§ 40. Ондық және жай бөлшектерге амалдар қолдану

Математика, 5 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2017). 5 тарау: Ондық бөлшектер және оларға амалдар қолдану. 47–50-беттер.

Нені үйренесің

• Ондық және жай бөлшектер қатар тұрған мысалдарды шығаруды.
• Нені қандай бөлшекке айналдыруды таңдауды: ондық бөлшекке ме, әлде жай бөлшекке ме.
• Қай жай бөлшекті шектелген ондық бөлшек түрінде жазуға болатынын анықтауды.
• «Аралас» бөлшектері бар теңдеулер мен есептерді шығаруды.

Ой қозғау

Бұл — өткен сабақтағы № 733–736 тапсырмалары. Алдымен ойша жауап бер, содан кейін жауабын ашып қара.

• 6440 кг-ның $\frac{3}{4}$ бөлігі қанша? $6440 : 4 \cdot 3 = $ 4830 кг.
• $m$ саны $n$ санынан 2 есе артық екенін екі тәсілмен жаз. $m = 2n$ және $n = m : 2$.
• Қырының ұзындығы $1\frac{2}{3}$ дм текшенің көлемі қанша? $\frac{5}{3} \cdot \frac{5}{3} \cdot \frac{5}{3} = \frac{125}{27} = 4\frac{17}{27}$ дм³.
• 0,7 санын жай бөлшекпен қалай жазамыз? Ал $\frac{2}{5}$ санын ондық бөлшекпен ше? $0{,}7 = \frac{7}{10}$; $\frac{2}{5} = \frac{4}{10} = 0{,}4$.

💡 Соңғы сұрақ — сабақтың басты сұрағы. Ондық бөлшекті жай бөлшекпен әрқашан жазуға болады. Ал керісінше — әрдайым емес!

Тақырыпты талдаймыз

Бүкіл мысалға бір «валюта»

$0{,}8 + \frac{3}{7}$ мысалында бөлшектер әртүрлі жазылған. Оларды «сол күйінде» қосуға болмайды. Бәрін бір түрге келтіру керек.

Таңдау ережесі қарапайым:

1. Жай бөлшекті шектелген ондық бөлшекке айналдыруға болса — ондық бөлшекке ауыстыр. Бағанмен есептеу ыңғайлы.
2. Болмаса ($\frac{3}{7}$ немесе $\frac{1}{3}$ сияқты) — бәрін жай бөлшекке айналдыр.

Қай бөлшектер ондық бөлшектермен «тіл табысады»

$\frac{3}{5}$ бөлшегін ондыққа айналдыру оңай: $\frac{3}{5} = \frac{6}{10} = 0{,}6$. Ал $\frac{1}{3}$ — жоқ: $1 : 3 = 0{,}333…$, бөлу ешқашан бітпейді.

Сыры қысқармайтын бөлшектің бөлімінде. Егер ол тек 2 және 5 көбейткіштерінен тұрса (2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 40, 50…), бөлшек шектелген ондық бөлшекке айналады. Ал 3, 7, 11 және басқа жай көбейткіштер болса — айналмайды.

📌 $\frac{1}{2} = 0{,}5$; $\frac{1}{4} = 0{,}25$; $\frac{3}{4} = 0{,}75$; $\frac{1}{5} = 0{,}2$; $\frac{1}{8} = 0{,}125$. Осы жұптарды жатқа білген пайдалы.

Мысалды толық талдап көрейік

$63{,}9 \cdot 1\frac{2}{3} - \left(5\frac{1}{7} : 20 + 4\frac{1}{7}\right)$ өрнегінің мәнін табайық. Мұнда жетіден бір және үштен бір бөліктер бар — олардан ондық бөлшек шықпайды. Демек, жай бөлшектермен жұмыс істейміз, ал соңында, шықса, ондық бөлшекке қайта ораламыз.

Тағы бір мысал: $(19{,}06 \cdot 12{,}6 - 50{,}195 : 1{,}25) : 30 + 8{,}7$. Амалдарды ретімен орындаймыз:

1. $19{,}06 \cdot 12{,}6 = 240{,}156$.
2. $50{,}195 : 1{,}25 = 5019{,}5 : 125 = 40{,}156$.
3. $240{,}156 - 40{,}156 = 200$.
4. $200 : 30 = \frac{20}{3} = 6\frac{2}{3}$.
5. $6\frac{2}{3} + 8{,}7 = 6\frac{2}{3} + 8\frac{7}{10} = 14\frac{20 + 21}{30} = 15\frac{11}{30}$.

Жауабы: $15\frac{11}{30}$. Мұнда ондық бөлшектермен есептедік, ал соңғы қадамда $6\frac{2}{3}$ ондыққа айналмағандықтан, жай бөлшекке көштік.

⚠️ Жиі кететін қате. $\frac{1}{3}$ бөлшегін 0,3 деп жазуға тырысады. Бірақ $0{,}3 = \frac{3}{10}$, ал бұл үштен бірден кіші. Жауап қате шығады. Бөлшек дәл айналмаса — оны жай бөлшек күйінде қалдыр.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Әр мысалдың алдында баладан сұраңыз: «Қай түрге ауыстырасың және неге?» Бала бөлімдерге қарасын. Бұл тез есептеуден маңыздырақ.

Тағы бір нәрсе: амалдардың қасиеттері (ауыстырымдылық, терімділік, үлестірімділік) ондық бөлшектерге де жарайды. Оларды есептеуді жеңілдету үшін қолдануға болады.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Мысалда ондық та, жай да бөлшектер болса, не істейміз? Оларды бір түрге келтіреміз.
• Қашан ондық бөлшекке айналдырамыз? Жай бөлшекті шектелген ондық бөлшекпен жазуға болғанда: қысқармайтын бөлшектің бөлімінде тек 2 және 5 көбейткіштері болады.
• Ал қашан жай бөлшекке? Кемінде бір жай бөлшек шектелген ондық бөлшекке айналмаса ($\frac{1}{3}$, $\frac{2}{7}$, $\frac{5}{6}$…).
• Қосу және көбейту қасиеттері ондық бөлшектерге жарай ма? Иә, натурал сандар мен жай бөлшектердегідей қасиеттер.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 737

Есептеңдер: 1) $0{,}8 + \frac{3}{7}$; 2) $3\frac{1}{3} - 2{,}5$; 3) $4{,}9 + 1\frac{1}{9}$; 4) $26\frac{1}{11} - 5{,}7$; 5) $40{,}8 + 15\frac{2}{3}$; 6) $18\frac{1}{13} - 9{,}5$.

Қалай ойлаймыз. Барлық жерде «қолайсыз» бөлімдер бар (7, 3, 9, 11, 13). Демек, ондық бөлшекті жай бөлшекке айналдырамыз.

Шешуі.

1. $\frac{4}{5} + \frac{3}{7} = \frac{28 + 15}{35} = \frac{43}{35} = 1\frac{8}{35}$
2. $3\frac{1}{3} - 2\frac{1}{2} = 3\frac{2}{6} - 2\frac{3}{6} = \frac{5}{6}$
3. $4\frac{9}{10} + 1\frac{1}{9} = 5\frac{81 + 10}{90} = 5\frac{91}{90} = 6\frac{1}{90}$
4. $26\frac{1}{11} - 5\frac{7}{10} = 26\frac{10}{110} - 5\frac{77}{110} = 25\frac{120}{110} - 5\frac{77}{110} = 20\frac{43}{110}$
5. $40\frac{4}{5} + 15\frac{2}{3} = 55\frac{12 + 10}{15} = 55\frac{22}{15} = 56\frac{7}{15}$
6. $18\frac{1}{13} - 9\frac{1}{2} = 18\frac{2}{26} - 9\frac{13}{26} = 17\frac{28}{26} - 9\frac{13}{26} = 8\frac{15}{26}$

Жауабы: $1\frac{8}{35}$; $\frac{5}{6}$; $6\frac{1}{90}$; $20\frac{43}{110}$; $56\frac{7}{15}$; $8\frac{15}{26}$.

📕 Қазақша басылымда 6) тармақ $18\frac{1}{13} - 9{,}5$ болып басылған (орысша нұсқада — $18\frac{5}{13}$). Кітаптың соңындағы жауапта $8\frac{23}{26}$ тұр, ол $18\frac{5}{13} - 9{,}5$ үшін дұрыс. Қазақша шарт бойынша шығатыны — $8\frac{15}{26}$.

№ 738

Амалды орындаңдар: 1) $4\frac{1}{9} \cdot 0{,}9$; 2) $27{,}2 \cdot \frac{2}{17}$; 3) $2\frac{1}{3} \cdot 1{,}2$; 4) $0{,}6 : \frac{9}{25}$; 5) $\frac{8}{21} : 0{,}5$; 6) $3{,}5 : 4\frac{2}{3}$.

Қалай ойлаймыз. Көбейту мен бөлуде бәрін жай бөлшекпен жазып, қысқартқан ыңғайлы.

Шешуі.

1. $\frac{37}{9} \cdot \frac{9}{10} = \frac{37}{10} = 3{,}7$
2. $27{,}2 \cdot 2 : 17 = 54{,}4 : 17 = 3{,}2$
3. $\frac{7}{3} \cdot \frac{6}{5} = \frac{14}{5} = 2{,}8$
4. $\frac{3}{5} \cdot \frac{25}{9} = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3}$
5. $\frac{8}{21} \cdot 2 = \frac{16}{21}$
6. $\frac{7}{2} \cdot \frac{3}{14} = \frac{3}{4}$

Жауабы: 3,7; 3,2; 2,8; $1\frac{2}{3}$; $\frac{16}{21}$; $\frac{3}{4}$.

№ 739

Өрнектің мәнін табыңдар: 1) $11{,}9 - 1\frac{4}{5} \cdot 1\frac{1}{3}$; 2) $16\frac{1}{2} : 11 + 9\frac{1}{6}$; 3) $\left(83{,}2 - 80\frac{1}{6}\right) \cdot \frac{3}{13}$; 4) $\left(0{,}28 + 1\frac{1}{3}\right) : \frac{11}{30}$.

Қалай ойлаймыз. Амалдардың орындалу реті әдеттегідей. Әр амалда бөлшектің ыңғайлы түрін таңдаймыз.

Шешуі.

1. $\frac{9}{5} \cdot \frac{4}{3} = \frac{12}{5} = 2{,}4$; $11{,}9 - 2{,}4 = 9{,}5$.
2. $\frac{33}{2} : 11 = \frac{3}{2}$; $1\frac{1}{2} + 9\frac{1}{6} = 10\frac{4}{6} = 10\frac{2}{3}$.
3. $83\frac{1}{5} - 80\frac{1}{6} = 3\frac{1}{30} = \frac{91}{30}$; $\frac{91}{30} \cdot \frac{3}{13} = \frac{7}{10}$.
4. $\frac{7}{25} + \frac{4}{3} = \frac{21 + 100}{75} = \frac{121}{75}$; $\frac{121}{75} \cdot \frac{30}{11} = \frac{22}{5} = 4{,}4$.

Жауабы: 9,5; $10\frac{2}{3}$; $\frac{7}{10}$; 4,4.

№ 740

Теңдеуді шешіңдер: 1) $x + 8\frac{1}{11} = 16{,}1$; 2) $y - 9{,}7 = 8\frac{2}{3}$; 3) $43\frac{2}{9} - z = 26{,}5$; 4) $100{,}3 + x = 102\frac{1}{6}$.

Қалай ойлаймыз. Белгісіз қосылғыш = қосынды − белгілі қосылғыш. Азайғыш = айырма + азайтқыш. Азайтқыш = азайғыш − айырма.

Шешуі.

1. $x = 16\frac{1}{10} - 8\frac{1}{11} = 8\frac{11 - 10}{110} = 8\frac{1}{110}$
2. $y = 8\frac{2}{3} + 9\frac{7}{10} = 17\frac{20 + 21}{30} = 18\frac{11}{30}$
3. $z = 43\frac{2}{9} - 26\frac{1}{2} = 43\frac{4}{18} - 26\frac{9}{18} = 16\frac{13}{18}$
4. $x = 102\frac{1}{6} - 100\frac{3}{10} = 2\frac{5}{30} - \frac{9}{30} = 1\frac{26}{30} = 1\frac{13}{15}$

Жауабы: $8\frac{1}{110}$; $18\frac{11}{30}$; $16\frac{13}{18}$; $1\frac{13}{15}$.

№ 741

Теңдеудің түбірін табыңдар: 1) $2{,}8x = 9\frac{1}{3}$; 2) $x : 7{,}5 = \frac{6}{17}$; 3) $4\frac{1}{9} : x = 7{,}4$; 4) $9\frac{2}{11}x = 10{,}1$.

Қалай ойлаймыз. Белгісіз көбейткіш = көбейтінді : көбейткіш. Бөлінгіш = бөлінді · бөлгіш. Бөлгіш = бөлінгіш : бөлінді.

Шешуі.

1. $x = \frac{28}{3} : \frac{28}{10} = \frac{28}{3} \cdot \frac{10}{28} = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3}$
2. $x = \frac{6}{17} \cdot \frac{15}{2} = \frac{45}{17} = 2\frac{11}{17}$
3. $x = \frac{37}{9} : \frac{74}{10} = \frac{37}{9} \cdot \frac{10}{74} = \frac{5}{9}$
4. $x = \frac{101}{10} : \frac{101}{11} = \frac{11}{10} = 1{,}1$

Жауабы: $3\frac{1}{3}$; $2\frac{11}{17}$; $\frac{5}{9}$; 1,1.

№ 742

1) Бірінші сан $3\frac{3}{7}$, екінші сан бірінші саннан 3,5 есе артық. Олардың қосындысының мәнін табыңдар. 2) Бірінші сан 4,9, екінші сан бірінші саннан $2\frac{1}{3}$ есе кем. Бірінші сан екінші саннан қанша артық?

Шешуі.

1. Екінші сан: $\frac{24}{7} \cdot \frac{7}{2} = 12$. Қосынды: $3\frac{3}{7} + 12 = 15\frac{3}{7}$.
2. Екінші сан: $4{,}9 : \frac{7}{3} = \frac{49}{10} \cdot \frac{3}{7} = \frac{21}{10} = 2{,}1$. Айырма: $4{,}9 - 2{,}1 = 2{,}8$.

Жауабы: 1) $15\frac{3}{7}$; 2) 2,8-ге артық.

№ 743

1) Үшбұрыштың бір қабырғасының ұзындығы 8,7 см, екіншісінікі 6,8 см, үшіншісінікі $5\frac{4}{7}$ см. Үшбұрыштың периметрін табыңдар. 2) Тікбұрышты параллелепипедтің ұзындығы $4\frac{2}{3}$ см, ені $\frac{4}{7}$ см, биіктігі 1,5 см. Көлемін табыңдар.

Шешуі.

1. $8{,}7 + 6{,}8 = 15{,}5$; $15\frac{1}{2} + 5\frac{4}{7} = 20\frac{7 + 8}{14} = 21\frac{1}{14}$ см.
2. $\frac{14}{3} \cdot \frac{4}{7} \cdot \frac{3}{2} = \frac{14 \cdot 4 \cdot 3}{3 \cdot 7 \cdot 2} = 4$ см³.

Жауабы: 1) $21\frac{1}{14}$ см; 2) 4 см³.

B деңгейі

№ 744

Өрнектің мәнін табыңдар: 1) $0{,}75a - b : 8\frac{1}{11}$, мұндағы $a = 11\frac{1}{3}$ және $b = 8{,}9$; 2) $15\frac{1}{6} : x + 0{,}13y$, мұндағы $x = 18{,}2$ және $y = 7\frac{1}{13}$; 3) $n : 21\frac{6}{23} - \frac{1}{47}m$, мұндағы $n = 97{,}8$ және $m = 31\frac{1}{3}$; 4) $c : 1\frac{3}{7} + d : 8\frac{15}{19}$, мұндағы $c = 67\frac{1}{7}$ және $d = 33{,}4$.

Қалай ойлаймыз. Сандарды қойып, амалдармен есептейміз. Қысқартқанда жиі «дөңгелек» сандар шығады.

Шешуі.

1. $\frac{3}{4} \cdot \frac{34}{3} = 8{,}5$; $\frac{89}{10} : \frac{89}{11} = 1{,}1$; $8{,}5 - 1{,}1 = 7{,}4$.
2. $\frac{91}{6} : \frac{182}{10} = \frac{91}{6} \cdot \frac{10}{182} = \frac{5}{6}$; $\frac{13}{100} \cdot \frac{92}{13} = \frac{23}{25}$; $\frac{5}{6} + \frac{23}{25} = \frac{125 + 138}{150} = 1\frac{113}{150}$.
3. $\frac{978}{10} : \frac{489}{23} = \frac{978}{10} \cdot \frac{23}{489} = 4{,}6$; $\frac{1}{47} \cdot \frac{94}{3} = \frac{2}{3}$; $4\frac{3}{5} - \frac{2}{3} = 3\frac{14}{15}$.
4. $\frac{470}{7} : \frac{10}{7} = 47$; $\frac{334}{10} : \frac{167}{19} = 3{,}8$; $47 + 3{,}8 = 50{,}8$.

Жауабы: 7,4; $1\frac{113}{150}$; $3\frac{14}{15}$; 50,8.

📕 Кітаптың соңындағы жауапта 744-жаттығудың 4) тармағына 43,2 деп жазылған. Ал шарт бойынша $47 + 3{,}8 = 50{,}8$ шығады; 43,2 саны $47 - 3{,}8$ айырмасына тең, яғни жауап «+» таңбасы үшін емес.

№ 745

Амалдарды орындаңдар: 1) $\left(23\frac{1}{21} : 1\frac{3}{7} - 5{,}5\right) : 3{,}19 - 1\frac{17}{18}$; 2) $\left(64\frac{1}{11} : 4\frac{6}{11} - 0{,}8\right) : 9{,}5 + 108{,}2$.

Қалай ойлаймыз. Ұзын тізбек. Бастысы — асықпау және қай сандардың қысқаратынына қарау (319 және 3,19 — кездейсоқ емес!).

Шешуі.

1. Жоғарыдағы қадамдарды қара: $1\frac{7}{18}$.
2. $64\frac{1}{11} : 4\frac{6}{11} = \frac{705}{11} \cdot \frac{11}{50} = 14{,}1$; $14{,}1 - 0{,}8 = 13{,}3$; $13{,}3 : 9{,}5 = 1{,}4$; $1{,}4 + 108{,}2 = 109{,}6$.

Жауабы: 1) $1\frac{7}{18}$; 2) 109,6.

№ 746

Теңдеуді шешіңдер: 1) $2\frac{4}{7} : \left(0{,}5x - \frac{23}{35}\right) = 7{,}5$; 2) $\left(1\frac{2}{7}y - \frac{1}{2}\right) : 2{,}5 = 5{,}2$; 3) $\left(\frac{1}{4} + \frac{3}{4}x\right) : 0{,}45 = \frac{25}{36}$; 4) $22 \cdot \left(\frac{17}{26}x - \frac{3}{4}\right) = 5\frac{1}{13}$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен бүкіл жақшаны, содан кейін әріпті қосылғышты, сосын әріптің өзін табамыз.

Шешуі.

1. Жақша $= \frac{18}{7} : \frac{15}{2} = \frac{12}{35}$; $0{,}5x = \frac{12}{35} + \frac{23}{35} = 1$; $x = 2$.
2. Жақша $= 5{,}2 \cdot 2{,}5 = 13$; $\frac{9}{7}y = 13{,}5 = \frac{27}{2}$; $y = \frac{27}{2} \cdot \frac{7}{9} = \frac{21}{2} = 10{,}5$.
3. Жақша $= \frac{25}{36} \cdot \frac{9}{20} = \frac{5}{16}$; $\frac{3}{4}x = \frac{5}{16} - \frac{4}{16} = \frac{1}{16}$; $x = \frac{1}{16} \cdot \frac{4}{3} = \frac{1}{12}$.
4. Жақша $= \frac{66}{13} : 22 = \frac{3}{13}$; $\frac{17}{26}x = \frac{3}{13} + \frac{3}{4} = \frac{12 + 39}{52} = \frac{51}{52}$; $x = \frac{51}{52} \cdot \frac{26}{17} = \frac{3}{2} = 1{,}5$.

Жауабы: 2; 10,5; $\frac{1}{12}$; 1,5.

№ 747

Үшбұрыштың бір қабырғасы 7,4 дм, екіншісі одан 32 см артық, үшіншісі алғашқы екеуінің қосындысының $\frac{4}{5}$ бөлігін құрайды. Үшбұрыштың периметрін табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Алдымен бірліктерді бірдей етеміз: 32 см = 3,2 дм.

Шешуі.

1. Екінші қабырға: $7{,}4 + 3{,}2 = 10{,}6$ дм.
2. Екеуінің қосындысы: $7{,}4 + 10{,}6 = 18$ дм. Үшінші қабырға: $18 \cdot \frac{4}{5} = 14{,}4$ дм.
3. Периметрі: $18 + 14{,}4 = 32{,}4$ дм.

Жауабы: 32,4 дм.

№ 748

Үшбұрыштың периметрі 1,25 м. Бір қабырғасы 4,3 дм, екіншісі біріншісінен $1\frac{2}{3}$ см кем. Үшбұрыштың үшінші қабырғасының ұзындығын табыңдар және оны метрмен өрнектеңдер.

Қалай ойлаймыз. Бәрін сантиметрге айналдырамыз: 1,25 м = 125 см, 4,3 дм = 43 см.

Шешуі.

1. Екінші қабырға: $43 - 1\frac{2}{3} = 41\frac{1}{3}$ см.
2. Үшінші қабырға: $125 - 43 - 41\frac{1}{3} = 40\frac{2}{3}$ см.
3. Метрмен: $40\frac{2}{3} : 100 = \frac{122}{3} \cdot \frac{1}{100} = \frac{122}{300} = \frac{61}{150}$ м.

Жауабы: $40\frac{2}{3}$ см $= \frac{61}{150}$ м.

C деңгейі

№ 749

Сырлаушыға 10,2 кг жасыл, жасылдан $4\frac{1}{3}$ кг артық қызыл сыр, жасыл мен қызылды бірге есептегенде одан $1\frac{2}{3}$ кг кем сары сыр қажет болды. Сырлаушы қанша сыр жұмсайды?

Шешуі.

1. Қызыл: $10\frac{1}{5} + 4\frac{1}{3} = 14\frac{8}{15}$ кг.
2. Қызыл мен жасыл: $14\frac{8}{15} + 10\frac{3}{15} = 24\frac{11}{15}$ кг.
3. Сары: $24\frac{11}{15} - 1\frac{10}{15} = 23\frac{1}{15}$ кг.
4. Барлығы: $24\frac{11}{15} + 23\frac{1}{15} = 47\frac{12}{15} = 47\frac{4}{5} = 47{,}8$ кг.

Жауабы: 47,8 кг.

№ 750

Қоймаға бірінші күні $a$ т картоп, екінші күні бірінші күнге қарағанда $8\frac{3}{7}$ т картоп артық, үшінші күні екінші күні әкелінген картоптың жартысына тең картоп әкелінді. Үш күнде қоймаға неше тонна картоп әкелінді. Есептің берілгені бойынша өрнек құрастырып, оның $a = 19{,}5$ болғандағы мәнін табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Әр күнді әріппен жазып, қосамыз.

Шешуі.

1. Өрнек: $a + \left(a + 8\frac{3}{7}\right) + \left(a + 8\frac{3}{7}\right) : 2$.
2. Екінші күні: $19\frac{1}{2} + 8\frac{3}{7} = 27\frac{13}{14}$ т.
3. Үшінші күні: $27\frac{13}{14} : 2 = \frac{391}{14} \cdot \frac{1}{2} = 13\frac{27}{28}$ т.
4. Барлығы: $19\frac{14}{28} + 27\frac{26}{28} + 13\frac{27}{28} = 59\frac{67}{28} = 61\frac{11}{28}$ т.

Жауабы: $a + \left(a + 8\frac{3}{7}\right) + \left(a + 8\frac{3}{7}\right) : 2$; $61\frac{11}{28}$ т.

№ 751

Бір қапшық ұнның салмағы $b$ кг. Қаптан алдымен $c$ кг, сосын одан 1,2 кг кем ұн алынды. Қапта қанша килограмм ұн қалғанын көрсететін әріпті өрнек құрастырыңдар және $b = 20\frac{7}{11}$; $c = 9{,}4$ болғандағы өрнектің мәнін табыңдар.

Шешуі.

1. Өрнек: $b - c - (c - 1{,}2)$.
2. Екінші рет алынғаны: $9{,}4 - 1{,}2 = 8{,}2$ кг; барлығы $9{,}4 + 8{,}2 = 17{,}6$ кг.
3. Қалғаны: $20\frac{7}{11} - 17\frac{3}{5} = 20\frac{35}{55} - 17\frac{33}{55} = 3\frac{2}{55}$ кг.

Жауабы: $b - c - (c - 1{,}2)$; $3\frac{2}{55}$ кг.

📕 Кітаптың соңындағы жауапта 751-жаттығуға $3\frac{2}{5}$ кг деп жазылған, ал $b = 20\frac{7}{11}$ болғанда дұрыс жауап — $3\frac{2}{55}$ кг. $3\frac{2}{5}$ саны $b = 21$ болғанда шығар еді.

№ 752

$a = 25{,}08$ және $c = 95$ болғанда $a \cdot \frac{50}{57} : b + c$ өрнегінің мәні шаршының ауданына тең болса, онда шаршының қабырғасының ұзындығын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Күрделілігі жоғары есеп. Алдымен белгілісін есептейміз: $a \cdot \frac{50}{57}$. Шартта $b$ саны берілмеген — шаршының ауданы «әдемі» болу үшін ол қандай болатынын қарайық.

Шешуі.

1. $25{,}08 \cdot \frac{50}{57} = \frac{25{,}08 \cdot 50}{57} = \frac{1254}{57} = 22$.
2. Өрнек $22 : b + 95$ -ке тең.
3. 95-тен үлкен ең жақын толық шаршы — $100 = 10 \cdot 10$. Сонда $22 : b = 5$ және $b = 4{,}4$.
4. Шаршының қабырғасы: 10 (ұзындық бірлігі).

Жауабы: $b = 4{,}4$ болғанда ауданы 100, шаршының қабырғасы 10.

📕 752-жаттығу шартында $b$ санының мәні берілмеген. Біз ауданы 100 деп алып, $b = 4{,}4$ деп шештік.

№ 753

Егер $a$-ның мәні 10 санының бесінші дәрежесіне, $b = 0{,}125$, $c = 5\frac{5}{24}$, $x = 12{,}56$ және $y = 1\frac{12}{55}$, $z$-тің мәні 3 санының кубына тең болса, $a \cdot b : c - x : y + z$ өрнегінің мәнін табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Алдымен $a$ мен $z$ табамыз, содан кейін амалдардың реті бойынша есептейміз.

Шешуі.

1. $a = 100,000$, $z = 27$.
2. $100,000 \cdot 0{,}125 = 12,500$; $12,500 : \frac{125}{24} = 12,500 \cdot \frac{24}{125} = 2400$.
3. $12{,}56 : \frac{67}{55} = \frac{314}{25} \cdot \frac{55}{67} = \frac{3454}{335} = 10\frac{104}{335}$.
4. $2400 - 10\frac{104}{335} + 27 = 2416\frac{231}{335}$.

Жауабы: $2416\frac{231}{335}$ (шамамен 2416,69).

№ 754

Егер $a = 4\frac{17}{24}$, $b = 0{,}225$, $c = 5{,}4$, $x = 4{,}5$ және $y = 22\frac{5}{24}$ болса, $100 - (a \cdot b \cdot c : x + y)$ өрнегінің мәнін табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Бәрін жай бөлшекке айналдырамыз: $a = \frac{113}{24}$, $b = \frac{9}{40}$, $c = \frac{27}{5}$, $x = \frac{9}{2}$, $y = \frac{533}{24}$. Қысқартуға болатынын қысқартамыз.

Шешуі.

1. $a \cdot b = \frac{113}{24} \cdot \frac{9}{40} = \frac{339}{320}$.
2. $\frac{339}{320} \cdot \frac{27}{5} = \frac{9153}{1600}$.
3. $\frac{9153}{1600} : \frac{9}{2} = \frac{1017}{800}$.
4. $\frac{1017}{800} + 22\frac{5}{24} = 23\frac{1151}{2400}$.
5. $100 - 23\frac{1151}{2400} = 76\frac{1249}{2400}$.

Жауабы: $76\frac{1249}{2400}$ (шамамен 76,52).

📕 Қазақша басылымда $a = 4\frac{17}{24}$ және $y = 22\frac{5}{24}$ болып басылған. Орысша нұсқада сандар «әдемі» шығатындай басқаша берілген ($a = 4\frac{17}{27}$, $y = 22\frac{3}{4}$, жауабы 76). Қазақша шарт бойынша жауап $\frac{1249}{2400}$ бөлшегімен шығады, сондықтан шарттағы сандарда қате болуы мүмкін.

Жаңа тақырыпты меңгеруге дайындаламыз

№ 755

Амалдарды орындаңдар: 1) $2\frac{49}{72} \cdot 15 - 25\frac{7}{12}$; 2) $24\frac{13}{16} + 8\frac{3}{4} \cdot 11$; 3) $5\frac{11}{20} \cdot 8 + 6\frac{3}{10}$; 4) $7\frac{83}{90} \cdot 27 - 156\frac{4}{15}$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен көбейту. Аралас санды бұрыс бөлшекке айналдырып, қысқартамыз.

Шешуі.

1. $\frac{193}{72} \cdot 15 = \frac{965}{24} = 40\frac{5}{24}$; $40\frac{5}{24} - 25\frac{14}{24} = 14\frac{15}{24} = 14\frac{5}{8}$.
2. $\frac{35}{4} \cdot 11 = 96\frac{1}{4}$; $24\frac{13}{16} + 96\frac{4}{16} = 120\frac{17}{16} = 121\frac{1}{16}$.
3. $\frac{111}{20} \cdot 8 = 44{,}4$; $44{,}4 + 6{,}3 = 50{,}7$.
4. $\frac{713}{90} \cdot 27 = \frac{2139}{10} = 213{,}9$; $213\frac{27}{30} - 156\frac{8}{30} = 57\frac{19}{30}$.

Жауабы: $14\frac{5}{8}$; $121\frac{1}{16}$; 50,7; $57\frac{19}{30}$.

№ 756

Суға түскен 1 г мұнай ұзындығы $4\frac{1}{14}$ м, ені $2\frac{1}{3}$ м болатын тіктөртбұрыштың ауданына тең аумақты жабады. 15 г мұнай су бетінің қанша ауданын жабады?

Шешуі.

1. 1 г-нан: $\frac{57}{14} \cdot \frac{7}{3} = \frac{19}{2} = 9{,}5$ м².
2. 15 г-нан: $9{,}5 \cdot 15 = 142{,}5$ м².

Жауабы: 142,5 м².

🌟 Он бес грамм — бар болғаны бір қасық мұнай. Ал дақ ауданы 140 м² болатын бүкіл бір сынып сияқты! Сондықтан мұнайдың төгілуі Каспий үшін өте қауіпті.

№ 757

Адам минутына 12–20 рет тыныс алады. Ал жылқы минутына 12, тышқан 60, канар бұлбұлы 108 рет тыныс алады. Көктемде тыныс алу үштен бір есе көбейеді. Көктемдегі адамның, жылқының, тышқанның, канар бұлбұлының орташа тыныс алуын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. «Үштен бір есе көбейеді» — санның $\frac{1}{3}$ бөлігін қосамыз, яғни $\frac{4}{3}$-ке көбейтеміз.

Шешуі.

1. Адам: $12 \cdot \frac{4}{3} = 16$; $20 \cdot \frac{4}{3} = 26\frac{2}{3}$ — 16-дан шамамен 27 ретке дейін.
2. Жылқы: $12 \cdot \frac{4}{3} = 16$.
3. Тышқан: $60 \cdot \frac{4}{3} = 80$.
4. Канар бұлбұлы: $108 \cdot \frac{4}{3} = 144$.

Жауабы: адам 16–$26\frac{2}{3}$ (шамамен 27); жылқы 16; тышқан 80; канар бұлбұлы 144.

Жадынама

• Алдымен бөлімдерге қара — содан кейін бөлшектің түрін таңда.
• Бөлім тек екі мен бестен тұрса → ондық; болмаса → жай бөлшек.
• Көбейту мен бөлуде жай бөлшек ыңғайлы: бәрі қысқарады.
• Соңында жауапты қайтадан ондық бөлшекке айналдыруға болады, егер шықса.
• Ұзындық бірліктерін есептеуден бұрын ауыстыр: 32 см = 3,2 дм.

Шағын тест