1000 т.с.с. санына қалай бөлеміз? Үтірді бөлгіште неше нөл болса, сонша цифрға солға жылжытамыз. Цифр жетпесе — сол жағынан нөл тіркеп жазамыз.
• 0,1; 0,01; 0,001 т.с.с. сандарына қалай көбейтеміз және бөлеміз? Көбейткенде үтір солға, бөлгенде оңға жылжиды: 0,1 / 0,01 / 0,001 санындағы үтірден кейінгі цифр санындай орынға.
• 10, 100 т.с.с. санына көбейту мен 0,1, 0,01 т.с.с. санына бөлудің байланысы қандай? Олар бірдей: $a \cdot 10 = a : 0{,}1$, $a \cdot 100 = a : 0{,}01$.
• 10, 100 т.с.с. санына бөлу мен 0,1, 0,01 т.с.с. санына көбейтудің байланысы қандай? Олар да бірдей: $a : 10 = a \cdot 0{,}1$, $a : 100 = a \cdot 0{,}01$.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 721

а) Ондық бөлшектегі үтірді 1) 2; 2) 4; 3) 5 орын оңға қарай жылжытқанда бөлшек неше есе артады? ә) Ондық бөлшектегі үтірді 1) 2; 2) 4; 3) 6 орын солға қарай жылжытқанда бөлшек неше есе кемиді?

Қалай ойлаймыз. Бір разрядқа жылжыту — 10 есе. Екі разрядқа — 100 есе, т.с.с.: бір және жылжытқан разряд санындай нөл.

Шешуі.

• а) 100 есе; 10 000 есе; 100 000 есе.
• ә) 100 есе; 10 000 есе; 1 000 000 есе.

Жауабы: а) 100; 10 000; 100 000; ә) 100; 10 000; 1 000 000.

№ 722

Өрнектің мәнін табыңдар: 1) $2{,}3 \cdot 10$; 2) $9{,}468 \cdot 100$; 3) $0{,}625 \cdot 1000$; 4) $0{,}58 \cdot 10$; 5) $31{,}17 \cdot 10,000$; 6) $0{,}39 \cdot 100$; 7) $7{,}3 : 10$; 8) $0{,}074 : 1000$; 9) $7819{,}2 : 1000$; 10) $4{,}25 : 10$; 11) $560{,}9 : 10,000$; 12) $50{,}6 : 100$.

Қалай ойлаймыз. Көбейту — оңға, бөлу — солға. Нөлдерді санаймыз.

Шешуі.

Жауабы: 23; 946,8; 625; 5,8; 311 700; 39; 0,73; 0,000074; 7,8192; 0,425; 0,05609; 0,506.

№ 723

Есептеңдер: 1) $35{,}4 \cdot 0{,}1$; 2) $6{,}25 \cdot 0{,}1$; 3) $0{,}0091 : 0{,}001$; 4) $4{,}9 \cdot 0{,}001$; 5) $3{,}18 : 0{,}001$; 6) $1{,}614 \cdot 0{,}1$; 7) $0{,}2 \cdot 0{,}01$; 8) $0{,}296 : 0{,}01$; 9) $4{,}87 : 0{,}0001$; 10) $78 \cdot 0{,}1$; 11) $53 \cdot 0{,}1$; 12) $5 \cdot 0{,}01$.

Қалай ойлаймыз. $\cdot, 0{,}1$ — бұл $: 10$ сияқты (үтір солға). $: 0{,}01$ — бұл $\cdot, 100$ сияқты (үтір оңға).

Шешуі.

1. $35{,}4 \cdot 0{,}1 = 3{,}54$
2. $6{,}25 \cdot 0{,}1 = 0{,}625$
3. $0{,}0091 : 0{,}001 = 9{,}1$
4. $4{,}9 \cdot 0{,}001 = 0{,}0049$
5. $3{,}18 : 0{,}001 = 3180$
6. $1{,}614 \cdot 0{,}1 = 0{,}1614$
7. $0{,}2 \cdot 0{,}01 = 0{,}002$
8. $0{,}296 : 0{,}01 = 29{,}6$
9. $4{,}87 : 0{,}0001 = 48,700$
10. $78 \cdot 0{,}1 = 7{,}8$
11. $53 \cdot 0{,}1 = 5{,}3$
12. $5 \cdot 0{,}01 = 0{,}05$

Жауабы: 3,54; 0,625; 9,1; 0,0049; 3180; 0,1614; 0,002; 29,6; 48 700; 7,8; 5,3; 0,05.

№ 724

32.1-кестедегі мәліметтер бойынша 1 л заттың орташа массасын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. 1 м³-ге 1000 л сияды. Демек, 1 м³ массасын 1000-ға бөлеміз.

Шешуі.

1. Су: 1 т = 1000 кг; $1000 : 1000 = 1$ кг.
2. Сүт: $1030 : 1000 = 1{,}03$ кг.
3. Мұнай: $720 : 1000 = 0{,}72$ кг, $850 : 1000 = 0{,}85$ кг.

Жауабы: су 1 кг; сүт 1,03 кг; мұнай 0,72-ден 0,85 кг-ға дейін.

🌟 Бір литр мұнай бір литр судан жеңіл. Сондықтан мұнай теңіз бетінде батпай, жайылып жатады.

№ 725

32.2-кестедегі мәліметтер бойынша 1 дм³ заттың орташа массасын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. $1 \text{ м}^3 = 1000 \text{ дм}^3$. Әр санды 1000-ға бөлеміз.

Шешуі. Картоп $650 : 1000 = 0{,}65$ кг; қызылша 0,63 кг; арпа 0,69 кг; сұлы 0,43 кг; бұршақ 0,7 кг.

Жауабы: 0,65 кг; 0,63 кг; 0,69 кг; 0,43 кг; 0,7 кг.

№ 726

Адам шашының орташа өсу жылдамдығы 0,35 мм/тәул — 0,4 мм/тәул. Егер адам шашын қимаса, онда 4 жылда қанша 1) сантиметрге; 2) дециметрге өсуі мүмкін?

Қалай ойлаймыз. Алдымен күндерді, содан кейін миллиметрлерді санаймыз. 10 мм = 1 см, 100 мм = 1 дм — демек, 10-ға және 100-ге бөлеміз.

Шешуі.

1. 4 жыл ≈ $4 \cdot 365 = 1460$ тәулік.
2. Ең азы: $0{,}35 \cdot 1460 = 511$ мм. Ең көбі: $0{,}4 \cdot 1460 = 584$ мм.
3. Сантиметрмен: $511 : 10 = 51{,}1$ см; $584 : 10 = 58{,}4$ см.
4. Дециметрмен: $511 : 100 = 5{,}11$ дм; $584 : 100 = 5{,}84$ дм.

Жауабы: 1) 51,1-ден 58,4 см-ге дейін; 2) 5,11-ден 5,84 дм-ге дейін. (Кібісе жылды ескерсек — 1461 тәулік — нәтиже дерлік өзгермейді.)

B деңгейі

№ 727

Егер 1) $a = 10$, $b = 100$, $c = 1000$ болса, онда $14{,}25a + 0{,}025b + 0{,}795c$; 2) $x = 0{,}1$, $y = 0{,}01$, $z = 0{,}001$ болса, онда $34{,}9x + 1856y + 0{,}5z$ өрнегінің мәнін табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Әр көбейтінді — үтірді жылжыту ғана.

Шешуі.

1. $142{,}5 + 2{,}5 + 795 = 940$.
2. $3{,}49 + 18{,}56 + 0{,}0005 = 22{,}0505$.

Жауабы: 1) 940; 2) 22,0505.

№ 728

Амалдарды орындаңдар: 1) $(0{,}38 : 0{,}1 - 295 : 100 + 0{,}00164 \cdot 10,000) \cdot 0{,}1 + 7{,}5 \cdot 0{,}01$; 2) $0{,}84 \cdot 100 \cdot 0{,}1 + 595{,}9 \cdot 0{,}01 - (9{,}115 : 0{,}01 - 8{,}56 : 0{,}1) : 100$.

Қалай ойлаймыз. Ұзын көрінеді, бірақ әр амал — үтірді жылжыту. Алдымен жақшалар, содан кейін қалғаны.

Шешуі.

1. Жақша: $3{,}8 - 2{,}95 + 16{,}4 = 17{,}25$; $17{,}25 \cdot 0{,}1 = 1{,}725$; $1{,}725 + 0{,}075 = 1{,}8$.
2. $0{,}84 \cdot 100 \cdot 0{,}1 = 8{,}4$; $595{,}9 \cdot 0{,}01 = 5{,}959$; жақша: $911{,}5 - 85{,}6 = 825{,}9$; $825{,}9 : 100 = 8{,}259$; нәтиже $8{,}4 + 5{,}959 - 8{,}259 = 6{,}1$.

Жауабы: 1) 1,8; 2) 6,1.

№ 729

Астана қаласындағы «Думан» ойын-сауық орталығының құрылысына 110 000 м² жер бөлінген. «Думан» орталығы қанша 1) гектар; 2) шаршы километр жерді алып жатыр?

Қалай ойлаймыз. 1 га = 10 000 м², 1 км² = 1 000 000 м².

Шешуі.

1. $110,000 : 10,000 = 11$ га.
2. $110,000 : 1,000,000 = 0{,}11$ км².

Жауабы: 1) 11 га; 2) 0,11 км².

🌟 «Думан» — Астанадағы океанариум мен ойын-сауық орталығы. 11 га — шамамен 15 футбол алаңындай жер.

C деңгейі

№ 730

1) $5{,}3$ м = … см; 2) $5{,}2$ кг = … г; 3) $34$ м² = … дм²; 4) $0{,}18$ м = … дм; 5) $6{,}315$ т = … ц; 6) $15{,}2$ га = … а; 7) $12{,}7$ дм = … мм; 8) $92{,}03$ т = … кг; 9) $0{,}06$ дм² = … мм²; 10) $0{,}04$ км = … м; 11) $0{,}74$ ц = … кг; 12) $0{,}95$ км² = … м² теңдігі дұрыс болу үшін көп нүктенің орнына қажетті санды қойыңдар.

Қалай ойлаймыз. Үлкен бірліктен кіші бірлікке өткенде көбейтеміз, үтір оңға жылжиды. Бірліктердің неше есе айырмашылығы бар екенін білу маңызды. Шаршы бірліктермен абай бол: 1 м² = 100 дм², ал 10 емес.

Шешуі.

1. 1 м = 100 см: 530 см.
2. 1 кг = 1000 г: 5200 г.
3. 1 м² = 100 дм²: 3400 дм².
4. 1 м = 10 дм: 1,8 дм.
5. 1 т = 10 ц: 63,15 ц.
6. 1 га = 100 а: 1520 а.
7. 1 дм = 100 мм: 1270 мм.
8. 1 т = 1000 кг: 92 030 кг.
9. 1 дм² = 10 000 мм²: 600 мм².
10. 1 км = 1000 м: 40 м.
11. 1 ц = 100 кг: 74 кг.
12. 1 км² = 1 000 000 м²: 950 000 м².

Жауабы: 530; 5200; 3400; 1,8; 63,15; 1520; 1270; 92 030; 600; 40; 74; 950 000.

№ 731

1) $7{,}8$ мм = … см; 2) $29$ кг = … т; 3) $1{,}5$ мм² = … см²; 4) $43{,}6$ см = … м; 5) $17{,}5$ ц = … т; 6) $140$ см² = … м²; 7) $15$ м = … км; 8) $8{,}4$ кг = … ц; 9) $56{,}1$ а = … га; 10) $1920$ дм = … км; 11) $250$ г = … кг; 12) $60,000$ м² = … км² теңдігі дұрыс болу үшін көп нүктенің орнына қажетті санды қойыңдар.

Қалай ойлаймыз. Енді керісінше: кіші бірліктен үлкен бірлікке өткенде бөлеміз, үтір солға жылжиды.

Шешуі.

1. $7{,}8 : 10 = 0{,}78$ см.
2. $29 : 1000 = 0{,}029$ т.
3. 1 см² = 100 мм²: $1{,}5 : 100 = 0{,}015$ см².
4. $43{,}6 : 100 = 0{,}436$ м.
5. $17{,}5 : 10 = 1{,}75$ т.
6. 1 м² = 10 000 см²: $140 : 10,000 = 0{,}014$ м².
7. $15 : 1000 = 0{,}015$ км.
8. $8{,}4 : 100 = 0{,}084$ ц.
9. $56{,}1 : 100 = 0{,}561$ га.
10. 1 км = 10 000 дм: $1920 : 10,000 = 0{,}192$ км.
11. $250 : 1000 = 0{,}25$ кг.
12. $60,000 : 1,000,000 = 0{,}06$ км².

Жауабы: 0,78; 0,029; 0,015; 0,436; 1,75; 0,014; 0,015; 0,084; 0,561; 0,192; 0,25; 0,06.

⚠️ Жиі кететін қате. «140 см² = 1,4 м²» — қате! Бір шаршы метрде 100 емес, 10 000 шаршы сантиметр бар ($100 \cdot 100$).

Математика және денсаулық

№ 732

100 г қарақатта 250 мг (миллиграмм) C дәрумені бар (1 мг = 0,001 г). 1 кг қарақатта қанша грамм C дәрумені бар? Егер тәулігіне ересек адамға 0,05 г C дәрумені қажет болса, онда 1 кг қарақат қанша C дәруменін алмастырады?

Қалай ойлаймыз. 1 кг = 1000 г — бұл 100 г-ның 10 еселенгені.

Шешуі.

1. 1 кг-да: $250 \cdot 10 = 2500$ мг.
2. Граммен: $2500 \cdot 0{,}001 = 2{,}5$ г.
3. Тәуліктік мөлшер: $2{,}5 : 0{,}05 = 250 : 5 = 50$.

Жауабы: 2,5 г; 50 тәуліктік мөлшер.

💡 20 г қарақат уыс қарақаттың өзі-ақ C дәруменінің күндік нормасын жабады. Есептеп тексеруге болады: $0{,}05$ г = 50 мг, ал бұл 20 г жидек.

Жаңа тақырыпты меңгеруге дайындаламыз

№ 733

Консерві зауытында 6440 кг қиярдың $\frac{3}{4}$-і тұздалды. Егер бір банкаға 3 кг қияр салынса, тұздалған қияр салу үшін қанша банка керек?

Шешуі.

1. Тұздалғаны: $6440 : 4 \cdot 3 = 4830$ кг.
2. Банка саны: $4830 : 3 = 1610$.

Жауабы: 1610 банка.

№ 734

Екі түрлі тәсілмен: 1) $x$ саны $y$ санынан 9 есе кіші; 2) $a$ саны $b$ санынан 15-ке артық; 3) $m$ саны $n$ санынан 2 есе артық; 4) $c$ саны $d$ санынан 4-ке кем екенін теңдік түрінде жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. «9 есе кіші» — үлкенін бөлеміз немесе кішісін көбейтеміз. «15-ке артық» — қосамыз немесе айырманы табамыз.

Шешуі.

1. $x = y : 9$; $y = 9x$.
2. $a = b + 15$; $a - b = 15$.
3. $m = 2n$; $n = m : 2$.
4. $c = d - 4$; $d - c = 4$.

Жауабы: шешуін қара.

№ 735

Қабырғасының ұзындығы $1\frac{2}{3}$ дм текшенің көлемін табыңдар.

Шешуі. $V = \left(1\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{5}{3} \cdot \frac{5}{3} \cdot \frac{5}{3} = \frac{125}{27} = 4\frac{17}{27}$ дм³.

Жауабы: $4\frac{17}{27}$ дм³.

№ 736

Есепке сұрақ құрастырыңдар және оны шешіңдер: ұзындығы 315 км жолды жүк пойызы 9 сағ, жолаушылар пойызы 7 сағ жүріп өтеді.

Қалай ойлаймыз. Жақсы сұрақ: жолаушылар пойызының жылдамдығы қаншаға артық?

Шешуі.

1. Жүк пойызы: $315 : 9 = 35$ км/сағ.
2. Жолаушылар пойызы: $315 : 7 = 45$ км/сағ.
3. Айырмасы: $45 - 35 = 10$ км/сағ.

Жауабы: жолаушылар пойызының жылдамдығы 10 км/сағ артық.

Жадынама

• 10, 100… санына көбейткенде үтір оңға, бөлгенде солға жылжиды.
• 0,1; 0,01… санына көбейткенде үтір солға, бөлгенде оңға жылжиды.
• $a \cdot 0{,}1 = a : 10$, $a : 0{,}1 = a \cdot 10$.
• Жылжу саны — нөлдер саны (немесе 0,01… санында үтірден кейінгі цифрлар саны).
• Шаршы бірліктерде қадам 10 емес, 100.

Шағын тест