§ 45. Жиындардың бірігуі мен қиылысуы

Математика, 5 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2017). 6 тарау: Жиын. 67–69-беттер.

Нені үйренесің

• $X \cup Y$ жиындарының бірігуін табуды — кем дегенде біреуінде бар барлық элемент.
• $X \cap Y$ қиылысуын табуды — екеуінде де бірдей бар элемент.
• Бірігу мен қиылысуды Эйлер–Венн дөңгелектерінде көре білуді.
• Қасиеттерді қолдануды: жиындардың реті мен жақшалар нәтижені өзгертпейді.

Ой қозғау

Бұл — өткен сабақтағы № 795 тапсырма. Бір мезгілде екі жиынға түсетін сандар мен фигураларды іздедік.

• Жұп та, жай да болатын сан бар ма? Иә, 2.
• Тақ та, құрама да болатын сан бар ма? Иә, мысалы 9 немесе 15.
• Жұп та, тақ та болатын сан бар ма? Жоқ, олай болмайды.
• Бұрыш бір мезгілде сүйір де, тік те бола ала ма? Жоқ: сүйір бұрыш $90°$-тан кіші, ал тік бұрыш дәл $90°$.
• Фигура бір мезгілде үшбұрыш та, көпбұрыш та бола ала ма? Иә, кез келген үшбұрыш — көпбұрыш.
• Теңдік теңдеу бола ала ма? Иә: $x + 2 = 5$.

💡 Бүгін «ортақ бөлікке» өз атауы беріледі — қиылысу.

Тақырыпты талдаймыз

Бәрін бірге төгеміз: бірігу

Сыныпта шахмат үйірмесі мен домбыра үйірмесі бар. Мұғалім концертке кем дегенде бір үйірмеге қатысатын барлығын шақырғысы келеді. Ол екі тізімді алып, ортақ тізім жазады. Егер Айдар екі үйірмеге де қатысса, оны бір рет жазады.

📌 $X$ және $Y$ жиындарының бірігуі — олардың кем дегенде біреуіне тиісті элементтерден тұратын жиын. Белгіленуі: $X \cup Y$. Дөңгелектерде екі дөңгелекті де толық бояйды.

Ортақты іздейміз: қиылысу

Енді шахматқа да, домбыраға да қатысатын балалар керек. Бұлар — екі тізімде де бар адамдар ғана.

📌 $X$ және $Y$ жиындарының қиылысуы — $X$-ке де, $Y$-ке де бір мезгілде тиісті элементтерден тұратын жиын. Белгіленуі: $X \cap Y$. Дөңгелектерде тек ортақ бөлікті бояйды.

Суретте байқап көр: $C$ және $D$ дөңгелектері. «Бірігу» және «Қиылысу» түймелерін бас.

Шығады: $C \cup D$ = {44, 33, 8, 2, 7, 77, 66, 22}, ал $C \cap D$ = {8, 2, 7}.

💡 Таңбаларды қалай есте сақтаймыз? $\cup$ — тостағанға ұқсайды, оған бәрін «құяды». $\cap$ — төңкерілген тостаған, ортақ бөліктің үстіндегі «қақпақ».

Ортақ элемент жоқ болса

$A$ = {1, 10, 15, 55} және $B$ = {13, 9, 5} жиындарының ортақ элементтері жоқ. Онда $A \cap B = \varnothing$ — бос жиын. Суретте дөңгелектер бөлек тұр, бояйтын ештеңе жоқ. Ал бірігуі бар: $A \cup B$ = {1, 10, 15, 55, 13, 9, 5}.

💡 Сондықтан 62.1-суретте $A \cap B = \varnothing$: дөңгелектердің ортақ нүктесі жоқ.

Бір дөңгелек екіншісінің ішінде болса

$F$ = {3, 6, 4} жиыны $E$-нің ішінде жатыр, $E$-де тағы 99 және 88 бар.

Онда $E \cup F = E$ = {99, 88, 3, 6, 4}, ал $E \cap F = F$ = {3, 6, 4}.

📌 Егер $F \subset E$ болса, онда $E \cup F = E$ және $E \cap F = F$.

Үш дөңгелек

62.4-суретте үш дөңгелек: $X$, $Y$, $Z$. Тек $X$-те — 9, 5; тек $Y$-те — 6, 11; тек $Z$-те — 7, 8. $X$ пен $Y$-те — 2, $X$ пен $Z$-те — 4, $Y$ мен $Z$-те — 3. Ортада, үшеуінде де — 1.

• $X \cup Y \cup Z$ = {9, 5, 6, 11, 7, 8, 2, 4, 3, 1} — суреттегі барлық сан.
• $X \cap Y \cap Z$ = {1} — тек орталығы.

Ретінің маңызы жоқ

«Шахмат + домбыра» және «домбыра + шахмат» тізімдері — бір балалар. Сондықтан:

• $X \cup Y = Y \cup X$ және $X \cap Y = Y \cap X$ — ауыстырымдылық (коммутативтік) қасиет;
• $(X \cup Y) \cup Z = X \cup (Y \cup Z)$ және $(X \cap Y) \cap Z = X \cap (Y \cap Z)$ — терімділік (ассоциативтік) қасиет.

Қосудағыдай: $2 + 3 = 3 + 2$.

⚠️ Жиі кететін қате. Бірігуде ортақ элементті екі рет жазады: {8, 2, 7, 8, 2, 7, …}. Жиында әр элемент бір рет жазылады.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Екі тізім алыңыздар: «мен не жегенді жақсы көремін» және «ағам не апам не жегенді жақсы көреді». Бала бірігуін (бәрі риза болу үшін не сатып алу керек) және қиылысуын (екеуі де нені жақсы көреді) атасын.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Дөңгелектерде бірігу мен қиылысуды қалай көрсетеміз? Бірігу — екі дөңгелекті толық бояу. Қиылысу — тек олардың ортақ бөлігін бояу.
• Екі бос жиынның бірігуі бос бола ала ма? Ал қиылысуы ше? Иә, екеуі де бос болады: оларда алатын ештеңе жоқ, $\varnothing \cup \varnothing = \varnothing$ және $\varnothing \cap \varnothing = \varnothing$.
• Таңбаларды сәйкестендір: 1) тиісті емес; 2) ішкі жиын; 3) тиісті; 4) бірігу; 5) қиылысу. 1) F — $\notin$; 2) A — $\subset$; 3) E — $\in$; 4) D — $\cup$; 5) C — $\cap$. $\not\subset$ (B) таңбасы артық қалды.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 796

Жиындардың бірігуі мен қиылысуын Эйлер–Венн дөңгелектері арқылы көрсетіңдер: 1) жұп сандар жиыны және тақ сандар жиыны; 2) біртаңбалы сандар жиыны және жай сандар жиыны; 3) құрама сандар жиыны және натурал сандар жиыны; 4) натурал сандар жиыны және нөл саны.

Қалай ойлаймыз. Алдымен дөңгелектердің орналасуын шеш: қиылысады ма, бөлек пе, әлде бірі екіншісінің ішінде ме. Содан кейін бояйсың.

Шешуі.

1. Жұп сандар {0, 2, 4, 6, 8}, тақ сандар {1, 3, 5, 7, 9} (цифрлар ретінде). Ортақ жоқ, дөңгелектер бөлек. Қиылысуы $\varnothing$, бірігуі — барлық цифрлар {0, 1, 2, …, 9}.
2. Дөңгелектер қиылысады. Қиылысуы {2, 3, 5, 7}. Бірігуі — барлық бір таңбалы сандар мен барлық жай сандар: {1, 2, …, 9, 11, 13, 17, …}.
3. Әрбір құрама сан натурал: құрама сандар дөңгелегі натурал сандар дөңгелегінің ішінде. Қиылысуы — құрама сандар, бірігуі — натурал сандар.
4. Нөл натурал сан емес: натурал сандар дөңгелегі мен {0} «дөңгелегі» бөлек тұр. Қиылысуы $\varnothing$, бірігуі {0, 1, 2, 3, …}.

Жауабы: 1) $\varnothing$; барлық цифрлар. 2) {2, 3, 5, 7}; бір таңбалы және жай сандар. 3) құрама сандар; натурал сандар. 4) $\varnothing$; {0, 1, 2, 3, …}.

№ 797

Жиындардың бірігуі мен қиылысуын табыңдар: 1) қаламдар жиыны және дәптерлер жиыны; 2) орындықтар жиыны және жиһаздар жиыны; 3) алмалар жиыны және көкөністер жиыны; 4) фауна және құстар жиыны.

Қалай ойлаймыз. Бір мезгілде екі жиында да болатын зат бар ма? Жоқ болса — қиылысуы бос. Бірі екіншісінің ішінде болса — қиылысуы кішісіне тең, бірігуі үлкеніне тең.

Шешуі.

1. Қалам дәптер болмайды. Қиылысуы $\varnothing$, бірігуі — барлық қалам мен дәптер.
2. Орындық — жиһаз. Қиылысуы — орындықтар, бірігуі — жиһаз.
3. Алма — жеміс, көкөніс емес. Қиылысуы $\varnothing$, бірігуі — барлық алма мен көкөніс.
4. Фауна — бүкіл жануарлар әлемі, құстар соған кіреді. Қиылысуы — құстар, бірігуі — фауна.

Жауабы: 1) $\varnothing$; қаламдар мен дәптерлер. 2) орындықтар; жиһаз. 3) $\varnothing$; алмалар мен көкөністер. 4) құстар; фауна.

B деңгейі

№ 798

64-суретте кескінделген жиындардың бірігуі мен қиылысу элементтерін атаңдар.

Қалай ойлаймыз. Бірігу — суреттегі барлық әріптер мен сандар. Қиылысу — тек ортақ бөліктегілер.

Шешуі.

1. $F \cup E$ = {а, ә, б, в, г, ғ}; $F \cap E$ = {б, в}.
2. $A \cup B$ = {a, b, c, d, e, f}; $A \cap B$ = {b, c, d}.
3. $B$ жиыны $A$-ның ішінде: $A \cup B = A$ = {1, 2, 12, 3}; $A \cap B = B$ = {12, 3}.
4. $M \cup K \cup D$ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}; $M \cap K \cap D$ = {1}. Жұптар үшін: $M \cap K$ = {6, 1}, $K \cap D$ = {7, 1}, $M \cap D$ = {9, 4, 1}.

Жауабы: 1) {а, ә, б, в, г, ғ}; {б, в}. 2) {a, b, c, d, e, f}; {b, c, d}. 3) {1, 2, 12, 3}; {12, 3}. 4) {1, …, 9}; {1}.

C деңгейі

№ 799

1. 1) $(A \cup B) \cap C$; 2) $(A \cap B) \cap C$; 3) $(A \cap C) \cap (B \cup C)$; 4) $A \cap (B \cap C)$; 5) $(A \cap B) \cup C$; 6) $(A \cup C) \cap (B \cup C)$; 7) $(A \cup B) \cup C$; 8) $A \cup (B \cup C)$; 9) $A \cup (B \cup C)$ жиынының элементтерін атаңдар (65-сурет). Олардың арасынан тең жиындарды көрсетіңдер және сәйкес теңдіктерді жазыңдар.

65-суретте: тек $A$-да — 4, 6; тек $B$-да — 5; тек $C$-да — 7; $A$ мен $B$-да — 54; $A$ мен $C$-да — 67; $B$ мен $C$-да — 57; үшеуінде де — 45.

Қалай ойлаймыз. Алдымен әр жиынды толық жаз. Содан соң жақшалы мысалдардағыдай әрекет ет: алдымен жақшаның ішін.

Шешуі. Жауаптарды салыстырамыз:

• 2. және 4) тең: $(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$;
• 5. және 6) тең: $(A \cap B) \cup C = (A \cup C) \cap (B \cup C)$;
• 7), 8) және 9) тең: $(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C) = A \cup B \cup C$.

Жауабы: 1) {67, 57, 45}; 2) {45}; 3) {67, 45}; 4) {45}; 5) {54, 45, 7, 67, 57}; 6) {54, 67, 45, 7, 57}; 7)–9) {4, 6, 5, 7, 54, 67, 57, 45}. Теңдіктер: 2 = 4, 5 = 6, 7 = 8 = 9.

📕 Оқулықта 3-тармақ $(A \cap C) \cap (B \cup C)$ деп басылған, бұл жағдайда жауап {67, 45} болады және ешбір жиынға тең емес. Көрнекі түрде бұл $(A \cap C) \cup (B \cap C)$ болуы керек: сонда жауап {67, 57, 45}, ол 1-тармаққа тең ($(A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B \cap C)$). Мүмкін, басылым қатесі.

🌟 $(A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B \cap C)$ теңдігі $(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$ үлестірімділік заңына ұқсайды. Жиындарда ол «екі бағытта» да жұмыс істейді!

Жаңа тақырыпты меңгеруге дайындаламыз

№ 800

Сандар жиынын Эйлер–Венн дөңгелектері арқылы көрсетіңдер: 1) $A$ жиынының элементтері — 7, 2, 9, 4; $B$ жиынының элементтері — 9, 2, 5; 2) $A$ жиынының элементтері — 5, 8, 1; $B$ жиынының элементтері — 6, 1, 3; 3) $A$ жиынының элементтері — 8, 5, 6, 2; $B$ жиынының элементтері — 9, 5, 6, 7; 4) $A$ жиынының элементтері — 4, 3, 5, 2, 1; $B$ жиынының элементтері — 3, 1, 2. $A \cap B$ және $A \cup B$ жиындарының қанша элементі бар?

Қалай ойлаймыз. Ортақ сандарды ортасына, қалғандарын өз дөңгелектеріне жазамыз. Содан кейін санаймыз.

Шешуі.

1. $A \cap B$ = {9, 2} — 2 элемент; $A \cup B$ = {7, 2, 9, 4, 5} — 5 элемент.
2. $A \cap B$ = {1} — 1 элемент; $A \cup B$ = {5, 8, 1, 6, 3} — 5 элемент.
3. $A \cap B$ = {5, 6} — 2 элемент; $A \cup B$ = {8, 5, 6, 2, 9, 7} — 6 элемент.
4. $B$-ның барлық элементтері $A$-да бар: $B \subset A$. $A \cap B$ = {3, 1, 2} — 3 элемент; $A \cup B = A$ — 5 элемент.

Жауабы: 1) 2 және 5; 2) 1 және 5; 3) 2 және 6; 4) 3 және 5.

💡 1-тармаққа қара: $4 + 3 - 2 = 5$. Жиындардың өлшемдерін қостық та, ортақ бөлікті шегердік — бірігуді алдық. Бұл ереже — келесі сабақтың басты тақырыбы.

Жадынама

• $\cup$ — «немесе», бәрін құятын тостаған; $\cap$ — «және», тек ортақ.
• Жиында әр элемент бір рет жазылады.
• $X \cup Y = Y \cup X$, $X \cap Y = Y \cap X$.
• Бір амал болғанда жақшаларды ауыстыруға болады: $(X \cup Y) \cup Z = X \cup (Y \cup Z)$.

Шағын тест