§ 48. Санның пайызын және пайызы бойынша санды табу

Математика, 5 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2017). 7 тарау: Пайыз. 80–83-беттер.

Нені үйренесің

• Санның пайызын табуды: мысалы, 600-дің 13%-ын.
• Пайызы бойынша санды табуды: егер 13% — 78 болса, онда бүкіл сан неге тең?
• Бір сан екінші санның неше пайызын құрайтынын білуді.
• Әр есепті екі тәсілмен шығаруды: бөлшек арқылы және 1% арқылы.

Ой қозғау

Бұл — өткен сабақтағы № 828–831 жаттығулар. Алдымен ойша жауап бер, содан кейін жауабын ашып қара.

• 14,8 саны 74-тің қандай бөлігін құрайды? $14{,}8 : 74 = 0{,}2$, яғни $\frac{1}{5}$.
• Бүркіт орта есеппен 20 жыл өмір сүреді — бұл оның ең ұзақ өмірінің $\frac{1}{4}$ бөлігі. Ең ұзақ өмірі қанша? $20 \cdot 4 = 80$ жыл.
• Түйе 70 жылға дейін өмір сүреді, орта есеппен — оның $\frac{5}{14}$ бөлігіндей. Қанша? $70 : 14 \cdot 5 = 25$ жыл.
• 89,89 санының жүзден бір бөлігі қанша? 0,8989.
• 180 санының $\frac{2}{9}$ бөлігін тап. $180 : 9 \cdot 2 = 40$.
• $\frac{8}{9}$ бөлігі 16-ға тең санды тап. $16 : 8 \cdot 9 = 18$.

💡 Санның бөлшегін табу үшін — санды бөлшекке көбейтеміз. Бөлшегі бойынша санды табу үшін — бөлшекке бөлеміз. Пайызбен де дәл солай! Пайыз да бөлшек қой, тек бөлімі 100.

Тақырыпты талдаймыз

Санның пайызын табу

Мектепте 600 оқушы бар, олардың 13%-ы домбыра үйірмесіне қатысады. Бұл неше адам? 600-дің 13%-ын табу керек.

1-тәсіл. Бөлшек арқылы. Пайызды бөлшекпен өрнектеп, санды көбейтеміз:

$13% = \frac{13}{100} = 0{,}13$; $600 \cdot 0{,}13 = 78$.

2-тәсіл. 1% арқылы. Алдымен 1%-ды табамыз, сосын оны 13 рет аламыз:

$600 : 100 = 6$ — бұл 1%; $6 \cdot 13 = 78$ — бұл 13%.

📌 Санның пайызын табу. Пайызды бөлшекпен өрнектеп, санды сол бөлшекке көбейт. Немесе 1%-ын тап (100-ге бөл) да, пайыз санына көбейт.

Жаттығуға арналған кесте:

Тағы мысалдар: 50-нің 2%-ы — 1; 100-дің 2%-ы — 2; 100 000-нің 2%-ы — 2000.

Пайызы бойынша санды табу

Енді керісінше. Домбыра үйірмесіне 78 оқушы қатысады, бұл бүкіл мектептің 13%-ы. Мектепте барлығы неше оқушы бар?

1-тәсіл. Бөлшек арқылы. Бөлшекке бөлеміз: $78 : 0{,}13 = 600$.

2-тәсіл. 1% арқылы. Егер 13% — 78 болса, онда 1% 13 есе аз: $78 : 13 = 6$. Ал бүкіл сан — 100%: $6 \cdot 100 = 600$.

📌 Пайызы бойынша санды табу. Пайызды бөлшекпен өрнектеп, белгілі санды сол бөлшекке бөл. Немесе 1%-ын тап (пайыз санына бөл) да, 100-ге көбейт.

Тағы мысалдар: егер санның 5%-ы 20 болса, сан 400-ге тең. Егер 25%-ы 60 болса, сан 240. Егер 75%-ы 120 болса, сан 160.

⚠️ Жиі кететін қате. Көбейту керек пе, бөлу керек пе — осыны шатастырады. Өзіңнен сұра: «Мен кесекті іздеп тұрмын ба, әлде бүтінді ме?» Кесек бүтіннен кіші — 1-ден кіші бөлшекке көбейтеміз. Бүтін кесектен үлкен — бөлеміз.

Бір сан екіншісінің неше пайызы

600 оқушының 78-і домбыра үйірмесіне қатысады. Бұл неше пайыз? Бөлікті бүтінге бөліп, пайызға айналдырамыз:

$78 : 600 = 0{,}13 = 13%$.

📌 $a$ саны $b$ санының неше пайызы: $a$-ны $b$-ға бөл да, шыққан нәтижені 100%-ға көбейт.

Дәл солай: 91-дің 15,47-сі — $0{,}17 = 17%$; 123-тің 34,44-і — $0{,}28 = 28%$. Тіпті оңайы: 10-ның 5-і — 50%; 16-ның 4-і — 25%; 4-тің 3-і — 75%.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Дүкенге барғанда баламен жеңілдікті есептеп көріңіз: «Бағасы 4000 теңге еді, жеңілдік 25%. Қанша төлейміз?» Алдымен 1% (40 теңге), сосын 25% (1000 теңге), одан кейін баға (3000 теңге). Үш қадам — және пайыз түсінікті болады.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Санның пайызын қалай табуға болады? Пайызды бөлшекпен өрнектеп, санды сол бөлшекке көбейтеміз. Немесе 1%-ын табамыз (санды 100-ге бөлеміз) да, пайыз санына көбейтеміз.
• Санның бөлшегін қалай табамыз? Санды сол бөлшекке көбейтеміз: 180-нің $\frac{2}{9}$ бөлігі — $180 \cdot \frac{2}{9} = 40$.
• Пайызы бойынша санды қалай табуға болады? Пайызды бөлшекпен өрнектеп, белгілі бөлікті сол бөлшекке бөлеміз. Немесе 1%-ын табамыз (бөлікті пайыз санына бөлеміз) да, 100-ге көбейтеміз.
• Бөлшегі бойынша санды қалай табамыз? Белгілі бөлікті бөлшекке бөлеміз: $16 : \frac{8}{9} = 18$.
• Бөліндіні пайызбен қалай өрнектейміз? Бөліндіні 100-ге көбейтіп, % таңбасын қоямыз: $0{,}13 = 13%$.
• Бір сан екінші санның неше пайызын құрайтынын қалай табамыз? Бірінші санды екіншісіне бөліп, шыққан бөліндіні пайызбен өрнектейміз.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 832

Егер санның 1%-ы 5-ке тең болса, 2%-ы, 6%-ы және санның өзі неге тең?

Қалай ойлаймыз. 1% бізде бар. Ары қарай оны керекті пайыз санына көбейтеміз.

Шешуі. 2% — $5 \cdot 2 = 10$; 6% — $5 \cdot 6 = 30$; бүкіл сан (100%) — $5 \cdot 100 = 500$.

Жауабы: 10; 30; 500.

№ 833

100 санының 2%-ы неге тең?

Шешуі. 100-дің 1%-ы — 1. Демек, 2% — 2.

Жауабы: 2.

№ 834

5%-ы 25-ке тең санды табыңдар.

Шешуі.

1. 1% — $25 : 5 = 5$.
2. 100% — $5 \cdot 100 = 500$.

Жауабы: 500.

№ 835

Табыңдар: 400-дің 3%-ын; 250-нің 9%-ын; 180-нің 25%-ын; 70-тің 50%-ын.

Қалай ойлаймыз. 1% арқылы да шығаруға болады, не болмаса есіңе түсір: 25% — төрттен бір, 50% — жартысы.

Шешуі.

1. 400-дің 1%-ы — 4; $4 \cdot 3 = 12$.
2. 250-нің 1%-ы — 2,5; $2{,}5 \cdot 9 = 22{,}5$.
3. 25% — төрттен бір: $18 : 4 = 4{,}5$.
4. 50% — жартысы: $70 : 2 = 35$.

Жауабы: 12; 22,5; 4,5; 35.

№ 836

Неге тең: 1) 6 кг-ның 8%-ы; 2) 16 кг-ның 40%-ы; 3) 75 л-дің 300%-ы; 4) 0,25 с-тың 0,8%-ы; 5) 900 т-ның 1,25%-ы; 6) 75 см³-дің $33\frac{1}{3}%$-ы?

Қалай ойлаймыз. Пайызды ондық бөлшекке айналдырып, көбейтеміз. 100%-дан көп болса — нәтиже санның өзінен үлкен болады.

Шешуі.

1. $6 \cdot 0{,}08 = 0{,}48$ кг.
2. $16 \cdot 0{,}4 = 6{,}4$ кг.
3. $75 \cdot 3 = 225$ л.
4. $0{,}25 \cdot 0{,}008 = 0{,}002$ с.
5. $900 \cdot 0{,}0125 = 11{,}25$ т.
6. $33\frac{1}{3}% = \frac{100}{3} : 100 = \frac{1}{3}$; $75 \cdot \frac{1}{3} = 25$ см³.

Жауабы: 0,48 кг; 6,4 кг; 225 л; 0,002 с; 11,25 т; 25 см³.

💡 Есіңде болсын: $33\frac{1}{3}%$ — дәл үштен бір. Ауызша есептеуге өте ыңғайлы «айла».

№ 837

Қандай шаманың: 1) 11%-ы 11 тг-ні; 2) 25%-ы 90 г-ды; 3) 75%-ы 20 мың км-ді; 4) 13%-ы 39 дананы құрайтынын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Бөлігі бойынша бүтінді іздейміз. 1%-ын тауып, 100-ге көбейтеміз.

Шешуі.

1. 1% — $11 : 11 = 1$ тг; бүкіл шама — 100 тг.
2. 25% — төрттен бір, демек бүтін 4 есе көп: $90 \cdot 4 = 360$ г.
3. $20 : 0{,}75 = 20 \cdot \frac{4}{3} = \frac{80}{3} = 26\frac{2}{3}$ мың км.
4. 1% — $39 : 13 = 3$; бүтін — $3 \cdot 100 = 300$ дана.

Жауабы: 100 тг; 360 г; $26\frac{2}{3}$ мың км; 300 дана.

B деңгейі

№ 838

Қайсысы үлкен болатынын анықтаңдар: 1) 40-тың 60%-ы немесе 60-тың 40%-ы; 2) 70-тің 80%-ы немесе 80-нің 60%-ы.

Шешуі.

1. $40 \cdot 0{,}6 = 24$ және $60 \cdot 0{,}4 = 24$. Тең!
2. $70 \cdot 0{,}8 = 56$ және $80 \cdot 0{,}6 = 48$. 70-тің 80%-ы үлкен.

🌟 Бірінші тармақтағы тең болуы кездейсоқтық емес: $b$-ның $a%$-ы әрқашан $a$-ның $b%$-на тең. 50-нің 8%-ын тапқың келе ме? 8-дің 50%-ын есепте — ол 4!

Жауабы: 1) тең, екеуі де 24; 2) 70-тің 80%-ы.

№ 839

1) 80 санының 20%-ын табыңдар және 150 санының 30%-ымен салыстырыңдар. 2) 240 санының 75%-ын табыңдар және 760 санының 25%-ымен салыстырыңдар.

Шешуі.

1. $80 \cdot 0{,}2 = 16$; $150 \cdot 0{,}3 = 45$. $16 < 45$.
2. 75% — төрттен үш: $240 : 4 \cdot 3 = 180$. 25% — төрттен бір: $760 : 4 = 190$. $180 < 190$.

Жауабы: 1) 16 < 45; 2) 180 < 190.

№ 840

1) Бірінші сан 1000 санының 175%-ын, екінші сан 1080 санының 60%-ын құраса, осы екі санды салыстырыңдар. 2) Бірінші санның 175%-ы 210 санына, екінші санның 250%-ы 525 санына тең болса, осы екі санды салыстырыңдар.

Қалай ойлаймыз. 1-тармақтағы бірінші сан — «санның пайызы», көбейтеміз. Қалғандары — «пайызы бойынша сан», бөлеміз.

Шешуі.

1. Бірінші: $1000 \cdot 1{,}75 = 1750$. Екінші: $1080 : 0{,}6 = 1800$. $1750 < 1800$.
2. Бірінші: $210 : 1{,}75 = 120$. Екінші: $525 : 2{,}5 = 210$. $120 < 210$.

Жауабы: 1) 1750 < 1800; 2) 120 < 210.

C деңгейі

№ 841

Қандай шаманың: 1) 40%-ы $a$ см²-ді; 2) 90%-ы $b$ сағ-ты; 3) 170%-ы $c$ см²-ді; 4) 260%-ы $d$ сағ-ты құрайды?

Қалай ойлаймыз. Әріп те — дәл сондай сан. Әдеттегідей бөлшекке бөлеміз: $a : 0{,}4$. 0,4-ке бөлу — $\frac{10}{4}$-ке көбейту деген сөз.

Шешуі.

1. $a : \frac{40}{100} = a \cdot \frac{100}{40} = 2{,}5a$ см².
2. $b : \frac{90}{100} = b \cdot \frac{10}{9} = 1\frac{1}{9}b$ сағ.
3. $c : \frac{170}{100} = c \cdot \frac{10}{17} = \frac{10}{17}c$ см².
4. $d : \frac{260}{100} = d \cdot \frac{10}{26} = \frac{5}{13}d$ сағ.

Жауабы: $2{,}5a$ см²; $1\frac{1}{9}b$ сағ; $\frac{10}{17}c$ см²; $\frac{5}{13}d$ сағ.

Жаңа тақырыпты меңгеруге дайындаламыз

№ 842

Бірінші сан екінші саннан 10-ға артық. Егер осы сандардың қосындысының мәні 10,5-ке тең болса, онда осы сандарды табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Қосындыдан «артық» 10-ды алып тастасақ, екі тең сан қалады.

Шешуі.

1. $10{,}5 - 10 = 0{,}5$ — бұл екі екінші сан.
2. Екінші: $0{,}5 : 2 = 0{,}25$.
3. Бірінші: $0{,}25 + 10 = 10{,}25$.

Тексеру: $10{,}25 + 0{,}25 = 10{,}5$ ✓.

Жауабы: 10,25 және 0,25.

№ 843

Бір тауардың бағасы 800 тг, екінші тауардың бағасы 1100 тг. Тауардың екі түрінен де 13 данадан сатып алынған. Сатып алынған тауарлардың жалпы құнын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Алдымен бір жұптың бағасын қосып, сосын 13-ке көбейткен ыңғайлы.

Шешуі.

1. Бір жұп тауар: $800 + 1100 = 1900$ тг.
2. 13 жұп: $1900 \cdot 13 = 24,700$ тг.

Жауабы: 24 700 тг.

Жадынама

• Кесекті іздесем — санды бөлшекке көбейтемін.
• Бүтінді іздесем — кесекті бөлшекке бөлемін.
• Пайызды іздесем — бөлікті бүтінге бөліп, 100-ге көбейтемін.
• Кез келген есепті 1% арқылы шығаруға болады.
• $b$-ның $a%$-ы = $a$-ның $b%$-ы.

Шағын тест