§ 52. Шеңбер. Дөңгелек

Математика, 5 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2017). 9 тарау: Диаграмма. 98–100-беттер.

Нені үйренесің

• Шеңбер мен дөңгелекті ажыратуды.
• Центрін, радиусын және диаметрін табуды және оларды байланыстыруды: $d = 2r$.
• Шеңберді циркульмен радиусы немесе диаметрі бойынша салуды.
• Дөңгелек секторы деген не екенін түсінуді және оның бұрышын $360^\circ$-тан табуды.

Ой қозғау

Бұл — өткен сабақтағы № 889–890 жаттығулар.

• Шеңберді циркульмен қалай сызамыз? Инені $O$ центріне қоямыз, аяқтарын қозғамаймыз, грифельмен толық бір айналым жасаймыз.
• Центр арқылы $AB$, $MH$, $KF$ кесінділері өтеді. Радиустарды ата. $OA$, $OB$, $OM$, $OH$, $OK$, $OF$.
• $A$ және $B$ нүктелері сызықтың үстінде, $F$ және $K$ — ішінде, $M$ және $E$ — сыртында. Қайсысы шеңберде жатыр? Тек $A$ және $B$.
• Ал қайсысы дөңгелекке тиісті? $A$, $B$, $F$, $K$ (және $O$ центрі).

💡 Шеңбер — «білезік», ал дөңгелек — «тәрелке». Білезіктің іші бос, тәрелкенің іші бос емес.

Тақырыпты талдаймыз

Білезік пен тәрелке

Шеңбер — барлық нүктесі бір нүктеден, яғни центр $O$-дан бірдей қашықтықта жатқан тұйық сызық. Дөңгелек — шеңбермен шектелген жазықтықтың бөлігі, шеңбердің өзімен қоса.

📌 Шеңбердің барлық нүктесі центрден дәл радиусқа тең қашықтықта. Дөңгелектің барлық нүктесі — радиусқа тең немесе одан кіші қашықтықта.

Радиус және диаметр

Радиус — шеңбердің кез келген нүктесін центрмен қосатын кесінді, мысалы $OA$. $r$ әрпімен белгіленеді.

Диаметр — шеңбердің центрі арқылы өтіп, оның екі нүктесін қосатын кесінді, мысалы $KH$. $d$ әрпімен белгіленеді.

📌 Диаметр радиустан 2 есе үлкен: $d = 2 \cdot r$, ал $r = d : 2$.

⚠️ Жиі кететін қате. «Диаметрі 6 см шеңбер» салғанда циркульді 6 см-ге ашады. Циркульді әрқашан радиусқа ашады — мұнда 3 см-ге.

🌟 Велосипед дөңгелегі, киіз үйдің шаңырағы, 100 теңгелік монета — бәрі дөңгелек. Дөңгелектің сымы — радиустың дәл өзі дерлік!

Дөңгелек секторы

Дөңгелекте екі радиус жүргіз — дөңгелек екі бөлікке бөлінеді. Әр бөлік дөңгелек секторы деп аталады, тортты кескендегі бөлік сияқты. Әр сектордың центрде төбесі бар өз бұрышы болады.

Центрді айнала бүкіл дөңгелек — толық бұрыш, $360^\circ$. Сондықтан бір сектор $135^\circ$ болса, екіншісі:

$360^\circ - 135^\circ = 225^\circ$.

📌 Бір дөңгелектің барлық секторларының бұрыштарының қосындысы әрқашан $360^\circ$-қа тең.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Баламен қағаз дөңгелекті (немесе тортты) 2–4 бөлікке кесіп, бұрыштарын бағалауын сұраңыз. Сосын оларды қосыңыз — шамамен 360° шығуы керек.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Шеңбердің радиусы деген не? Центрді шеңбердің кез келген нүктесімен қосатын кесінді.
• Диаметр деген не? Центр арқылы өтіп, шеңбердің екі нүктесін қосатын кесінді.
• Диаметрі белгілі болса, радиусты қалай табамыз? Диаметрді 2-ге бөлеміз: $r = d : 2$.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 891

Радиусы 1) 3 см; 2) 1 см 5 мм болатын шеңбер салыңдар.

Қалай ойлаймыз. Циркульдің ашылуы — радиустың өзі. Оны сызғыштан өлшеп ал.

Шешуі.

1. Инені сызғыштың 0-іне, грифельді 3 см-ге қой. Инені парақтағы $O$ нүктесіне қойып, бір айналым жаса.
2. Циркульді 1 см 5 мм-ге (15 мм) аш та, дәл солай істе.

Жауабы: радиустары 3 см және 1 см 5 мм шеңберлер.

№ 892

Диаметрі 1) 50 мм; 2) 6 см болатын шеңбер салыңдар.

Қалай ойлаймыз. Циркульді радиусқа ашады, ал радиус — диаметрдің жартысы.

Шешуі. 1) $50 : 2 = 25$ мм. 2) $6 : 2 = 3$ см. № 891 сияқты сызамыз.

Жауабы: радиустары 25 мм және 3 см.

№ 893

Дөңгелек екі секторға бөлінген. Бір сектордың бұрышы 1) $25^\circ$; 2) $90^\circ$; 3) $126^\circ$; 4) $189^\circ$; 5) $200^\circ$; 6) $320^\circ$ болса, екінші сектордың бұрышы қандай?

Қалай ойлаймыз. Екі сектор бірге — бүкіл дөңгелек, $360^\circ$. Белгілі бұрышты 360-тан алып тастаймыз.

Шешуі.

1. $360^\circ - 25^\circ = 335^\circ$
2. $360^\circ - 90^\circ = 270^\circ$
3. $360^\circ - 126^\circ = 234^\circ$
4. $360^\circ - 189^\circ = 171^\circ$
5. $360^\circ - 200^\circ = 160^\circ$
6. $360^\circ - 320^\circ = 40^\circ$

Жауабы: $335^\circ$; $270^\circ$; $234^\circ$; $171^\circ$; $160^\circ$; $40^\circ$.

№ 894

Дөңгелек үш секторға бөлінген. Егер секторлардың бұрыштары 1) $52^\circ$ және $86^\circ$; 2) $90^\circ$ және $66^\circ$; 3) $120^\circ$ және $100^\circ$; 4) $180^\circ$ және $36^\circ$; 5) $180^\circ$ және $90^\circ$; 6) $180^\circ$ және $100^\circ$ болса, үшінші сектордың бұрышы қандай?

Қалай ойлаймыз. Алдымен екі белгілі бұрышты қос, сосын $360^\circ$-тан алып тас.

Шешуі.

1. $360^\circ - (52^\circ + 86^\circ) = 360^\circ - 138^\circ = 222^\circ$
2. $360^\circ - (90^\circ + 66^\circ) = 360^\circ - 156^\circ = 204^\circ$
3. $360^\circ - (120^\circ + 100^\circ) = 140^\circ$
4. $360^\circ - (180^\circ + 36^\circ) = 144^\circ$
5. $360^\circ - (180^\circ + 90^\circ) = 90^\circ$
6. $360^\circ - (180^\circ + 100^\circ) = 80^\circ$

Жауабы: $222^\circ$; $204^\circ$; $140^\circ$; $144^\circ$; $90^\circ$; $80^\circ$.

№ 895

Шеңбер салыңдар. Арасындағы бұрышы 1) $180^\circ$; 2) $90^\circ$; 3) $45^\circ$; 4) $135^\circ$ болатындай екі радиус жүргізіңдер.

Қалай ойлаймыз. Бірінші радиусты қалай болса да жүргізуге болады. Сосын транспортирдің центрін шеңбердің центріне, бірінші радиусты $0^\circ$-қа қойып, керекті санды белгілейміз де, екінші радиусты шеңберге дейін жүргіземіз.

Шешуі.

1. $180^\circ$ — екі радиус диаметр құрайды, бір түзу сызық.
2. $90^\circ$ — радиустар перпендикуляр, сағат тілдері 3 сағатта тұрғандай.
3. $45^\circ$ — тік бұрыштың жартысы.
4. $135^\circ$ — тік бұрыш және тағы тік бұрыштың жартысы: $90^\circ + 45^\circ$.

Жауабы: сызбалар жоғарыда сипатталғандай.

B деңгейі

№ 896

Дөңгелекте үш радиус жүргізіліп, үш сектор алынды. Осы секторлардың бұрыштарының 1) барлығы сүйір; 2) барлығы доғал; 3) барлығы жазыңқы болуы мүмкін бе?

Қалай ойлаймыз. Үш бұрыштың қосындысы міндетті түрде $360^\circ$. Керекті бұрыштармен 360 жинауға бола ма, тексер.

Шешуі.

1. Үш сүйір бұрыш $90^\circ$-тан кіші, олардың қосындысы $90^\circ \cdot 3 = 270^\circ$-тан кіші — 360-қа жетпейді. Болмайды.
2. Доғал бұрыш $90^\circ$-тан үлкен, $180^\circ$-тан кіші. Үш доғал бұрыштың қосындысы $270^\circ$-тан үлкен, $540^\circ$-тан кіші. Мысалы, $120^\circ + 120^\circ + 120^\circ = 360^\circ$. Болады.
3. $180^\circ \cdot 3 = 540^\circ \neq 360^\circ$. Болмайды.

Жауабы: 1) болмайды; 2) болады (мысалы, $120^\circ$, $120^\circ$, $120^\circ$); 3) болмайды.

№ 897

Дөңгелек үш секторға бөлінген. Бір сектордың бұрышы доғал, екінші сектордың бұрышы жазыңқы екені белгілі. Үшінші сектордың бұрышы 1) сүйір; 2) тік; 3) доғал болуы мүмкін бе?

Қалай ойлаймыз. Жазыңқы бұрышты — $180^\circ$-ты — бірден алып тастаймыз. Қалған екі бұрыштың қосындысы $360^\circ - 180^\circ = 180^\circ$ болады.

Шешуі. Доғал бұрыш — $90^\circ$-тан үлкен, $180^\circ$-тан кіші. Онда үшінші бұрыш: $180^\circ$-тан кіші және $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$-тан кіші, яғни $0^\circ$ мен $90^\circ$ арасында. Мысалы, доғал $120^\circ$ болса, үшіншісі $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. Демек, үшінші бұрыш әрқашан сүйір.

Жауабы: 1) болады; 2) болмайды; 3) болмайды — үшінші бұрыш әрқашан сүйір.

№ 898

Біреуінің бұрышы екіншісінің бұрышынан $60^\circ$-қа артық болатындай дөңгелек екі секторға бөлінген. Әр сектордың бұрышын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Үлкен бұрыштан артық $60^\circ$-ты алып тастасақ, екі бұрыш та тең болады.

Шешуі.

1. $360^\circ - 60^\circ = 300^\circ$ — бұл екі тең бұрыш.
2. Кішісі: $300^\circ : 2 = 150^\circ$.
3. Үлкені: $150^\circ + 60^\circ = 210^\circ$. Тексеру: $150 + 210 = 360$ ✓.

Жауабы: $150^\circ$ және $210^\circ$.

C деңгейі

№ 899

1. Дөңгелек үш секторға бөлінген. Оның екі сектордың бұрышы бірдей, ал үшінші бұрышы осы бұрыштардың әрқайсысынан екі есе артық. Осы секторлардың бұрышы неге тең? Қандай бұрыштар шықты? 2. Дөңгелек бір секторының бұрышы $50^\circ$, екіншісінің бұрышы одан 2 есе артық, үшіншісінің бұрышы екіншісінен $20^\circ$-қа кем болатындай 4 секторға бөлінген. Төртінші сектордың бұрышын өлшеңдер. Шыққан нәтижені есептеу арқылы тексеріңдер. 3. Екі бұрышының әрқайсысы $175^\circ$ болатындай шеңбер 4 секторға бөлінген. Егер қалған екі сектордың бұрыштарының градустары тақ сандар болса, осы екі сектордың бұрыштарын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Барлық тармақта бір ереже көмектеседі: секторлардың бұрыштарының қосындысы $360^\circ$.

Шешуі.

1. Қадамдық кеңестегідей: $360^\circ : 4 = 90^\circ$. Бұрыштар $90^\circ$, $90^\circ$, $180^\circ$ — екі тік және бір жазыңқы бұрыш.
2. Біріншісі $50^\circ$, екіншісі $50^\circ \cdot 2 = 100^\circ$, үшіншісі $100^\circ - 20^\circ = 80^\circ$. Төртіншісі: $360^\circ - (50^\circ + 100^\circ + 80^\circ) = 360^\circ - 230^\circ = 130^\circ$. Транспортир шамамен $130^\circ$ көрсетуі керек.
3. Қалған екі секторға: $360^\circ - 175^\circ \cdot 2 = 10^\circ$. Қосындысы 10 болатын екі тақ сан: $1$ және $9$, $3$ және $7$, $5$ және $5$.

Жауабы: 1) $90^\circ$, $90^\circ$, $180^\circ$ (екі тік және жазыңқы бұрыш); 2) $130^\circ$; 3) $1^\circ$ және $9^\circ$, $3^\circ$ және $7^\circ$ немесе $5^\circ$ және $5^\circ$.

Хабарлама дайындаңдар

№ 900

Еңбегінде геометриялық фигура (шеңбердің диаметрі) кездесетін ежелгі грек ғалымы Фалес Милетский туралы хабарлама дайындаңдар.

Қалай ойлаймыз. 3–4 дерек тауып, өз сөзіңмен 1–2 минутта айтып бер. Даталарды дереккөзден тексер.

Шешуі. Хабарлама үлгісі. Фалес грек қаласы Милетте шамамен 2600 жыл бұрын (б.з.б. 625–547 жж.) өмір сүрген. Оны өлшеп қана қоймай, геометриялық фактілерді дәлелдеген алғашқы ғалымдардың бірі деп атайды. Диаметр дөңгелекті екі тең бөлікке бөледі деген тұжырым оған тиесілі. Фалес мысыр пирамидасының биіктігін оның көлеңкесінің ұзындығы арқылы өлшеген және Күн тұтылуын болжаған деседі.

Жауабы: хабарлама үлгісі жоғарыда.

Жаңа тақырыпты меңгеруге дайындаламыз

№ 901

1-диаграммада тіктөртбұрышпен Қазақстан көлдерінің өлшемдері көрсетілген. Қызыл түспен Алакөл, сары түспен Зайсан, көк түспен Теңіз көлінің өлшемдері берілген. Осы көлдердің ең үлкен, ең кішісін атаңдар.

Қалай ойлаймыз. Мұндай диаграммада тіктөртбұрыш неғұрлым ұзын болса, көл соғұрлым үлкен. Қызылы — ең ұзыны, көгі — ең қысқасы.

Шешуі. Ең ұзын тіктөртбұрыш қызыл — бұл Алакөл. Ең қысқасы көк — Теңіз.

Жауабы: ең үлкені — Алакөл, ең кішісі — Теңіз.

№ 902

Мектеп жанында аққайың, емен және қарағай өседі. Қызыл түспен аққайың, көк түспен қарағай, сары түспен емен көрсетілген (2-диаграмма). Ең биік талды атаңдар.

Шешуі. Ең ұзын кесінді — қызыл, демек, ең биігі — қайың. Қарағай сәл аласа, ал емен — ең аласа.

Жауабы: қайың.

Жадынама

• Циркульді радиусқа ашады, диаметрге емес.
• $d = 2r$, $r = d : 2$.
• Екі сектор: екінші бұрыш $= 360^\circ -$ біріншісі.
• Үш және одан көп: $360^\circ -$ белгілі бұрыштардың қосындысы.

Шағын тест