1.12. Сандар тізбегі

Математика, 5 сынып. Оқулық: Алдамұратова Т.А. және т.б. (Атамұра, 2017). I тарау: Натурал сандар және нөл. 60–62-беттер.

Нені үйренесің

• Сандар тізбегін танып, оның мүшелерін атауды.
• $a_1; a_2; a_3; \ldots; a_n$ жазуын түсінуді — төменгі кішкентай нөмір нені білдіреді.
• Ережені тауып, қатарды алға да, артқа да жалғастыруды.
• $n$-ші мүшенің формуласы бойынша кез келген мүшені, тіпті жүзінші мүшені де табуды.

Тақырыпты талдаймыз

Кезекте тұрған сандар

Асханадағы кезекті елестет: бірінші, екінші, үшінші… Әрқайсысының өз орны бар. Егер 3 санынан бастап тақ сандарды жазсақ, дәл осындай «кезек» шығады: 3; 5; 7; 9; 11; 13; …

Бұл — сандар тізбегі: белгілі бір ретпен бірінен кейін бірі жазылған сандар. Ондағы әрбір сан — тізбектің мүшесі. Ретін өзгертсең, енді басқа тізбек шығады.

Төмендегі нөмірше

Мүшелерді төменгі жағына кішкентай нөмірі бар бір әріппен белгілейді: $a_1; a_2; a_3; a_4; \ldots; a_n; \ldots$ Оқылуы: «а бірінші, а екінші, …, а энінші». Төмендегі нөмір индекс деп аталады — ол киім ілгіштегі нөмірше сияқты: онда не ілулі тұрғанын емес, орнын көрсетеді.

Әріпті кез келген алуға болады: $b$, $c$, $x$. Бүкіл тізбекті қысқаша $(a_n)$ деп жазады. 3-тен басталатын тақ сандар үшін: $a_1 = 3$, $a_2 = 5$, $a_3 = 7$.

Суретке қара: көлденеңінен — орын нөмірі, тігінен — мүшенің өзі. Нүктелер «баспалдақ» болып бірқалыпты көтеріледі, себебі әр жолы 2 қосамыз.

⚠️ Жиі кететін қате. Нөмір мен мүшенің өзін шатастырады. 3; 5; 7; … қатарында $a_3$ жазуы — «үшінші мүше», және ол 7-ге тең, 3-ке емес.

Тізбектер қандай болады

• 4; 7; 10; 13; 16; … — әр жолы +3. Оның формуласы: $3n + 1$.
• 3; 2; 3; 2; 3; 2; … — сандар кезектеседі.
• 7; 7; 7; 7; … — бәрі бірдей. Мұндайды тұрақты тізбек деп атайды.

Формула — кез келген нөмірге арналған машина

Жүзінші мүшені табу үшін жүздің бәрін жазғың келмейді. Сонда $n$-ші мүшенің формуласы көмектеседі: оған $n$ орнына нөмірді қоясың — және бірден мүшені аласың. Мысалы, $a_n = 2n + 1$:

• $a_1 = 2 \cdot 1 + 1 = 3$;
• $a_2 = 2 \cdot 2 + 1 = 5$;
• $a_{10} = 2 \cdot 10 + 1 = 21$.

Тағы бірнеше мысал. Егер $x_n = (n + 3) \cdot 2$ болса, онда $x_5 = (5 + 3) \cdot 2 = 16$, $x_7 = (7 + 3) \cdot 2 = 20$. Егер $c_n = n^2 + 1$ болса, онда $c_1 = 2$, $c_2 = 5$, $c_3 = 10$, $c_4 = 17$.

Ережені қалай шешеміз

1. Көршілердің айырмасы қанша екенін қара. Әр жолы бірдей сан қосады (немесе азайтады) ма?
2. Егер айырма өсіп отырса — мүмкін, әр жолы бір санға көбейтіп отыр ма?
3. Мүшелерді нөмірлермен салыстыр: мүмкін, бұл нөмірлердің квадраттары — 1, 4, 9, 16 ма?

💡 Ережені тапсаң, оны бірінші екі санмен ғана емес, берілген барлық санмен тексер. Әйтпесе қателесуің мүмкін.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. «Ережені тап» ойынын ойнаңыз: сіз 3–4 санды атайсыз (мысалы, 5; 10; 20; 40), бала келесі санды айтып, ережені сөзбен түсіндіреді. Содан кейін рөлдермен алмасыңыздар.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Сандар тізбегі дегеніміз не? Ретімен жазылған сандар, әрқайсысының өз нөмірі бар. Мысалы, 2; 4; 6; 8; … (жұп сандар) немесе 1; 4; 9; 16; … (квадраттар).
• Сандар тізбегі әріптермен қалай жазылады? $a_1; a_2; a_3; \ldots; a_n; \ldots$ немесе қысқаша $(a_n)$.
• Сандар тізбегінің әріптік жазылуындағы индекс нені көрсетеді? Мүшенің тізбектегі орнының нөмірін.
• Сандар тізбегінің $n$-ші мүшесінің формуласы берілсе, оның мүшелерін қалай табуға болады? $n$ орнына кезекпен 1, 2, 3, … қойып есептейміз — бірінші, екінші, үшінші мүшелер және т.с.с. шығады.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 141

Сандар тізбегінің заңдылықтарын анықтап, келесі үш мүшесін жазыңдар: 1) 7; 9; 11; 13; 15; …; 2) 3; 6; 12; 24; 48; …; 3) 542; 532; 522; 512; … .

Қалай ойлаймыз. Көршілерді салыстыр. Бірінші қатарда айырма бірдей, екіншісінде сандар екі есе өседі, үшіншісінде — кемиді.

Шешуі.

1. Әр жолы +2: 17; 19; 21.
2. Әр жолы 2 есе артады: $48 \cdot 2 = 96$; $96 \cdot 2 = 192$; $192 \cdot 2 = 384$.
3. Әр жолы 10-ға кемиді: 502; 492; 482.

Жауабы: 1) 17; 19; 21; 2) 96; 192; 384; 3) 502; 492; 482.

№ 142

Сандар тізбегінің алдыңғы төрт мүшесін жазыңдар: 1) …; 26; 31; 36; 41; …; 2) …; 32; 64; 128; 256; … .

Қалай ойлаймыз. Артқа жүру — кері амалды орындау деген сөз. Алға қарай қоссақ — артқа қарай азайтамыз. Алға қарай көбейтсек — артқа қарай бөлеміз.

Шешуі.

1. Алға +5, артқа −5: $26 - 5 = 21$, $21 - 5 = 16$, $16 - 5 = 11$, $11 - 5 = 6$.
2. Алға ·2, артқа :2: $32 : 2 = 16$, $16 : 2 = 8$, $8 : 2 = 4$, $4 : 2 = 2$.

Жауабы: 1) 6; 11; 16; 21; 26; 31; …; 2) 2; 4; 8; 16; 32; 64; …

№ 143

Сандар тізбегінің заңдылығын анықтап, оның $n$-ші мүшесінің формуласын жазыңдар: 1) 1; 4; 9; 16; 25; …; $a_n$; …, $a_n = ?$; 2) 0; 3; 8; 15; 24; …; $x_n$; …, $x_n = ?$

Қалай ойлаймыз. Әр санның астына оның нөмірін жаз да, нөмірмен не істеу керегін ойла.

Шешуі.

1. $1 = 1 \cdot 1$, $4 = 2 \cdot 2$, $9 = 3 \cdot 3$, $16 = 4 \cdot 4$, $25 = 5 \cdot 5$. Мүше — нөмірді өзін-өзіне көбейткенге тең: $a_n = n^2$.
2. Әр сан бірінші қатардағыдан 1-ге кем: $0 = 1 - 1$, $3 = 4 - 1$, $8 = 9 - 1$, … Демек, $x_n = n^2 - 1$.

Жауабы: 1) $a_n = n^2$; 2) $x_n = n^2 - 1$.

B деңгейі

№ 144

1; 3; 9; 27; 81; … сандар тізбегінің құрастыру ережесін ойлап тауып, оның келесі үш мүшесін жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. $3 = 1 \cdot 3$, $9 = 3 \cdot 3$, $27 = 9 \cdot 3$ — сандар әр жолы үш есе артады.

Шешуі. $81 \cdot 3 = 243$, $243 \cdot 3 = 729$, $729 \cdot 3 = 2187$.

Жауабы: ереже «3-ке көбейт»; 243 (екі жүз қырық үш), 729 (жеті жүз жиырма тоғыз), 2187 (екі мың жүз сексен жеті).

№ 145

$a_n = 4n - 3$ формуласымен берілген сандар тізбегінің алғашқы бес мүшесін жазып, кестені толтырыңдар.

Қалай ойлаймыз. $n$ орнына 1, 2, 3, 4, 5 нөмірлерін кезекпен қоямыз.

Шешуі. $a_1 = 4 \cdot 1 - 3 = 1$; $a_2 = 8 - 3 = 5$; $a_3 = 12 - 3 = 9$; $a_4 = 16 - 3 = 13$; $a_5 = 20 - 3 = 17$.

Жауабы: 1; 5; 9; 13; 17.

№ 146

Сырт пішіндері бірдей 8 сақинаның біреуі өзгелерінен жеңіл. Кіртастары жоқ табақшалы таразымен кем дегенде неше рет өлшеп, жеңіл сақинаны табуға болады?

Қалай ойлаймыз. Тапқырлыққа есеп. Таразының үш нәтижесі бар: сол табақша жеңіл, оң табақша жеңіл немесе тепе-теңдік. Демек, сақиналарды екіге емес, үш топқа бөлген тиімді.

Шешуі. 3, 3, 2 топтар → бірінші өлшеу жеңіл сақина қай топта екенін көрсетеді → екінші өлшеу оны табады. Бір өлшеумен болмайды.

Жауабы: 2 өлшеумен.

C деңгейі

№ 147

Берілген сандар тізбегінің алдыңғы үш мүшесін және соңғы үш мүшесін жазыңдар: 1) …; 45; 55; 65; 75; …; 2) …; 925; 900; 875; 850; … .

Қалай ойлаймыз. Қадамын тап. Алға қарай — қадам бойынша, артқа қарай — кері амалмен.

Шешуі.

1. Қадамы +10. Артқа: 35; 25; 15. Алға: 85; 95; 105.
2. Қадамы −25. Артқа (25 қосамыз): 950; 975; 1000. Алға: 825; 800; 775.

Жауабы: 1) 15; 25; 35; 45; 55; 65; 75; 85; 95; 105; 2) 1000; 975; 950; 925; 900; 875; 850; 825; 800; 775.

№ 148

Сандар тізбегінің $n$-ші мүшесінің $x_n = (2n + 1) \cdot 3$ формуласы берілген. Осы сандар тізбегінің алдыңғы алты мүшесін жазып, кестені толтырыңдар.

Қалай ойлаймыз. Нөмірді қоямыз, жақшаны есептейміз, 3-ке көбейтеміз.

Шешуі. $x_1 = 3 \cdot 3 = 9$; $x_2 = 5 \cdot 3 = 15$; $x_3 = 7 \cdot 3 = 21$; $x_4 = 9 \cdot 3 = 27$; $x_5 = 11 \cdot 3 = 33$; $x_6 = 13 \cdot 3 = 39$.

💡 Әрбір келесі мүше алдыңғысынан 6-ға артық. Тексеруге ыңғайлы!

Жауабы: 9; 15; 21; 27; 33; 39.

№ 149

Сандар тізбегінің келесі үш мүшесін жазыңдар. Сандар тізбегінің: 1) бірінші мүшесі 4-ке тең, екінші мүшесі 7-ге тең. Әрбір келесі мүшесі алдыңғы екі мүшесінің қосындысына тең; 2) бірінші мүшесі 2-ге тең, екінші мүшесі 3-ке тең. Әрбір келесі мүшесі алдыңғы екі мүшесінің көбейтіндісіне тең.

Қалай ойлаймыз. Әр жолы іздеп отырған санның алдында бірден тұрған екі санды аламыз.

Шешуі.

1. $4 + 7 = 11$; $7 + 11 = 18$; $11 + 18 = 29$. Қатар: 4; 7; 11; 18; 29; …
2. $2 \cdot 3 = 6$; $3 \cdot 6 = 18$; $6 \cdot 18 = 108$. Қатар: 2; 3; 6; 18; 108; …

Жауабы: 1) 11; 18; 29; 2) 6; 18; 108.

⚠️ Жиі кететін қате. Екінші тармақта бірінші және соңғы санды алып, $2 \cdot 6 = 12$ деп жазады. Іздеп отырған санның дәл алдындағы екі көршіні ғана алу керек.

№ 150

Тиісті сандарды тауып, сиқырлы квадратты толтырыңдар. Сиқырлы квадраттың торкөздеріндегі сандардың баған бойынша, қатар бойынша және қарама-қарсы төбелерін қосатын кесінді (диагональ) бойынша қосындылары өзара тең болады. Сиқырлы квадраттың торкөздерінде бірдей сандар қайталанбауы керек.

Қалай ойлаймыз. Үш саны да белгілі болатын сызықты (қатарды, бағанды немесе диагональды) тап — оның қосындысы «сиқырлы» қосынды болады. Әрі қарай бір саны жетіспейтін сызықтарды ізде де, оны азайту арқылы тап.

Шешуі.

1-квадрат. Сиқырлы қосынды 30 (қадамдары жоғарыда).

2-квадрат. Оң жақ баған түгел белгілі: $11 + 1 + 15 = 27$ — сиқырлы қосынды 27.

1. Ортаңғы қатар: $27 - 17 - 1 = 9$ (ортасы).
2. Оң жақ жоғарғы бұрыштан шығатын диагональ: $27 - 11 - 9 = 7$ (сол жақ төменгі).
3. Сол жақ жоғарғы бұрыштан шығатын диагональ: $27 - 9 - 15 = 3$.
4. Жоғарғы қатар: $27 - 3 - 11 = 13$. Төменгі қатар: $27 - 7 - 15 = 5$.

3-квадрат. Төменгі қатар белгілі: $22 + 7 + 10 = 39$ — сиқырлы қосынды 39.

1. Сол жақ баған: $39 - 1 - 22 = 16$ (сол жақ жоғарғы).
2. Сол жақ жоғарғы бұрыштан шығатын диагональ: $39 - 16 - 10 = 13$ (ортасы).
3. Ортаңғы қатар: $39 - 1 - 13 = 25$.
4. Екінші диагональ: $39 - 22 - 13 = 4$ (оң жақ жоғарғы).
5. Жоғарғы қатар: $39 - 16 - 4 = 19$.

Тексеру: барлық квадраттарда қатарлардың, бағандардың және диагональдардың қосындылары бірдей, сандар қайталанбайды.

Жауабы: квадраттар жоғарыда толтырылды; сиқырлы қосындылар 30, 27 және 39.

🌟 Сиқырлы квадраттарды ертедегі Қытайда екі мың жылдан астам бұрын да білген. Оларды «сәт сапар» тілеп, тұмарларға сызған.

Жадынама

• Белгіленуі: $a_1; a_2; \ldots; a_n; \ldots$ немесе $(a_n)$.
• Формула бойынша кез келген мүшені нөмірді қойып табады: $a_n = 4n - 3$, $a_5 = 17$.
• Ережені көршілердің айырмасы, бөліндісі бойынша немесе нөмірмен салыстырып іздейміз.
• Табылған ережені берілген барлық санмен тексереміз.

Шағын тест