§ 50. Бұрыш

Математика, 5 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2017). 8 тарау: Бұрыш. Көпбұрыш. 90–93-беттер.

Нені үйренесің

• Бұрышты үш әріппен, бір әріппен және $\angle$ таңбасымен белгілеуді.
• Сүйір, тік, доғал, жазыңқы және толық бұрыштарды ажыратуды.
• Бұрышты транспортирмен өлшеуді және оның «тұзақтарына» түспеуді.
• Керекті шамадағы бұрыш салуды, мысалы $70^\circ$.
• Бұрышқа берілген есептерді шығаруды: сағатта, басқа бұрыштың ішінде, бөліктерге бөлгенде.

Ой қозғау

Бұл — өткен сабақтағы № 869 жаттығу. Суреттерді есіңе түсіріп, жауап бер.

• Бір нүктеден шыққан екі сәуле қандай фигура? Бұрыш. Ал ұштарында нүктелері бар, ортақ ұшы бар екі кесінді — түйықталмаған сынық сызық.
• Тік бұрыштан кіші бұрыш қандай? Сүйір.
• Тік бұрыштан үлкен, бірақ қабырғалары бір түзуде жатпайтын бұрыш қандай? Доғал.
• Қабырғалары бір түзуде жататын бұрыш қандай? Жазыңқы.
• Төбесінде төртбұрыш белгісі бар бұрыш? Тік.
• Мына құралдардың аты қалай: шкаласы бар жарты шеңбер, бөлікті тақтайша, ине мен грифелі бар «аяқтар», тік бұрышты үшбұрыш? Транспортир, сызғыш, циркуль, бұрыш сызғыш.

💡 Бұрыштарды «көзбен» ажырата аласың. Бүгін ең бастысын қосамыз — санды. Бұрышты да кесіндінің ұзындығындай өлшеуге болады.

Тақырыпты талдаймыз

Бұрыштың аты қалай

$C$ нүктесін белгілеп, одан екі сәуле жүргіз — $CA$ және $CB$. Бұрыш шықты. $C$ нүктесі — оның төбесі, сәулелер — оның қабырғалары.

Бұрышты үш әріппен атайды, ал төбесі әрқашан ортада тұрады: $ACB$ бұрышы немесе $BCA$ бұрышы. «Бұрыш» деген сөздің орнына таңба жазады: $\angle ACB$. Шатасатын жер болмаса, бір әріп те жеткілікті: $\angle C$.

⚠️ Жиі кететін қате. $\angle ACB$ орнына $\angle CAB$ деп жазады. Бірақ онда төбесі $A$ нүктесі болады — бұл мүлде басқа бұрыш! Ортадағы әріп — әрқашан төбесі.

Градус дегеніміз не

Жазыңқы бұрышты (қабырғалары бір түзуде жатады) алып, оны ойша 180 бірдей «кесекке» бөл. Осындай бір кесек — 1 градус-қа тең бұрыш, ол $1^\circ$ деп жазылады.

📌 Жазыңқы бұрыш — $180^\circ$. Тік бұрыш — $90^\circ$. Толық бұрыш (екі жазыңқы бұрыш, сәуле түгел бір айналым жасады) — $360^\circ$.

Сәулені айналдырып, бұрыштың көрінісі қалай өзгеретінін қара.

🌟 Неге дәл 360? Ежелгі вавилондықтар жылда шамамен 360 күн бар деп санаған. Күн күніне аспанда шеңбердің дәл осындай бір бөлігіне жылжиды.

Бұрышты транспортирмен қалай өлшейміз

Транспортирде екі шкала бар: сыртқысы солдан оңға қарай өседі, ішкісі — оңнан солға қарай. Сондықтан бір штрихтың екі саны болады, мысалы 70 және 110.

1. Транспортирдің центрін бұрыштың төбесіне дәл қой.
2. Бұрыштың бір қабырғасын нөлдік сызыққа ($0^\circ$ арқылы) жатқыз.
3. Екінші қабырға қай штрихтан өтетінін қара. Бірінші қабырғада 0 тұрған шкаланы оқы.

⚠️ Жиі кететін қате. Шкалаларды шатастырып, $70^\circ$ орнына сүйір бұрышты $110^\circ$ деп атайды. Көзбен тексер: бұрыш сүйір болса — сан 90-нан кіші.

70° бұрышты қалай саламыз

Сәуле жүргіз — бұл бірінші қабырға. Транспортирдің центрін сәуленің басымен, ал сәулені $0^\circ$ белгісімен беттестір. 70 штрихының қасына нүкте қой. Транспортирді алып тастап, төбеден нүкте арқылы сәуле жүргіз. Дайын!

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Балаға нағыз транспортир беріп, кітаптың, есіктің, үшбұрышты сызғыштың бұрыштарын өлшеуін сұраңыз. Бұрыштың төбесі транспортирдің центрінде дәл тұруын қадағалаңыз.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Тік бұрыш неше градус? $90^\circ$.
• Кез келген сүйір бұрышты $90^\circ$-пен қалай салыстырамыз? Сүйір бұрыш әрқашан $90^\circ$-тан кіші.
• Ал кез келген доғал бұрышты? Ол $90^\circ$-тан үлкен, бірақ $180^\circ$-тан кіші.
• Бұрыш түрлері кестесін қалай толтырамыз? Сүйір — $90^\circ$-тан кіші; тік — $90^\circ$; доғал — $90^\circ$-тан $180^\circ$-қа дейін (ұштарын қоспағанда); жазыңқы — $180^\circ$; толық — $360^\circ$.
• 3 қадамнан тұратын суретте $70^\circ$ бұрышты қалай салдық? Сәуле жүргіздік, транспортирдің центрін сәуленің басына, нөлін сәулеге келтірдік, 70-тің қасына нүкте қойдық және сол нүкте арқылы екінші сәуле жүргіздік.
• Транспортирлері бар суретте үш бұрышты қалай өлшедік? Төбесін центрге, бір қабырғасын $0^\circ$-қа қойдық, ал санды екінші қабырға өтетін жерден оқыдық. Шамамен $25^\circ$, $80^\circ$ және $130^\circ$ шықты.
• Жазыңқы бұрышта неше градус бар? Тік бұрышта ше? $180^\circ$ және $90^\circ$.
• $B$ және $H$ нүктелерінен шыққан сәулелері бар суретте қандай сүйір және доғал бұрыштар бар? $B$ нүктесінде үшеуі де сүйір: $\angle CBD$, $\angle DBA$, $\angle CBA$. $H$ нүктесінде $\angle EHK$ және $\angle KHF$ — сүйір, ал $\angle EHF$ — доғал (шамамен $135^\circ$).

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 870

$132^\circ$, $98^\circ$, $35^\circ$, $180^\circ$, $94^\circ$, $90^\circ$, $154^\circ$, $78^\circ$ бұрыштарының арасынан сүйір, доғал, тік немесе жазыңқы бұрыштарды атаңдар.

Қалай ойлаймыз. Әр санды 90-мен және 180-мен салыстыр.

Шешуі. 90-нан кіші — сүйір: $35^\circ$, $78^\circ$. Дәл 90 — тік. 90 мен 180 арасында — доғал: $132^\circ$, $98^\circ$, $94^\circ$, $154^\circ$. Дәл 180 — жазыңқы.

Жауабы: сүйір — $35^\circ$, $78^\circ$; тік — $90^\circ$; доғал — $132^\circ$, $98^\circ$, $94^\circ$, $154^\circ$; жазыңқы — $180^\circ$.

№ 871

$\angle AOB$; $\angle AOC$; $\angle AOD$; $\angle EOD$; $\angle EOC$ және $\angle EOB$ бұрыштары неге тең (81-сурет)? Транспортир $AE$ түзуінде жатыр, центрі — $O$ нүктесінде. $OB$, $OC$, $OD$ сәулелері $20^\circ$, $70^\circ$ және $110^\circ$ бөліктерінен өтеді ($OA$-дан санағанда).

Қалай ойлаймыз. $OA$ сәулесінен басталатын бұрыштарды шкаладан тікелей оқимыз. $OE$ сәулесінен басталатындарын — екінші шкаладан оқимыз немесе $180^\circ$-тан алып тастаймыз.

Шешуі.

1. $\angle AOB = 20^\circ$, $\angle AOC = 70^\circ$, $\angle AOD = 110^\circ$.
2. $\angle EOD = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$.
3. $\angle EOC = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$.
4. $\angle EOB = 180^\circ - 20^\circ = 160^\circ$.

Жауабы: $20^\circ$; $70^\circ$; $110^\circ$; $70^\circ$; $110^\circ$; $160^\circ$.

№ 872

$MOK$ доғал бұрышын және 1) $\angle AOK$ бұрышы тік; 2) $\angle AOK$ бұрышы сүйір болатындай $OA$ сәулесін жүргізіңдер. Осындай қанша бұрыш салуға болады?

Қалай ойлаймыз. Транспортирді $OK$ қабырғасына қойып, керекті бұрышты өлшеп салыңдар. Сәулені $OK$-ның бір жағына да, екінші жағына да жүргізуге болады.

Шешуі.

1. $OK$ сәулесінен $90^\circ$ бұрыш өлшеп сал. Мұндай $OA$ сәулесін екі жаққа жүргізуге болады: $MOK$ бұрышының ішіне (ол доғал, сондықтан оған тік бұрыш сыяды) немесе сыртына. Екі тік бұрыш шығады.
2. Сүйір бұрыш — $1^\circ$-тан $89^\circ$-қа дейінгі кез келгені, оның үстіне $OK$-ның кез келген жағынан. Мұндай бұрыштар қалағанша көп (шексіз көп).

Жауабы: 1) сәуленің екі орны; 2) шексіз көп.

№ 873

1) 2 сағ; 2) 3 сағ; 3) 5 сағ; 4) 6 сағ-қа сәйкес сағат тілдері арасындағы бұрыш қандай (сүйір, тік, доғал, жазыңқы) болады?

Қалай ойлаймыз. Циферблат — толық бұрыш $360^\circ$, онда 12 сағат бар. Демек, бір саннан көрші санға дейін — $360^\circ : 12 = 30^\circ$.

Шешуі.

1. 2 сағ: $2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$ — сүйір.
2. 3 сағ: $3 \cdot 30^\circ = 90^\circ$ — тік.
3. 5 сағ: $5 \cdot 30^\circ = 150^\circ$ — доғал.
4. 6 сағ: $6 \cdot 30^\circ = 180^\circ$ — жазыңқы.

Жауабы: 1) сүйір; 2) тік; 3) доғал; 4) жазыңқы.

№ 874

82-суретте берілген бұрыштарды өлшеңдер: $\angle AOB$, $\angle MLK$, $\angle PRS$.

Қалай ойлаймыз. Үш қадаммен әрекет ет: төбесі — центрге, қабырғасы — $0^\circ$-қа, екінші қабырғаны оқы. Алдымен көзбен бағала: бұрыш сүйір ме, доғал ма.

Шешуі.

1. $\angle AOB$ — доғал, шамамен $115^\circ$ шығады.
2. $\angle MLK$ — сүйір, шамамен $35^\circ$.
3. $\angle PRS$ — сүйір, шамамен $55^\circ$. $R$ төбесі оң жақта, сондықтан транспортирді бұрып қойған немесе ішкі шкаланы оқыған ыңғайлы.

Жауабы: шамамен $115^\circ$, $35^\circ$, $55^\circ$ (сенің нәтижең 1–2 градусқа ерекшеленуі мүмкін).

№ 875

Неліктен 83-суреттегі бұрыштар қате өлшенген?

Шешуі.

1. Сол жақта $A$ төбесі транспортирдің центрінде тұрған жоқ, және бірде-бір қабырға $0^\circ$ белгісінде жатқан жоқ. Бірден екі ереже бұзылған.
2. Оң жақта $N$ төбесі транспортирдің центрінен оңға қарай жылжып кеткен. Қабырға табан бойымен жатыр, бірақ төбе «кетіп қалған» — сондықтан шамамен $30^\circ$ деген есеп дұрыс емес.

Жауабы: екі жағдайда да бұрыштың төбесі транспортирдің центрімен беттеспеген; сол жақ суретте қосымша бір қабырға $0^\circ$-тан өтпейді.

B деңгейі

№ 876

Жазыңқы бұрыш бірдей 5 бөлікке бөлінген. Әр бұрыш қанша градусты береді? Олардың біреуін салыңдар.

Шешуі. $180^\circ : 5 = 36^\circ$. Сәуле жүргіземіз, транспортирді қойып, 36 штрихының қасына нүкте белгілейміз.

Жауабы: $36^\circ$.

№ 877

Сағат тура 1) 1 сағ; 2) 2 сағ; 3) 5 сағ-ты көрсеткенде, оның минуттық және сағаттық тілдерінің арасындағы бұрыш неге тең болады?

Қалай ойлаймыз. Дәл бүтін сағатта минуттық тіл 12-де тұрады. Бір «сағаттық» аралық — $30^\circ$.

Шешуі. 1) $30^\circ$; 2) $2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$; 3) $5 \cdot 30^\circ = 150^\circ$.

Жауабы: 1) $30^\circ$; 2) $60^\circ$; 3) $150^\circ$.

C деңгейі

№ 878

$\angle AOC = 111^\circ$. Бұрышқа $OB$ сәулесі жүргізілген. Егер $\angle BOC = 36^\circ$ болса, онда $AOB$ бұрышы неге тең?

Қалай ойлаймыз. Бұрыштың ішіндегі $OB$ сәулесі оны екіге бөледі: $\angle AOB + \angle BOC = \angle AOC$.

Шешуі. $\angle AOB = 111^\circ - 36^\circ = 75^\circ$.

Жауабы: $75^\circ$.

Хабарлама дайындаңдар

№ 879

Хабарлама дайындаңдар: 1) транспортир қалай пайда болды (84.1, а-сурет)? 2) Транспортирді құру принципімен жасалған теодолит құралы қайда қолданылады (84.1, ә-сурет)?

Қалай ойлаймыз. 3–4 дерек тауып, өз сөзіңмен 1–2 минутта айтып бер. Даталарды дереккөзден тексер.

Шешуі. Хабарлама үлгісі.

1. Ежелгі вавилондықтар Күн мен жұлдыздарды бақылаған. Олардың жылы 360 күнге жуық болған, сондықтан шеңберді 360 бөлікке бөлген — градус осылай пайда болған. Аспан денелеріне дейінгі бұрыштарды өлшеу үшін шкаласы бар шеңберлер қажет болды — олар транспортирдің бабалары. Қазіргі таныс жарты шеңбер тәрізді транспортир мектеп құралы болып әлдеқайда кейін таралды.
2. Теодолит — ұзақ көру дүрбісі бар, тірегіне орнатылған «транспортир». Оны геодезистер қолданады: жер телімдерін белгілейді, жол, көпір, үй салады, карта жасайды. Ол бұрыштарды көлденең де, тік те өлшейді.

Жауабы: хабарлама үлгісі жоғарыда.

🌟 Астанада немесе Алматыда жаңа тұрғын үй кешені салынғанда, құрылыс алаңына ең алдымен теодолитпен геодезист келеді.

Жаңа тақырыпты меңгеруге дайындаламыз

№ 880

Дұрыс жауапты көрсетіңдер. 1. 84.2-суреттегі геометриялық фигура — бұл тек алтыбұрыш емес, сонымен қатар: 1) көпбұрыш; 2) көпбұрыш, түйықталған сынық сызық; 3) көпбұрыш, түйықталған сынық, түйықталған қисық сызық. 2. 84.3-суреттегі геометриялық фигура — бұл тек үшбұрыш емес, сонымен қатар ... (сол үш нұсқа).

Қалай ойлаймыз. Көпбұрыш бірінің артынан бірі жалғасқан және түйықталған кесінділерден тұрады. Демек, ол бір мезгілде түйықталған сынық сызық та болады. Ал қисық сызық емес — оның буындары түзу.

Шешуі. Алтыбұрыш та, үшбұрыш та — көпбұрыш және түйықталған сынық сызық. Нұсқа 2.

Жауабы: 1) № 2; 2) № 2.

№ 881

Тіктөртбұрыш және шаршының бұрыштары мен қабырғаларының қандай қасиеттері бар?

Шешуі. Тіктөртбұрыштың барлық бұрышы тік ($90^\circ$), қарама-қарсы қабырғалары тең. Шаршының да барлық бұрышы тік, ал төрт қабырғасының бәрі тең.

Жауабы: барлық бұрыштары тік; тіктөртбұрыштың қарама-қарсы қабырғалары тең, шаршының барлық қабырғасы тең.

Жадынама

• Бұрыштың төбесі — жазудағы ортаңғы әріп: $\angle ACB$.
• Жазыңқы — $180^\circ$, тік — $90^\circ$, толық — $360^\circ$.
• Транспортир: төбесі — центрге, қабырғасы — $0^\circ$-қа, екінші қабырғаны оқы.
• Сәуле бұрыштың ішінде болса, үлкен бұрыш = екі кіші бұрыштың қосындысы.
• Циферблатта бір сағат — $30^\circ$.

Шағын тест