§ 6. Теңдеу

Математика, 5 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2017). 1 тарау: Натурал сандар және нөл саны. 31–34-беттер.

Нені үйренесің

• Теңдеудің түбірі не екенін және «теңдеуді шешу» дегеніміз не екенін түсіндіруді.
• Белгісіз жақшаның ішінде немесе бөліндіде тұрған теңдеулерді, мысалы, $119 - 119 : x = 102$ теңдеуін шығаруды.
• Теңдеуді шешпес бұрын ықшамдауды: $17x + 18x = 700$.
• Жауабын қою арқылы тексеруді.

Ой қозғау

Бұл өткен сабақтағы № 77–79 тапсырмалар.

• Мыналардың қайсысы теңдеу: $28 + x$ па, әлде $y + 195 = 300$ ме? Екіншісі: онда «=» таңбасы бар. Ал $28 + x$ — жай ғана өрнек.
• $y + 195 = 300$ теңдеуін шеш. Белгісіз қосылғыш: $y = 300 - 195 = 105$.
• $x - 2197 = 3934$ теңдеуін шеш. Белгісіз азайғыш: $x = 3934 + 2197 = 6131$.
• $2592 : y = 24$ теңдеуін шеш. Белгісіз бөлгіш: $y = 2592 : 24 = 108$.
• 102 саны $3876 : x = 38$ теңдеуінің түбірі ме? Иә: $3876 : 102 = 38$.

Тақырыпты талдаймыз

Теңдеу — таразы

Таразыны елестет. Бір табақта құрамында белгісіз сан кәмпит бар қорап және тағы 2 кәмпит, екінші табақта 7 кәмпит тұр. Таразы тең тұр. Қорапта неше кәмпит бар? Әрине, 5!

Математик былай жазады: $2 + x = 7$. Бұл — теңдеу: құрамында белгісіз санды білдіретін әрпі бар теңдік.

📌 Теңдеудің түбірі (шешімі) — теңдеудегі әріптің орнына қойғанда дұрыс теңдік беретін сан. Теңдеуді шешу — оның барлық түбірлерін табу немесе түбірлері жоқ екенін көрсету.

5 саны $2 + x = 7$ теңдеуінің түбірі болады, өйткені $2 + 5 = 7$ — дұрыс теңдік.

Түбір екеу болуы да, болмауы да мүмкін

• $(x - 12) \cdot (x - 13) = 0$ теңдеуінің екі түбірі бар: 12 және 13. 12-ні қойып көр: бірінші жақша нөлге айналады, ал нөлді нешеге көбейтсең де, нөл болады.
• $x \cdot 0 = 15$ теңдеуінің түбірі жоқ: нөлге көбейтілген кез келген сан нөл болады, 15 емес.

🌟 «Түбір» ұғымын Хорезмнен шыққан ғалым Әл-Хорезми енгізген. Ол белгісіз шаманы өсімдіктің түбіріне теңеген: түбірі көрінбейді, бірақ бәрі содан өсіп шығады.

Көмекші ережелер

Теңдеуді шешу үшін арифметикалық амалдардың белгісіз компоненттерін табу ережелерін қолданамыз:

Үкінің жұмбағын шешеміз

$119 - 119 : x = 102$ теңдеуіне қайта оралайық. Айла мынада: құрамында иксі бар үлкен бөлікті бір бүтін ретінде қарастыру керек.

⚠️ Жиі кететін қате. Көпшілігі «ішкі жағынан» бастайды: $119 : x$ ішінен бірден $x$-ті табуға тырысады. Ал сыртынан ішіне қарай жүру керек — қырыққабаттың қабатын аршығандай: алдымен сыртқы қабат (азайту), сонан соң ішкі қабат (бөлу).

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Әр қадам алдында баладан сұраңыз: «Иксі бар бөлік не болып тұр — қосылғыш па, азайтқыш па, көбейткіш пе?» Бала сенімді жауап берсе, қалғаны өздігінен шығады. Жауабын қойып тексеруді де ұмытпай сұраңыз.

Алдымен ықшамда

Кейде теңдеуді алдымен қысқартуға болады. Мысалы, $x + 18 = 26 + 15$ теңдеуінде оң жағын есептейміз: $x + 18 = 41$, $x = 23$. Ал $17x + 18x = 700$ теңдеуінде иксті қосамыз: $35x = 700$, $x = 20$.

Дұрыс сөйлеп үйренейік

Әріптердің аттары септелмейді. $x + 46 = 78$ теңдеуі былай оқылады: «икс пен қырық алтының қосындысы жетпіс сегізге тең». Ал $x = 5$ жазуы: «икс беске тең».

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Теңдеуге мысал келтір. $x + 25 = 40$, $3y = 27$, $100 - z = 64$.
• Теңдеудің түбірі деген не? Түбір әрқашан бола ма? Теңдеудегі әріптің орнына қойғанда дұрыс теңдік беретін сан. Түбір болмауы да мүмкін: $x \cdot 0 = 15$ теңдеуінің түбірі жоқ. Ал бірнеше болуы да мүмкін, мысалы, $(x - 12)(x - 13) = 0$.
• Теңдеуді шешу дегеніміз не? Оның барлық түбірлерін табу немесе түбірлері жоқ екенін дәлелдеу.
• Теңдеуді шешуге қандай ережелер көмектеседі? Белгісіз қосылғышты, азайғышты, азайтқышты, көбейткішті, бөлінгішті және бөлгішті табу ережелері.
• Шешуді қалай тексереміз? Табылған санды әріптің орнына қойып, екі жағын да есептейміз. Тең болса — дұрыс шешілген.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 80

Теңдеуді шешіңдер: 1) $43x + 72 = 502$; 2) $67 - 21y = 25$; 3) $19y - 200 = 47$; 4) $83 + 29x = 982$.

Қалай ойлаймыз. Иксі бар бөлікті алдымен бүтін деп аламыз: қосылғыш, азайтқыш немесе азайғыш. Содан кейін $x$-ті көбейткіш ретінде табамыз.

Шешуі.

1. $43x = 502 - 72 = 430$; $x = 430 : 43 = 10$;

2. $21y = 67 - 25 = 42$; $y = 42 : 21 = 2$;

3. $19y = 47 + 200 = 247$; $y = 247 : 19 = 13$;

4. $29x = 982 - 83 = 899$; $x = 899 : 29 = 31$.

5. тексеру: $43 \cdot 10 + 72 = 502$ ✓.

Жауабы: 10; 2; 13; 31.

№ 81

Теңдеуді шешіңдер: 1) $(x + 58) - 37 = 91$; 2) $(63 - y) + 109 = 121$; 3) $69 - (y - 28) = 13$; 4) $103 - (z + 47) = 54$.

Шешуі.

1. $x + 58 = 91 + 37 = 128$; $x = 128 - 58 = 70$;
2. $63 - y = 121 - 109 = 12$; $y = 63 - 12 = 51$;
3. $y - 28 = 69 - 13 = 56$; $y = 56 + 28 = 84$;
4. $z + 47 = 103 - 54 = 49$; $z = 49 - 47 = 2$.

Жауабы: 70; 51; 84; 2.

№ 82

Теңдеуді шешіңдер: 1) $321 + (x + 13) = 450$; 2) $122 + (y - 7) = 200$; 3) $204 - (x + 29) = 100$; 4) $53 - (y - 13) = 24$.

Шешуі.

1. $x + 13 = 450 - 321 = 129$; $x = 129 - 13 = 116$;

2. $y - 7 = 200 - 122 = 78$; $y = 78 + 7 = 85$;

3. $x + 29 = 204 - 100 = 104$; $x = 104 - 29 = 75$;

4. $y - 13 = 53 - 24 = 29$; $y = 29 + 13 = 42$.

5. тексеру: $53 - (42 - 13) = 53 - 29 = 24$ ✓.

Жауабы: 116; 85; 75; 42.

№ 83

Теңдеуді шешіңдер: 1) $(x - 23) \cdot 14 = 56$; 2) $(200 + x) : 12 = 32$; 3) $205 : (y - 27) = 41$; 4) $729 : (c - 15) = 81$; 5) $89 \cdot (b + 13) = 7120$; 6) $12 \cdot (97 - z) = 240$.

Шешуі.

1. $x - 23 = 56 : 14 = 4$; $x = 27$;
2. $200 + x = 32 \cdot 12 = 384$; $x = 184$;
3. $y - 27 = 205 : 41 = 5$; $y = 32$;
4. $c - 15 = 729 : 81 = 9$; $c = 24$;
5. $b + 13 = 7120 : 89 = 80$; $b = 67$;
6. $97 - z = 240 : 12 = 20$; $z = 77$.

Жауабы: 27; 184; 32; 24; 67; 77.

B деңгейі

№ 84

Теңдеудің түбірін табыңдар: 1) $17x + 18x = 700$; 2) $41y - 17y = 480$; 3) $39x + 33x = 432$; 4) $82z - 57z = 575$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен сол жағын ықшамдаймыз: әріпті жақша сыртына шығарамыз.

Шешуі.

1. $35x = 700$; $x = 20$;
2. $24y = 480$; $y = 20$;
3. $72x = 432$; $x = 6$;
4. $25z = 575$; $z = 23$.

Жауабы: 20; 20; 6; 23.

№ 85

5-кестеде берілген шарттарды қолданып, теңдеулер құрыңдар және оларды шешіңдер. 1) Бірдей 24 ыдысқа 72 л сияды, осындай 28 ыдысқа неше литр ($x$ л) сияды? 2) Тәтті нан — 84 тг, кәмпит — 85 тг, мөлшері бірдей; тәтті нанның құны 420 тг, кәмпиттің құны $x$ тг. 3) 36 км/сағ жылдамдықпен 3 сағатта және $x$ км/сағ жылдамдықпен 2 сағатта жүрілген арақашықтық бірдей.

Қалай ойлаймыз. Кестеде бірдей болып тұрған шаманы (ыдыстың сыйымдылығын, мөлшерін, арақашықтықты) табамыз да, теңдеу құрамыз.

Шешуі.

1. Бір ыдыстың сыйымдылығы бірдей: $x : 28 = 72 : 24$; $x : 28 = 3$; $x = 3 \cdot 28 = 84$ л.
2. Тәтті нан мен кәмпиттің мөлшері бірдей: $420 : 84 = x : 85$; $420 : 84 = 5$, яғни $x : 85 = 5$; $x = 85 \cdot 5 = 425$ тг.
3. Арақашықтық бірдей: $2x = 36 \cdot 3$; $2x = 108$; $x = 54$ км/сағ.

Жауабы: 1) 84 л; 2) 425 тг; 3) 54 км/сағ.

C деңгейі

№ 86

*1) $9x + 5 = $; 2) $8x - 4 = $; 3) $ - 13x = 12$ теңдеуінің түбірі 5 саны болатындай етіп жұлдызшаның орнына сан қойыңдар.

Қалай ойлаймыз. $x$ орнына 5-ті қойып, белгісіз бөлікті есептейміз.

Шешуі.

1. $9 \cdot 5 + 5 = 50$;
2. $8 \cdot 5 - 4 = 36$;
3. $* - 65 = 12$, демек, $* = 12 + 65 = 77$.

Жауабы: 50; 36; 77.

№ 87

Берілген сөйлемдерді теңдеу арқылы жазып, шыққан теңдеуді шешіңдер: 1) тізбектен алынған екі натурал санның қосындысының мәні 303-ке тең; 2) жұп цифрмен аяқталатын тізбектен алынған үш натурал санның қосындысының мәні 306-ға тең.

Қалай ойлаймыз. Бұл — күрделілігі жоғары есеп. Кіші санды әріппен белгілейміз. Келесі натурал сан 1-ге артық, ал келесі жұп сан 2-ге артық болады.

Шешуі.

1. $x + (x + 1) = 303$; $2x + 1 = 303$; $2x = 302$; $x = 151$. Сандар: 151 және 152.
2. $x + (x + 2) + (x + 4) = 306$; $3x + 6 = 306$; $x = 100$. Сандар: 100, 102, 104.

Жауабы: 1) 151 және 152; 2) 100, 102, 104.

Хабарлама дайындаңдар

№ 88

1. Әл-Хорезми — белгісіз шама мен теңдеудің түбірі ұғымын енгізген математик ғалым. 2. Рене Декарт — белгісіз шамаларды $x$, $y$, $z$ арқылы белгілеген ғалым.

Шешуі. Хабарламаның үлгісі (мерзімдерін дереккөзден тексер):

1. «Мұхаммед әл-Хорезми (шамамен 780–850) Хорезмде туып, Бағдатта «Даналық үйінде» қызмет етті. Ол теңдеулерді шығару туралы кітап жазды. Кітаптың атындағы «әл-жабр» сөзінен алгебра сөзі, ғалымның есімінен алгоритм сөзі шыққан. Белгісіз шаманы ол «зат» немесе «түбір» деп атады».
2. «Француз ғалымы Рене Декарт (1596–1650) математик әрі философ болған. Ол белгісіздерді әліпбидің соңғы әріптерімен — $x$, $y$, $z$, ал белгілі сандарды алғашқы әріптермен — $a$, $b$, $c$ деп жазуды ұсынды. Біз қазір де солай жазамыз! Координаталар жүйесін де Декарт ойлап тапқан».

Жауабы: хабарламаның үлгісі жоғарыда.

Жаңа тақырыпты меңгеруге дайындаламыз

№ 89

Математика пәнінен анықтамалықты қолданып, сұрақтарға жауап беріңдер: 1) үшбұрыштың периметрін қалай табуға болады? 2) Шаршының ауданын қалай табуға болады? 3) Сынықтың ұзындығы қалай есептеледі?

Шешуі.

1. Үш қабырғасының ұзындығын қосамыз: $P = a + b + c$.
2. Қабырғасын өзіне өзін көбейтеміз: $S = a \cdot a$.
3. Барлық буындарының ұзындығын қосамыз.

Жауабы: жоғарыдағыдай.

№ 90

Тіктөртбұрыш пен шаршының периметрлері мен аудандарын салыстырыңдар (14-сурет): 1) ұзындығы 8 см, ені 2 см тіктөртбұрыш және қабырғасы 4 см шаршы; 2) қабырғасы 5 см шаршы және қабырғалары 5 см және 4 см тіктөртбұрыш.

Қалай ойлаймыз. Суреттегі бір тор көз — 1 см. Фигураның ішіндегі тор көздерді санап көр: бұл — ауданы.

Шешуі.

1. Тіктөртбұрыш: $P = 2 \cdot (8 + 2) = 20$ см, $S = 8 \cdot 2 = 16$ см². Шаршы: $P = 4 \cdot 4 = 16$ см, $S = 4 \cdot 4 = 16$ см². Аудандары тең, ал периметрі тіктөртбұрыштікі үлкен.
2. Шаршы: $P = 4 \cdot 5 = 20$ см, $S = 25$ см². Тіктөртбұрыш: $P = 2 \cdot (5 + 4) = 18$ см, $S = 20$ см². Шаршының периметрі де, ауданы да үлкен.

Жауабы: 1) $20 > 16$ см, аудандары тең (16 см²); 2) $20 > 18$ см, $25 > 20$ см².

💡 Аудандары бірдей, ал периметрлері әртүрлі! Демек, ауданына қарап периметрін болжау мүмкін емес.

№ 91

6-кестені толтырыңдар. Қозғалыс: 1) 20 км/сағ, 5 сағ, ? км; 2) 128 см/с, ? с, 896 см; 3) ? м/мин, 29 мин, 377 м. Сатып алу: 1) 150 тг/дана, 15 дана, ? тг; 2) 300 тг/л, ? л, 900 тг; 3) ? тг/кг, 5 кг, 125 тг.

Қалай ойлаймыз. $s = v \cdot t$, $t = s : v$, $v = s : t$. Дәл солай: құны = бағасы · мөлшері.

Шешуі. Қозғалыс: 1) $20 \cdot 5 = 100$ км; 2) $896 : 128 = 7$ с; 3) $377 : 29 = 13$ м/мин. Сатып алу: 1) $150 \cdot 15 = 2250$ тг; 2) $900 : 300 = 3$ л; 3) $125 : 5 = 25$ тг/кг.

Жауабы: 100 км; 7 с; 13 м/мин; 2250 тг; 3 л; 25 тг/кг.

Жадынама

• Белгісізі бар бөлікті алдымен бүтін деп ал: қосылғыш, көбейткіш, бөлгіш…
• Сыртынан ішіне қарай, қабаттап шеш.
• Бірдей әріпті қосылғыштарды алдымен жина: $17x + 18x = 35x$.
• Әрдайым қою арқылы тексер.

Шағын тест