§ 46. Мәтінді есептерді шығару

Математика, 5 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2017). 6 тарау: Жиын. 70–73-беттер.

Нені үйренесің

• «Кім екі жерде де болды» түріндегі есептерді Эйлер–Венн дөңгелектерімен шығаруды.
• Ережені қолдануды: $A + B - $ ортақ бөлік $=$ бірігу.
• Осы ереже бойынша кез келген белгісізді табуды: ортақ бөлікті немесе жиындардың бірін.
• Үш дөңгелекті есептерді талдауды.

Ой қозғау

Бұл — өткен сабақтағы № 800 тапсырма. Элементтерді сана.

• $A$ = {7, 2, 9, 4}, $B$ = {9, 2, 5}. $A \cap B$ және $A \cup B$ жиындарында неше элемент бар? 2 (бұл — 9 және 2) және 5.
• $A$ = {5, 8, 1}, $B$ = {6, 1, 3}? 1 және 5.
• $A$ = {8, 5, 6, 2}, $B$ = {9, 5, 6, 7}? 2 және 6.
• $A$ = {4, 3, 5, 2, 1}, $B$ = {3, 1, 2}? 3 және 5 — мұнда $B$ түгелдей $A$-ның ішінде.

💡 Салыстыр: бірінші мысалда $4 + 3 = 7$, ал бірігуде 5 бар. 2 қайда кетті? Бұлар — ортақ элементтер, оларды екі рет санап жібердік.

Тақырыпты талдаймыз

Неге жай қосуға болмайды

66-суретте $A$ дөңгелегінде 6 нүкте, $B$ дөңгелегінде — 4. Олардың екеуі ортақ бөлікте жатыр.

Егер $6 + 4 = 10$ деп қоссақ, екі ортақ нүкте екі рет саналады: $A$-да да, $B$-да да. Шындығында нүктелер $6 + 4 - 2 = 8$.

📌 $A \cup B$ бірігуіндегі элементтер санын табу үшін $A$ және $B$ жиындарындағы элементтер санын қосып, одан қиылысу $A \cap B$ элементтерінің санын азайт.

Бірігу = $A$ + $B$ − ортақ бөлік.

Демалыс туралы есеп

Жазғы демалыс кезінде сынып оқушылары лагерьде немесе теңізде демалды. Лагерьде — 15, теңізде — 9, екі жерде де — 2 оқушы. Сыныпта қанша оқушы бар?

Шешуі: $15 + 9 - 2 = 22$ (67-сурет). Бөліктер бойынша тексерейік: тек лагерь $15 - 2 = 13$, тек теңіз $9 - 2 = 7$, екеуі де — 2. Барлығы $13 + 7 + 2 = 22$ ✓.

⚠️ Жиі кететін қате. «Лагерьде — 15» деген сан теңізде де болған сол екі баланы қамтиды. Сондықтан «тек лагерь» — $15 - 2$, 15 емес.

Ереже кез келген бағытта жұмыс істейді

«Бірігу = $A$ + $B$ − ортақ бөлік» формуласынан кез келген нәрсені табуға болады:

• ортақ бөлік = $A$ + $B$ − бірігу;
• бір жиын = бірігу − екінші жиын + ортақ бөлік.

💡 Адаспаудың ең жақсы жолы — екі дөңгелек сызып, ортасынан толтыра бастау.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Бала әрқашан «бөліктер бойынша» тексерсін: тек $A$ + тек $B$ + ортақ бөлік. Жауапқа сәйкес келсе — есеп дұрыс шығарылған.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• 66-суретте $A$, $B$, $A \cap B$ және $A \cup B$ жиындарында неше элемент бар? $A$-да — 6, $B$-да — 4, қиылысуында — 2, бірігуінде — 8.
• Неліктен бірігу үшін $6 + 4 - 2$ есептейміз? $6 + 4$ қосқанда екі ортақ нүкте екі рет саналады. Оларды бір рет азайтамыз — сонда әр нүкте дәл бір рет саналады.
• $A$, $B$ және бірігу белгілі болса, қиылысудағы элементтер санын қалай табамыз? $A$ мен $B$-ны қосып, одан бірігуді азайт.
• Бірігу, қиылысу және екінші жиын белгілі болса, бір жиынды қалай табамыз? Бірігуден екінші жиынды азайтып, қиылысуды қос.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 801

Сынып оқушыларының бірнешеуінде боксқа және баскетболға арналған спорт құралдары бар. Спорт құралдары бар оқушылар 68-суретте кескінделген. Эйлер–Венн дөңгелектерін қолданып, мына сұрақтарға жауап беріңдер. Оқушылардың нешеуінде: 1) боксқа арналған; 2) баскетболға арналған; 3) боксқа және баскетболға арналған; 4) боксқа арналған, бірақ баскетболға арналмаған; 5) баскетболға, бірақ боксқа арналмаған спорт құралдары бар?

68-суретте: тек бокста — 3 нүкте, ортақ бөлікте — 3, тек баскетболда — 4.

Қалай ойлаймыз. «Боксқа арналған» — бокс дөңгелегінің бәрі, ортақ бөлікпен бірге. «Боксқа арналған, бірақ баскетболға арналмаған» — тек өз бөлігі.

Шешуі.

1. Бокс: $3 + 3 = 6$.
2. Баскетбол: $4 + 3 = 7$.
3. Екі құрал да: 3.
4. Тек бокс: 3.
5. Тек баскетбол: 4.

Жауабы: 1) 6; 2) 7; 3) 3; 4) 3; 5) 4.

№ 802

Сынып оқушыларының бірнешеуінде теннизге және хоккейге арналған спорт құралдары бар. 69-суретте: тек теннис — 5, тек хоккей — 8, екеуі де — 2. Мына сұрақтарға жауап беріңдер: оқушылардың нешеуінде: 1) тенниске арналған; 2) хоккейге арналған; 3) тенниске және хоккейге арналған; 4) тенниске арналған, бірақ хоккейге арналмаған; 5) хоккейге арналған, бірақ тенниске арналмаған спорт құралдары бар?

Шешуі.

1. Теннис: $5 + 2 = 7$.
2. Хоккей: $8 + 2 = 10$.
3. Екеуі де: 2.
4. Тек теннис: 5.
5. Тек хоккей: 8.

Жауабы: 1) 7; 2) 10; 3) 2; 4) 5; 5) 8.

№ 803

Сынып оқушыларының бірнешеуінде зілтемір, бадминтон және гантель бар (70-сурет). Тек зілтемір — 4, тек гантель — 2, тек бадминтон — 1; зілтемір және гантель — 1; зілтемір және бадминтон — 2; гантель және бадминтон — 3; үшеуі де — 1. Оқушылардың нешеуінде: 1) зілтемір; 2) бадминтон; 3) гантель; 4) зілтемір және бадминтон; 5) зілтемір және гантель; 6) бадминтон және гантель; 7) зілтемір, бадминтон және гантель бар?

Қалай ойлаймыз. Тұтас дөңгелек төрт бөліктен тұрады: «тек өзі», екі «қосарлы» бөлік және орталығы. Оларды қосамыз.

Шешуі.

1. Зілтемір: $4 + 1 + 2 + 1 = 8$.
2. Бадминтон: $1 + 2 + 3 + 1 = 7$.
3. Гантель: $2 + 1 + 3 + 1 = 7$.
4. Зілтемір және бадминтон (тек осы екеуі): 2.
5. Зілтемір және гантель (тек осы екеуі): 1.
6. Бадминтон және гантель (тек осы екеуі): 3.
7. Үшеуі де: 1.

Жауабы: 1) 8; 2) 7; 3) 7; 4) 2; 5) 1; 6) 3; 7) 1.

⚠️ Жиі кететін қате. 4–6-тармақтарда тек дәл екі құралы барларды санайды. Үш құралы барды да санасаң, 1-ге артық шығады: 3, 2 және 4. Не сұралғанын мұқият оқы!

B деңгейі

№ 804

Бірнеше оқушы «Шабандоз», «Ескек», «Жүгіру жолы», «Толқынмен жүгіруші», «Зілтемірі бар орындық» жаттығу құрылғыларымен машықтануда. 1) Егер «Жүгіру жолымен» 15 оқушы, «Толқынмен жүгіру» құрылғысымен 12 оқушы және 7 оқушы осы екі жаттығу құрылғысымен де қатар жаттықса, «Жүгіру жолы», «Толқынмен жүгіру» жаттығу құрылғыларымен қанша оқушы жаттығуда? 2) 12 оқушының 7-еуі «Шабандоз», 8-і «Ескек» жаттығу құрылғысымен жаттығуда. Қанша оқушы екі жаттығу құрылғысымен қатар жаттығуда? 3) 20 оқушының 14-і «Зілтемірі бар орындықпен», 5-еуі «Зілтемірі бар орындық» және «Шабандоз» екі жаттығу құрылғысымен жаттығуда. «Шабандоз» жаттығу құрылғысымен қанша оқушы жаттығуда?

Қалай ойлаймыз. Барлық тармақтарда бір ереже: бірігу = $A$ + $B$ − ортақ бөлік. Тек нені іздейтініміз өзгереді.

Шешуі.

1. $15 + 12 - 7 = 20$ бала.
2. $7 + 8 - 12 = 3$ оқушы екі құрылғымен де жаттығады.
3. Тек «Орындық»: $14 - 5 = 9$. Қалған $20 - 9 = 11$ бала «Шабандозбен» жаттығады (олардың 5-еуі «Орындықпен» де жаттығады). Ереже бойынша: $20 - 14 + 5 = 11$.

Жауабы: 1) 20; 2) 3; 3) 11.

№ 805

1) Егер 7 гүлшоғы қызғалдақтардан, 9-ы нәркестен, 3-еуі қызғалдақтан және нәркестен болса, онда барлығы қанша гүлшоғы бар? 2) 42 оқушы математика пәнінен, 37-сі қазақ тілі пәнінен, 19-ы екі пәннен де олимпиадаға қатысты. Осы пәндер бойынша барлығы қанша оқушы қатысты?

Шешуі.

1. $7 + 9 - 3 = 13$ гүлшоғы.
2. $42 + 37 - 19 = 60$ оқушы.

Жауабы: 1) 13; 2) 60.

C деңгейі

№ 806

1) 9 санның 7-еуі жай сандар, біреуі жай жұп сан. 9 санның нешеуі жұп сан? 2) 30 санның 25-і жай сан, 20-сы тақ сан. Осы сандардың нешеуі тақ сан? 3) 50 қызметкердің 40-ы қазақ тілін, 20-сы ағылшын тілін, 10-ы түрік тілін, 15-і қазақ және ағылшын тілдерін; 5-еуі қазақ және түрік тілдерін меңгерген. Қанша қызметкер үш тілді меңгерген?

Қалай ойлаймыз. Күрделілігі жоғары есептер. 1 және 2-тармақтарда әр сан кем дегенде бір дөңгелекке түседі, сондықтан «барлығы» — бірігу. 3-тармақта үш дөңгелек: жұптарды қосқанда орталық артық азайып кетеді.

Шешуі.

1. «Жай» (7) және «жұп» (?) дөңгелектері, ортақ бөлік — 1 (бұл 2 саны), барлығы 9. Жұп сандар: $9 - 7 + 1 = 3$.
2. Тақ жай сандар — ортақ бөлік: $25 + 20 - 30 = 15$.
3. Шешуі — төменде қадамдап.

📕 Оқулықта 3-тармақта «ағылшын және түрік» тілдерін меңгергендер саны берілмеген (тек қазақ және ағылшын — 15, қазақ және түрік — 5). Осы деректермен есеп біржақты шықпайды. Төмендегі шешуде жетіспейтін сан 5 деп алынған (ағылшын және түрік тілін меңгергендер — 5).

Жауабы: 1) 3; 2) 15; 3) 5 («ағылшын және түрік» — 5 деп алғанда).

Жаңа тақырыпты меңгеруге дайындаламыз

№ 807

Жазуды толықтырыңдар: 1 м² = … дм²; 1 га = … а; 1 т = … ц; 1 ц = … кг; 1 дм² = … см²; 1 см² = … мм².

Қалай ойлаймыз. Шаршы өлшемдерде көрші бірліктер 100 есе ерекшеленеді (өйткені $10 \cdot 10 = 100$).

Шешуі. 1) 100 дм²; 2) 100 а; 3) 10 ц; 4) 100 кг; 5) 100 см²; 6) 100 мм².

Жауабы: 100; 100; 10; 100; 100; 100.

№ 808

1) 1 м; 1 ц; 1 а; 1 га; 1 дм²; 1 см² шамаларының; 2) 500; 90; 320; 1234; 56 004; 87 000 сандарының жүзден бір бөлігін табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Жүзден бір бөлік — 100-ге бөлу. Бірліктер үшін 100 есе кіші бірлікке көш.

Шешуі.

1. 1 м = 100 см, жүзден бір бөлігі — 1 см. 1 ц = 100 кг — 1 кг. 1 а = 100 м² — 1 м². 1 га = 100 а — 1 а. 1 дм² = 100 см² — 1 см². 1 см² = 100 мм² — 1 мм².
2. $500 : 100 = 5$; $90 : 100 = 0{,}9$; $320 : 100 = 3{,}2$; $1234 : 100 = 12{,}34$; $56,004 : 100 = 560{,}04$; $87,000 : 100 = 870$.

Жауабы: 1) 1 см; 1 кг; 1 м²; 1 а; 1 см²; 1 мм². 2) 5; 0,9; 3,2; 12,34; 560,04; 870.

💡 Жүзден бір бөлік жақында өз атауын алады — пайыз. Ол туралы келесі тарауда.

Жадынама

• Дөңгелектерді «тіке» қоспа: ортақ бөлік екі рет саналады.
• «$A$-дағы» сан ортақ бөлікті қамтиды.
• Дөңгелектерді ортасынан толтыр.
• Үш дөңгелек: бәрін қос, жұптарды азайт, орталықты қос.

Шағын тест