§ 7. Формула. Формула бойынша есептеу

Математика, 5 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2017). 1 тарау: Натурал сандар және нөл саны. 35–40-беттер.

Нені үйренесің

• Формула деген не екенін түсініп, оны жай өрнектен ажыратуды.
• Ережені формуламен жазуды: периметр, аудан, жол, құн.
• Формуладан керекті шаманы «шығарып» алуды: $s = v \cdot t$ формуласынан $v$ мен $t$-ны табуды.
• Формула бойынша есептеуді және жол графигін салуды.
• Қайықтың ағыс бойымен және ағысқа қарсы жылдамдығын табуды.

Ой қозғау

Бұл өткен сабақтағы № 89–91 тапсырмалар. Алдымен ойша жауап бер, содан кейін жауабын ашып қара.

• Үшбұрыштың периметрін қалай табамыз? Үш қабырғасының ұзындығын қосамыз.
• Шаршының ауданын қалай табамыз? Қабырғасын өзіне өзін көбейтеміз: қабырғасы 4 см болса, ауданы $4 \cdot 4 = 16$ см².
• Сынықтың ұзындығын табуға бола ма? Иә: барлық буындарының ұзындығын қосамыз.
• Көлік 20 км/сағ жылдамдықпен 5 сағат жүрді. Жолы қанша? $20 \cdot 5 = 100$ км.
• Ойыншық машина 128 см/с жылдамдықпен 896 см жүрді. Неше секунд жүрді? $896 : 128 = 7$ с.
• 29 минутта 377 м жүрілді. Жылдамдығы қандай? $377 : 29 = 13$ м/мин.
• 15 дәптердің бағасы 150 тг/дана. Құны қанша? $150 \cdot 15 = 2250$ тг.
• Шырынның бағасы 300 тг/л, 900 тг төледі. Неше литр? $900 : 300 = 3$ л.
• 5 кг-ның құны 125 тг. 1 кг-ның бағасы қанша? $125 : 5 = 25$ тг/кг.

Енді № 90-дағы фигураларды салыстыр: 8 см және 2 см тіктөртбұрыш пен қабырғасы 4 см шаршы.

• Қай фигураның ауданы үлкен? Аудандары тең: $8 \cdot 2 = 16$ см² және $4 \cdot 4 = 16$ см².
• Ал периметрі ше? Тіктөртбұрыштікі $(8 + 2) \cdot 2 = 20$ см, шаршыныкі $4 \cdot 4 = 16$ см. Тіктөртбұрыштың жиегі «ұзынырақ».
• Екінші жұп: қабырғасы 5 см шаршы және 5 см мен 4 см тіктөртбұрыш? Шаршы: $P = 20$ см, $S = 25$ см². Тіктөртбұрыш: $P = 18$ см, $S = 20$ см². Шаршыда екеуі де үлкен.

💡 Байқадың ба? Аудан бірдей, ал периметр басқа. Демек, бір шамаға қарап екіншісін болжауға болмайды, есептеу керек. Ал есептеудің ең ыңғайлы жолы — формула.

Тақырыпты талдаймыз

Бір жолға сыйған ереже

Мына ережені білесің ғой: «Үшбұрыштың периметрін табу үшін оның қабырғаларының ұзындықтарын қосу керек». Ұзын екен. Периметрді $P$ әрпімен, қабырғаларын $a$, $b$, $c$ деп белгілейік. Былай болады:

$P = a + b + c$.

Бұл — формула: ережені жазатын, әріптері бар теңдік.

📌 Ереже әрпі бар теңдікпен жазылса, ереже формула арқылы өрнектелген дейді.

Іс жүзінде тексерейік. Қабырғалары 3 см, 4 см және 5 см: $P = 3 + 4 + 5 = 12$ (см). Әріптердің орнына сандарды қойдық — болды.

⚠️ Жиі кететін қате. $a + b + c$ жазуы — әлі формула емес, ол жай өрнек. Формула — теңдік: сол жағында іздегеніміз, оң жағында оны қалай табатынымыз тұрады. $P = a + b + c$ — формула.

Формуланы «аудартуға» болады

Ал периметрі 12 см және екі қабырғасы 4 см мен 5 см белгілі болса ше? Үшінші қабырғаны табайық: бүкіл периметрден белгілі қабырғаларды шегереміз.

$a = P - b - c = 12 - 4 - 5 = 3$ (см).

Бұл жағдайда $a$ қабырғасы $P$ периметрі және $b$, $c$ қабырғалары арқылы өрнектелген дейді.

Тіктөртбұрышпен де солай. Ауданы $S = a \cdot b$. Осыдан:

• ені $b = S : a$;
• ұзындығы $a = S : b$.

$5 \times 4$ тіктөртбұрыш: $S = 5 \cdot 4 = 20$ тор көз. Ауданы 20, ұзындығы 5 екенін білесің бе? Ені $20 : 5 = 4$. Бәрі сәйкес келеді.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Баладан формуланы дауыстап «аудартып» көруін сұраңыз: «Ауданы мен ұзындығы белгілі болса, енін қалай табамыз?» Сенімді жауап берсе — тақырып түсінікті. Адасса, торкөзді тіктөртбұрышқа қайта оралыңыз.

Қозғалыстың үш формуласы

Жүрген жолды $s$ әрпімен, жылдамдықты $v$, уақытты $t$ әрпімен белгілейді.

📌 $s = v \cdot t$ — жолды табу формуласы. $v = s : t$ — жылдамдықты табу формуласы. $t = s : v$ — уақытты табу формуласы.

Бұл — бір ғана формула, тек үш түрлі «бұрылған». Мысалдар:

Ал енді жол уақыт өткен сайын қалай өсетінін қара. Арман велосипедпен сағатына 12 км жүреді, ал атасы жаяу сағатына 4 км жүреді. Әр сағат сайын велосипедшінің жолы 12 км-ге, жаяу жүрушінің жолы 4 км-ге артады.

💡 Жылдамдық қаншалықты үлкен болса, график сызығы соншалықты тік көтеріледі. 3 сағаттан кейін Арман $12 \cdot 3 = 36$ км жүреді, ал атасы $4 \cdot 3 = 12$ км жүреді.

Өзендегі қайық

Өзен үнемі суды ағызып тұрады. Қайық ағыс бойымен жүзсе, өзен оны итермелейді. Ағысқа қарсы жүзсе, тежейді.

Қайықтың тыныш судағы жылдамдығын меншікті жылдамдық дейді: $v_{қ}$. Өзен ағысының жылдамдығы — $v_{ө}$.

📌 $v_{\text{а.б.}} = v_{қ} + v_{ө}$; $v_{\text{а.қ.}} = v_{қ} - v_{ө}$.

Мысал: қайықтың меншікті жылдамдығы 10 км/сағ, ағыстікі 2 км/сағ. Ағыс бойымен $10 + 2 = 12$ км/сағ, ағысқа қарсы $10 - 2 = 8$ км/сағ.

⚠️ Жиі кететін қате. «Қосу» мен «азайтуды» шатастырады. Өзіңді жүзіп бара жатқан адам деп елестет: ағыс бойымен жеңіл әрі жылдам, демек, қосамыз.

🌟 Формулалармен арифметикалық амалдардың заңдарын да жазады: $a + b = b + a$, $a \cdot 1 = a$, $a \cdot 0 = 0$. Бір жол жазу — ереже кез келген сан үшін дұрыс.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Қандай формулаларды білесің? $P = a + b + c$ (үшбұрыштың периметрі), $S = a \cdot b$ (тіктөртбұрыштың ауданы), $s = v \cdot t$ (жол), $к = б \cdot м$ (құн).
• $a + b + n$ және $a \cdot b$ жазулары формула ма? Жоқ. Бұл — өрнектер: оларда «=» таңбасы жоқ, нені табатынымыз айтылмаған.
• Шаршының ауданы мен текшенің көлемі қалай есептеледі? $S = a \cdot a$ және $V = a \cdot a \cdot a$, мұндағы $a$ — қабырғасы (қыры).
• Математикада формулалар не үшін керек? Ережелер мен амалдар заңдарын қысқа жазу, тез есептеу және есеп шығару үшін.
• $v = s : t$ формуласындағы $v$ және $t = s : v$ формуласындағы $t$ қандай шамалар арқылы өрнектелген? Жылдамдық — жол мен уақыт арқылы. Уақыт — жол мен жылдамдық арқылы.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 92

Егер $к$ — тауар құны, $б$ — оның бағасы және $м$ — тауар мөлшері болса, онда $к = б \cdot м$. Осы формуладан 1) тауар мөлшері мен құны арқылы бағаны; 2) тауар бағасы мен құны арқылы мөлшерін өрнектеңдер.

Қалай ойлаймыз. Бұл тіктөртбұрыштың ауданына ұқсас: құн — «аудан», баға мен мөлшер — «қабырғалар». Белгісіз көбейткішті бөлу арқылы табамыз.

Шешуі.

1. Баға: $б = к : м$.
2. Мөлшер: $м = к : б$.

Сандармен тексеру: 3 балмұздақтың құны 600 тг, бағасы 200 тг. $600 : 3 = 200$ — баға; $600 : 200 = 3$ — мөлшер.

Жауабы: $б = к : м$; $м = к : б$.

№ 93

Автобуста жүру ақысы $a$ тг. 2; 3; 5; 8 билеттің құны қанша? Автобуста жүру құнын $C$ әрпімен белгілеңдер. Егер $k$ билет алынған болса, онда автобуста жүру құнын есептеу формуласын жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Бір билет — $a$ тг. Екі билет — 2 есе қымбат.

Шешуі.

1. 2 билет — $2a$ тг; 3 билет — $3a$ тг; 5 билет — $5a$ тг; 8 билет — $8a$ тг.
2. $k$ билеттің құны: $C = a \cdot k$.

Мысалы, билет 150 тг тұрса, 8 билет $150 \cdot 8 = 1200$ тг болады.

Жауабы: $2a$; $3a$; $5a$; $8a$ тг; $C = a \cdot k$.

№ 94

Шаршының периметрін табу формуласын қолданып, $P$ периметрі арқылы $a$ қабырғасын өрнектеңдер. Егер $P$ периметрі 1) 12 см; 2) 8 дм; 3) 28 дм болса, онда $a$ қабырғасын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Шаршының төрт тең қабырғасы бар, сондықтан $P = 4 \cdot a$. Демек, қабырғасы — периметрді 4-ке бөлгенге тең.

Шешуі. $a = P : 4$.

1. $12 : 4 = 3$ см.
2. $8 : 4 = 2$ дм.
3. $28 : 4 = 7$ дм.

Жауабы: $a = P : 4$; 3 см; 2 дм; 7 дм.

№ 95

Тіктөртбұрыштың периметрін табу формуласын қолданып, $a$ ұзындығын $b$ ені мен $P$ периметрі арқылы өрнектеңдер. Егер $b$ және $P$ сәйкесінше 1) 1 см және 8 см; 2) 2 см және 10 см болса, $a$ ұзындығы неге тең?

Қалай ойлаймыз. $P = (a + b) \cdot 2$. Периметрдің жартысы — бір ұзындық пен бір ен. Енін алып тастасақ, ұзындығы қалады.

Шешуі. $a = P : 2 - b$.

1. $8 : 2 - 1 = 4 - 1 = 3$ см.
2. $10 : 2 - 2 = 5 - 2 = 3$ см.

Жауабы: $a = P : 2 - b$; 3 см; 3 см.

B деңгейі

№ 96

Көйлек тігуге 17 дм мата кетеді. $k$ көйлек тігу үшін қанша $l$ метр мата қажет екенін есептеуге болатын формуланы жазыңдар. Осы формуладағы $k$-ны $l$ ұзындық арқылы өрнектеңдер. 1) 17 м; 2) 119 дм; 3) 187 дм; 4) 34 м матадан қанша көйлек тігуге болады?

Қалай ойлаймыз. Бәрін дециметрмен санау ыңғайлы. Метрді айналдырамыз: 1 м = 10 дм.

Шешуі.

1. Формула: $l = 17 \cdot k$ (дм). Осыдан $k = l : 17$. (Метрмен жазсақ: 17 дм = 1,7 м, сондықтан $l = 1{,}7 \cdot k$ (м), ал есептеу үшін ұзындықты дм-ге айналдырған оңай.)
2. 17 м = 170 дм; $170 : 17 = 10$ көйлек.
3. $119 : 17 = 7$ көйлек.
4. $187 : 17 = 11$ көйлек.
5. 34 м = 340 дм; $340 : 17 = 20$ көйлек.

Жауабы: $l = 17k$ (дм), $k = l : 17$; 10; 7; 11; 20 көйлек.

⚠️ Жиі кететін қате. 17 м-ді 17 дм-ге бөліп, 1 көйлек деп алады. Алдымен өлшем бірліктері бірдей болсын!

📌 Оқулықта $l$ метрмен берілген, ал бір көйлекке кететін мата — дециметрмен (17 дм). Осыдан формулада 10-ға бөлу немесе ондық бөлшек (1,7) шығады, ал ондық бөлшектерді сен әлі өтпедің. Сондықтан есепті дециметрмен шығардық.

№ 97

1) $y = 13x$ формуласын қолданып, 7-кестені толтырыңдар: $x$ = 5; 32; 99; 473. 2) $x = 8y$ формуласын қолданып, 8-кестені толтырыңдар: сандар 8; 23; 24; 32.

Қалай ойлаймыз. $13x$ — бұл $13 \cdot x$. Әріптің орнына санды қойып, көбейтеміз.

Шешуі.

Ыңғайлы тәсіл: $13 \cdot 99 = 13 \cdot 100 - 13 = 1287$.

Екінші кестедегі 8; 23; 24; 32 сандарын $y$ мәндері деп алып, $x = 8y$ есептейміз:

Жауабы: 65; 416; 1287; 6149 және 64; 184; 192; 256.

📕 Оқулықтағы 8-кестеде 8; 23; 24; 32 сандары $x$ жолында тұр, ал $x = 8y$ формуласы бойынша $x$ жолы есептелуі керек. Егер сандарды $x$ деп алсақ, 23-ті 8-ге бөлгенде бүтін сан шықпайды. Сондықтан жолдардың белгісі шатасқан деп, бұл сандарды $y$ ретінде алдық.

C деңгейі

№ 98

Шаршының ауданы мен текшенің көлемін табу формуласын жазыңдар. Жазылған формулаларды қолданып, шаршының ауданын және текшенің көлемін табыңдар. Шаршы мен текше қабырғаларының ұзындығы: 1) 5 см; 2) 6 см; 3) 7 см.

Шешуі. $S = a \cdot a$, $V = a \cdot a \cdot a$.

Жауабы: 25 см² және 125 см³; 36 см² және 216 см³; 49 см² және 343 см³.

№ 99

9, 10-кестелер бойынша формула құрастырыңдар. 1) $x$: 1, 2, …, 9; $y$: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27. 2) $x$: 1, 2, …, 9; $y$: 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19.

Қалай ойлаймыз. Әр бағанда $y$ мен $x$ қалай байланысқанына қара. Болжамыңды екі-үш бағанда тексер.

Шешуі.

1. $3 = 3 \cdot 1$, $6 = 3 \cdot 2$, $27 = 3 \cdot 9$. Әр $y$ мәні $x$-тен 3 есе үлкен: $y = 3x$.
2. Мұнда $x$ 1-ге өскенде, $y$ 2-ге өседі. $2x$-ті байқап көрейік: $2, 4, 6…$ — әр $y$ 1-ге артық. Тексеру: $2 \cdot 9 + 1 = 19$. Дұрыс: $y = 2x + 1$.

Жауабы: 1) $y = 3x$; 2) $y = 2x + 1$.

№ 100

Дәптердің бағасы 48 тг, қаламның бағасы 80 тг. Сатып алынған дәптер саны $a$, қалам саны $b$ болсын. $25 \cdot a + 6 \cdot b < 1700$ теңсіздігі нені білдіреді?

Қалай ойлаймыз. Баға мен мөлшерді көбейтсек, құн шығады. Құндардың қосындысы — бүкіл сатып алынған заттың құны.

Шешуі.

1. Дәптерлердің құны — $48 \cdot a$ тг, қаламдардікі — $80 \cdot b$ тг.
2. Бүкіл сатып алынған заттың құны $48 \cdot a + 80 \cdot b$ тг.
3. «Баға · мөлшер + баға · мөлшер < 1700» түріндегі теңсіздік бүкіл сатып алынған заттың құны 1700 тг-ден аз дегенді білдіреді. Есептің шарты бойынша бағалармен оны былай жазу керек: $48 \cdot a + 80 \cdot b < 1700$.

$25 \cdot a + 6 \cdot b$ жазуындағы 25 және 6 сандары бағалармен сәйкес келмейді — қате басылған сияқты. Жазылғанындай оқысақ, бағасы 25 тг және 6 тг заттардың бірге құны 1700 тг-ден аз дегенді білдіреді.

Жауабы: $a$ дәптер мен $b$ қалам сатып алуға 1700 тг-ден аз ақша кетті (берілген бағалармен: $48a + 80b < 1700$).

📕 № 100-де дәптер мен қаламның бағасы (48 және 80 тг) $25 \cdot a + 6 \cdot b < 1700$ теңсіздігіндегі сандармен сәйкес келмейді. Қате басылған болуы әбден мүмкін: дұрысы $48 \cdot a + 80 \cdot b < 1700$.

Жаңа тақырыпты меңгеруге дайындаламыз

№ 101

1) Екі илеудің арақашықтығы 30 м. Осы екі илеуден бір мезетте екі құмырсқа шығып, 4 м/с жылдамдықпен қарама-қарсы бағытта жүгірді. 30 с-тан кейін олардың арақашықтығы қанша метр болады? 2) Аралығы 400 км болатын екі қаладан 60 км/сағ жылдамдықпен автобус және 90 км/сағ жылдамдықпен автомобиль бір мезетте шықты. Егер 2 сағ-тан кейін олардың аралығы а) 100 км; ә) 700 км; б) 340 км; в) 460 км болса, онда олар қандай бағытта жүрген?

Қалай ойлаймыз. 1-бөлімде құмырсқалар алыстайды: 30 м-ге екеуінің жүрген жолы қосылады. 2-бөлімде қозғалыстың барлық нұсқасын қарастырамыз.

Шешуі.

1. Құмырсқалар бірге $4 + 4 = 8$ м/с жылдамдықпен алыстайды. 30 с-та $8 \cdot 30 = 240$ м-ге алыстайды. Арақашықтық: $30 + 240 = 270$ м.
2. Қадамдап талдау — жоғарыдағы виджетте.

Жауабы: 1) 270 м; 2) а) бір-біріне қарсы; ә) қарама-қарсы бағытта; б) бір бағытта, автомобиль автобусқа жетеді; в) бір бағытта, автобус автомобильдің артынан жүреді.

№ 102

Қысқы демалыс кезінде оқушылар Көкшетаудан Астанаға баруды жоспарлады. Жолда Бурабай курортына соқпақшы болды. Көкшетаудан Бурабай курортына дейін автобуспен және электрпойызбен, Бурабай курортынан Астанаға дейін пойызбен және электрпойызбен баруға болады. Саяхатқа бару үшін оқушылар қандай маршруттарды таңдауы мүмкін?

Қалай ойлаймыз. Жолдың бірінші бөлігінің әр тәсіліне екінші бөліктің екі тәсілін де қосып шығамыз.

Шешуі.

1. Электрпойыз → пойыз.
2. Электрпойыз → электрпойыз.
3. Автобус → пойыз.
4. Автобус → электрпойыз.

Жауабы: 4 маршрут (жоғарыда тізілген).

🌟 Бурабай — қарағайлы орманы мен көлдері бар әйгілі курорт, оны «Қазақстанның Швейцариясы» дейді.

Жадынама

• Формула — теңдік, жай өрнек емес.
• Формуладан кез келген шаманы өрнектеуге болады: белгісіз көбейткішті бөлу арқылы, белгісіз қосылғышты азайту арқылы табамыз.
• Есептеу алдында барлық шаманы бір өлшем бірлігіне келтір.
• Ағыс бойымен жылдамдықтарды қосамыз, ағысқа қарсы азайтамыз.

Шағын тест