1.3. Натурал сандарды салыстыру. Қос теңсіздік

Математика, 5 сынып. Оқулық: Алдамұратова Т.А. және т.б. (Атамұра, 2017). I тарау: Натурал сандар және нөл. 14–17-беттер.

Нені үйренесің

• Сандарды салыстырып, жауабын
  gt;$,
  lt;$, $=$ белгілерімен жазуды.
• Координаталық сәуледе қай санның үлкен екенін көре білуді.
• Ұзын сандарды разрядтары бойынша тез және қатесіз салыстыруды.
• Қос теңсіздікті жазуды және оқуды, мысалы $18 < 25 < 40$.
• Шамаларды салыстыруды: метрді сантиметрмен, сағатты минутпен.

Ой қозғау

• Қайсысы үлкен: 36 ма, әлде 117 ме? 9513 пе, әлде 951 ме? 23 758 пе, әлде 8648 пе? $36 < 117$, $9513 > 951$, $23,758 > 8648$. Үлкен санда жай ғана цифр көп!
• Ал 745 пе, әлде 815 пе? 8463 пе, әлде 8436 ма? 64 816 ма, әлде 64 891 ме? $745 < 815$ (7 жүздік 8 жүздіктен аз); $8463 > 8436$ (6 ондық 3 ондықтан көп); $64,816 < 64,891$ (1 ондық 9 ондықтан аз).
• Цифрлар саны бірдей сандарды қай разрядтан бастап салыстырамыз: бірліктен бе, әлде жоғарғы разрядтан ба? Жоғарғы разрядтан, яғни сол жақтан.

Тақырыпты талдаймыз

Сәуледе кім «үлкен»

1, 2, 3, 4… деп санағанда, әрбір келесі сан алдыңғыдан үлкен болады. Демек, санағанда кейін аталатын сан үлкен.

Координаталық сәуледе мұны бірден көруге болады. 8 санына жету үшін 3 санына жеткеннен көп қадам керек. Сондықтан 8 оң жақта тұрады.

Нүкте қаншалықты оңға тұрса, сан соншалықты үлкен. Ең бастысын есіңе сақта:

📌 Екі санның үлкені сәуледе оң жақта, кішісі — сол жақта тұрады.

Салыстыру белгілері

• gt;$ — «үлкен»: $15 > 7$;
• lt;$ — «кіші»: $9 < 10$;
• $=$ — «тең»: $4596 = 4596$.

💡 Белгілерді қалай шатастырмауға болады? Белгі — аш ауыз сияқты. Ол әрқашан үлкен санға қарай ашық, ал өткір ұшымен кішісін көрсетеді: $15 > 7$.

Сәуледен тыс салыстырамыз: алдымен цифрларды санаймыз

Цифрлар саны әртүрлі ме? Цифры көп сан үлкен. $4576 > 987$: біріншісінде мыңдықтар бар, екіншісінде тек жүздіктер.

Цифрлар саны бірдей ме? Солдан оңға қарай, разряд сайын, әртүрлі цифрлар кездескенше жүреміз.

$3524$ және $3576$: мыңдықтар $3 = 3$, жүздіктер $5 = 5$, ондықтар $2 < 7$. Демек, $3524 < 3576$. Одан әрі қарау қажет емес!

⚠️ Жиі кететін қате. Цифрларын санамай, алғашқы цифрларына қарап салыстырады. «$951 > 9513$, себебі 95-тен кейін 1 мен 3 тұр» — олай емес! Алдымен цифрларды санаймыз, ал разрядтар бойынша тек цифрлар саны бірдей болғанда ғана салыстырамыз.

Нөл, бір және шексіздік

Кез келген натурал сан нөлден үлкен: $a > 0$. Ең кіші натурал сан — 1. Ең үлкен сан жоқ: кез келген санға әрқашан 1 қосуға болады.

Қос теңсіздік

Үш санды бірден салыстыру керек пе? Қос теңсіздікті өсу ретімен жаз: $18 < 25 < 40$.

Оны ортасынан бастап оқиды: «25 саны 18-ден үлкен және 40-тан кіші». Оның ішінде екі теңсіздік жасырынған: $18 < 25$ және $25 < 40$.

Теңсіздік тура болуы мүмкін ($7 < 9$) және тура емес болуы мүмкін ($4 > 11$).

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Баладан $814 < 914 < 999$ жазуын дауыстап оқуын сұраңыз. Дұрысы — ортасынан бастап: «914 саны 814-тен үлкен және 999-дан кіші». Егер бала солдан оңға қарай тізбектеп оқыса, басты сан ортада тұратынын еске салыңыз.

Шамаларды салыстырамыз

65 см мен 1 м-ді бірден салыстыра алмайсың, өйткені өлшем бірліктері әртүрлі. Алдымен аударамыз: 1 м = 100 см, және $65 \text{ см} < 100 \text{ см}$.

⚠️ Жиі кететін қате. «1500 кг > 2 т» деп жазады, себебі $1500 > 2$. Бұл — қақпан! 2 т = 2000 кг, демек, $1500 \text{ кг} < 2 \text{ т}$.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Сандарды салыстыру нәтижесі қандай белгілермен жазылады?
  gt;$,
  lt;$ және $=$ белгілерімен.
• Координаталық сәуледе кіші сан үлкен санның қай жағында кескінделеді? Сол жағында.
• Разрядтар саны әртүрлі екі натурал санды қалай салыстырады? Разрядтары көп сан үлкен: $1000 > 999$, $52,000 > 9876$.
• Разрядтар саны бірдей екі натурал санды қалай салыстырады? 3452 саны үлкен бе, әлде 3721 саны үлкен бе? Жоғарғы разрядтан бастап, разрядтары бойынша. $3452 < 3721$, себебі жүздіктер 4 саны 7-ден кіші.

Жаттығуларды шығарамыз

Ауызша есептеу

№ 28

Санды теңсіздіктерді оқыңдар.

Қалай ойлаймыз. Солдан оңға қарай оқимыз: бірінші сан, сосын «үлкен» немесе «кіші», сосын екінші сан.

Шешуі.

1. $8 < 15$ — сегіз кіші он бестен.
2. $96 > 95$ — тоқсан алты үлкен тоқсан бестен.
3. $21 > 11$ — жиырма бір үлкен он бірден.
4. $58 < 60$ — елу сегіз кіші алпыстан.
5. $7816 < 7846$ — жеті мың сегіз жүз он алты кіші жеті мың сегіз жүз қырық алтыдан.
6. $5,316,000 < 6,000,000$ — бес миллион үш жүз он алты мың кіші алты миллионнан.

Жауабы: алты теңсіздіктің бәрі оқылды; олардың бәрі тура.

A деңгейі

№ 29

Сандарды салыстырыңдар. Нәтижесін «>» немесе «<» белгілерімен жазыңдар: 157 және 57; 846 және 864; 3993 және 3939; 4203 және 7302; 6914 және 591; 205 205 және 202 505.

Қалай ойлаймыз. Цифрларын сана. Тең бе? Онда солдан бірінші әртүрлі цифрды ізде.

Шешуі.

1. 157 — үш цифр, 57 — екі цифр: $157 > 57$.
2. Жүздіктер тең, ондықтар $4 < 6$: $846 < 864$.
3. Мыңдықтар мен жүздіктер тең, ондықтар $9 > 3$: $3993 > 3939$.
4. Мыңдықтар $4 < 7$: $4203 < 7302$.
5. 6914 — төрт цифр, 591 — үш цифр: $6914 > 591$.
6. Жүздік мыңдықтар мен ондық мыңдықтар тең, мыңдықтар $5 > 2$: $205,205 > 202,505$.

Жауабы: 1) $157 > 57$; 2) $846 < 864$; 3) $3993 > 3939$; 4) $4203 < 7302$; 5) $6914 > 591$; 6) $205,205 > 202,505$.

№ 30

1.10-суретте координаталық сәуледегі $A$, $B$ және $C$ нүктелерінің координаталарын табыңдар: 1) $A$ нүктесі мен $B$ нүктесінің; 2) $C$ нүктесі мен $B$ нүктесінің; 3) $A$ нүктесі мен $C$ нүктесінің координаталарын салыстырыңдар. Жауабын теңсіздік түрінде жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Координатаны $O$ нүктесінен бөліктерді санап табамыз. Ереже бойынша салыстырамыз: кім оң жақта тұрса, сол үлкен.

Шешуі.

1. $A$ нүктесі 2-бөлікте, $B$ — 5-бөлікте, $C$ — 7-бөлікте тұр: $A(2)$, $B(5)$, $C(7)$.
2. $A$ нүктесі $B$ нүктесінің сол жағында, сондықтан $2 < 5$.
3. $C$ нүктесі $B$ нүктесінің оң жағында, сондықтан $7 > 5$.
4. $A$ нүктесі $C$ нүктесінің сол жағында, сондықтан $2 < 7$.

Жауабы: $A(2)$, $B(5)$, $C(7)$; 1) $2 < 5$; 2) $7 > 5$; 3) $2 < 7$.

№ 31

Қос теңсіздік түрінде жазыңдар: 1) 7 саны 5-тен үлкен және 10-нан кіші; 2) 21 саны 19-дан үлкен және 35-тен кіші; 3) 914 саны 814-тен үлкен және 999-дан кіші.

Қалай ойлаймыз. Туралы айтылып отырған санды ортаға қоямыз. Сол жағына — кішісін, оң жағына — үлкенін.

Шешуі. Әр сөйлемде басты сан — бірінші. Оны ортаға қоямыз.

Жауабы: 1) $5 < 7 < 10$; 2) $19 < 21 < 35$; 3) $814 < 914 < 999$.

№ 32

Шамаларды салыстырып, нәтижесін «>» немесе «<» белгісімен жазыңдар: 1) 65 см және 1 м; 2) 1 кг және 950 г; 3) 1 сағ және 45 мин; 4) 8 дм және 75 см; 5) 1500 кг және 2 т; 6) 120 секунд және 3 мин.

Қалай ойлаймыз. Тек бір-біріне ұқсас шамаларды салыстыруға болады. Екі шаманы да бір өлшем бірлігіне аударамыз.

Шешуі.

1. 1 м = 100 см; $65 \text{ см} < 100 \text{ см}$.
2. 1 кг = 1000 г; $1000 \text{ г} > 950 \text{ г}$.
3. 1 сағ = 60 мин; $60 \text{ мин} > 45 \text{ мин}$.
4. 8 дм = 80 см; $80 \text{ см} > 75 \text{ см}$.
5. 2 т = 2000 кг; $1500 \text{ кг} < 2000 \text{ кг}$.
6. 120 с = 2 мин; $2 \text{ мин} < 3 \text{ мин}$.

Жауабы: 1) $65 \text{ см} < 1 \text{ м}$; 2) $1 \text{ кг} > 950 \text{ г}$; 3) $1 \text{ сағ} > 45 \text{ мин}$; 4) $8 \text{ дм} > 75 \text{ см}$; 5) $1500 \text{ кг} < 2 \text{ т}$; 6) $120 \text{ с} < 3 \text{ мин}$.

B деңгейі

№ 33

Сандарды разрядтары бойынша салыстырыңдар: 2341 немесе 734; 1925 немесе 1952; 38 576 немесе 38 567; 45 315 немесе 45 135; 671 312 немесе 5 671 312; 1 099 999 немесе 99 999.

Шешуі.

1. Төрт цифр үш цифрға қарсы: $2341 > 734$.
2. Мыңдықтар мен жүздіктер тең, ондықтар $2 < 5$: $1925 < 1952$.
3. Ондыққа дейін бәрі сәйкес, ондықтар $7 > 6$: $38,576 > 38,567$.
4. Ондық мыңдықтар мен мыңдықтар тең, жүздіктер $3 > 1$: $45,315 > 45,135$.
5. Алты цифр жеті цифрға қарсы: $671,312 < 5,671,312$.
6. Жеті цифр бес цифрға қарсы: $1,099,999 > 99,999$.

Жауабы: 1)

№ 34

Белгісіз цифрлары жұлдызшалармен () алмастырылған сандарды салыстырыңдар: $8{}{}$ және $2{}{}$; $45{}{}$ және $43,{}{}{}$; $17,3{}{}$ және $172,{}{}{}$; $9{}{}{}$ және $2{}{}{}$; ${}{},{}{}{}$ және ${}{}{}{}$; $1,362,{}{}{}$ және $13,61{},{}{}{}$.*

Қалай ойлаймыз. Жұлдызша — белгісіз цифр. Алдымен барлығы неше цифр екенін санаймыз. Цифр саны әртүрлі болса — жауап бірден белгілі. Бірдей болса — белгілі ең жоғарғы разрядқа қараймыз.

Шешуі.

1. Екеуі де үш таңбалы, жүздіктер $8 > 2$: $8{}{} > 2{}{}$.
2. Төрт цифр бес цифрға қарсы: $45{}{} < 43,{}{}{*}$. 45 саны 43-тен үлкен болса да, екінші сан ұзынырақ.
3. Бес цифр алты цифрға қарсы: $17,3{}{} < 172,{}{}{*}$.
4. Екеуі де төрт таңбалы, мыңдықтар $9 > 2$: $9{}{}{} > 2{}{}{}$.
5. Бес цифр төрт цифрға қарсы: ${}{},{}{}{} > {}{}{}{*}$.
6. Жеті цифр сегіз цифрға қарсы: $1,362,{}{}{} < 13,61{},{}{}{*}$.

Жауабы: 1)

№ 35

Тұжырымдамалардың қайсысы дұрыс: 1. Кез келген үш таңбалы сан кез келген төрт таңбалы саннан кіші; 2. 0 саны кез келген натурал саннан үлкен; 3. Ең үлкен төрт таңбалы сан ең кіші бес таңбалы саннан 1-ге кем; 4. 0 саны кез келген натурал саннан кіші.

Қалай ойлаймыз. Әрқайсысын «шеткі» сандармен тексер: ең үлкен және ең кіші сандармен.

Шешуі.

1. Ең үлкен үш таңбалы сан 999 ең кіші төрт таңбалы сан 1000-нан кіші. Дұрыс.
2. Ең кіші натурал сан — 1, ал $0 < 1$. Қате.
3. $9999 + 1 = 10,000$. Дұрыс.
4. Кез келген натурал сан нөлден үлкен. Дұрыс.

Жауабы: 1), 3) және 4) тұжырымдары дұрыс.

№ 36

Стадионнан келе жатқан Қайрат, Мирас, Нұртас және Айдос — футболистер. Қайрат, Мирас және Нұртастың біреуі — қақпашы. Мирас, Нұртас және Айдостың біреуі — қақпашы. Нұртас қақпашы емес. Стадионнан келе жатқан футболистердің қайсысы қақпашы?

Қалай ойлаймыз. Логикалық есеп. Командада қақпашы біреу ғана, және ол екі үштікке де кіреді.

Шешуі.

1. Екі үштікке де тек Мирас пен Нұртас кіреді.
2. Нұртас қақпашы емес.
3. Демек, қақпашы — Мирас.

Жауабы: Мирас.

C деңгейі

№ 37

Теңсіздіктегі жұлдызшаның орнына теңсіздік тура болатындай ең кіші сан шығатын цифрды қойыңдар: $3713 > 371{}$; $476{}8 < 47,658$; ${*}3,204 > 63,204$; $1{},296 > 10,497$; $164,927 > 1{}3,812$; ${}65,913 > 397,224$.*

Қалай ойлаймыз. Жұлдызшаға дейінгі цифрлар бірдей, сондықтан бәрін жұлдызша орнындағы цифр шешеді. Цифрларды ретімен қойып көріп, теңсіздікті тура ететін ең кішісін аламыз.

Шешуі.

1. $3713 > 371{}$: ${} < 3$ болуы керек, 0, 1, 2 жарайды. Ең кішісі — 0.
2. $476{}8 < 47,658$: ондықтар разрядында ${} < 5$ болуы керек (${*} = 5$ болса, сандар тең). 0–4 жарайды. Ең кішісі — 0.
3. ${}3,204 > 63,204$: қалған цифрлар бірдей, ${} > 6$ болуы керек. 7, 8, 9 жарайды. Ең кішісі — 7.
4. $1{},296 > 10,497$: ${} = 0$ болса, $10,296 < 10,497$ шығады — жарамайды. ${*} \ge 1$ болғанда теңсіздік тура. Ең кішісі — 1.
5. $164,927 > 1{}3,812$: ${} = 0$ болса, $103,812 < 164,927$ — тура. Ең кішісі — **0** (6 дейін барлығы жарайды, ал 7 болса $173,812 > 164,927$ — тура емес).
6. ${}65,913 > 397,224$: ${} = 3$ болса, $365,913 < 397,224$ — тура емес; ${*} = 4$ болса, $465,913$ — тура. 4–9 жарайды. Ең кішісі — 4.

Жауабы: 1) 0; 2) 0; 3) 7; 4) 1; 5) 0; 6) 4.

💡 Қазақша басылымда мұнда «ең кіші» цифр сұралады. Біз де солай шештік. Ал егер «ең үлкен» цифр сұралса, жауаптар былай болар еді: 2; 4; 9; 9; 6; 9.

№ 38

1.11-суреттегі координаталық сәуле бойындағы: 1) $AB$ және $CD$ кесінділерін салыстырып, нәтижесін теңсіздікпен жазыңдар; 2) $AC$, $CB$ және $BD$ кесінділерін салыстырып, нәтижесін қос теңсіздікпен жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Сурет бойынша: $A(3)$, $C(10)$, $B(13)$, $D(18)$. Кесіндінің ұзындығы — оның ұштарының координаталарының айырмасы.

Шешуі.

1. $AB = 13 - 3 = 10$, $CD = 18 - 10 = 8$. Демек, $AB > CD$.
2. $AC = 10 - 3 = 7$, $CB = 13 - 10 = 3$, $BD = 18 - 13 = 5$. Өсу ретімен: $3 < 5 < 7$.

Жауабы: 1) $AB > CD$; 2) $CB < BD < AC$.

№ 39

Ойыншықтар дүкеніндегі 3 ойыншық машина мен 2 қонжықтың құны 13 ойыншық қоянның құнына тең. Ондағы 1 ойыншық машина мен 3 қонжықтың құны 9 ойыншық қоянның құнына тең. Ойыншық машина қымбат па, әлде қонжық қымбат па?

Қалай ойлаймыз. Тапқырлыққа есеп. Екі жиынтықта да машина саны бірдей болатындай ет — сонда айырма тек қонжықтарда қалады.

Шешуі.

1. Екінші жиынтықты үшке көбейтеміз: 3 машина мен 9 қонжықтың құны $9 \cdot 3 = 27$ қоянға тең.
2. Бірінші жиынтықпен (3 машина мен 2 қонжық = 13 қоян) салыстырамыз. Айырмасы — 7 қонжық, олардың құны $27 - 13 = 14$ қоян.
3. Бір қонжықтың құны $14 : 7 = 2$ қоян.
4. Екінші жиынтықтан: 1 машина = $9 - 3 \cdot 2 = 3$ қоян.

Тексеру: $3 \cdot 3 + 2 \cdot 2 = 13$ қоян. Дұрыс.

Жауабы: машина қымбат (машинаның құны 3 қоянға, қонжықтікі 2 қоянға тең).

Жадынама

• Сәуледе үлкен сан оң жақта тұрады.
• Алдымен цифрларды санаймыз, сосын солдан бастап разрядтары бойынша салыстырамыз.
• Кез келген натурал сан 0-ден үлкен; ең кішісі — 1.
• Қос теңсіздікті ортасынан бастап оқимыз.
• Шамаларды тек бірдей өлшем бірліктерінде салыстырамыз.

Шағын тест