§ 51. Көпбұрыш

Математика, 5 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2017). 8 тарау: Бұрыш. Көпбұрыш. 94–97-беттер.

Нені үйренесің

• Көпбұрыштың элементтерін атауды: төбелері, қабырғалары, бұрыштары.
• Көршілес төбелер мен көршілес қабырғаларды табуды.
• Диагональдар жүргізіп, олардың санын санауды.
• Есептерде тіктөртбұрыш пен шаршының периметрі мен ауданын табуды.

Ой қозғау

Бұл — өткен сабақтағы № 880–881 жаттығулар.

• Алтыбұрыш — көпбұрыш па? Ал түйықталған сынық сызық па? Екеуі де. Бірақ қисық сызық емес: оның буындарының бәрі түзу.
• Үшбұрыш та түйықталған сынық сызық па? Иә, үш буыннан тұрады.
• Тіктөртбұрыш пен шаршының бұрыштары қандай? Төртеуі де тік, $90^\circ$-тан.
• Тіктөртбұрыштың қай қабырғалары тең? Қарама-қарсы қабырғалары. Ал шаршының төртеуі де тең.

💡 Көпбұрыш — «үйіне оралған» сынық сызық: оның соңы басымен беттеседі. Оның барлық қасиеті осыдан шығады.

Тақырыпты талдаймыз

Көпбұрыш неден тұрады

Мектептің еденіне, ванна бөлмесіндегі плиткаға, бал салынған құмырадағы ара ұясына қарашы. Барлық жерде көпбұрыштар!

📌 Көпбұрыш — жай түйықталған сынық сызық. Жай болуы — буындары бір-бірін қиып өтпейді дегенді білдіреді.

Көпбұрыштың төбелері (нүкте-«бұрыштар»), қабырғалары (кесінділер) және бұрыштары (фигураның ішінде) болады. Неше төбе болса — сонша қабырға және сонша бұрыш. Бес төбе — бесбұрыш, жеті төбе — жетібұрыш.

Мынау — $ABCOP$ бесбұрышы. Торларды басып, санап көр.

Көршілес және жанасатын

Көршілес төбелер — бір қабырғаның ұштары. $ABCOP$ бесбұрышында бұл — $A$ мен $B$, $B$ мен $C$, $C$ мен $O$, $O$ мен $P$, $P$ мен $A$ жұптары.

Көршілес қабырғалар — бір төбеде түйісетін екі қабырға. Мысалы, $AB$ және $BC$ ($B$ төбесінде түйіседі), $CO$ және $OP$ ($O$ төбесінде түйіседі).

💡 «Көрші» сөзі арқылы есіңде сақта: парталас көршілер қатар отырады, көршілес төбелер — бір қабырғада тұрады.

Диагональ — тура жүретін соқпақ

Диагональ екі көршілес емес төбені қосады. Бесбұрышта олар бесеу: $AC$, $AO$, $BP$, $BO$, $PC$. Бәрі бірге жұлдыз сызады!

⚠️ Жиі кететін қате. Қабырғаны диагональ деп санайды. Қабырға көршілес төбелерді қосады, диагональ — көршілес емес төбелерді. Үшбұрышта барлық төбе көршілес, сондықтан диагональ мүлде жоқ.

Периметр және аудан

Периметр — барлық қабырғаның ұзындықтарының қосындысы: $P = AB + BC + CO + OP + PA$. Жер телімінің айналасындағы қоршаудың ұзындығындай.

Тіктөртбұрыштың ауданы: $S = a \cdot b$. Шаршының ауданы: $S = a \cdot a = a^2$. Тіктөртбұрыштың периметрі: $P = 2 \cdot (a + b)$, шаршының периметрі: $P = 4 \cdot a$.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Балалар периметр мен ауданды жиі шатастырады. Қарапайым бейне: периметр — суреттің жақтауы (сантиметр), аудан — суреттің өзі (шаршы сантиметр).

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• 3 қабырғасы, 4 қабырғасы, 6 қабырғасы бар көпбұрыш қалай аталады? Үшбұрыш, төртбұрыш, алтыбұрыш.
• Тіктөртбұрыш пен шаршының қарама-қарсы қабырғаларының қандай ұқсастығы бар? Олар тең (әрі параллель).
• Шаршы мен тіктөртбұрыштың көршілес қабырғалары қалай орналасқан? Олар тік бұрыш құрайды — перпендикуляр.
• «Шаршы дегеніміз көршілес қабырғалары тең болатын тіктөртбұрыш» деген тұжырым дұрыс па? Иә, дұрыс.
• Қандай көпбұрыштың диагоналі болмайды? Үшбұрыштың.
• Бір диагоналі ғана бар көпбұрыш бар ма? Жоқ. Төртбұрышта екеу, ал үшбұрышта бірде-бір жоқ.
• Шаршының, тіктөртбұрыштың, бесбұрыштың қанша диагоналі бар? 2, 2 және 5.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 882

1. Жетібұрыштың қанша төбесі, қабырғасы және бұрышы бар? 2. Тіктөртбұрыштың көршілес төбелерін, көршілес қабырғаларын атаңдар. 3. Үшбұрыш салыңдар. Үшбұрыштың төбелерін атаңдар. Үшбұрыштың бұрыштарын өлшеңдер.

Қалай ойлаймыз. Көпбұрыштың төбесі, қабырғасы және бұрышы әрқашан бірдей санда болады.

Шешуі.

1. Жетібұрыштың 7 төбесі, 7 қабырғасы, 7 бұрышы бар.
2. $ABCD$ тіктөртбұрышын алайық. Көршілес төбелер: $A$ мен $B$, $B$ мен $C$, $C$ мен $D$, $D$ мен $A$. Көршілес қабырғалар: $AB$ және $BC$, $BC$ және $CD$, $CD$ және $DA$, $DA$ және $AB$.
3. $KLM$ үшбұрышын сызып, бұрыштарын транспортирмен өлшеңдер. Мысалы, $\angle K = 50^\circ$, $\angle L = 60^\circ$, $\angle M = 70^\circ$ шығуы мүмкін.

Жауабы: 1) 7, 7, 7; 2) жоғарыдағы жұптар; 3) әркімде өз үшбұрышы.

💡 Өз үшбұрышыңның үш бұрышын қос. Шамамен $180^\circ$ шығады — кез келген үшбұрышта солай! Бұл кездейсоқтық емес, неге екенін кейін білесің.

№ 883

1. 1) Төртбұрыш, алтыбұрыш салыңдар. Диагональдарын жүргізіңдер. Әр көпбұрыштың диагональдар санын көрсетіңдер. 2) Үшбұрышқа диагональ жүргізуге бола ма? Жауабын түсіндіріңдер. 2. 1) Бесбұрыш; 2) жетібұрыш салыңдар. Олардың периметрін табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Бір төбеден диагональдар өзінен және екі көршісінен басқа барлық төбеге барады.

Шешуі.

1. Төртбұрыш: әр төбеден $4 - 3 = 1$ диагональ, барлығы $4 \cdot 1 : 2 = 2$.
2. Алтыбұрыш: әр төбеден $6 - 3 = 3$, барлығы $6 \cdot 3 : 2 = 9$.
3. Үшбұрышта барлық төбе көршілес — диагональ жүргізуге болмайды.
4. Периметрін табу үшін әр қабырғасын сызғышпен өлшеп, қос. Мысалы, қабырғалары 3, 4, 2, 5, 3 см бесбұрыш: $P = 3 + 4 + 2 + 5 + 3 = 17$ см.

Жауабы: 2 және 9 диагональ; үшбұрышта жүргізуге болмайды; периметр — қабырғалар ұзындықтарының қосындысы (әркімде әртүрлі).

№ 884

1. Тіктөртбұрыштың ұзындығы 10 см, ені 5 см. Егер шаршының периметрі тіктөртбұрыштың периметріне тең болса, онда шаршының қабырғасының ұзындығын табыңдар. 2. Шаршының қабырғасының ұзындығы периметрі 40 см, ұзындығы 13 см болатын тіктөртбұрыштың еніне тең. Шаршының ауданын табыңдар.

Шешуі.

1. $P = 2 \cdot (10 + 5) = 30$ см. Шаршының қабырғасы: $30 : 4 = 7{,}5$ см.
2. Периметрдің жартысы — ұзындық пен еннің қосындысы: $40 : 2 = 20$ см. Ені: $20 - 13 = 7$ см. Шаршының ауданы: $7 \cdot 7 = 49$ см².

Жауабы: 1) 7,5 см; 2) 49 см².

B деңгейі

№ 885

1. Ұзындығы 9 см, ал ені ұзындығынан 3 есе кем болатын тіктөртбұрыштың периметрін табыңдар. 2. Периметрі бірінші пунктте берілген тіктөртбұрыштың периметрінен 8 см артық болатын шаршының қабырғасының ұзындығын табыңдар. 3. Екінші пунктте айтылған шаршының ауданын есептеңдер. 4. Ауданы үшінші пунктте берілген шаршының ауданынан 27 см кем шаршының қабырғасының ұзындығын табыңдар. 5. Ұзындығы төртінші пунктте берілген шаршының қабырғасының ұзындығынан 2 есе артық, ал ені 2 есе кем болатын тіктөртбұрыштың периметрі мен ауданын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Әр пункт алдыңғы пунктің жауабын алады. Ретімен шығарып, нәтижені жазып отыр.

Шешуі.

1. Ені $9 : 3 = 3$ см, $P = 2 \cdot (9 + 3) = 24$ см.
2. Шаршының периметрі $24 + 8 = 32$ см, қабырғасы $32 : 4 = 8$ см.
3. $S = 8 \cdot 8 = 64$ см².
4. Екінші шаршының ауданы $64 - 27 = 37$ см². Бірақ $6 \cdot 6 = 36$, ал $7 \cdot 7 = 49$ — бүтін қабырға жоқ, ол шамамен 6,1 см. Шарт қате басылған сияқты: айырма 28 см² болса, аудан дәл 36 см², қабырғасы 6 см болар еді.
5. Қабырғасын 6 см деп алайық. Тіктөртбұрыштың ұзындығы $6 \cdot 2 = 12$ см, ені $6 : 2 = 3$ см. $P = 2 \cdot (12 + 3) = 30$ см, $S = 12 \cdot 3 = 36$ см².

📕 Оқулықтағы қате. № 885 (4) шартында «ауданынан 27 см кем» деп жазылған: біріншіден, аудан см² өлшенеді, см емес; екіншіден, $64 - 27 = 37$ — толық квадрат емес, қабырға бүтін сан болмайды (≈ 6,1 см). Бәлкім, «28 см²» болуы керек еді — сонда қабырға дәл 6 см.

Жауабы: 1) 24 см; 2) 8 см; 3) 64 см²; 4) ауданы 37 см², қабырғасы ≈ 6,1 см (айырма 28 см² болса — дәл 6 см); 5) қабырға 6 см болғанда: $P = 30$ см, $S = 36$ см².

№ 886

Шаршы салыңдар және оны 9 тең бөлікке бөліңдер. Егер бір бөліктің ауданы 0,25 см² болса, онда берілген шаршының ауданы мен периметрін табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Тоғыз тең бөлік әр қабырғаны 3-ке бөлгенде шығады. Әр бөлік — кішкентай шаршы.

Шешуі.

1. Бүкіл шаршының ауданы: $0{,}25 \cdot 9 = 2{,}25$ см².
2. Кішкентай шаршының қабырғасы: $0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}25$, демек, 0,5 см.
3. Үлкен шаршының қабырғасы: $0{,}5 \cdot 3 = 1{,}5$ см. Периметрі: $1{,}5 \cdot 4 = 6$ см.

Жауабы: $P = 6$ см, $S = 2{,}25$ см².

C деңгейі

№ 887

Тіктөртбұрыш үш тең шаршыға бөлінген. Шаршының қабырғасының ұзындығы $a$ см. Тіктөртбұрыштың периметрі мен ауданын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Шаршылар қатар тұр. Тіктөртбұрыштың ұзындығы — шаршының үш қабырғасы, ені — бір қабырғасы.

Шешуі.

1. Ұзындығы $3a$ см, ені $a$ см.
2. $P = 2 \cdot (3a + a) = 2 \cdot 4a = 8a$ см.
3. $S = 3a \cdot a = 3a^2$ см² (немесе $a^2$-тан үш шаршы).

Жауабы: $P = 8a$ см, $S = 3a^2$ см².

№ 888

Жұлдыз шаршы пішінді дастарханның шетін тоқыма жіппен 30 мин-та көмкереді. Ол ауданы осы дастарханның ауданынан 9 есе артық шаршы пішінді дастарханды қанша сағатта көмкереді?

Қалай ойлаймыз. Тұзақ есеп! Жіп шетімен жүреді — периметр маңызды, аудан емес. Аудан 9 есе артық болса, қабырға 3 есе артық ($3 \cdot 3 = 9$).

Шешуі.

1. Үлкен дастарханның қабырғасы 3 есе артық, демек периметрі де 3 есе артық.
2. Уақыт 3 есе көп керек: $30 \cdot 3 = 90$ мин.
3. $90$ мин $= 1{,}5$ сағ.

Жауабы: 1,5 сағ.

⚠️ Жиі кететін қате. «$30 \cdot 9 = 270$ мин» деген жауап. Жұлдыз дастарханның тек шетін емес, бүкіл бетін кестелесе, солай болар еді.

Жаңа тақырыпты меңгеруге дайындаламыз

№ 889

1. Шеңбер қалай салынды (88-сурет)? 2. 89-суретте кескінделген шеңбердің радиустарын атаңдар (шеңбердің $O$ центрі арқылы $AB$, $MH$ және $KF$ кесінділері өтеді).

Шешуі.

1. Циркульдің инесін $O$ нүктесіне қойып, грифельмен циркульді толық бір айналдыра отырып сызық жүргіздік. Аяқтарының арақашықтығы өзгерген жоқ.
2. Радиус — центрден шеңбердің нүктесіне дейінгі кесінді. Суретте бұл — $OA$, $OB$, $OM$, $OH$, $OK$, $OF$.

Жауабы: 1) инені $O$ центріне қойып, грифельмен айналдыра; 2) $OA$, $OB$, $OM$, $OH$, $OK$, $OF$.

№ 890

90-суретте белгіленген нүктелерден қайсылары 1) шеңберге; 2) дөңгелекке тиісті? (Суретте центрі $O$ шеңбер; $A$, $B$ нүктелері сызықтың үстінде, $F$, $K$ — ішінде, $M$, $E$ — сыртында.)

Қалай ойлаймыз. Шеңбер — тек сызықтың өзі. Дөңгелек — сызық және оның ішіндегінің бәрі.

Шешуі.

1. Шеңберге сызықтың үстіндегі нүктелер тиісті: $A$ және $B$.
2. Дөңгелекке сызықтың үстіндегі және ішіндегі нүктелер тиісті: $A$, $B$, $F$, $K$ және $O$ центрі. $M$ және $E$ нүктелері — сыртында.

Жауабы: 1) $A$, $B$; 2) $A$, $B$, $F$, $K$ (және $O$).

Жадынама

• $n$ бұрышты көпбұрыштың $n$ төбесі, $n$ қабырғасы, $n$ бұрышы бар.
• Диагональ саны: үшбұрышта 0, төртбұрышта 2, бесбұрышта 5, алтыбұрышта 9.
• Периметр — сантиметрмен, аудан — шаршы сантиметрмен.
• Қабырға 3 есе артса → периметр 3 есе, аудан 9 есе артады.

Шағын тест