§ 41. Сандарды дөңгелектеу

Математика, 5 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2017). 5 тарау: Ондық бөлшектер және оларға амалдар қолдану. 51–54-беттер.

Нені үйренесің

• Санның «кемімен» және «артығымен» алынған жуық мәні дегенді түсінуді.
• $\approx$ («шамамен тең») белгісін оқуды және жазуды.
• Сандарды ондыққа, жүздікке, мыңдыққа — және бүтінге, ондық үлеске, жүздік үлеске дейін дөңгелектеуді.
• Жауапты дәл есептемей, ойша бағалауды.

Ой қозғау

Бұл — өткен сабақтағы № 755–757 тапсырмалары, бір мезгілде бөлшектермен қолымызды жаттықтырып аламыз.

• $5\frac{11}{20} \cdot 8 + 6\frac{3}{10}$ неге тең? $5{,}55 \cdot 8 = 44{,}4$; $44{,}4 + 6{,}3 = $ 50,7.
• Суға түскен 1 г мұнай ұзындығы $4\frac{1}{14}$ м, ені $2\frac{1}{3}$ м дақ жасайды. 15 г қанша ауданды жабады? Бір дақ: $\frac{57}{14} \cdot \frac{7}{3} = 9{,}5$ м². Он бес грамм: $9{,}5 \cdot 15 = $ 142,5 м².
• Жылқы минутына 12 рет тыныс алады, ал көктемде үштен бір есе көп. Көктемде неше рет? 12-нің үштен бірі — 4. $12 + 4 = $ 16.
• Ал канар бұлбұлы: 108 рет, көктемде үштен бір есе көп? $108 : 3 = 36$, $108 + 36 = $ 144.

💡 Адам минутына 12–20 рет тыныс алады, ал көктемде — 16-дан $26\frac{2}{3}$ ретке дейін. Тыныстың үштен екі бөлігі болмайды ғой! Міне, дөңгелектеу осы жерде керек: «шамамен 27» дейді.

Тақырыпты талдаймыз

Дәл ме, әлде шамамен бе?

Сен кесіндіні сызғышпен өлшедің: 3,4 см. «Неше сантиметр?» деп сұраса, «шамамен үш» дейсің. Бұл — жуық мән. Өмірде дерлік солай: бағалар, қашықтықтар, бой, жолдағы уақыт — бәрі шамамен.

3,4 саны 3 пен 4 аралығында тұр. Сонда:

• 3 — кемімен алынған жуық мән (шын мәнінен кіші);
• 4 — артығымен алынған жуық мән (шын мәнінен үлкен).

📌 Егер $a < x < b$ болса, онда $a$ саны $x$-тің кемімен алынған жуық мәні, ал $b$ артығымен алынған жуық мәні болып табылады.

Қай шетке жақын?

Сәулеге қара: 3 пен 4 арасында 0,1-ден он кішкентай қадам бар. A нүктесін бас та, әр шетке дейін неше қадам екенін санап көр.

3-ке жақын болғандықтан, $3{,}4 \approx 3$ деп жазады және «үш бүтін оннан төрт шамамен үшке тең» деп оқиды. Бұл — бүтінге дейін дөңгелектеу.

Енді өзің көр. Алаңның ұзындығы — 58,7 м. Нүктені 58,7-ге қойып, ұлдардың қайсысы шындыққа жақын екенін шеш.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Дөңгелектеу — «құйрығын лақтырып тастау» емес, «ең жақын дөңгелек санды табу». Бала шатасса, екі дөңгелек сан арасындағы кесіндіні сызып, сұраңыз: «Қайсысына жақын?»

Дөңгелектеудің үш ережесі

📌 1) Разрядты таңдаймыз. Осы разрядтан кейін тұрған цифрларды нөлмен ауыстырамыз, ал егер олар үтірден кейін болса — жай ғана алып тастаймыз. 2) Бірінші алынып тасталған цифрға қараймыз. Егер ол 0, 1, 2, 3 немесе 4 болса — разряд цифры өзгермейді. 3) Егер ол 5, 6, 7, 8 немесе 9 болса — разряд цифры 1-ге артады.

Неге дәл бес? Өйткені 5 — дәл ортасы: 0-ден 10-ға дейін төмен қарай да, жоғары қарай да қадам бірдей. Бұл жағдайда жоғары қарай жүруге келістік.

12 845 санымен байқап көрейік

• Жүздікке дейін. Жүздіктер разрядында — 8. Одан кейін 4 және 5 тұр. Бірінші алынған цифр — 4, ол 5-тен кіші. Сегізді қозғамаймыз: $12,845 \approx 12,800$.
• Мыңдыққа дейін. Мыңдықтар разрядында — 2. Бірінші алынған цифр — 8, ол 5-тен үлкен. Екі үшке айналады: $12,845 \approx 13,000$.

Ал енді 138,264 бөлшегі

Қажетті разрядтан кейін сызық жүргізіп, сызықтың арғы жағындағы бірінші цифрға қарау ыңғайлы:

• бүтінге дейін: $138{,}|264 \approx 138$ (сызықтан кейін 2);
• ондық үлеске дейін: $138{,}2|64 \approx 138{,}3$ (сызықтан кейін 6);
• жүздік үлеске дейін: $138{,}26|4 \approx 138{,}26$ (сызықтан кейін 4).

⚠️ Жиі кететін қате. 12 845 санын мыңдыққа «тізбекпен» дөңгелектейді: алдымен 12 850, сосын 12 900, сосын 13 000. Мұнда жауап кездейсоқ дұрыс шықты, ал 1449 санымен қиын болады: 1450 → 1500, бірақ 1449 саны 1400-ге жақын! Тек бірінші алынған цифрға қара.

⚠️ Жиі кететін қате. Бүтін санды дөңгелектегенде цифрларды «алып тастамайды», нөлмен ауыстырады. $12,845 \approx 13$ — бұл қате, дұрысы $13,000$.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Кемімен және артығымен алынған жуық мәнге мысал келтір. Бой 1 м 47 см 1 м 40 см мен 1 м 50 см аралығында. 140 см — кемімен, 150 см — артығымен. Немесе: $2 < 2{,}7 < 3$, онда 2 — кемімен, 3 — артығымен.
• Бүтінге, жүздікке, жүздік үлеске дейін дөңгелектеуге мысал келтір. Қандай ережелерді қолдандың? $16{,}7 \approx 17$ (сызықтан кейін 7 ≥ 5, арттырдық); $4,238 \approx 4,200$ (жүздіктерден кейін 3 < 5, қалдырдық, қалғаны — нөлдер); $0{,}583 \approx 0{,}58$ (сызықтан кейін 3 < 5, қалдырдық, құйрығын алып тастадық).

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 758

Жуықтау теңдіктерін оқыңдар. Берілген сандар қандай разрядқа дейін дөңгелектелген: 1) $356,082 \approx 356,080$; $356,082 \approx 356,100$; $356,082 \approx 356,000$; $356,082 \approx 360,000$; $356,082 \approx 400,000$. 2) $75{,}0395 \approx 80$; $75{,}0395 \approx 75$; $75{,}0395 \approx 75{,}0$; $75{,}0395 \approx 75{,}04$; $75{,}0395 \approx 75{,}040$.

Қалай ойлаймыз. «Тірі» цифрлардың қай жерде бітетінін қараймыз. Нөлдердің алдындағы соңғы мәнді цифр (немесе үтірден кейінгі соңғы цифр) разрядты көрсетеді.

Шешуі.

1. «Шамамен тең» деп оқимыз. $356,080$ — ондыққа дейін; $356,100$ — жүздікке дейін; $356,000$ — мыңдыққа дейін; $360,000$ — он мыңдыққа дейін; $400,000$ — жүз мыңдыққа дейін.
2. $80$ — ондыққа дейін; $75$ — бүтінге (бірлікке) дейін; $75{,}0$ — ондық үлеске дейін; $75{,}04$ — жүздік үлеске дейін; $75{,}040$ — мыңдық үлеске дейін.

Жауабы: 1) ондық, жүздік, мыңдық, он мыңдық, жүз мыңдық; 2) ондық, бірлік, ондық үлес, жүздік үлес, мыңдық үлес.

💡 Байқадың ба? $75{,}0$ және $75$ — бір сан, бірақ жазылуы басқа. Үтірден кейінгі нөл «ондық үлеске дейін дөңгелектедік» дейді. Ал $75{,}040$ — мыңдық үлеске дейін: онда үтірден кейінгі үшінші цифр да шынайы есептелген.

№ 759

1) 75; 34; 816; 42; 1859; 6394 сандарын ондыққа; 2) 612; 871; 1304; 1950 сандарын жүздікке; 3) 5402; 2 783 430 456; 84 609 сандарын мыңдыққа; 4) 6 009 842; 15 624 035; 946 207; 34 567 сандарын он мыңға; 5) 77,57; 124,1; 16,027; 421,87; 18,59; 3,94 сандарын бүтінге; 6) 657,239; 0,512; 57,429; 99,98 сандарын ондық үлеске; 7) 0,07612; 8,571; 13,042; 1,9507 сандарын жүздік үлеске; 8) 8,32715; 49,0562; 748,0998; 2534,9999 сандарын мыңдық үлеске дейін дөңгелектеңдер.

Қалай ойлаймыз. Қажетті разрядтан кейін сызық жүргіз және сызықтан кейінгі бірінші цифрға қара. Тоғыздармен абай бол: $9 + 1 = 10$, ал бір көрші разрядқа «секіреді».

Шешуі.

Қиын тұстарын талдайық:

• $1950$ жүздікке дейін: жүздіктер разрядынан кейін 5 тұр, демек, 9 → 10. $2000$ шығады.
• $6,009,842$ он мыңға дейін: $600|9,842$, сызықтан кейін 9, демек, 0 → 1: $6,010,000$.
• $946,207$ он мыңға дейін: $94|6,207$, сызықтан кейін 6, демек, 4 → 5: $950,000$.
• $748{,}0998$ мыңдық үлеске дейін: $748{,}099|8$, сызықтан кейін 8. Сонда $099 + 1 = 100$ және $748{,}100$ шығады. Соңғы нөлдерді жоғалтпаймыз: олар дәлдікті көрсетеді.
• $2534{,}9999$ мыңдық үлеске дейін: $2534{,}999|9$, сызықтан кейін 9, демек, $2534{,}999 + 0{,}001 = 2535{,}000$.

Жауабы: кестеде.

⚠️ Жиі кететін қате. $99{,}98$ санын ондық үлеске дейін $99{,}10$ немесе $99{,}9$ деп жазады. Дұрысы $100{,}0$: тоғыз ондық үлес плюс бір — бұл тұтас бір бүтін, ал $99 + 1 = 100$.

№ 760

Аскасыққа 25 г ұн, ал стақанға 130 г ұн сыяды. Стақанға шамамен қанша аскасық ұн сыяды?

Қалай ойлаймыз. Стақанның массасын аскасықтың массасына бөлеміз. Жарты аскасықты ешкім өлшемейді — бүтінге дейін дөңгелектейміз.

Шешуі. $130 : 25 = 5{,}2 \approx 5$ (үтірден кейін 2 < 5).

Жауабы: шамамен 5 аскасық.

№ 761

Аскасыққа 30 г тұз, ал стақанға 220 г тұз сыяды. Стақандағы тұзды шамамен қанша аскасықпен өлшеуге болады?

Шешуі. $220 : 30 = 7{,}33… \approx 7$ (үтірден кейін 3 < 5).

Жауабы: шамамен 7 аскасық.

🌟 Тұз ұннан ауыр: бір аскасыққа ол 25 г емес, 30 г сыяды. Сондықтан бір стақанға 130 г ұн, бірақ тұз тіпті 220 г сыяды.

B деңгейі

№ 762

9,38; 41; 5,9; 74,9; 0,99; 99,4; 50,4; 29,2 сандары берілген. Жуықтау теңдігі дұрыс болу үшін берілген сандардың арасынан біреуін таңдап, жұлдызшаның орнына қойыңдар: 1) $2{,}38 \cdot * \approx 120$; 2) $3{,}04 \cdot * \approx 18$; 3) $ \cdot 5{,}12 \approx 150$; 4) $* \cdot 0{,}64 \approx 6$; 5) $4{,}02 \cdot * \approx 400$; 6) $* \cdot 1{,}95 \approx 80$; 7) $* \cdot 30{,}6 \approx 30$; 8) $2{,}8 \cdot * \approx 210$.*

Қалай ойлаймыз. Алдымен белгілі көбейткішті «дөңгелек» санға дейін дөңгелектейміз, ойша бөлеміз — және тізімнен ұқсас санды іздейміз. Сосын көбейтіп тексереміз.

Шешуі.

1. $2{,}38 \approx 2{,}4$; $120 : 2{,}4 = 50$ → 50,4 аламыз. Тексеру: $2{,}38 \cdot 50{,}4 = 119{,}952 \approx 120$.
2. $3{,}04 \approx 3$; $18 : 3 = 6$ → 5,9. Тексеру: $3{,}04 \cdot 5{,}9 = 17{,}936 \approx 18$.
3. $5{,}12 \approx 5$; $150 : 5 = 30$ → 29,2. Тексеру: $29{,}2 \cdot 5{,}12 = 149{,}504 \approx 150$.
4. $0{,}64 \cdot 10 = 6{,}4$, сәл аз керек (10-нан кем) → 9,38. Тексеру: $9{,}38 \cdot 0{,}64 = 6{,}0032 \approx 6$.
5. $4{,}02 \approx 4$; $400 : 4 = 100$ → 99,4. Тексеру: $4{,}02 \cdot 99{,}4 = 399{,}588 \approx 400$.
6. $1{,}95 \approx 2$; $80 : 2 = 40$ → 41. Тексеру: $41 \cdot 1{,}95 = 79{,}95 \approx 80$.
7. $30{,}6 \approx 30$; $30 : 30 = 1$ → 0,99. Тексеру: $0{,}99 \cdot 30{,}6 = 30{,}294 \approx 30$.
8. $210 : 2{,}8 = 75$ → 74,9. Тексеру: $2{,}8 \cdot 74{,}9 = 209{,}72 \approx 210$.

Жауабы: 1) 50,4; 2) 5,9; 3) 29,2; 4) 9,38; 5) 99,4; 6) 41; 7) 0,99; 8) 74,9.

№ 763

1) 163, 164-беттерде орналасқан 30, 31-кестелерде берілгендерді қолданып, халық санын 1) бүтінге дейін; 2) жүздікке дейін дөңгелектеңдер. 2) 163, 164-беттерде орналасқан 30, 31-кестелерде берілгендерді алдымен бүтінге дейін дөңгелектеп, Ақмола облысының орталығы Көкшетау қаласының халық саны облыстың халық санынан қанша есе артық екенін есептеңдер. Тура осындай тапсырманы Маңғыстау облысының орталығы Ақтау қаласы мен облыстың халқы үшін орындаңдар.

Қалай ойлаймыз. Кестелердегі сандар — мың адаммен берілген. «Бүтінге дейін» — бір мыңға дейін, «жүздікке дейін» — жүз мыңға дейін. 1984,5 сияқты сандарға назар аудар: үтірден кейін дәл 5, демек, жоғары қарай дөңгелектейміз.

Шешуі.

1. Облыстар (2014 жыл, мың адам):

Облыс орталықтары (2016 жыл, мың адам):

2. Көкшетау және Ақмола облысы: $736 : 160 = 4{,}6$. Ақтау және Маңғыстау облысы: $587 : 183 = 3{,}20… \approx 3{,}2$.

Жауабы: 1) кестелерде; 2) шамамен 4,6 есе; шамамен 3,2 есе.

💡 «Жүздікке дейін» деген нұсқау мұнда жақсы көрінеді: сандар дөрекілене түседі, бірақ оларды ойша салыстыру жеңілдейді. Алматы облысы — «шамамен екі миллион», ал Оңтүстік Қазақстан — «шамамен 2,7 миллион».

📕 Оқулықта «Көкшетау қаласының халық саны облыстың халық санынан қанша есе артық» деп жазылған, бірақ қала облыстан кіші: керісінше, облыстың халқы қаладан шамамен 4,6 есе көп. Ақтау мен Маңғыстау облысы туралы да солай.

C деңгейі

№ 764

Бөлшекті ондық үлеске дейінгі дәлдікпен ондық бөлшекке айналдырыңдар: 1) $\frac{4}{3}$; 2) $\frac{7}{9}$; 3) $\frac{16}{15}$; 4) $\frac{5}{11}$; 5) $\frac{19}{12}$; 6) $\frac{59}{21}$; 7) $\frac{45}{7}$.

Қалай ойлаймыз. Алымын бөлімге бұрыштап бөлеміз. Дәл бөлінбейді — бөлу шексіз. Бірақ бізге үтірден кейін екі цифр жеткілікті: екінші цифр біріншісін қалай дөңгелектеуді айтады.

Шешуі.

1. $4 : 3 = 1{,}33… \approx 1{,}3$
2. $7 : 9 = 0{,}77… \approx 0{,}8$
3. $16 : 15 = 1{,}06… \approx 1{,}1$
4. $5 : 11 = 0{,}45… \approx 0{,}5$
5. $19 : 12 = 1{,}58… \approx 1{,}6$
6. $59 : 21 = 2{,}80… \approx 2{,}8$
7. $45 : 7 = 6{,}42… \approx 6{,}4$

Жауабы: 1) 1,3; 2) 0,8; 3) 1,1; 4) 0,5; 5) 1,6; 6) 2,8; 7) 6,4.

Жаңа тақырыпты меңгеруге дайындаламыз

№ 765

Аспаз мамандығындағы математика. Наурыз мейрамына дайындалатын дәстүрлі тағам — наурызкөже. Тағамды дайындау үшін жеті ингредиент (жетіден кем болмауы керек) қолданылады. 33-кестеде массасы 250 г етке қосылатын ингредиенттердің мөлшері берілген: 1) су — 7 стақан; 2) айран — 3 стақан; 3) езілген құрт — 0,5 стақан; 4) бидай немесе күріш — 0,5 стақан; 5) тары — 0,25 стақан; 6) тұз — дәміне қарай. Массасы 1,5 кг етке қосылатын ингредиенттердің мөлшерін есептеңдер.

Қалай ойлаймыз. 1,5 кг-ды грамға айналдырамыз да, ет неше есе көп екенін білеміз. Қалған өнімдерді де сонша есе көбейтеміз.

Шешуі.

1. $1{,}5$ кг $= 1500$ г; $1500 : 250 = 6$ — ет 6 есе көп.
2. Су: $7 \cdot 6 = 42$ стақан.
3. Айран: $3 \cdot 6 = 18$ стақан.
4. Езілген құрт: $0{,}5 \cdot 6 = 3$ стақан. Бидай немесе күріш — тағы 3 стақан.
5. Тары: $0{,}25 \cdot 6 = 1{,}5$ стақан.
6. Тұз — дәміне қарай.

Жауабы: су 42 стақан, айран 18 стақан, езілген құрт 3 стақан, бидай (күріш) 3 стақан, тары 1,5 стақан, тұз дәміне қарай.

🌟 Наурызкөже жеті құрамдас бөліктен дайындалады — «жеті ырыс» үшін. Қазақ дәстүрінде жеті — сәтті сан. Үйде сендер наурызкөжеге қандай жеті өнім салатынын ата-анаңмен бірге санап көр.

Жадынама

• Дөңгелектеу — санды ең жақын «дөңгелек» санмен ауыстыру.
• Қажетті разрядтан кейін сызық жүргіз және сызықтан кейінгі бірінші цифрға қара.
• 0, 1, 2, 3, 4 — қалдырамыз; 5, 6, 7, 8, 9 — 1 қосамыз.
• Бүтін санда құйрығы → нөлдер, үтірден кейін құйрығы → алып тастаймыз.
• Тоғыз + 1 = 10: бір келесі разрядқа ауысады ($99{,}98 \approx 100{,}0$).

Шағын тест