§ 9. Натурал сандардың тізбегі

Математика, 5 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2017). 1 тарау: Натурал сандар және нөл саны. 46–49-беттер.

Нені үйренесің

• Натурал сандардан тұратын тізбек деген не екенін түсінуді.
• Тізбекті сөзбен беруді: «өсу ретімен жазылған барлық біртаңбалы жұп сандар».
• Заңдылықты тауып, қатарды жалғастыруды.
• Жетіспейтін сандарды табуды.

Ой қозғау

Бұл өткен сабақтағы № 121 тапсырма.

• 10-нан 19-ға дейін (екеуін қоса) неше сан бар? 10 сан: 5 жұп және 5 тақ.
• 3-ке тең немесе одан үлкен, бірақ 9-дан кіші біртаңбалы сандар? 3, 4, 5, 6, 7, 8.
• 41-ден үлкен, бірақ 50-ден кіші немесе тең екітаңбалы сандар? 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50.
• 562-ден 568-ге дейінгі (екеуін қоса) үштаңбалы сандар? 562, 563, 564, 565, 566, 567, 568 — бәрі 7.

💡 Байқадың ба? Әр жолы сандарды белгілі бір ережемен жазып шықтың. Осындай сандар қатары тізбек деп аталады.

Тақырыпты талдаймыз

Қатарға тізілген сандар

Бірнеше натурал санды бірінен соң бірін жаз: 19, 5, 28, 373, 290, 11. Бұл — натурал сандардан тұратын тізбек. Мұнда реті маңызды: кім бірінші, кім екінші, кім үшінші.

Көбінесе сандар қатарға кез келген түрде емес, ереже бойынша тізіледі. Мысалы: «өсу ретімен жазылған барлық біртаңбалы жұп сандар». Шығады: 0, 2, 4, 6, 8.

📌 Тізбекті сөзбен беруге болады: ол қандай сандардан тұратынын және қандай ретпен тізілгенін түсіндіреміз.

Заңдылықты іздейміз

Заңдылық — қатар құрастырылған ереже. Қара: 4, 8, 12, 16, 20, 24… Әр келесі сан 4-ке артық. Бұл — 4-ке бөлінетін сандар, өсу ретімен.

Ал 1, 4, 9, 16, 25… қатарында айырма әр жолы өседі: +3, +5, +7, +9. Бұл — $1 \cdot 1$, $2 \cdot 2$, $3 \cdot 3$… сандары, яғни шаршылар.

💡 Ережені қалай іздейміз? Алдымен көрші сандардың айырмасына қара. Көмектеспесе — сандар неше есе өсетінін тексер. Сосын екі көрші санды қосып көр.

Тізбекте неше сан бар?

Қанша болса да! 0, 2, 4, 6, 8 қатарында бес сан бар, соңы бар. Ал 4, 8, 12, 16… қатарын шексіз жалғастыруға болады — көп нүкте дәл осыны көрсетеді.

⚠️ Жиі кететін қате. Ережені алғашқы екі санға қарап тауып, асығады. 2, 3, 5, 8: «+1, +2, әрі қарай +3 шығар»? Жоқ! Барлық сандарда тексер: $2 + 3 = 5$, $3 + 5 = 8$ — әрқайсысы алдыңғы екеуінің қосындысына тең.

Жетіспейтін сан

Біртаңбалы тақ сандардан тұратын 3, 9, 1, 7 тізбегінде бір сан жетіспейді. Біртаңбалы тақ сандар — 1, 3, 5, 7, 9. Жоғалғаны — 5.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. «Ережені тап» ойынын ойнаңыз: сіз 3–4 санды атайсыз, бала жалғастырып, ережені дауыстап айтады. Оңайынан (+2, ×2) бастап, кейін күрделендіріңіз.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Натурал сандардан тұратын тізбекке мысал келтір. 5, 10, 15, 20, 25 — 5-ке еселі сандар, өсу ретімен.
• Тізбекте неше сан болуы мүмкін? Қанша болса да: бірнешеу немесе шексіз көп.
• «Заңдылықты анықтау» дегеніміз не? Қатар құрастырылған ережені тауып, оны барлық сандарда тексеру.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 123

1) 33 санына бөлінетін екітаңбалы сандардан; 2) 100-ге бөлінетін үштаңбалы сандардан тұратын тізбекті өсу ретімен жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. 33-ті (немесе 100-ді) 1-ге, 2-ге, 3-ке… көбейтіп, керекті таңбалы сандарды ғана аламыз.

Шешуі.

1. $33 \cdot 1 = 33$, $33 \cdot 2 = 66$, $33 \cdot 3 = 99$. Әрі қарай $33 \cdot 4 = 132$ — үштаңбалы сан.
2. $100, 200, 300, …, 900$. Келесісі 1000 — төртаңбалы сан.

Жауабы: 1) 33, 66, 99; 2) 100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900.

№ 124

52 санынан артық, бірақ 60 санынан кем қандай екітаңбалы сандар 54, 57, 59 тізбегінде жазылмаған?

Қалай ойлаймыз. 53-тен 59-ға дейінгі барлық сандарды жазып, бұрыннан барларын сызып таста.

Шешуі. 52 мен 60 арасында: 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59. Бар сандар: 54, 57, 59. Қалғаны 53, 55, 56, 58.

Жауабы: 53, 55, 56, 58.

№ 125

Натурал сандардан тұратын тізбек қалай құрастырылған: 1) 4, 6, 9, 8; 2) 98, 96, 94, 92, 90?

Қалай ойлаймыз. Қатардағы барлық сандардың ортақ белгісін және олардың қандай ретпен тұрғанын тексер.

Шешуі.

1. Барлық сандар біртаңбалы. Әрқайсысын 1-ден үлкен екі санның көбейтіндісіне жіктеуге болады: $4 = 2 \cdot 2$, $6 = 2 \cdot 3$, $8 = 2 \cdot 4$, $9 = 3 \cdot 3$. Басқа мұндай біртаңбалы сандар жоқ. Олар ретімен жазылмаған.
2. 98-ден 90-ға дейінгі жұп екітаңбалы сандар кему ретімен: әр сан алдыңғыдан 2-ге кем.

Жауабы: 1) 1-ден үлкен екі көбейткіштің көбейтіндісіне жіктелетін барлық біртаңбалы сандар (келесі тарауда оларды құрама сандар деп атайды), ретсіз; 2) 98-ден 90-ға дейінгі жұп сандар кему ретімен.

B деңгейі

№ 126

Натурал сандардан тұратын тізбектің қандай заңдылықпен құрастырылғанын анықтап, оның келесі екі санын жазыңдар: 1) 5, 6, 8, 11, 15, 20, …; 2) 2, 3, 5, 8, 13, 21, …; 3) 45, 44, 42, 39, 35, …; 4) 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, …; 5) 1, 8, 27, 64, 125, 216, …; 6) 2, 9, 28, 65, 126, 217, ….

Қалай ойлаймыз. Әр қатар үшін көрші сандардың айырмасын жаз. Көмектеспесе — көбейтуді байқап көр.

Шешуі.

1. Айырмалары +1, +2, +3, +4, +5. Әрі қарай +6 және +7: $20 + 6 = 26$, $26 + 7 = 33$.
2. Әрқайсысы алдыңғы екеуінің қосындысы: $13 + 21 = 34$, $21 + 34 = 55$.
3. Айырмалары −1, −2, −3, −4. Әрі қарай −5 және −6: $35 - 5 = 30$, $30 - 6 = 24$.
4. Шаршылар: $1 \cdot 1$, $2 \cdot 2$, …, $7 \cdot 7$. Әрі қарай $8 \cdot 8 = 64$, $9 \cdot 9 = 81$.
5. Текшелер: $1 \cdot 1 \cdot 1$, $2 \cdot 2 \cdot 2$, … Әрі қарай $7 \cdot 7 \cdot 7 = 343$, $8 \cdot 8 \cdot 8 = 512$.
6. Бұл — текшелер плюс 1: $1 + 1 = 2$, $8 + 1 = 9$, $27 + 1 = 28$… Әрі қарай $343 + 1 = 344$, $512 + 1 = 513$.

Жауабы: 1) 26, 33; 2) 34, 55; 3) 30, 24; 4) 64, 81; 5) 343, 512; 6) 344, 513.

🌟 2, 3, 5, 8, 13, 21… қатары — әйгілі Фибоначчи тізбегінің бір бөлігі. Оның сандары табиғатта жасырынып жүр: күнбағыстың және қылқан жапырақты ағаш бүрінің спиральдарында.

№ 127

Натурал сандардан тұратын тізбектің қандай заңдылықпен құрастырылғанын анықтап, жетіспейтін санды табыңдар: 1) 8, 16, 24, …, 40, 48; 2) 64, 32, 16, …, 4, 2; 3) 5, 6, 11, 17, 28, …; 4) 3, 10, 26, 72, 196, ….

Қалай ойлаймыз. Алғашқы екі қатарда ереже қарапайым. Үшінші және төртіншіде екі көрші санға бірден қара.

Шешуі.

1. Қадамы +8: $24 + 8 = 32$; тексеру $32 + 8 = 40$.
2. Әрқайсысы 2 есе кіші: $16 : 2 = 8$; тексеру $8 : 2 = 4$.
3. Әрқайсысы алдыңғы екеуінің қосындысы: $5 + 6 = 11$, $6 + 11 = 17$, $11 + 17 = 28$. Әрі қарай $17 + 28 = 45$.
4. Әрқайсысы алдыңғы екеуінің қосындысынан екі есе үлкен (қадамдары виджетте): $(72 + 196) \cdot 2 = 536$.

Жауабы: 1) 32; 2) 8; 3) 45; 4) 536.

№ 128

*Заңдылықты анықтаңдар. Жұлдызша белгісінің орнына қандай санды қою керек (20-сурет)? Үш үшбұрыштың әрқайсысында 4 сан бар: жоғарыда, сол жақта, оң жақта және ортада. 1-ші: 2, 8, 4, ортада 14. 2-ші: 3, 9, 6, ортада 18. 3-ші: 5, 15, 10, ортада .

Қалай ойлаймыз. Ортадағы сан қалған үш санмен қалай байланысқанын іздейміз. Болжамды екі үшбұрышта тексереміз.

Шешуі.

1. Біріншісі: $2 + 8 + 4 = 14$ — ортадағы санмен сәйкес келеді.
2. Екіншісі: $3 + 9 + 6 = 18$ — ол да сәйкес келеді.
3. Үшіншісі: $5 + 15 + 10 = 30$.

Жауабы: 30.

Менің отбасым өміріндегі математика

№ 129

1. Келесі мәліметтерді қолданып, кемімелі тізбекті жазыңдар: 1) отбасы мүшелерінің туған күндері; 2) отбасы мүшелерінің туған айлары; 3) отбасы мүшелерінің туған жылдары. 2. Отбасы мүшелерінің 1) алдыңғы күні; 2) кеше; 3) бүгін теледидар хабарларын көруге жіберген уақыттарын өспелі тізбек түрінде жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. «Кемімелі» тізбекте сандар үлкенінен кішісіне қарай тұрады, «өспелі» тізбекте — кішісінен үлкеніне қарай. Бірдей сандар қатар тұруы мүмкін.

Шешуі (мысал). Отбасы: әке (17.04.1985), ана (03.09.1988), әже (12.01.1960), ұлы (25.04.2015).

1. 1. Туған күндер: 25, 17, 12, 3. 2) Туған айлар: 9, 4, 4, 1. 3) Туған жылдар: 2015, 1988, 1985, 1960.
2. Әжесінің теледидар көру уақыты: алдыңғы күні 60 мин, кеше 90 мин, бүгін 120 мин. Қатар 60, 90, 120 — өспелі тізбек.

Жауабы: әр отбасында әртүрлі; кемімелі тізбекте әр келесі сан алдыңғыдан үлкен емес, өспелі тізбекте кіші емес.

C деңгейі

Хабарлама дайындаңдар

№ 130

Леонардо Пизанский (Фибоначчи есімімен белгілі) құрметіне аталатын Фибоначчи тізбегінің әр мүшесі алғашқы екі мүшенің қосындысына тең. Л. Пизанский туралы не білесің?

Қалай ойлаймыз. Хабарлама жоспары: ол кім, немен танымал, қандай қатар, ол қайда кездеседі. Деректерді энциклопедиядан тексер.

Шешуі (хабарлама үлгісі). Леонардо Пизанский Италияда шамамен 1170–1250 жылдары өмір сүрген. Жас кезінде көпес әкесімен бірге Солтүстік Африка мен Шығысқа саяхат жасап, үнді-араб цифрларын үйренген. «Абак кітабында» ол еуропалықтарға 0–9 цифрлары мен олармен санауды жазып қалдырды. Сол кітапта қояндар туралы есеп бар, одан 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34… қатары шығады. Әр сан алдыңғы екеуінің қосындысына тең. Бұл қатар табиғатта кездеседі: күнбағыс дәнінің, қылқан жапырақты ағаш бүрінің және ананас қабыршақтарының спиральдарында.

Жауабы: хабарлама үлгісі жоғарыда.

Жаңа тақырыпты меңгеруге дайындаламыз

№ 131

1) Бөлінгіш 16 192, бөлгіш 46; 2) бөлінгіш 24 212, бөлгіш 34; 3) бөлгіш 83, бөлінді 822, қалдық 0; 4) бөлгіш 65, бөлінді 934, қалдық 50; 5) бөлгіш 374, бөлінді 34, қалдық 0; 6) бөлгіш 495, бөлінді 41, қалдық 3 болса, бөлу амалының белгісіз компонентін табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Бөлінгіш = бөлгіш · бөлінді + қалдық. Бөлгіш = (бөлінгіш − қалдық) : бөлінді.

Шешуі.

1. $16,192 : 46 = 352$ (қалдық жоқ).
2. $24,212 : 34 = 712$ (қалдығы 4). Тексеру: $34 \cdot 712 + 4 = 24,208 + 4 = 24,212$.
3. Бөлінгіш: $83 \cdot 822 = 68,226$.
4. Бөлінгіш: $65 \cdot 934 + 50 = 60,710 + 50 = 60,760$.
5. Бөлінгіш: $374 \cdot 34 = 12,716$.
6. Бөлінгіш: $495 \cdot 41 + 3 = 20,295 + 3 = 20,298$.

Жауабы: 1) 352; 2) 712 (қалдығы 4); 3) 68 226; 4) 60 760; 5) 12 716; 6) 20 298.

№ 132

1) 0, 15, 253, 621, 3444 сандарын 7 санына қалдықпен бөліңдер. 7 санына бөлінетін сандарды, яғни бөлгенде қалдығы нөлге тең болатын сандарды жазыңдар. 2) 1 санына және өзіне ғана бөлінетін бес санды жазыңдар. 3) 8 және 15 сандарының әрқайсысы төрт санға бөлінетінін көрсетіңдер. 4) 16 саны бес санға бөлінетінін көрсетіңдер. 5) 20 саны алты санға бөлінетінін көрсетіңдер.

Қалай ойлаймыз. Берілген санның барлық бөлгішін табу үшін бөлгіштерді жұптап іздейміз: $1 \cdot 20$, $2 \cdot 10$, $4 \cdot 5$.

Шешуі.

1. $0 : 7 = 0$ (қалдығы 0); $15 : 7 = 2$ (қалдығы 1); $253 : 7 = 36$ (қалдығы 1); $621 : 7 = 88$ (қалдығы 5); $3444 : 7 = 492$ (қалдығы 0). 7-ге бөлінетіндер: 0 және 3444.
2. Мысалы: 2, 3, 5, 7, 11.
3. 8 саны 1, 2, 4, 8 сандарына бөлінеді; 15 саны 1, 3, 5, 15 сандарына бөлінеді — төрттен.
4. 16 саны 1, 2, 4, 8, 16 сандарына бөлінеді — бес сан.
5. 20 саны 1, 2, 4, 5, 10, 20 сандарына бөлінеді — алты сан.

Жауабы: 1) 7-ге бөлінетіндер: 0 және 3444; 2) 2, 3, 5, 7, 11; 3)–5) бөлгіштер тізімі жоғарыда.

Жадынама

• Тізбекте сандардың реті маңызды.
• Сандар қанша болса да болады, тіпті шексіз көп.
• Ережені тапсаң, оны қатардың барлық санында тексер.
• Жетіспейтін санды сол ережемен ізде.

Шағын тест