§ 43. Жиын. Жиынның элементтері. Жиындарды кескіндеу

Математика, 5 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2017). 6 тарау: Жиын. 60–63-беттер.

Нені үйренесің

• Жиын мен оның элементтері не екенін түсінуді.
• Шектелген, шектелмеген және бос жиынды ажырата білуді.
• Жиынды екі тәсілмен беруді: тізіп жазу арқылы және сипаттайтын қасиеті арқылы.
• $\in$, $\notin$, $\varnothing$ таңбаларын қолдануды.
• Жиындарды Эйлер–Венн дөңгелектерімен кескіндеуді.

Ой қозғау

Бұл — алдыңғы сабақтағы № 779 тапсырма: біз 12 сөзді топтарға бөлдік.

• Мағынасы бойынша қандай топтар шықты? Мектеп заттары (дәптер, қалам, күнделік, қарындаш), жемістер (алма, алмұрт), жануарлар (жолбарыс, қоян, кенгуру), көлік (автомобиль, ұшақ, катер).
• «Жануарлар» тобында неше сөз бар? 3.
• Әріп санына қарай бөлсек, «қоян» сөзі қай топқа түседі? «4 әріп» тобына — «алма» және «ұшақ» сөздерімен бірге.
• Бір сөз бір бөлудің екі тобына түсе ме? Жоқ: сөздің әріп саны біреу ғана. Ал әртүрлі бөлулердің топтарына — иә: «қоян» сөзі «жануарлар» тобында да, «4 әріп» тобында да бар.

💡 Осындай әрбір топ — жиын. Бүгін оған ғылыми атау береміз.

Тақырыпты талдаймыз

Жиын — ортақ белгісі бар «жинақ»

Қой табыны — көп қой. Жылқы үйірі — көп жылқы. Маркалар жинағы — көп марка. Балет биші топтары — көп артист. Математик осы топтардың әрқайсысын бір сөзбен атайды: жиын.

Жиынды құрайтын нысандар оның элементтері деп аталады. Қой — қойлар жиынының элементі. 7 цифры — цифрлар жиынының элементі.

📌 Жиын — бір жерге жиналған нысандардың жинағы. Бұл нысандар — жиынның элементтері.

Шектелген, шектелмеген және бос жиын

• Цифрлар жиынында ${0, 1, 2, \ldots, 9}$ дәл 10 элемент бар. Оларды түгел санап шығуға болады, сондықтан ол — шектелген жиын.
• Натурал сандар 1, 2, 3, … ешқашан санап бітпейді: кез келген санға 1-ді қосуға болады. Бұл — шектелмеген жиын. Оны $N$ әрпімен белгілейді.
• Ал сыныбыңда бойы 3 метр оқушы неше? Бірде-бір! Бірде-бір элементі жоқ жиын бос жиын деп аталады және $\varnothing$ таңбасымен жазылады.

🌟 $\varnothing$ таңбасы — сызылып тасталған дөңгелек, яғни «ештеңе ұстамайтын нөл». Оны грек әрпі $\varphi$ немесе 0 цифрымен шатастырма.

Жиынды қалай беруге болады

Екі тәсіл бар.

1. Барлық элементтерін жиын жақшасының ішінде тізіп жазу: $A = {1, 2, 3, 4}$.
2. Жиынды сипаттайтын қасиетті атау: «$A$ — 5 санынан кіші натурал сандар».

Бұл — бір жиын! Элементтер көп болғанда екінші тәсіл құтқарады: «барлық жұп сандарды» жақшаға түгел жазып шыға алмайсың.

Жиындар үлкен латын әріптерімен $A$, $B$, $C$, ал олардың элементтері кіші латын әріптерімен $a$, $b$, $c$ белгіленеді.

Тиісті ме, жоқ па?

Егер $a$ элементі $A$ жиынының элементі болса, былай жазады: $a \in A$ («$a$ элементі $A$ жиынына тиісті»). Егер болмаса — $b \notin A$ («$b$ элементі $A$ жиынына тиісті емес»).

Мысалы, $5 \in N$ — бестік натурал сан. Ал $0 \notin N$ — нөл натурал сан болып есептелмейді.

📌 $a \in N$ сөйлемін түрліше оқуға болады: «$a$ элементі $N$ жиынының элементі болады»; «$N$ жиыны $a$ элементін қамтиды»; «$a$ элементі $N$ жиынына тиісті»; «$a$ — натурал сан». Ал $0 \notin N$ былай оқылады: «нөл $N$ жиынының элементі емес», «$N$ жиыны нөлді қамтымайды», «нөл — натурал сан емес».

Жиындарды дөңгелекпен кескіндейміз

Жиынды дөңгелекпен немесе сопақшамен, ал элементтерін оның ішіндегі нүктелермен кескіндеу ыңғайлы. Дөңгелектің ішіндегі элемент жиынға тиісті, сыртындағысы тиісті емес. Мұндай суреттерді Эйлер–Венн дөңгелектері (диаграммалары) деп атайды.

Мына суретте $A$ — жұп цифрлар жиыны, $B$ — тақ цифрлар жиыны. Түймелерді бас.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Бірге ойнап көріңіздер: сіз бір зат атайсыз, бала оның белгілі бір жиынға (мысалы, «жемістер») «тиісті» не «тиісті емес» екенін айтады. Қызанақ — әңгімелесуге өте жақсы талас тудыратын мысал.

Енді өзің көр: жай сандар жиынының барлық элементтерін тап.

⚠️ Жиі кететін қате. 1 санын жай сан деп санайды. Олай емес: жай санның дәл екі бөлгіші бар, ал бірдің бөлгіші біреу ғана. Сондықтан 1 саны жай сандар жиынына тиісті емес.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Суреттегі жиындардың элементтерін ата. Жеке қойлар, жылқылар, маркалар, балет билеушілері.
• Көпбұрыштардың, рим цифрларының, араб цифрларының қандай да бір элементін ата. Үшбұрыш; V; 7.
• Араб және рим цифрларының барлығын жаз. Араб: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (10 элемент). Рим: I, V, X, L, C, D, M (7 элемент).
• Жұп және тақ цифрларды тізіп жаз. Жұп: 0, 2, 4, 6, 8. Тақ: 1, 3, 5, 7, 9. Әр жиында 5 элемент бар — олар шектелген.
• Мына жиындар бос па: 2-ге бөлінетін тақ сандар; 1-ден кіші натурал сандар; үш қабырғалы төртбұрыштар? Иә, үшеуі де бос.
• Шектелген, шектелмеген және бос жиынға мысал келтір. Шектелген — апта күндері. Шектелмеген — натурал сандар. Бос — төртбұрышты дөңгелек.
• Эйлер–Венн диаграммаларын қандай фигуралармен сызады? Кез келген тұйық фигуралармен: дөңгелекпен, сопақшамен, төртбұрышпен.
• Жиындар мен элементтерді сәйкестендір: 1) теңдеулер; 2) өрнектер; 3) теңсіздіктер; 4) тепе-теңдіктер; 5) сандық теңдіктер. 1) B: $x + 2 = 2$; 2) D: $x + 2$; 3) C: $x + 2 \ne 2$; 4) A: $x + 2 = 2 + x$ ($x$-тің кез келген мәнінде дұрыс); 5) E: $3 + 2 = \frac{1}{2}$ (сандық теңдік, дұрыс болмаса да).
• $A$ — жай сандар жиыны. Қайсысы дұрыс: $0 \in A$, $1 \in A$, $2 \in A$, $2 \notin A$, $3 \notin A$? Тек 3) дұрыс: $2 \in A$.
• $A$ — құрама сандар жиыны. Қайсысы дұрыс: $0 \in A$, $1 \in A$, $4 \in A$, $11 \in A$, $100 \notin A$? Тек 3) дұрыс: $4 \in A$.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 780

1. Жиынның элементтерін атаңдар: 1) жұп цифрлар жиыны; 2) тақ цифрлар жиыны. 2. Жиынның бірнеше элементтерін атаңдар: 1) жай сандар жиыны; 2) құрама сандар жиыны; 3) жай сан да, құрама сан да болмайтын сандар жиыны; 4) 10 санына еселік сандар жиыны; 5) 37 санының бөлгіштерінен тұратын жиын.

Қалай ойлаймыз. Цифрлар барлығы он, сондықтан жұп және тақ цифрларды түгел тізіп жазуға болады. Жай және құрама сандар шексіз көп — бірнешеуін атаймыз.

Шешуі.

1. Жұп цифрлар: 0, 2, 4, 6, 8. Тақ цифрлар: 1, 3, 5, 7, 9.
2. Жай сандар: 2, 3, 5, 7, 11, 13, … Құрама сандар: 4, 6, 8, 9, 10, 12, … Жай да, құрама да емес: тек 1 (нөлді де алсақ — 0 және 1). 10-ға еселік сандар: 10, 20, 30, 40, … 37-нің бөлгіштері: 1 және 37, басқасы жоқ.

Жауабы: 1) {0, 2, 4, 6, 8}; {1, 3, 5, 7, 9}; 2) мысалы, 2, 3, 5; 4, 6, 8; 1; 10, 20, 30; 1 және 37.

№ 781

Жиынның бірнеше элементтерін атаңдар: 1) ұзындық бірліктері; 2) масса бірліктері; 3) аудан бірліктері; 4) көлем бірліктері.

Шешуі.

1. Ұзындық: мм, см, дм, м, км.
2. Масса: г, кг, ц, т.
3. Аудан: мм², см², дм², м², км², ар (сотық), гектар.
4. Көлем: мм³, см³, дм³, м³, литр.

Жауабы: жоғарыдағы мысалдар.

№ 782

Жиынның атауы бойынша оның бірнеше элементтерін атаңдар: 1) көліктер; 2) жиһаздар; 3) мамандық; 4) елді мекен.

Шешуі.

1. Көлік: автобус, пойыз, ұшақ, метро, велосипед.
2. Жиһаз: үстел, орындық, шкаф, диван, төсек.
3. Мамандық: мұғалім, дәрігер, аспаз, инженер, бағдарламашы.
4. Елді мекен: Астана, Алматы, Шымкент, Түркістан, өзіңнің ауылың немесе қалаң.

Жауабы: жоғарыдағы мысалдар.

№ 783

Дұрыс жауаптың нөмірін көрсетіңдер. 1) 3 санына еселік болатын жиынның элементі: 1) 111 111 111; 2) 11 111 111; 3) 1 111 111; 4) 11 111; 5) 1111. 2) 9 санына еселік болатын жиынның элементі: 1) 11 111 111 111; 2) 1 111 111 111; 3) 111 111 111; 4) 11 111 111; 5) 1 111 111. 3) 4 санына бөлгенде қалдықта қалатын сандар жиынының элементтері: 1) 3, 2, 1, 0; 2) 2, 1, 0; 3) 1, 0; 4) 1.

Қалай ойлаймыз. Бөлінгіштік белгілерін еске түсіреміз: цифрлар қосындысы 3-ке (9-ға) бөлінсе, сан да 3-ке (9-ға) бөлінеді. Тек бірліктерден тұратын санның цифрлар қосындысы бірліктер санына тең.

Шешуі.

1. Бірліктер саны: 9, 8, 7, 5, 4. 3-ке тек 9 бөлінеді — бұл бірінші сан, 111 111 111.
2. Бірліктер саны: 11, 10, 9, 8, 7. 9-ға тек 9 бөлінеді — үшінші сан, 111 111 111.
3. 4-ке бөлгендегі қалдық 4-тен кіші: 0, 1, 2 немесе 3 болуы мүмкін. Бұл — 1-нұсқа.

Жауабы: 1) 1; 2) 3; 3) 1.

B деңгейі

№ 784

3; 7; 9; 11; 15 сандарының қайсысы 14 санынан кіші және 4 санына бөлгенде 3 саны қалдықта қалатын сандар жиынының элементтері болады?

Қалай ойлаймыз. Екі шартты тексереміз: сан 14-тен кіші және 4-ке бөлгендегі қалдық 3-ке тең.

Шешуі.

1. 15 саны 14-тен үлкен — бірден алып тастаймыз.
2. $3 : 4 = 0$ (қалдығы 3) — сәйкес келеді.
3. $7 : 4 = 1$ (қалдығы 3) — сәйкес келеді.
4. $9 : 4 = 2$ (қалдығы 1) — келмейді.
5. $11 : 4 = 2$ (қалдығы 3) — сәйкес келеді.

Жауабы: 3; 7; 11.

📕 Оқулықтың жауаптарында № 784 үшін «7; 11» деп жазылған, бірақ 3 саны да сәйкес келеді: $3 = 4 \cdot 0 + 3$, қалдығы 3. Дұрысы: 3; 7; 11.

💡 3 саны 4-тен кіші, сондықтан 4-ке бөлгенде ол «түгелдей қалдыққа кетеді»: толымсыз бөлінді 0, қалдығы 3. Мұғалімің басқаша есептесе, жауап 7 және 11 болады.

№ 785

0; 5; 9; 15; 20 сандарының қайсысы 15 санынан артық емес және 5 санына бөлгенде 0 саны қалдықта қалатын сандар жиынының элементтері болады?

Қалай ойлаймыз. Үш шарт бар: сан натурал, 15-тен артық емес (яғни 15-ке тең болуы мүмкін), 5-ке бөлінеді.

Шешуі.

1. 0 — натурал сан емес, келмейді.
2. 5 — натурал, $\le 15$, 5-ке бөлінеді — сәйкес келеді.
3. 9 саны 5-ке бөлінбейді.
4. 15 — «15-тен артық емес», демек, келеді; 5-ке бөлінеді.
5. 20 саны 15-тен үлкен — келмейді.

Жауабы: 5; 15.

C деңгейі

№ 786

Хабарлама дайындаңдар: 1) Георг Кантор — сандар жиынының теориясын жазушылардың бірі; 2) Леонард Эйлер мен Джон Венн «Эйлер–Венн диаграммалары» деп аталған диаграммаларды алғаш қолданған ғалымдар.

Қалай ойлаймыз. Қысқа хабарлама — 5–7 сөйлем: кім, қашан өмір сүрген, немен танымал, қызықты дерек. Төменде үлгі берілген. Күндер мен деректерді энциклопедиямен салыстырып көр.

Шешуі. Хабарлама үлгісі:

🌟 Георг Кантор (1845–1918) — неміс математигі, Санкт-Петербургте дүниеге келген. Ол жиындар теориясын ойлап тапты — бүгінгі математиканың дерлік бәрінің негізін. Кантор тамаша бір нәрсені дәлелдеді: шексіздік әртүрлі болады, біреуі екіншісінен «үлкен» болуы мүмкін. Бастапқыда көптеген ғалым оған күлді, бірақ кейін оның идеялары ұлы деп танылды.

🌟 Леонард Эйлер (1707–1783) — швейцариялық математик, көп жыл Петербург пен Берлинде жұмыс істеді. Ол математика, механика, физика, астрономия бойынша 800-ден астам ғылыми еңбек жазды. Көзінен айырылғаннан кейін де Эйлер ашқан жаңалықтарын айтып жаздырып отырды. Жиындар туралы ой жүргізу үшін дөңгелектерді ол неміс ханшайымына жазған хаттарында қолданып, оған логиканы түсіндірді.

🌟 Джон Венн (1834–1923) — ағылшын логигі. 1880 жылы ол дөңгелектерден қатаң құрал жасады: жиындардың барлық мүмкін қиылысуларын сызды. Сол кезден бері мұндай суреттер Эйлер–Венн диаграммалары деп аталады. Ол жұмыс істеген Кембриджде оның құрметіне дөңгелектері бейнеленген витраж бар.

Жауабы: жоғарыдағы хабарлама үлгісі.

Жаңа тақырыпты меңгеруге дайындаламыз

№ 787

Тұжырым ақиқат па: 1. 1) кез келген натурал сан құрама сан болады; 2) кез келген жай сан натурал сан болады; 3) кез келген жай бөлшекті ондық бөлшекке айналдыруға болады; 4) кез келген ондық бөлшекті жай бөлшек түрінде жазуға болады; 5) кез келген жай бөлшек қысқартылады? 2. 1) барлық жануарлар омыртқалы; 2) барлық пойыздар жүрдек; 3) барлық телефондар сымсыз; 4) барлық сүтқоректілер жануарлар?

Қалай ойлаймыз. «Кез келген» («барлық») сөзі былай тексеріледі: тұжырым орындалмайтын бір мысал табу жеткілікті — сонда тұжырым жалған.

Шешуі.

1. 1. Жалған: 2, 3, 5 — жай сандар, ал 1 — жай да, құрама да емес. 2) Ақиқат. 3) Жалған: $\frac{1}{3} = 0{,}333\ldots$ — оны ақырлы ондық бөлшекпен жазуға болмайды. 4) Ақиқат: $0{,}25 = \frac{25}{100}$. 5) Жалған: $\frac{1}{2}$ қысқартылмайды.
2. 1. Жалған: құрт, көбелек, ұлу — омыртқасыздар. 2) Жалған: қарапайым қала маңы пойыздары да бар. 3) Жалған: сымды телефондар бар. 4) Ақиқат.

Жауабы: 1) 2) және 4) тұжырымдары ақиқат; 2) тек 4) ақиқат.

💡 «Барлық жай сандар — натурал сандар» дегенді жай сандар жиыны толығымен натурал сандар жиынының ішінде жатыр деп түсінуге болады. Келесі сабақтың тақырыбы осы — ішкі жиын.

Жадынама

• Жиынды тізіп жазып ${1, 2, 3, 4}$ немесе қасиетімен «5-тен кіші натурал сандар» деп береді.
• Шектелген — санап шығуға болады; шектелмеген — болмайды; бос — санайтын ештеңе жоқ.
• Жиындар — үлкен латын әріптерімен, элементтер — кіші латын әріптерімен белгіленеді.
• $0 \notin N$, $1 \in N$.

Шағын тест