§ 54. Тікбұрышты параллелепипед (текше) және оның жазбасы

Математика, 5 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2017). 10 тарау: Кеңістік фигураларының жазбалары. 110–113-беттер.

Нені үйренесің

• Жазық фигураларды кеңістік фигураларынан ажыратуды.
• Көпжақтың төбелерін, қырларын және жақтарын табуды және санауды.
• Текше мен тікбұрышты параллелепипедтің жазбасын танып білуді.
• Жазбасын сызып, одан текше немесе қорап желімдеуді.
• Текшенің барлық жақтарының ауданын және көлемін табуды.

Ой қозғау

Бұл — өткен сабақтағы 919–921-жаттығулар.

• Текшенің қабырғасы 8 см. Көлемі неге тең? $8 \cdot 8 \cdot 8 = 512$ см³.
• Текшенің көлемі 27 см³. Қабырғасы қандай? 3 см, өйткені $3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$. Ал көлемі 1000 см³ болса — 10 см.
• Қораптың ұзындығы 20 см, ені — ұзындығының 0,3-і, биіктігі — енінің 200%-ы. Көлемі қандай? Ені 6 см, биіктігі 12 см, көлемі $20 \cdot 6 \cdot 12 = 1440$ см³.
• Кубик-рубиктің неше жағы бар? 6 — оның 6 түрлі-түсті беті бар.

Тақырыпты талдаймыз

Жазық және кеңістік фигуралары

Шаршы, тіктөртбұрыш, параллелограмм парақта сызылады — олар жазық фигуралар. Ал кубикті, қорапты, банканы парақтың бетіне «сыйғыза» алмайсың: олардың ұзындығы, ені және биіктігі бар. Бұлар — кеңістік фигуралары.

Кеңістік фигуралары арасында ерекшелері бар — көпжақтар. Олардың беті тек көпбұрыштардан: шаршылардан, тіктөртбұрыштардан, үшбұрыштардан тұрады. Текше, қорап, пирамида — көпжақтар. Ал цилиндр (банка) — көпжақ емес: оның дөңгелектері мен қисық бүйір беті бар.

🌟 «Көпжақ» сөзі өзі-ақ айтып тұр: «көп жағы бар». Мысырдағы пирамидалар да — көпжақтар.

Төбелер, қырлар, жақтар

Шырын қорабын қолыңа ал — бұл тікбұрышты параллелепипед.

• Жақ — жазық беті. Бұл — тіктөртбұрыш. Жақтары 6.
• Қыр — екі жақ түйісетін жер. Бұл — кесінді. Қырлары 12.
• Төбе — қораптың үш қыры қосылатын бұрышы. Бұл — нүкте. Төбелері 8.

Текше — сондай-ақ тікбұрышты параллелепипед, тек оның барлық қырлары тең, ал барлық жақтары бірдей шаршылар.

📌 Тікбұрышты параллелепипедтің (және текшенің): 8 төбесі, 12 қыры, 6 жағы бар. Қарама-қарсы жақтары тең.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Балаға қорап пен маркер беріңіз. Әр төбеге нүкте қойып, санасын: 8. Сосын әр қырды саусағымен жүргізіп шықсын: 12. Қолмен жасағанда көзбен көргеннен жақсы есте қалады.

Жазба: үстелге жайылған қорап

Егер текшені кейбір қырлары бойынша қиып, жайсаң, алты шаршыдан тұратын жазық фигура шығады. Бұл — жазба. Міне, солардың бірі: қатарына төрт шаршы, үстіне және астына бір-бірден. Бір түсті шаршылар — қарама-қарсы жақтар: текшеде олар бір-біріне қарап тұрады.

Тікбұрышты параллелепипедтің жазбасы алты тіктөртбұрыштан тұрады. Қарама-қарсы жақтары тең — олар да бір түсті. 4 × 2 × 3 торкөзді қорапқа мысал:

Текшені желімдеу үшін жазбаға «құлақшалар» — желімге арналған жолақтар сызады (107-сурет). Сосын қырлары бойынша мұқият бүгіп, желімдейді.

⚠️ Жиі кететін қате. Кез келген алты шаршы текшеге бүктелмейді! Мысалы, бір қатарға тізілген алты шаршыны бүктеуге болмайды — жақтары бір-біріне түсіп қалады. Желімдеуден бұрын тексер: әр жақтың қарсы жағында өз «жұбы» болуы керек.

💡 Текшенің бетінің ауданы — оның жазбасының ауданы: 6 бірдей шаршы. Егер қыры $a$ болса, $S = 6 \cdot a \cdot a$.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Қандай фигуралар жазық, қандайлары кеңістік фигуралары (102-сурет)? Жазық: параллелограмм (1), шаршы (3), тіктөртбұрыш (4). Кеңістік: текше (2), тікбұрышты параллелепипед (5), цилиндр (6).
• Неліктен текше мен параллелепипед — көпжақтар, ал 1, 3, 4 және 6 фигуралар — көпжақ емес? Текше мен параллелепипедтің беті көпбұрыштардан тұрады. 1, 3, 4 фигуралар жазық, ал цилиндрдің дөңгелектері мен қисық беті бар.
• 102-суретте неше тікбұрышты параллелепипед бар? Неше текше бар? Екі параллелепипед — № 2 және № 5 (текше де параллелепипед). Текше біреу — № 2.
• Төбе, қыр, жақ қандай фигура? Олар нешеу? Төбе — нүкте, олар 8. Қыр — кесінді, олар 12. Жақ — тіктөртбұрыш, олар 6.
• Текшенің беті қандай фигуралардан тұрады? Оның ауданын қалай табамыз? 6 тең шаршыдан. Бір шаршының ауданын 6-ға көбейтеміз.
• Текше тікбұрышты параллелепипед бола ма? Болады. Бұл — барлық қыры тең параллелепипед.
• Сөйлемді аяқта: «Тікбұрышты параллелепипед пішіні бар…» …шырын қорабы, кірпіш, шкаф, сіріңке қорабы, сынып бөлмесі, оқулық.
• Текшенің жазбасы қандай фигуралардан тұрады? Алты тең шаршыдан.
• Тікбұрышты параллелепипедтің қарама-қарсы жақтары туралы не айтуға болады? Олар тең.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 922

1) Текшенің қырының ұзындығы 2 см. Текшенің барлық жақтарының ауданын табыңдар. 2) Текшенің бір жағының ауданы 49 см². Текшенің көлемін табыңдар. 3) Текшенің көлемі 27 см³. Текшенің жағының, яғни $ABCD$ шаршысының ауданын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Үш есептің де кілті — қыр. Қырды біліп, жақты да, көлемді де табамыз.

Шешуі.

1. Жағы: $2 \cdot 2 = 4$ см². Барлық 6 жағы: $4 \cdot 6 = 24$ см².
2. $7 \cdot 7 = 49$, демек, қыры 7 см. Көлемі: $7 \cdot 7 \cdot 7 = 343$ см³.
3. $3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$, демек, қыры 3 см. Жағы: $3 \cdot 3 = 9$ см².

Жауабы: 1) 24 см²; 2) 343 см³; 3) 9 см².

№ 923

1) $ABCD$ шаршысының $AC$ және $BD$ диагональдарының ұзындығын табыңдар (текшенің алдыңғы жағы). 2) 46-кестені толтырыңдар: $AD$ қабырғасының ұзындығы 0,8 см; 3 дм; $\frac{5}{7}$ дм; $1\frac{2}{3}$ дм; 3,4 см.

Қалай ойлаймыз. Жақтың ауданы — $a \cdot a$, көлемі — $a \cdot a \cdot a$. Бөлшек қырды бөлшек сияқты көбейтеміз.

Шешуі.

1. Шаршының диагональдары тең: сызғышпен өлшесең, бір сан шығады.
2. Кесте:

$1\frac{2}{3} = \frac{5}{3}$ үшін түсіндірме: ауданы $\frac{5}{3} \cdot \frac{5}{3} = \frac{25}{9} = 2\frac{7}{9}$; көлемі $\frac{25}{9} \cdot \frac{5}{3} = \frac{125}{27} = 4\frac{17}{27}$.

Жауабы: $AC = BD$; кесте — жоғарыда.

📕 Оқулықтағы қате. Бұл жаттығуда «шаршысының» орнына $ACBD$ деп басылып кеткен. Дұрысы — $ABCD$ (109-суреттегі шаршы). Төртбұрыштың төбелерін қатарынан ретімен атау керек.

№ 924

Жазбалардан текше құрастырып, әр текшеге атау беріңдер (110-сурет). Жазбаларда: ғалымдардың портреттері; түрлі-түсті фигуралар; 1–6 цифрлары.

Қалай ойлаймыз. Жазба — «айқыш»: төрт шаршыдан тұратын баған және жоғарыдан екінші шаршының сол жағы мен оң жағында бір-бірден шаршы. Оны картонға көшіріп, құлақшалар қос та, бүгіп желімде.

Цифрлары бар жазба былай белгіленген:

Шешуі.

1. Жазбаны құлақшаларымен қоса қиып аламыз.
2. Шаршылар арасындағы барлық сызықтар бойынша бүгеміз.
3. Құлақшаларды іш жағынан желімдейміз.
4. Атаулары — өзің қалағаныңша: «Ғалымдар текшесі», «Фигуралар текшесі», «Цифрлы текше».

Цифрлы текшеде 1 мен 3, 2 мен 4, 5 пен 6 бір-біріне қарсы тұрады.

Жауабы: текше дайын; атаулары, мысалы, «Ғалымдар текшесі», «Фигуралар текшесі», «Цифрлы текше».

💡 Нағыз ойын сүйегінде қарама-қарсы жақтардағы сандардың қосындысы әрқашан 7: 1 мен 6, 2 мен 5, 3 пен 4. Біздің текшеде олай емес — жазбадағы цифрларды ауыстырып, нағыз сүйек шығарып көр!

B деңгейі

№ 925

Қабырғасының ұзындығы 5 см текшенің жазбасын салыңдар. Оның жақтарына суреттер (әріптер, цифрлар және т.с.с.) желімдеңдер немесе салыңдар. Текшені жинаңдар.

Қалай ойлаймыз. Әр жақ — 5 × 5 см шаршы. «Айқыш» түріндегі ыңғайлы жазба ені бойынша 3 шаршыны, биіктігі бойынша 4 шаршыны алады.

Шешуі.

1. Парақ ені кемінде $3 \cdot 5 = 15$ см, биіктігі $4 \cdot 5 = 20$ см болуы керек (құлақшаға орын қосып).
2. 5 см-ден 4 шаршыдан тұратын баған саламыз, екіншісінің екі жағына тағы екі шаршы.
3. Жақтарына әріптер, цифрлар немесе суреттер саламыз, 1 см-лік құлақшалар қосамыз, қиамыз, бүгеміз, желімдейміз.
4. Құлақшасыз жазбаның бүкіл ауданы: $6 \cdot 5 \cdot 5 = 150$ см².

Жауабы: 5 × 5 см-лік 6 шаршыдан тұратын жазба (150 см²), 15 × 20 см тіктөртбұрышқа сыяды.

№ 926

Ұзындығы 19 см, ені 12 см, биіктігі 3 см ашық қорапты дайындау үшін қандай өлшемдегі картон қағазды алу керек?

Қалай ойлаймыз. Қақпағы жоқ — демек, жағы 5: түбі және 4 бүйірі. Бүйірлер түбінен 3 см-ге бүгіледі.

Шешуі.

1. Қағаздың ұзындығы: $3 + 19 + 3 = 25$ см.
2. Қағаздың ені: $3 + 12 + 3 = 18$ см.
3. Жазбаның өзі: $19 \cdot 12 + 2 \cdot 19 \cdot 3 + 2 \cdot 12 \cdot 3 = 228 + 114 + 72 = 414$ см². Қағаз $25 \cdot 18 = 450$ см², $3 \cdot 3$ см бұрыштарды қиып аламыз: $450 - 4 \cdot 9 = 414$ ✓.

Жауабы: 25 см × 18 см қағаз (жазбаның өзі — 414 см²).

C деңгейі

№ 927

«Текше» сөзінің шығу тарихы қандай? Осы сөзге қатысты Евклидтің еңбектерін зерделеп көріңдер. (Хабарлама дайындаңдар.)

Қалай ойлаймыз. Жоспар: сөз қайдан шықты → оны кім енгізді → текше өмірде қайда кездеседі. Мерзімдерін дереккөзден тексер.

Шешуі. Хабарламаның мысалы: «Куб» сөзі ежелгі грек тілінен келген: kybos — ойын сүйегін осылай атаған. Пифагордың шәкірттері — пифагоршылар — алты бірдей шаршы жағы бар фигураны осылай атай бастаған. Кейін текшені Евклид (б.з.б. III ғасыр) «Бастамалар» кітабында сипаттады — геометрияны екі мың жыл осы кітаптан оқыған. «Куб» сөзінен «кубометр» және «санның кубы» шықты: $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2$ деп «екінің кубы» деп оқимыз. Қазақшада «текше» деген сөз де осы фигураны білдіреді.

Жауабы: хабарламаның мысалы — жоғарыда.

Жаңа тақырыпты меңгеруге дайындаламыз

№ 928

1) Шаршы мен тіктөртбұрыш салыңдар. Оларды диагоналі бойынша екі бөлікке бөліңдер. Беттестіру арқылы шыққан үшбұрыштардың ауданын салыстырыңдар. 2) Егер $ABCD$ шаршысының қабырғасының ұзындығы 3,5 см, $MKFE$ тіктөртбұрышының ұзындығы 3,5 см және ені 1,3 см болса, $ABC$ және $MKF$ үшбұрыштарының ауданын табыңдар (111-сурет).

Қалай ойлаймыз. Диагональ фигураны екіге бөледі: екі үшбұрыш беттескенде дәл келеді. Демек, үшбұрыштың ауданы — фигура ауданының жартысы.

Шешуі.

1. Әр жұптағы үшбұрыштар тең — беттескенде дәл келеді.
2. $S_{ABC} = 3{,}5 \cdot 3{,}5 : 2 = 12{,}25 : 2 = 6{,}125$ см².
3. $S_{MKF} = 3{,}5 \cdot 1{,}3 : 2 = 4{,}55 : 2 = 2{,}275$ см².

Жауабы: үшбұрыштар тең; $S_{ABC} = 6{,}125$ см², $S_{MKF} = 2{,}275$ см².

Жадынама

• Текше — қырлары тең тікбұрышты параллелепипед.
• Параллелепипедтің қарама-қарсы жақтары тең.
• Текшенің бетінің ауданы: $6 \cdot a \cdot a$, көлемі: $a \cdot a \cdot a$.
• Текшенің жазбасы — 6 тең шаршы; желімдеу үшін құлақшалар қосады.
• Қақпағы жоқ қорап — 5 жақ.

Шағын тест