§ 44. Жиындар арасындағы қатынастар. Ішкі жиын

Математика, 5 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2017). 6 тарау: Жиын. 64–66-беттер.

Нені үйренесің

• Ішкі жиын дегеннің не екенін түсінуді және $F \subset E$ жазуын оқуды.
• Қиылысатын, қиылыспайтын және тең жиындарды ажырата білуді.
• Жиындар арасындағы қатынастарды Эйлер–Венн дөңгелектерінде кескіндеуді.
• Сөйлемдердегі кванторларды — «барлығы», «әрқайсысы», «кейбіреуі», «бар болады» сөздерін — тани білуді.

Ой қозғау

Бұл — өткен сабақтағы № 787 тапсырма. «Ақиқат» немесе «жалған» деп жауап бер.

• Кез келген натурал сан құрама сан болады? Жалған. Мысалы, 1 және 7 құрама сан емес.
• Кез келген жай сан натурал сан болады? Ақиқат. 2, 3, 5, 7… жай сандардың бәрі натурал.
• Кез келген жай бөлшекті ондық бөлшекке айналдыруға болады? Жалған. $\frac{1}{3} = 0{,}333…$ — ақырлы ондық бөлшек шықпайды.
• Кез келген ондық бөлшекті жай бөлшек түрінде жазуға болады? Ақиқат: $0{,}7 = \frac{7}{10}$, $2{,}35 = \frac{235}{100}$.
• Кез келген жай бөлшек қысқартылады? Жалған: $\frac{1}{2}$ немесе $\frac{3}{7}$ бөлшектерін қысқартуға болмайды.
• Барлық жануарлар омыртқалы ма? Барлық пойыздар жүрдек пе? Барлық телефондар сымсыз ба? Жоқ, жоқ және жоқ: құрттар, баяу қала маңы пойыздары және стационар телефондар бар.
• Барлық сүтқоректілер жануарлар ма? Ақиқат!

💡 Байқадың ба? «Барлығы» сөзі қауіпті. «Жалған» деп айту үшін сәйкес келмейтін бір мысал жеткілікті.

Тақырыпты талдаймыз

Ортақ элементтер бар ма, жоқ па?

1-ден 10-ға дейінгі жұп сандарды алайық: {2, 4, 6, 8, 10}. Және тақ сандарды: {1, 3, 5, 7, 9}. Екі тізімге де түскен сан бар ма? Жоқ! Мұндай жиындар қиылыспайды.

Ал сыныптастарыңның жиыны мен футболға баратындар жиынының әдетте ортақ балалары болады. Мұндай жиындар қиылысады.

Жиынның ішіндегі жиын

$E$ — сыныбыңның барлық оқушылары, ал $F$ — домбыра тартатындар болсын. $F$-тің әр домбырашысы — сөзсіз сынып оқушысы, яғни $E$-ге кіреді. Сонда $F$ — $E$-нің ішкі жиыны деп айтады және $F \subset E$ деп жазады.

📌 Егер $F$ жиынының әрбір элементі $E$ жиынына тиісті болса, онда $F$ — $E$-нің ішкі жиыны: $F \subset E$. Суретте $F$ дөңгелегі $E$ дөңгелегінің ішінде толық жатады.

$F \subset E$ жазуын үш түрлі оқуға болады: «$F$ жиыны $E$ жиынының ішкі жиыны», «$F$ жиыны $E$ жиынына кіреді», «$E$ жиыны $F$ жиынын қамтиды».

⚠️ Жиі кететін қате. Кім кімнің ішінде екенін шатастырады. $F \subset E$ жазуы — «үлкеннің ішіндегі кішісі». Таңбаның «аузы» үлкен жиынға қарай ашық тұр.

Ал егер $C$ жиынының ең болмағанда бір элементі $D$-ға кірмесе, былай жазады: $C \not\subset D$ — «$C$ жиыны $D$-ның ішкі жиыны емес».

Екі айлалы ішкі жиын

Кез келген $E$ жиынының әрқашан екі ішкі жиыны бар:

• бос жиын $\varnothing \subset E$ — бос жиында $E$-ге «сыймайтын» бірде-бір элемент жоқ;
• $E$-нің өзі: $E \subset E$ — $E$-нің әр элементі, әрине, $E$-де жатыр.

Жиындар қашан тең болады

$M$ — 6 санының бөлгіштері, ал $K$ = {1, 2, 3, 6} болсын. $M$-нің әр элементі $K$-да бар және $K$-ның әр элементі $M$-де бар. Демек, $M \subset K$ және $K \subset M$. Мұндай жиындар тең: $M = K$. Суретте олардың дөңгелектері беттеседі.

📌 Егер $M \subset K$ және $K \subset M$ болса, онда $M$ және $K$ жиындары тең жиындар деп аталады. Жазылуы: $M = K$.

Квантор сөздер

Математикада «барлығы», «әрқайсысы», «кез келген», «әрбір» сөздері өте жиі қолданылады. Бұл — жалпылық кванторы: ешбір айырмашылықсыз барлығы туралы тұжырым.

Ал «табылады», «ең болмағанда біреуі», «бар болады», «кейбіреуі» — бар болу кванторы. Мұнда бір мысал жеткілікті.

💡 «Әрбір жай сан тақ» — жалған, өйткені 2 бар. «Жұп жай сан бар» — ақиқат, ол да 2. Бір сан бәрін шешеді!

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. «Иә немесе жоқ» ойынын ойнаңыздар: «Барлық мысықтар — жануарлар ма?», «Барлық жануарлар — мысықтар ма?». Бала ішкі жиынның тек бір бағытта жұмыс істейтінін тез сезеді.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• $C \not\subset D$ жазуы нені білдіреді? $C$ жиыны $D$-ның ішкі жиыны емес. «$C$ жиыны $D$ жиынына кірмейді» немесе «$D$ жиыны $C$ жиынын қамтымайды» деп те оқуға болады. Яғни $C$-да $D$-да жоқ элемент бар.
• Неліктен бос жиын және жиынның өзі оның ішкі жиыны болады? Бос жиында бірде-бір «артық» элемент жоқ. Ал $E$ жиынының әр элементі $E$-де жатады.
• Неліктен шаршылар — тіктөртбұрыштардың ішкі жиыны, ал текшелер — тік бұрышты параллелепипедтердің ішкі жиыны? Шаршы — қабырғалары тең тіктөртбұрыш. Текше — қырлары тең тік бұрышты параллелепипед.
• Неліктен натурал сандар жиыны жай сандарды қамтиды? Әрбір жай сан (2, 3, 5, 7…) — натурал сан.
• «Квантор» сөзі нені білдіреді? Латынның quantum — «қанша» сөзінен шыққан. Кванторлар неше нысан туралы айтылып тұрғанын көрсетеді: барлығы туралы ма, әлде ең болмағанда біреуі туралы ма.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 788

1. Жиынның қандай да ішкі жиынын атаңдар: 1) натурал сандар жиыны; 2) құрама сандар жиыны; 3) жай сандар жиыны. 2. Жиынның екі ішкі жиынын көрсетіңдер: 1) 6 санына еселік болатын сандар жиыны; 2) 24 санына еселік болатын сандар жиыны; 3) екітаңбалы сандар жиыны.

Қалай ойлаймыз. Ішкі жиын — жиынның бір белгі бойынша таңдалған «бөлігі». Тексер: бөліктің әр элементі бүтінде бар ма?

Шешуі.

1. Натурал сандар: жұп сандар; жай сандар; бір таңбалы сандар {1, 2, …, 9}.
2. Құрама сандар: жұп құрама сандар {4, 6, 8, …}; 10-ға еселік сандар {10, 20, 30, …}.
3. Жай сандар: бір таңбалы жай сандар {2, 3, 5, 7}; екі таңбалы жай сандар {11, 13, …, 97}.
4. 6-ға еселік сандар: 12-ге еселік сандар {12, 24, 36, …}; {6, 12, 18}.
5. 24-ке еселік сандар: 48-ге еселік сандар {48, 96, …}; {24, 72}.
6. Екі таңбалы сандар: «дөңгелек» ондықтар {10, 20, …, 90}; екі таңбалы жұп сандар.

Жауабы: мысалы, жоғарыдағыдай; ішкі жиындар көп, әрқайсысына өз мысалын келтіруге болады.

№ 789

Жиынның үш ішкі жиынын атаңдар: 1) мектеп құралдарының жиыны; 2) оқу орындар жиыны.

Шешуі.

1. Мектеп құралдары: қаламсаптар; дәптерлер; сызғыштар.
2. Оқу орындары: мектептер; колледждер; университеттер.

Жауабы: мысалы, қаламсаптар, дәптерлер, сызғыштар; мектептер, колледждер, университеттер.

№ 790

Жиынның бірнеше ішкі жиынын көрсетіңдер: 1) жануарлар; 2) пәтерлер; 3) вагондар; 4) тілдер.

Шешуі.

1. Жануарлар: құстар, балықтар, сүтқоректілер, жәндіктер.
2. Пәтерлер: бір бөлмелі, екі бөлмелі, сенің үйіңдегі пәтерлер.
3. Вагондар: жолаушылар вагондары, жүк вагондары, купелі вагондар, Алматы метросының вагондары.
4. Тілдер: түркі тілдері (қазақ, түрік), славян тілдері (орыс, украин), мектебіңде оқытылатын тілдер.

Жауабы: мысалы, жоғарыдағыдай.

№ 791

61-суретте $A$ және $B$ жиындарының өзара қатынастары көрсетілген. Бір жиынның атауы белгілі. Осы екі жиын арасындағы қатынастар орындалуы үшін екінші жиынның атауы қандай болуы керек: 1) $A$ — біртаңбалы жай сандар; 2) $B$ — 5-ке еселік сандар?

Қалай ойлаймыз. 1-сурет үшін берілген жиынмен ортақ элементтері бар, бірақ «өз» элементтері де бар жиын керек. 2-сурет үшін бір жиын екіншісінің ішінде толық жатуы тиіс.

Шешуі.

1. $A$ = {2, 3, 5, 7}.
   • 61.1-сурет: $B$ — бір таңбалы тақ сандар {1, 3, 5, 7, 9}. Ортақ: 3, 5, 7; $A$-ның өзінде 2, $B$-да 1 және 9 бар.
   • 61.2-сурет: $B$ — бір таңбалы тақ жай сандар {3, 5, 7}. Олардың бәрі $A$-да жатыр: $B \subset A$.
2. $B$ — 5-ке еселік сандар.
   • 61.1-сурет: $A$ — жұп сандар. Ортақ: 10, 20, 30…; $A$-да өз элементтері 2, 4…, $B$-да — 5, 15…
   • 61.2-сурет: $A$ — натурал сандар. 5-ке еселік әрбір сан — натурал сан: $B \subset A$.

Жауабы: мысалы, 1) $B$ — бір таңбалы тақ сандар (1-сурет) немесе {3, 5, 7} (2-сурет); 2) $A$ — жұп сандар (1-сурет) немесе натурал сандар (2-сурет).

B деңгейі

№ 792

Жиындарды Эйлер–Венн дөңгелектері арқылы көрсетіңдер: 1) $A$ — натурал сандар жиыны, $B$ — жай сандар жиыны; 2) $A$ — натурал сандар жиыны, $B$ — құрама сандар жиыны; 3) $A$ — құрама сандар жиыны, $B$ — жай сандар жиыны; 4) $A$ — жай сандар жиыны, $B$ — жұп сандар жиыны.

Қалай ойлаймыз. Әр жұп үшін өзіңнен сұра: біреуінің барлық элементтері екіншісінде жата ма? Ортақ элементтер бар ма?

Шешуі.

1. Әрбір жай сан натурал: $B$ дөңгелегін $A$ дөңгелегінің ішіне сызамыз.
2. Әрбір құрама сан натурал: $B$ дөңгелегі тағы да $A$ дөңгелегінің ішінде.
3. Сан бір мезгілде жай да, құрама да болмайды: дөңгелектер қиылыспайды, оларды бөлек сызамыз.
4. Ортақ элемент біреу — 2 саны. Дөңгелектер қиылысады, ортақ бөлікте — 2.

Жауабы: 1) және 2) $B \subset A$; 3) қиылыспайды; 4) қиылысады, ортақ элемент 2.

⚠️ Жиі кететін қате. 3-тармақта жай және құрама сандар бірге барлық натурал сандарды береді деп ойлайды. Бірақ 1 саны жай да емес, құрама да емес! Ол екі дөңгелектің де сыртында қалады.

№ 793

Жиындарды Эйлер–Венн дөңгелектері арқылы көрсетіңдер: 1) $A$ — бұрыштар жиыны, $B$ — тік бұрыштар жиыны, $C$ — доғал бұрыштар жиыны; 2) $A$ — үшбұрыштар жиыны, $B$ — тіктөртбұрыштар жиыны; 3) $A$ — шаршылар жиыны, $B$ — тіктөртбұрыштар жиыны; 4) $A$ — шаршылар жиыны, $B$ — көпбұрыштар жиыны, $C$ — текшелер жиыны; 5) $A$ — кесінділер жиыны, $B$ — түзулер жиыны, $C$ — сәулелер жиыны.

Қалай ойлаймыз. Тағы да «кім кімнің ішінде» және «ортақ нәрсе бар ма» дегенді іздейміз.

Шешуі.

1. Тік және доғал бұрыштар — бұрыштар: $B$ және $C$ дөңгелектері $A$-ның ішінде. Бұрыш бір мезгілде тік және доғал бола алмайды, сондықтан $B$ және $C$ қиылыспайды.
2. Үшбұрыш тіктөртбұрыш болмайды: $A$ және $B$ дөңгелектері қиылыспайды.
3. Әрбір шаршы — тіктөртбұрыш: $A$ дөңгелегі $B$-ның ішінде.
4. Шаршылар — көпбұрыштар: $A$ дөңгелегі $B$-ның ішінде. Текше — кеңістіктік дене, жазық фигура емес: $C$ дөңгелегі бөлек, ешкіммен қиылыспайды.
5. Кесінді, түзу және сәуле — әртүрлі фигуралар: кесіндінің екі ұшы, сәуленің бір ұшы бар, түзудің ұшы жоқ. Үш дөңгелек бір-бірінен бөлек.

Жауабы: 1) $B \subset A$, $C \subset A$, $B$ және $C$ қиылыспайды; 2) қиылыспайды; 3) $A \subset B$; 4) $A \subset B$, $C$ бөлек; 5) үш қиылыспайтын дөңгелек.

C деңгейі

№ 794

1. Ақиқат және жалған сөйлемдерді көрсетіңдер: 1) сыныптың кейбір оқушылары музыкалық аспаптарда ойнайды; 2) кез келген жай сан жұп сан болады; 3) біртаңбалы сандардың арасынан 2-ге де, 3-ке де бөлінетін ең болмағанда бір сан табылады. 2. «Барлығы», «кез келген», «әрқайсысы», «табылады», «ең болмағанда біреуі», «бар болады», «кейбіреуі» сөздерін қолданып, ақиқат болатын және ақиқат болмайтын сөйлемдер құрастырыңдар.

Қалай ойлаймыз. «Кез келген» дегенде ерекшелік жоқ па деп тексереміз. «Табылады», «кейбіреуі» дегенде ең болмағанда бір мысал іздейміз.

Шешуі.

1. Сыныпқа байланысты. Әдетте біреу домбыра немесе пианинода ойнайды, сондықтан көбіне ақиқат.
2. Жалған: 3, 5, 7 — жай әрі тақ сандар.
3. Ақиқат: 6 саны 2-ге де, 3-ке де бөлінеді.

Өз сөйлемдеріміз, мысалы:

• «10-ға еселік әрбір сан 5-ке бөлінеді» — ақиқат.
• «Барлық балалар қуырылған бауырсақты жақсы көреді» — жалған.
• «Тіктөртбұрыш болатын шаршы бар» — ақиқат (кез келген шаршы солай).
• «Ең болмағанда бір екі таңбалы сан 100-ден үлкен» — жалған.
• «Қазақстанның кейбір қалалары теңіз жағасында орналасқан» — ақиқат (Каспийдегі Ақтау).

Жауабы: 1) әдетте ақиқат; 2) жалған; 3) ақиқат (6); өз сөйлемдерің — мысалдардағыдай.

Жаңа тақырыпты меңгеруге дайындаламыз

№ 795

1) Бір мезгілде а) жұп және жай сан; ә) тақ және құрама сан; б) жұп және тақ сан болатын сан бар ма? 2) Кейбір геометриялық фигуралар бір мезгілде а) сүйір бұрыш және тік бұрыш; ә) сынық сызық және көпбұрыш; б) үшбұрыш және көпбұрыш болады деген тұжырым ақиқат па? 3) Ең болмағанда а) бір өрнектің теңдік; ә) бір теңдіктің теңдеу; б) бір теңдеудің теңсіздік болатыны ақиқат па?

Қалай ойлаймыз. Бұл — екі жиынның ортақ бөлігі туралы сұрақ. Ең болмағанда бір мысал тапсаң — ортақ бөлік бар.

Шешуі.

1. а) Иә, 2 саны. ә) Иә, мысалы 9 (тақ, 3-ке бөлінеді). б) Жоқ: сан не 2-ге бөлінеді, не бөлінбейді.
2. а) Жоқ: сүйір бұрыш $90°$-тан кіші, ал тік бұрыш $90°$-қа тең. ә) Иә: көпбұрыштың шекарасы — тұйық сынық сызық, көпбұрышты тұйық сынық сызық деп есептеуге болады. б) Иә: кез келген үшбұрыш — көпбұрыш.

3. а) Жоқ: теңдік — арасында «=» таңбасы бар екі өрнек, өрнектің өзінде «=» таңбасы жоқ. ә) Иә: $x + 2 = 5$ — белгісізі бар теңдік, яғни теңдеу. б) Жоқ: теңдеуде «=», ал теңсіздікте «<» немесе «>» тұрады.

Жауабы: 1) иә; иә; жоқ. 2) жоқ; иә; иә. 3) жоқ; иә; жоқ.

Жадынама

• Ішкі жиын — дөңгелектің ішіндегі дөңгелек: $F \subset E$.
• Қиылысады — ортақ элементтер бар; қиылыспайды — ортақ элемент жоқ.
• Тең жиындар бірдей элементтерден тұрады.
• Кез келген $E$ үшін $\varnothing \subset E$ және $E \subset E$.
• «Барлығы…» дегенді жоққа шығару үшін бір мысал жеткілікті.

Шағын тест