1.4. Натурал сандарды қосу және азайту

Математика, 5 сынып. Оқулық: Алдамұратова Т.А. және т.б. (Атамұра, 2017). I тарау: Натурал сандар және нөл. 20–23-беттер.

Нені үйренесің

• Қосу мен азайтудағы сандардың атын айтуды: қосылғыш, қосынды, азайғыш, азайтқыш, айырма.
• Үлкен сандарды бағанға жазып қосып, азайтуды және ауыстыруда адаспауды.
• Қосу мен азайтуды сәуледен көруді: плюс — оңға қадам, минус — солға қадам.
• Азайтуды қосу арқылы тексеруді.
• «Қанша артық», «қанша кем», «барлығы қанша» есептерін шығаруды.

Ой қозғау

• Жолға шығар алдында автомобильдің спидометрі 9370 км-ді көрсетті. Автомобиль тағы 380 км жүрді. Енді спидометр нені көрсетеді? Спидометр бүкіл жолды жинап отырады, сондықтан қосамыз: $9370 + 380 =$ 9750 км.
• $40 + 60$ неге тең? 100 — дөңгелек ондықтарды қосу ең оңай.
• Ал $100 - 1$ ше? 99: жүзден бір қадам артқа.

Тақырыпты талдаймыз

Мысалдағы сандардың аты

Мысалдағы әр санның өз «аты» бар. $a + b = c$ жазбасында $a$ және $b$ сандары — қосылғыштар, $a + b$ жазбасы — қосынды, ал $c$ — қосындының мәні.

Мысалы, $5 + 7 = 12$ теңдігінде қосылғыштар 5 және 7, қосындының мәні — 12. Егер екі қосылғыш та натурал сан болса, қосынды әрқашан әрқайсысынан үлкен: $c > a$ және $c > b$.

Баған: бірліктің астына бірлік

Разрядтар бойынша қосамыз, бірліктерден бастаймыз. Егер разрядта 10 немесе одан көп шықса, соңғы цифрды жазамыз да, біреуін сол жақтағы көршіге «береміз».

$ \begin{array}{r} 4517 \ +\ \ 895 \ \hline 5412 \end{array} $

1. Бірліктер: $7 + 5 = 12$. 2-ні жазамыз, біреуін келесі разрядқа ауыстырамыз.
2. Ондықтар: $1 + 9 + 1 = 11$. 1-ді жазамыз, біреуін ауыстырамыз.
3. Жүздіктер: $5 + 8 + 1 = 14$. 4-ті жазамыз, біреуін ауыстырамыз.
4. Мыңдықтар: $4 + 1 = 5$. Дайын: 5412.

⚠️ Жиі кететін қате. 895 санын 4517 санының астына сол жақ шетінен қарай жазады, сонда жүздіктер мыңдықтармен қосылып кетеді. Оң жақ шетінен қарай жаз: бірліктің астына бірлік, ондықтың астына ондық.

Қосу — оңға қарай секіру

Координаталық сәуледегі шегірткені елестет. Ол $A(3)$ нүктесінде отыр да, оңға қарай 8 бөлікке секіреді. Ол қайда түседі? $B$ нүктесін өзің қой.

Нүкте оңға қарай жылжыған сайын оның координатасы үлкейеді. Демек, қосу дегеніміз — оңға жылжу: $3 + 8 = 11$.

Азайту — қосуға кері амал

Қосындының мәні мен қосылғыштардың бірі белгілі болғанда, екінші қосылғышты табу азайту амалы деп аталады. $a - b = c$ жазбасында:

• $a$ — азайғыш (біз кемітетін сан);
• $b$ — азайтқыш (біз алып тастайтын сан);
• $a - b$ — айырма, ал $c$ — айырманың мәні.

Натурал сандар арасында азайғыш азайтқыштан кем болмаса ғана азайтуға болады. 5 кәмпиттен 7 кәмпитті жей алмайсың!

📌 Егер $a - b = c$ болса, онда $a = b + c$. Азайғыш азайтқыш пен айырманың қосындысына тең. Кез келген азайтуды осылай тексереді.

«Қарыз алып» азайту

Азайтуды да разрядтар бойынша, бірліктен бастап орындаймыз. Егер жоғарыдағы цифр төмендегіден кіші болса, сол жақтағы көршіден бір бірлік «қарызға аламыз». Ұмытпау үшін оның үстіне нүкте қоямыз.

$ \begin{array}{r} 64357 \ -\ \ 2583 \ \hline 61774 \end{array} $

1. Бірліктер: $7 - 3 = 4$.
2. Ондықтар: $5 < 8$, жүздіктен қарыз аламыз: $15 - 8 = 7$.
3. Жүздіктер: 2 қалды, ал $2 < 5$, мыңдықтан қарыз аламыз: $12 - 5 = 7$.
4. Мыңдықтар: 3 қалды, $3 - 2 = 1$.
5. Ондық мыңдықтар: 6. Жауабы: 61 774.

Тексереміз: $61,774 + 2583 = 64,357$. Сәйкес келді!

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Балаға «азайттың — қосып тексер» ережесін дағдыландырыңыз. Бұл жарты минут қана алады, бірақ қарыз алудағы қателердің барлығына дерлік тосқауыл болады. Сұраңыз: «Айырманы тексеру үшін нені қосу керек?» Жауабы: азайтқышты және шыққан нәтижені.

Азайту — солға қарай секіру

Шегіртке $A(10)$ нүктесінде отыр да, $B(4)$ нүктесіне барғысы келеді. Қай бағытқа және неше бөлікке секіру керек? Солға қарай 6 бөлікке. Демек, $10 - 6 = 4$. Өзің де байқап көр:

💡 Жалпы ереже: $A(a)$ нүктесінен оңға қарай $b$ қадам — $a + b$ нүктесі, ал солға қарай $b$ қадам — $a - b$ нүктесі.

⚠️ Жиі кететін қате. «Әселде 10 марка бар, ал Ардақта одан 4-еуі кем». Ардақта неше марка бар? 4 емес! «4-еуі кем» — бұл айырма. Ардақта $10 - 4 = 6$ марка бар.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Қандай сандар қосылғыштар деп аталады? Қосылатын сандар. $5 + 7 = 12$ теңдігінде бұлар — 5 және 7.
• Қандай сан қосындының мәні деп аталады? Қосудың нәтижесі. $5 + 7 = 12$ теңдігінде бұл — 12.
• Қандай амал азайту амалы деп аталады? Қосындының мәні мен қосылғыштардың бірі бойынша екінші қосылғышты табу амалы: $12 - 5 = 7$.
• Нүкте координаталық сәуле бойымен жылжығанда оның координатасы қалай өзгереді? Оңға жылжығанда — өседі, солға жылжығанда — кемиді.

Жаттығуларды шығарамыз

Ауызша есептеу

№ 40

Өрнектің мәнін табыңдар (ауызша): 1) $50 - 27$, $70 - 47$, $90 - 67$; 2) $48 + 12$, $53 + 37$, $75 + 25$; 3) $100 - 22$, $100 - 33$, $100 - 55$.

Қалай ойлаймыз. Азайтуды бөліп-бөліп орында: $50 - 27 = 50 - 20 - 7$. Екінші қатарда қосылғыштар «дос»: қосындысы дөңгелек ондық болады.

Шешуі.

1. $50 - 27 = 23$; $70 - 47 = 23$; $90 - 67 = 23$. Байқадың ба? Екі сан да 20-ға өсті, ал айырма сол күйі қалды.
2. $48 + 12 = 60$; $53 + 37 = 90$; $75 + 25 = 100$.
3. $100 - 22 = 78$; $100 - 33 = 67$; $100 - 55 = 45$.

Жауабы: 1) 23; 23; 23; 2) 60; 90; 100; 3) 78; 67; 45.

A деңгейі

№ 41

Разрядтары бойынша жіктелген санды табыңдар: 1) $700 + 90 + 6$; 2) $6000 + 500 + 40 + 3$; 3) $20,000 + 8000 + 600 + 3$; 4) $400,000 + 30,000 + 5000 + 90 + 8$.

Қалай ойлаймыз. Қосындыда қандай да бір разряд жоқ болса, санда оның орнында 0 тұрады.

Шешуі.

1. $700 + 90 + 6 = 796$.
2. $6000 + 500 + 40 + 3 = 6543$.
3. $20,000 + 8000 + 600 + 3 = 28,603$ — ондықтар жоқ, 0 жазамыз.
4. $400,000 + 30,000 + 5000 + 90 + 8 = 435,098$ — жүздіктер жоқ, 0 жазамыз.

Жауабы: 1) 796; 2) 6543; 3) 28 603; 4) 435 098.

№ 42

1.14-суретте координаталық сәуле бойында натурал сандарды қосу және азайту кескінделген. Айырманың мәнін тауып, $B$ және $C$ нүктелерін координаталарымен жазыңдар; қосындының мәнін тауып, $D$ және $E$ нүктелерін координаталарымен жазыңдар. Сәуледе $A(27)$ нүктесі бар, одан секірулер жасалған: «−15» — $B$ нүктесіне, «−9» — $C$ нүктесіне, «+8» — $D$ нүктесіне, «+13» — $E$ нүктесіне.

Қалай ойлаймыз. Минус — солға секіру, азайтамыз. Плюс — оңға секіру, қосамыз.

Шешуі.

1. $B$: $27 - 15 = 12$.
2. $C$: $27 - 9 = 18$.
3. $D$: $27 + 8 = 35$.
4. $E$: $27 + 13 = 40$.

Суретпен салыстырамыз: $C$ нүктесі $B$ нүктесінен оңда ($18 > 12$), $E$ нүктесі $D$ нүктесінен оңда ($40 > 35$). Бәрі сәйкес келеді.

Жауабы: $B(12)$, $C(18)$, $D(35)$, $E(40)$.

№ 43

Жерде 7 торғай жем шоқып жатыр. Оның біреуін мысық ұстап алды. Жерде неше торғай қалды?

Қалай ойлаймыз. Бұл — әзіл-есеп! Жанында мысық жүр деп елестет. Қалған торғайлар не істейді?

Шешуі. Арифметика бойынша $7 - 1 = 6$. Бірақ қорыққан торғайлар бірден ұшып кетеді — жерде жем шоқитын ешкім қалмайды.

Жауабы: бірде-бір торғай қалмайды (қалған 6 торғай ұшып кетті).

№ 44

Әселде 10 марка болды, ал Ардақтың маркаларының одан 4-еуі кем. Ардақта неше марка болса, Әсел оған сонша марка берді. Әселде неше марка қалса, Ардақ оған сонша марка берді. Сонда Ардақта неше марка қалса, Әселде сонша марка болды. Балалардың әрқайсысында неше марка қалды?

Қалай ойлаймыз. Маркалар еш жерге жоғалмайды — олар тек қолдан қолға өтеді. Әр қадамды қадағала.

Шешуі.

1. Ардақта $10 - 4 = 6$ марка болды.
2. Әсел 6 марка берді: оның өзінде $10 - 6 = 4$, ал Ардақта $6 + 6 = 12$.
3. Ардақ 4 марка берді: Әселде $4 + 4 = 8$, Ардақта $12 - 4 = 8$.

Тексеру: барлығы $10 + 6 = 16$ марка болды және $8 + 8 = 16$ марка қалды.

Жауабы: әрқайсысында 8 маркадан.

B деңгейі

№ 45

Теміржол бойымен Астанадан Көкшетауға дейін 297 км, ал Көкшетаудан Петропавлға дейін одан 110 км кем. Көкшетау арқылы теміржол бойымен Астанадан Петропавлға дейін неше километр?

Қалай ойлаймыз. Жол екі бөліктен тұрады. Екінші бөлік әзірге белгісіз — оны бірінші табамыз.

Шешуі.

1. Көкшетаудан Петропавлға дейін: $297 - 110 = 187$ (км).
2. Бүкіл жол: $297 + 187 = 484$ (км).

Жауабы: 484 км.

№ 46

Мектепішілік концертке біздің сыныптан үш оқушы қатысып, өнерлерін көрсетеді. Олардың екеуі өлең айтады, біреуі билейді. Айнұр мен Дана әртүрлі өнер көрсетсе, Елдос қандай өнер көрсетеді?

Қалай ойлаймыз. Бұл — логикалық есеп. Басты кеңес: биші бар болғаны біреу.

Шешуі.

1. Айнұр мен Дана әртүрлі өнер көрсетеді. Демек, олардың бірі өлең айтады, екіншісі билейді.
2. Жалғыз биші Айнұр мен Дананың арасынан табылды.
3. Демек, Елдос өлең айтады.

Жауабы: Елдос өлең айтады.

№ 47

Шағын орманда 24 емен ағашы бар. Көктеректердің одан 9-ы артық. Осы ормандағы қайың ағаштары емен және көктерек ағаштарының қосындысына тең. Шағын орманда барлығы неше емен, көктерек және қайың ағаштары бар?

Қалай ойлаймыз. Алдымен көктерек, сосын қайың, содан кейін бәрін қосамыз.

Шешуі.

1. Көктерек: $24 + 9 = 33$.
2. Қайың: $24 + 33 = 57$.
3. Барлығы: $24 + 33 + 57 = 114$.

Қулық тәсіл: қайың саны басқа ағаштардың бәрінің санындай. Демек, барлығы $57 + 57 = 114$.

Жауабы: 114 ағаш.

№ 48

Есепті тиімді тәсілмен шығарыңдар. Қалада трамвайлар жүретін төрт жол бар. Бірінші және екінші жолда 47 аялдама, екінші және үшінші жолдарда 60 аялдама бар. Үшінші және төртінші жолдарда 64 аялдама бар. Егер төртінші жолда 30 аялдама болса, бірінші жолда неше аялдама бар? А. 21 аялдама; В. 28 аялдама; С. 34 аялдама; D. 17 аялдама.

Қалай ойлаймыз. Төртінші жолдан бірінші жолға қарай тізбек бойынша жүруге болады. Ал одан да қулығы: бірінші және үшінші қосындыларды қосып, екіншісін азайту — 2-ші және 3-ші жолдар «қысқарып кетеді».

Шешуі.

1-тәсіл, тізбек бойынша:

1. 3-жол: $64 - 30 = 34$.
2. 2-жол: $60 - 34 = 26$.
3. 1-жол: $47 - 26 = 21$.

2-тәсіл, тиімді: $(1 + 2) + (3 + 4) - (2 + 3) = 1 + 4$. Есептейміз: $47 + 64 - 60 = 51$ — бұл 1-ші және 4-ші жолдардың қосындысы. Онда 1-жол: $51 - 30 = 21$.

Жауабы: A) 21 аялдама.

C деңгейі

№ 49

Шарлар тізбесінде қызыл, жасыл, көк және сары түсті барлығы 123 шар бар. Ондағы қызыл түсті емес шарлар саны 94, жасыл түсті емес шарлар саны 81, көк түсті емес шарлар саны 89. Сары түсті шарлар саны нешеу?

Қалай ойлаймыз. «Қызыл емес шарлар» — бұл қызылдан басқа шарлардың бәрі. Демек, қызыл шар $123 - 94$. Жасыл және көк шарларды да дәл солай табамыз.

Шешуі.

1. Қызыл: $123 - 94 = 29$.
2. Жасыл: $123 - 81 = 42$.
3. Көк: $123 - 89 = 34$.
4. Сары: $123 - 29 - 42 - 34 = 18$.

Тексеру: $29 + 42 + 34 + 18 = 123$ ✓.

Жауабы: 18 сары шар.

№ 50

3 шыбын мен 2 өрмекшіде 34 аяқ бар. 2 шыбын мен 2 өрмекшіде 28 аяқ бар. Шыбында неше аяқ бар? Өрмекшіде неше аяқ бар?

Қалай ойлаймыз. Екі топты салыстыр: олар бір-бірінен тек бір шыбынға ғана ерекшеленеді. Демек, аяқтардағы айырма — бір шыбынның аяғы.

Шешуі.

1. Бір шыбында: $34 - 28 = 6$ аяқ.
2. 2 шыбында: $2 \cdot 6 = 12$ аяқ; 2 өрмекшіде: $28 - 12 = 16$ аяқ.
3. Бір өрмекшіде: $16 : 2 = 8$ аяқ.

Тексеру: $3 \cdot 6 + 2 \cdot 8 = 18 + 16 = 34$ ✓.

Жауабы: шыбында 6 аяқ, өрмекшіде 8 аяқ.

🌟 Табиғатта да солай: жәндіктердің (шыбын, қоңыз, көбелек) 6 аяғы бар, ал өрмекшілердің — 8. Өрмекші жәндік те емес!

Жадынама

• $a + b = c$: $a$, $b$ — қосылғыштар, $c$ — қосындының мәні.
• $a - b = c$: $a$ — азайғыш, $b$ — азайтқыш, $c$ — айырманың мәні.
• Баған: оң жақ шетінен туралап жазамыз, бірліктен бастап есептейміз.
• Азайтуды тексеру: $a = b + c$.
• Сәуледе $+b$ — оңға $b$ бөлікке жылжу, $-b$ — солға $b$ бөлікке жылжу.

Шағын тест