1.10. Теңдеу

Математика, 5 сынып. Оқулық: Алдамұратова Т.А. және т.б. (Атамұра, 2017). I тарау: Натурал сандар және нөл. 48–53-беттер.

Нені үйренесің

• Теңдеу деген не екенін және оның түбірін түсінуді.
• Кез келген белгісізді табуды: қосылғышты, азайтқышты, көбейткішті, бөлгішті…
• Теңдеуді бірнеше қадаммен шешуді, мысалы $(45 - x) \cdot 3 = 93$.
• Жауабын орнына қойып тексеруді және қателікке ұрынбауды.
• Есептерді теңдеу арқылы шығаруды.

Ой қозғау

Таразы есептерін есіңе түсір. Ойша жауап бер, сосын жауабын ашып қара.

• Қауын мен 2 кг кіртас екі 5 кг кіртасты теңестіреді. Қауын неше килограмм? $x + 2 = 10$, демек, қауын 8 кг.
• Екі пакет ұн мен 1 кг кіртас 5 кг кіртасты теңестіреді. Бір пакет неше килограмм? $2x + 1 = 5$, $2x = 4$, бір пакет — 2 кг.
• Шар мен 24 кіртас 52 кіртасты теңестіреді. Шар неге тең? $x + 24 = 52$, шар — 28.

💡 Мұндай жазулардың әрқайсысы — ішіне әріп жасырынған теңдік. Бүгін оның өз аты болады: теңдеу.

Тақырыпты талдаймыз

Теңдеу — бұл таразы

Таразыға қара. Сол жақта массасы белгісіз $x$ шар және 24 кіртас тұр. Оң жақта 52 кіртас тұр. Таразы теңесіп тұр, демек, сол жақ пен оң жақ тең.

Міне, осы — теңдеу: $x + 24 = 52$. «=» белгісінің сол жағы — теңдеудің сол жағы, оң жағы — оң жағы. $x$ әрпі — табу керек сан.

Екі табақшадан да бірдей жүкті ал

Егер сол жақтан да, оң жақтан да 24 кіртасты алсақ, таразы тең күйінде қалады. Сол жақта тек шар қалады, ал оң жақта $52 - 24 = 28$.

28 саны — теңдеудің түбірі: оны $x$ орнына қойсақ, $28 + 24 = 52$ тура теңдігі шығады. Теңдеуді шешу — оның барлық түбірлерін табу (немесе түбірі жоқ екеніне көз жеткізу).

📌 Теңдеудің түбірі — әріптің теңдеуді тура санды теңдікке айналдыратын мәні.

Орнына қойып тексеру — сенің суперкүшің

$9x + 5 = 41$ теңдеуін алайық. Шешеміз: $9x = 41 - 5 = 36$, $x = 36 : 9 = 4$. 4 шынымен түбір ме? Орнына қойып есепте.

41 шықты — оң жағындағыдай. Демек, түбір дұрыс табылған.

Алты ереже — бір айла

💡 Жаттаудың қажеті жоқ. Ережені ұмытсаң, кішкентай сандармен мысал ойлап тап: $2 + 3 = 5$. 3-ті қалай табамыз? $5 - 2$. Міне, ереже!

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Егер бала шатасса, теңдеуді осындай шағын мысалға «аудартыңыз». Бірер рет қайталағаннан кейін ережелер өздігінен есте қалады.

Матрешка: бірнеше қадамды теңдеу

Күрделі теңдеуді матрешка сияқты, сырттан ішке қарай ашамыз. Соңғы амалға қараймыз, ал жақшаны бір белгісіз деп санаймыз.

Мысал. $(45 - x) \cdot 3 = 93$.

1. Соңғы амал — көбейту. Жақша — белгісіз көбейткіш: $45 - x = 93 : 3 = 31$.
2. Енді белгісіз азайтқыш: $x = 45 - 31 = 14$.
3. Тексеру: $(45 - 14) \cdot 3 = 31 \cdot 3 = 93$ ✓.

Тағы екеуі:

• $(x - 13) : 7 = 2$: жақша — бөлінгіш, $x - 13 = 14$, $x = 27$. Тексеру: $14 : 7 = 2$ ✓.
• $72 : (x + 12) = 4$: жақша — бөлгіш, $x + 12 = 18$, $x = 6$. Тексеру: $72 : 18 = 4$ ✓.

⚠️ Жиі кететін қате. $45 - x = 31$ теңдеуінде $x = 45 + 31 = 76$ деп жазады. Орнына қойып көр: $45 - 76$ — бұл тіпті азайтылмайды! Дұрысы: $x = 45 - 31 = 14$. Тексеру мұндай қателерді бірден ұстап береді.

Есепті теңдеу арқылы шығару

Бес қадамдық жоспар:

1. Белгісізді әріппен белгіле.
2. Қалғанын сол әріп арқылы өрнекте де, теңдеу құр.
3. Теңдеуді шеш.
4. Есептің сұрағына жауап бер.
5. Шартқа қарап тексер.

Өлшем бірліктерін алдын ала бірдей ету керек (мысалы, бәрін грамға).

Мысал. Ағасы қарындасынан 5 жас үлкен. 4 жылдан кейін екеуінің жасының қосындысы 19 болады. Қарындасы $x$ жаста болсын, ағасы $x + 5$ жаста. 4 жылдан кейін: $(x + 4) + (x + 9) = 19$, $2x + 13 = 19$, $2x = 6$, $x = 3$. Қарындасы 3 жаста, ағасы 8 жаста. Тексеру: $7 + 12 = 19$ ✓.

⚠️ Жиі кететін қате. $x$ табылды да, бірден жауап болып кетті. Бірақ мұндағы $x$ — тек қарындасы, ал сұрақ екеуі туралы. Сұрақты қайта оқы!

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Қандай теңдікті теңдеу деп атайды? Құрамында әріппен белгіленген белгісіз саны бар теңдікті.
• Теңдеудің түбірі деп ненi атаймыз? Әріптің теңдікті тура теңдікке айналдыратын мәнін.
• Теңдеуді шешу дегеніміз не? Оның барлық түбірлерін табу немесе түбірі жоқ екеніне көз жеткізу.
• Белгісіз қосылғыш қалай табылады? Қосындыдан белгілі қосылғышты азайтамыз.
• Белгісіз көбейткіш қалай табылады? Көбейтіндіні белгілі көбейткішке бөлеміз.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 104

Теңдеуді шеш: 1) $x + 23 = 41$; 2) $36 + y = 74$; 3) $85 + z = 97$; 4) $x - 61 = 17$; 5) $46 - y = 24$; 6) $53 - z = 25$; 7) $m : 21 = 10$; 8) $192 : n = 16$; 9) $k : 44 = 20$.

Қалай ойлаймыз. Өзіңнен сұра: «Әріп кім болып тұр?» — қосылғыш па, азайтқыш па, бөлінгіш пе… Сосын кестедегі ережені ал.

Шешуі.

Жауабы: 1) 18; 2) 38; 3) 12; 4) 78; 5) 22; 6) 28; 7) 210; 8) 12; 9) 880.

№ 105

Теңдеуді шеш: 1) $12x = 60$; 2) $33y = 132$; 3) $51z = 357$; 4) $2x - 15 = 13$; 5) $7y - 25 = 45$; 6) $130 - 4x = 70$; 7) $49 - 3x = 34$; 8) $9y - 89 = 55$; 9) $74 - 8z = 2$.

Қалай ойлаймыз. 4–9-тармақтарда екі қадам бар. Алдымен көбейтіндіні ($2x$, $4x$…) бір белгісіз ретінде табамыз, сосын әріптің өзін.

Шешуі.

1. $x = 60 : 12 = 5$. Тексеру: $12 \cdot 5 = 60$.
2. $y = 132 : 33 = 4$. Тексеру: $33 \cdot 4 = 132$.
3. $z = 357 : 51 = 7$. Тексеру: $51 \cdot 7 = 357$.
4. $2x = 13 + 15 = 28$; $x = 14$. Тексеру: $28 - 15 = 13$.
5. $7y = 45 + 25 = 70$; $y = 10$. Тексеру: $70 - 25 = 45$.
6. $4x = 130 - 70 = 60$; $x = 15$. Тексеру: $130 - 60 = 70$.
7. $3x = 49 - 34 = 15$; $x = 5$. Тексеру: $49 - 15 = 34$.
8. $9y = 55 + 89 = 144$; $y = 16$. Тексеру: $144 - 89 = 55$.
9. $8z = 74 - 2 = 72$; $z = 9$. Тексеру: $74 - 72 = 2$.

Жауабы: 1) 5; 2) 4; 3) 7; 4) 14; 5) 10; 6) 15; 7) 5; 8) 16; 9) 9.

№ 106

Марат түстен кейін түске дейінгіге қарағанда 2 балықты кем аулады. Ол барлық аулаған балықтарының жартысын атасының үйіне қалдырғанда, өзінде 5 балық қалды. Марат түске дейін неше балық аулады?

Қалай ойлаймыз. Егер жартысы — 5 балық болса, онда бүкіл улов — 10. Енді 10-ды «түске дейін» және «түстен кейін» деп бөлу қалды.

Шешуі.

1. Түске дейін $x$ балық, түстен кейін $x - 2$.
2. Барлығы $x + (x - 2) = 2x - 2$, ал ол $5 \cdot 2 = 10$ болады: $2x - 2 = 10$.
3. $2x = 12$, $x = 6$.

Тексеру: 6 және 4 — барлығы 10, жартысы 5 ✓.

Жауабы: 6 балық.

№ 107

Әсем пойыздың басынан есептегенде 7-вагонға отырды. Марина пойыздың соңынан есептегенде 7-вагонға отырды. Сонда қыздар бір вагонда болды. Пойызда неше вагон болған?

Қалай ойлаймыз. Тапқырлыққа есеп. Вагондарды сыз! Қыздардың вагонынан бұрын 6 вагон, одан кейін де 6 вагон бар.

Шешуі. $6 + 1 + 6 = 13$ вагон. Теңдеу арқылы: егер вагон саны $x$ болса, соңынан есептегендегі вагон нөмірі $x - 7 + 1 = 7$, одан $x = 13$.

⚠️ Жиі кететін қате. $7 + 7 = 14$ деген жауап — қыздардың вагоны екі рет санап жіберілген.

Жауабы: 13 вагон.

№ 108

1) Дүкендегі орам матадан 16 м мата сатылды. Қалған матадан әрбір көйлекке 3 метрден жұмсап, 8 көйлек тігілді. Дүкендегі орам мата алғашқыда неше метр болған? (А. 36 м; В. 40 м; С. 42 м; D. 41 м.) 2) Қоймадағы ұннан 165 т ұн сатылған соң, қалған ұнды әрқайсысына 3 тоннадан 14 машинаға тиеді. Не белгісіз? Сұрақ қойыңдар.

Қалай ойлаймыз. Қалғанын табу оңай: көйлектер немесе машиналар бойынша. Ал «болды» = «сатылды» + «қалды».

Шешуі.

1. Орамда $x$ м мата болсын. Қалғаны $x - 16$, ал ол $8 \cdot 3 = 24$ м. $x - 16 = 24$; $x = 24 + 16 = 40$. Тексеру: $40 - 16 = 24 = 8 \cdot 3$ ✓.

2. Қоймада алғашқыда қанша ұн болғаны белгісіз. Сұрақ: «Қоймада алғашқыда неше тонна ұн болған?» $x - 165 = 14 \cdot 3$; $x - 165 = 42$; $x = 207$. Тексеру: $207 - 165 = 42$ ✓.

Жауабы: 1) 40 м — В нұсқасы. 2) Алғашқыда қанша ұн болғаны белгісіз; болған ұн — 207 т.

B деңгейі

№ 109

Теңдеуді шешіңдер: 1) $(x - 16) \cdot 9 = 126$; 2) $28 \cdot (x + 5) = 224$; 3) $(x + 76) : 7 = 15$; 4) $144 : (x - 3) = 36$; 5) $21 \cdot (y - 8) = 84$; 6) $(x + 67) : 18 = 4$.

Қалай ойлаймыз. Матрешка! Жақша — бір белгісіз компонент. Алдымен жақшаны, сосын әріпті табамыз.

Шешуі.

1. Жақша — көбейткіш: $x - 16 = 126 : 9 = 14$; $x = 30$. Тексеру: $14 \cdot 9 = 126$.
2. Жақша — көбейткіш: $x + 5 = 224 : 28 = 8$; $x = 3$. Тексеру: $28 \cdot 8 = 224$.
3. Жақша — бөлінгіш: $x + 76 = 15 \cdot 7 = 105$; $x = 29$. Тексеру: $105 : 7 = 15$.
4. Жақша — бөлгіш: $x - 3 = 144 : 36 = 4$; $x = 7$. Тексеру: $144 : 4 = 36$.
5. Жақша — көбейткіш: $y - 8 = 84 : 21 = 4$; $y = 12$. Тексеру: $21 \cdot 4 = 84$.
6. Жақша — бөлінгіш: $x + 67 = 4 \cdot 18 = 72$; $x = 5$. Тексеру: $72 : 18 = 4$.

Жауабы: 1) 30; 2) 3; 3) 29; 4) 7; 5) 12; 6) 5.

№ 110

Теңдеуді шешіңдер: 1) $(12m - 5m) \cdot 4 = 252$; 2) $(4n + 3n) \cdot 11 = 154$; 3) $45 : (4m - m) = 3$; 4) $(19n - 6n) : 4 = 26$; 5) $(16m + 5m) : 18 = 7$; 6) $(17n - 8n) \cdot 13 = 351$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен жақшаның ішін реттеп ал — 1.9-сабақтағыдай ықшамда. Мысалы, $12m - 5m = 7m$. Сосын әдеттегідей шеш.

Шешуі.

1. $7m \cdot 4 = 252$; $7m = 63$; $m = 9$. Тексеру: $(108 - 45) \cdot 4 = 63 \cdot 4 = 252$.
2. $7n \cdot 11 = 154$; $7n = 14$; $n = 2$. Тексеру: $(8 + 6) \cdot 11 = 154$.
3. $45 : 3m = 3$; $3m = 15$; $m = 5$. Тексеру: $45 : (20 - 5) = 45 : 15 = 3$.
4. $13n : 4 = 26$; $13n = 104$; $n = 8$. Тексеру: $(152 - 48) : 4 = 104 : 4 = 26$.
5. $21m : 18 = 7$; $21m = 126$; $m = 6$. Тексеру: $(96 + 30) : 18 = 126 : 18 = 7$.
6. $9n \cdot 13 = 351$; $9n = 27$; $n = 3$. Тексеру: $(51 - 24) \cdot 13 = 27 \cdot 13 = 351$.

Жауабы: 1) 9; 2) 2; 3) 5; 4) 8; 5) 6; 6) 3.

№ 111

1) Бақтағы жидектердің барлығы 37 түп. Ондағы қарлыған қарақаттан 3 түп артық, ал таңқурайдан 2 есе кем. Бақтағы қарлыған неше түп? Қарақат неше түп? Таңқурай неше түп? 2) $AB$ кесіндісінің ұзындығы 40 см. $AB$ кесіндісі $C$ және $D$ нүктелерімен $AC$, $CD$ және $DB$ кесінділеріне бөлінген. $CD$ кесіндісі $AC$ кесіндісінен 4 см ұзын, ал $DB$ кесіндісінен 2 есе қысқа. $AC$ кесіндісінің ұзындығын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. $x$ ретінде ең кішісін аламыз: қарақатты (немесе $AC$). Қалғанын $x$ арқылы өрнектейміз. Үш бөліктен тұратын кесінді сыз: $x$, $x + 3$, $2(x + 3)$, ал оның астына бүкіл ұзындық 37.

Шешуі.

1. Қарақат $x$ түп, қарлыған $x + 3$, таңқурай $2(x + 3)$.

1. $x + (x + 3) + 2(x + 3) = 37$.
2. Жақшаны ашамыз: $x + x + 3 + 2x + 6 = 37$, яғни $4x + 9 = 37$.
3. $4x = 28$, $x = 7$.
4. Қарақат 7, қарлыған 10, таңқурай 20.

Тексеру: $7 + 10 + 20 = 37$; $10 - 7 = 3$; $20 : 10 = 2$ ✓.

2. Дәл осындай есеп, тек кесінді туралы. $AC = x$, $CD = x + 4$, $DB = 2(x + 4)$.

1. $x + (x + 4) + 2(x + 4) = 40$.
2. $x + x + 4 + 2x + 8 = 40$, яғни $4x + 12 = 40$.
3. $4x = 28$, $x = 7$.

Тексеру: $7 + 11 + 22 = 40$ ✓.

Жауабы: 1) 7 түп қарақат, 10 түп қарлыған, 20 түп таңқурай. 2) $AC = 7$ см.

№ 112

Балықшылар барлығы 324 балық аулады. Ондағы алабұға шортаннан 3 есе артық, бірақ табан балықтан 17-ге кем. Сазан табан балықтан 2 есе артық. Балықшылар неше шортан аулады? Неше сазан аулады?

Қалай ойлаймыз. Ең аз шортан, сондықтан оны $x$ деп аламыз. Қалғандарын тізбек бойынша өрнектейміз.

Шешуі.

1. Шортан $x$, алабұға $3x$.
2. Табан балық $3x + 17$.
3. Сазан $2(3x + 17) = 6x + 34$.
4. $x + 3x + (3x + 17) + (6x + 34) = 324$, яғни $13x + 51 = 324$.
5. $13x = 273$, $x = 21$.
6. Сазан $6 \cdot 21 + 34 = 160$.

Тексеру: шортан 21, алабұға 63, табан балық 80, сазан 160; $21 + 63 + 80 + 160 = 324$ ✓.

Жауабы: 21 шортан, 160 сазан.

№ 113

Әкесі неше жаста болса, баласына сонша ай. Екеуінің жастарының қосындысы 39 жыл. Баласы неше жаста?

Қалай ойлаймыз. Бір жылда 12 ай. Баласы $x$ жаста болса, ол $12x$ ай. Әкесінің жасы да сонша жыл.

Шешуі.

1. Баласы $x$ жаста, әкесі $12x$ жаста.
2. $x + 12x = 39$; $13x = 39$; $x = 3$.
3. Әкесі $12 \cdot 3 = 36$ жаста.

Тексеру: 3 жас = 36 ай, әкесі 36 жаста; $3 + 36 = 39$ ✓.

Жауабы: 3 жаста.

№ 114

Теңдеу бойынша есеп құрастырыңдар: 1) $250 - 3y = 115$; 2) $x + 3x + 2 \cdot 3x = 120$; 3) $(48 - x) : 8 = 4$.

Қалай ойлаймыз. Теңдеудің не «айтып» тұрғанына қара: «болды — алынды — қалды», «бөліктер 3 және 6 есе көп», «жеп қойды, ал қалғанын бөліп берді». Сюжетті соған лайықтап ойлап тап.

Шешуі. Мысалдар (сенде өзгеше болуы мүмкін):

1. «Кітапханада 250 кітап болды. Бірнеше оқушы 3 кітаптан алды, кітапханада 115 кітап қалды. Неше оқушы кітап алды?» $3y = 250 - 115 = 135$; $y = 135 : 3 = 45$. Тексеру: $250 - 3 \cdot 45 = 250 - 135 = 115$.

2. «Үш сыныпта барлығы 120 оқулық бар. Екінші сыныпта бірінші сыныптағыдан 3 есе көп, үшіншіде екіншідегіден 2 есе көп. Бірінші сыныпта неше оқулық бар?» $x + 3x + 6x = 120$; $10x = 120$; $x = 12$. Тексеру: $12 + 36 + 72 = 120$.

3. «48 кәмпит болды. Бірнешеуін жеп қойды, қалғанын 8 балаға теңдей бөліп берді — әрқайсысына 4-тен тиді. Неше кәмпитті жеп қойды?» $48 - x = 4 \cdot 8 = 32$; $x = 16$. Тексеру: $(48 - 16) : 8 = 4$.

Жауабы: есептер, мысалы, жоғарыдағыдай; түбірлері: 1) 45; 2) 12; 3) 16.

C деңгейі

№ 115

Теңдеудің түбірін «таңдау» тәсілімен табыңдар: 1) $x \cdot x + 60 = 85$; 2) $(x \cdot x - 23) \cdot 9 = 117$; 3) $(x \cdot x \cdot x + 38) : 13 = 5$; 4) $(149 - x \cdot x \cdot x) \cdot 7 = 168$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен $x \cdot x$ (немесе $x \cdot x \cdot x$) өрнегін бір белгісіз ретінде табамыз. Сосын өзін-өзіне көбейткенде керекті нәтиже беретін санды таңдаймыз.

Шешуі.

1. $x \cdot x = 85 - 60 = 25$; $5 \cdot 5 = 25$, $x = 5$. Тексеру: $25 + 60 = 85$.
2. $x \cdot x - 23 = 117 : 9 = 13$; $x \cdot x = 36$; $x = 6$. Тексеру: $(36 - 23) \cdot 9 = 13 \cdot 9 = 117$.
3. $x \cdot x \cdot x + 38 = 5 \cdot 13 = 65$; $x \cdot x \cdot x = 27$; $3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$, $x = 3$. Тексеру: $(27 + 38) : 13 = 65 : 13 = 5$.
4. $149 - x \cdot x \cdot x = 168 : 7 = 24$; $x \cdot x \cdot x = 125$; $5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$, $x = 5$. Тексеру: $(149 - 125) \cdot 7 = 24 \cdot 7 = 168$.

Жауабы: 1) 5; 2) 6; 3) 3; 4) 5.

№ 116

Теңдеудің түбірін табыңдар: 1) $(63 - 5x) : a = 6$, мұндағы $a = 3$; 2) $b : (38x - 95) = 7$, мұндағы $b = 133$; 3) $15 \cdot (c - 8x) = 75$, мұндағы $c = 53$; 4) $(6x - d) \cdot 8 = 104$, мұндағы $d = 29$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен белгілі әріптің орнына санды қой — әдеттегі теңдеу шығады.

Шешуі.

1. $(63 - 5x) : 3 = 6$; $63 - 5x = 18$; $5x = 45$; $x = 9$. Тексеру: $(63 - 45) : 3 = 6$.
2. $133 : (38x - 95) = 7$; $38x - 95 = 19$; $38x = 114$; $x = 3$. Тексеру: $133 : (114 - 95) = 133 : 19 = 7$.
3. $15 \cdot (53 - 8x) = 75$; $53 - 8x = 5$; $8x = 48$; $x = 6$. Тексеру: $15 \cdot (53 - 48) = 75$.
4. $(6x - 29) \cdot 8 = 104$; $6x - 29 = 13$; $6x = 42$; $x = 7$. Тексеру: $(42 - 29) \cdot 8 = 13 \cdot 8 = 104$.

Жауабы: 1) 9; 2) 3; 3) 6; 4) 7.

№ 117

Теңдеудегі $x$-тің мәнін табыңдар: 1) $(a + b) \cdot x = c$, мұндағы $13 + a = 30$, $a - 9 = b$ және $1000 : b = c$; 2) $(m - n) : x = k$, мұндағы $140 : n = 5$, $40 - n = k$ және $k + 88 = m$.

Қалай ойлаймыз. Бұл — квест: алдымен тізбек бойынша көмекші әріптерді табамыз, сосын басты теңдеуді шығарамыз.

Шешуі.

1. $13 + a = 30$, $a = 17$.
2. $b = a - 9 = 8$.
3. $c = 1000 : 8 = 125$.
4. $(17 + 8) \cdot x = 125$; $25x = 125$; $x = 5$.

Тексеру: $25 \cdot 5 = 125$ ✓.

1. $140 : n = 5$, $n = 140 : 5 = 28$.
2. $k = 40 - 28 = 12$.
3. $m = 12 + 88 = 100$.
4. $(100 - 28) : x = 12$; $72 : x = 12$; $x = 6$.

Тексеру: $72 : 6 = 12$ ✓.

Жауабы: 1) 5; 2) 6.

№ 118

Олжас 19 200 теңгеге 2 тотықұс, 1 күшік және 1 мысық сатып алды. Күшік мысықтан 3 есе қымбат, ал тотықұстан 2 есе арзан. Мысық неше теңге? Тотықұс неше теңге?

Қалай ойлаймыз. Ең арзаны — мысық, сондықтан оны $x$ деп аламыз. Тотықұс екеу екенін ұмытпа.

Шешуі.

1. Мысық $x$ теңге, күшік $3x$, тотықұс $2 \cdot 3x = 6x$.
2. Екі тотықұс: $12x$.
3. $12x + 3x + x = 19,200$; $16x = 19,200$; $x = 1200$.
4. Тотықұс: $6 \cdot 1200 = 7200$ теңге.

Тексеру: күшік 3600 теңге; $2 \cdot 7200 + 3600 + 1200 = 14,400 + 4800 = 19,200$ ✓.

Жауабы: мысық 1200 теңге, тотықұс 7200 теңге.

№ 119

Үшбұрыштың бірінші және екінші қабырғаларының қосындысы 37 см. Екінші және үшінші қабырғаларының қосындысы 41 см. Бірінші және үшінші қабырғаларының қосындысы 32 см. Үшбұрыштың периметрі неше сантиметр? Үшбұрыштың екінші қабырғасы неше сантиметр?

Қалай ойлаймыз. Әдемі айла: үш қосындыны қос. Әр қабырға оған екі рет кіреді.

Шешуі.

1. $37 + 41 + 32 = 110$ см — бұл периметрдің екі еселенгені.
2. Периметр $110 : 2 = 55$ см.
3. Екінші қабырға = периметр − (бірінші + үшінші): $55 - 32 = 23$ см.

Айтпақшы: бірінші қабырға $55 - 41 = 14$ см, үшінші $55 - 37 = 18$ см. Тексеру: $14 + 23 = 37$, $23 + 18 = 41$, $14 + 18 = 32$ ✓.

Жауабы: периметрі 55 см; екінші қабырғасы 23 см.

№ 120

Үш қорапшаға шарлар салынған. Бірінші қорапшадан 7 шарды екінші қорапшаға салғанда, онда 12 шар қалды. Екінші қорапшадан 3 шарды үшінші қорапшаға салғанда, үш қорапшадағы шарлар саны тең болды. Алғашқыда бірінші қорапшада, екінші қорапшада, үшінші қорапшада неше шар болған? Теңдеумен шеш.

Қалай ойлаймыз. Бірінші қорапшаға кейін тиіспеді. Демек, соңында әр қорапшада 12-ден шар болды.

Шешуі.

1. Бірінші: $x - 7 = 12$, $x = 19$.
2. Екінші: алғашқыда $y$ болды, 7 алды, 3 берді: $y + 7 - 3 = 12$; $y + 4 = 12$; $y = 8$.
3. Үшінші: алғашқыда $z$ болды, 3 алды: $z + 3 = 12$; $z = 9$.

Тексеру: $19 - 7 = 12$; $8 + 7 - 3 = 12$; $9 + 3 = 12$ ✓.

Жауабы: 19, 8 және 9 шар.

№ 121

Хан Тәңірі шыңы Талғар шыңынан 2022 м биік. Манас шыңы Талғар шыңынан 491 м аласа, ал Мұзтау шыңынан 24 м аласа. Хан Тәңірі шыңының биіктігін ақпараттық көздерден іздестіріп тауып, оны «белгілі» деп есептеп, Манас, Мұзтау, Талғар шыңдарының биіктіктерін есептеп тауып, кестені толтырыңдар.

Қалай ойлаймыз. Бұл — іздеу тапсырмасы. Анықтамалықтар бойынша Хан Тәңірінің биіктігі — 6995 м (жартасты шыңы; мұз қабатымен бірге — шамамен 7010 м). Дереккөзден тексеріп көр. Біз 6995 м аламыз.

Шешуі.

1. Талғар $x$ м: $x + 2022 = 6995$; $x = 4973$ м.
2. Манас: $4973 - 491 = 4482$ м.
3. Мұзтау: Манас Мұзтаудан 24 м аласа, демек, $4482 + 24 = 4506$ м.

Егер 7010 м алсақ, барлық сандар 15 м-ге артады: 4497, 4521, 4988.

🌟 Хан Тәңірі — планетадағы ең солтүстіктегі жеті мыңдық шың. Атауының мағынасы — «Аспан әміршісі».

Жауабы: Талғар 4973 м, Манас 4482 м, Мұзтау 4506 м (Хан Тәңірінің биіктігі 6995 м болғанда).

Жадынама

• Теңдеу — таразы сияқты: екі жағы тең.
• Азайғыш = айырма + азайтқыш; көбейткіш = көбейтінді : екінші көбейткіш.
• Жақшаның ішін алдымен ықшамда: $(12m - 5m) \cdot 4 = 7m \cdot 4$.
• Есеп: $x$ белгіле → теңдеу құр → шеш → жауап бер → тексер.
• Орнына қойып тексеру — әрбір теңдеуде.

Шағын тест