1.5. Натурал сандарды көбейту және бөлу. Бөліндінің негізгі қасиеті

Математика, 5 сынып. Оқулық: Алдамұратова Т.А. және т.б. (Атамұра, 2017). I тарау: Натурал сандар және нөл. 24–27-беттер.

Нені үйренесің

• Көбейтуді бірдей сандарды тез қосу тәсілі ретінде түсінуді.
• Көбейткіштерді, көбейтіндіні, бөлінгішті, бөлгішті және бөліндіні атай білуді.
• $16 \cdot (x - 3) = 0$ түріндегі теңдеулерді нөл арқылы шығаруды.
• Бөліндінің негізгі қасиеті бойынша бөлуді ықшамдауды.
• Бөлуді көбейтумен тексеруді және нөлге бөлуге болмайтынын есте сақтауды.

Ой қозғау

• Бос орынға қандай сан қоямыз: $5 + 5 + 5 = 15$ немесе $□ \cdot 3 = 15$? 5. Бестік қайталанады, ал үштік қанша рет екенін айтады.
• Ал $8 + 8 + 8 + 8 = 32$ немесе $□ \cdot 4 = 32$ теңдігінде ше? 8.
• Ал $7 + 7 + 7 + 7 + 7$ немесе $□ \cdot 5 = 35$ теңдігінде ше? 7.
• 112-ден 7 есе кем сан қандай? $112 : 7 =$ 16.
• Сызбада $720 : a = 144$. $a$ қалай аталады және неге тең? Бұл — бөлгіш: $a = 720 : 144 =$ 5. Тексеру: $144 \cdot 5 = 720$.
• Әрі қарай $144 : 3 = b$. Егер 3 — бөлгіш болса, онда $b$ қалай аталады? Бұл — бөлінді: $b = 144 : 3 =$ 48.

Тақырыпты талдаймыз

Көбейту — жылдам қосу

Сенде 7 пакет бар, әрқайсысында 3 кәмпиттен. Барлығы неше кәмпит? Ұзақ қосуға болады: $3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 21$. Ал қысқаша былай: $3 \cdot 7 = 21$.

3 және 7 сандары — көбейткіштер. $3 \cdot 7$ жазбасы — көбейтінді, ал 21 — көбейтіндінің мәні.

Сәуледе бұл — нөлден бастап 3 бөліктен 7 бірдей секіру. Өзің байқап көр: жетінші секірістен кейін шегіртке қайда түседі?

📌 $a$ санын $b$ санына көбейту дегеніміз — әрқайсысы $a$-ға тең $b$ қосылғыштың қосындысын табу: $a \cdot b = \underbrace{a + a + \ldots + a}_{b \text{ қосылғыш}}$.

Нөл — көбейтудің «қара шұңқыры»

Егер көбейткіштердің ең болмағанда бірі нөлге тең болса, көбейтінді де нөлге тең: $a \cdot 0 = 0$, $0 \cdot a = 0$. Әрқайсысында 3 кәмпиттен нөл пакет — нөл кәмпит.

Теңдеулерді шығаруға бұл өте ыңғайлы. Мысалы: $16 \cdot (x - 3) = 0$. 16 саны нөл емес екені анық. Демек, жақшаның мәні нөлге тең: $x - 3 = 0$, яғни $x = 3$.

Бөлу — кері көбейту

Бөлу мына сұраққа жауап береді: «Бір санды екінші санға айналдыру үшін оны неге көбейту керек?» $54 : 18 = 3$, себебі $3 \cdot 18 = 54$.

Мұндағы 54 — бөлінгіш, 18 — бөлгіш, $54 : 18$ жазбасы — бөлінді, ал 3 — бөліндінің мәні.

Сондықтан бөлуді әрқашан оңай тексеруге болады: жауапты бөлгішке көбейт — бөлінгіш шығуы керек. $348 : 29 = 12$. Тексеру: $12 \cdot 29 = 348$ ✓.

⚠️ Жиі кететін қате. Нөлге бөлуге болмайды! $5 : 0$ — мағынасыз: нөлге көбейткенде 5 беретін сан жоқ. Ал $0 : 5 = 0$ — болады, себебі $0 \cdot 5 = 0$.

Басты құпия: бөліндінің негізгі қасиеті

Егер бөлінгішті де, бөлгішті де бірдей бір санға көбейтсең немесе бөлсең, бөліндінің мәні өзгермейді.

$60 : 15 = 4$, $\quad 120 : 30 = 4$ (екеуін де 2-ге көбейттік), $\quad 20 : 5 = 4$ (екеуін де 3-ке бөлдік).

Елестет: 60 кәмпитті пакетке 15-тен салып жатырмыз — 4 пакет шығады. Кәмпит екі есе көбейді, пакетке де екі есе көп саламыз: 120 кәмпитті 30-дан. Пакет бәрібір 4!

💡 Бұл — «ықшамдау» деген сиқырлы түйме. $560 : 80$ — екі санды да 10-ға бөлеміз, $56 : 8 = 7$ қалады. Ал $7676 : 404$ ше? Екеуін де 101-ге бөлеміз: $76 : 4 = 19$.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Қасиетті «кәмпитпен» тексеріңіз: 12 кәмпитті 3-тен, сосын 24 кәмпитті 6-дан бөліп салыңыз. Екі жағдайда да пакет саны — 4. Ереже тұжырымнан гөрі осылай жақсы есте қалады.

Баған және бұрыш

Үлкен сандарды бағанға жазып көбейтеді. Екінші көбейткіштің әр цифры өз «толымсыз көбейтіндісін» береді, әрбір келесісін бір торға солға жылжытып жазамыз:

     2816
   ×  432
   ------
     5632     ← 2816 · 2
    8448      ← 2816 · 3 (ондықтар)
  11264       ← 2816 · 4 (жүздіктер)
  -------
  1216512

Бөлуді бұрыш түрінде орындайды:

 1644 | 12
-12   |-----
 --   | 137
  44
 -36
  --
   84
  -84
  --
   0

Тексеру: $137 \cdot 12 = 1644$ ✓.

⚠️ Жиі кететін қате. Алдымен жауапта неше цифр болатынын біл. Бірінші толымсыз бөлінгішті тап — бұл бөлінгіштің сол жақ цифрларынан құралған, бөлгіштен кем емес ең алғашқы сан. Ол жауаптың бірінші цифрын береді, ал бөлінгіштің әр келесі цифры тағы бір цифр қосады. Егер жауапта цифр аз болса — бір жерде нөл жоғалған.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• $a$ санын натурал $b$ санына көбейту дегеніміз не? Әрқайсысы $a$-ға тең $b$ қосылғыштың қосындысын табу.
• Қандай шарт орындалғанда көбейтінді 0-ге тең болады? Көбейткіштердің ең болмағанда бірі нөлге тең болғанда.
• Белгісіз көбейткіш қандай амалдың көмегімен табылады? Бөлу арқылы: көбейтіндіні белгілі көбейткішке бөледі.
• Нөлге бөлуге бола ма? Жоқ, ешқашан болмайды.

Жаттығуларды шығарамыз

Ауызша есептеу

№ 51

Бөліндіде неше цифр болуға тиіс: 1) $7{}{} : 5$; 2) $6{}{} : 14$; 3) $7{}{}{} : 36$; 4) $4{}{}{} : 75$; 5) $9{}{}{}{} : 93$; 6) $4{}{}{}{} : 87$? Жұлдызша — қандай да бір цифр.

Қалай ойлаймыз. Бірінші толымсыз бөлінгішті іздейміз — ол бөліндінің бірінші цифрын береді. Бөлінгіштің әр қалған цифры тағы бір цифр қосады.

Шешуі.

1. $7 \geqslant 5$, бірінші толымсыз бөлінгіш — 7. Тағы 2 цифр қалады. Бөліндіде $1 + 2 = 3$ цифр бар.
2. $6 < 14$, екі цифр аламыз: $6{*}$. 1 цифр қалады. Бөліндіде 2 цифр бар.
3. $7 < 36$, бірақ $7{*}$ (70-тен 79-ға дейін) 36-дан үлкен. 2 цифр қалады. Бөліндіде 3 цифр бар.
4. $4{}$ (40-тан 49-ға дейін) 75-тен кем, үш цифр аламыз: $4{}{*}$. 1 цифр қалады. Бөліндіде 2 цифр бар.
5. $9{}$ — 90-нан 99-ға дейінгі сан. Егер екінші цифр 3 немесе одан үлкен болса, онда $9{} \geqslant 93$ және бөліндіде 4 цифр бар. Егер екінші цифр 0, 1 немесе 2 болса, онда $9{*} < 93$, үш цифр аламыз және бөліндіде 3 цифр бар. Шеткі жағдайлар: $90,000 : 93 \approx 967$ (3 цифр), $99,999 : 93 \approx 1075$ (4 цифр).
6. $4{}$ 87-ден кем, $4{}{*}$ аламыз. 2 цифр қалады. Бөліндіде 3 цифр бар.

Жауабы: 1) 3; 2) 2; 3) 3; 4) 2; 5) бөлінгіштің екінші цифры 3-тен кем болмаса — 4 цифр, ал 0, 1 немесе 2 болса — 3 цифр; 6) 3.

A деңгейі

№ 52

Өрнектің мәнін табыңдар: 1) $275 \cdot 10$; $396 \cdot 100$; $1817 \cdot 1000$; 2) $1313 : 13$; $3030 : 15$; $6060 : 12$; 3) $4848 : 16$; $8585 : 17$; $5454 : 18$.

Қалай ойлаймыз. 10, 100, 1000-ға көбейткенде оң жағына сонша нөл жазасың. Ал 1313 және 4848 сияқты сандар — «егіздер»: екі рет қатар жазылған екі таңбалы сан. $1313 = 13 \cdot 101$, $4848 = 48 \cdot 101$.

Шешуі.

1. $275 \cdot 10 = 2750$; $396 \cdot 100 = 39,600$; $1817 \cdot 1000 = 1,817,000$.
2. $1313 : 13 = 101$; $3030 : 15 = 202$ (себебі $30 : 15 = 2$); $6060 : 12 = 505$ (себебі $60 : 12 = 5$).
3. $4848 : 16 = 303$ ($48 : 16 = 3$); $8585 : 17 = 505$ ($85 : 17 = 5$); $5454 : 18 = 303$ ($54 : 18 = 3$).

Жауабы: 1) 2750; 39 600; 1 817 000; 2) 101; 202; 505; 3) 303; 505; 303.

№ 53

Есептеңдер: 1) $7676 : 404$; 2) $6060 : 505$; 3) $9090 : 606$; 4) $4242 : 202$; 5) $21,021 : 1001$; 6) $45,045 : 3003$; 7) $48,048 : 4004$; 8) $84,084 : 7007$; 9) $54,054 : 3003$.

Қалай ойлаймыз. Мұнда бөліндінің негізгі қасиеті жұмыс істейді. $7676 = 76 \cdot 101$ және $404 = 4 \cdot 101$. Екі санды да 101-ге бөлеміз — $76 : 4$ қалады. Дәл солай $21,021 = 21 \cdot 1001$ және $3003 = 3 \cdot 1001$.

Шешуі.

1. $7676 : 404 = 76 : 4 = 19$;
2. $6060 : 505 = 60 : 5 = 12$;
3. $9090 : 606 = 90 : 6 = 15$;
4. $4242 : 202 = 42 : 2 = 21$;
5. $21,021 : 1001 = 21 : 1 = 21$;
6. $45,045 : 3003 = 45 : 3 = 15$;
7. $48,048 : 4004 = 48 : 4 = 12$;
8. $84,084 : 7007 = 84 : 7 = 12$;
9. $54,054 : 3003 = 54 : 3 = 18$.

Біріншісін тексеру: $19 \cdot 404 = 7676$ ✓.

Жауабы: 1) 19; 2) 12; 3) 15; 4) 21; 5) 21; 6) 15; 7) 12; 8) 12; 9) 18.

№ 54

Егер ол Жанатқа 2 алма берсе, Жанат шанасын сырғанап ойнауға 30 минутқа береді, ал 3 кәмпит берсе, 15 минутқа береді. Егер ол Жанатқа 1 алма және 2 кәмпит берсе, шанасын сырғанап ойнауға неше минутқа береді?

Қалай ойлаймыз. Бір алманың және бір кәмпиттің сырғанау минутымен алғандағы «бағасын» табамыз.

Шешуі.

1. Бір алма: $30 : 2 = 15$ (мин).
2. Бір кәмпит: $15 : 3 = 5$ (мин).
3. Екі кәмпит: $5 \cdot 2 = 10$ (мин).
4. Барлығы: $15 + 10 = 25$ (мин).

Жауабы: 25 минутқа.

№ 55

1.17-суретте сым шыбықтары бар доңғалақ кескінделген. Доңғалақтың ішкі шеңберіне 32 сым шыбық бекітілген. Сым шыбықтар аралықтары бірдей 12 см-ден. Нені анықтау керек? Сұрақ қойыңдар.

Қалай ойлаймыз. Шыбықтар шеңбер бойында бірдей аралықпен тұр. Шеңбер бойында 32 шыбықтың арасында дәл 32 аралық бар — соңғы шыбық бірінші шыбықпен көрші. Демек, ішкі шеңбердің ұзындығын табуға болады.

Шешуі. Сұрақ: «Доңғалақтың ішкі шеңберінің ұзындығы қандай?»

$32 \cdot 12 = 384$ (см) $= 3$ м $84$ см.

Жауабы: ішкі шеңбердің ұзындығы 3 м 84 см.

⚠️ Жиі кететін қате. Түзу бойында 32 бағананың арасында 31 аралық бар. Ал шеңберде — 32: шеңбер тұйықталады. Шеңберге 4 нүкте сыз да, аралықтарды сана — олар да 4.

B деңгейі

№ 56

$x$-тің мәнін табыңдар: 1) $51 \cdot (x - 6) = 0$; 2) $(x - 3) \cdot 84 = 0$; 3) $174 \cdot (x - 8) = 0$; 4) $46 \cdot (x - 2) = 0$.

Қалай ойлаймыз. Көбейтінді тек көбейткіштердің бірі нөл болғанда ғана нөлге тең. Сан нөл емес, демек, жақша нөлге тең.

Шешуі.

1. $51 \ne 0$, демек $x - 6 = 0$, $x = 6$;
2. $84 \ne 0$, демек $x - 3 = 0$, $x = 3$;
3. $174 \ne 0$, демек $x - 8 = 0$, $x = 8$;
4. $46 \ne 0$, демек $x - 2 = 0$, $x = 2$.

Жауабы: 1) 6; 2) 3; 3) 8; 4) 2.

№ 57

1) Хауызға 1 сағатта бірінші құбырдан 85 м³ су ақса, екінші құбырдан 70 м³ су ағады. Егер су екі құбырдан қатар ақса, 620 м³ су хауызға неше сағатта жиналады? 2) Екі қаланың арақашықтығы 144 км. Осы қашықтықты велосипедші 12 сағ, ал мотоциклші одан 3 есе кем уақыт жүреді. Егер олар бір-біріне қарсы жүрсе, неше сағатта бір-бірімен кездеседі?

Қалай ойлаймыз. Бірге жұмыс істегенде немесе бір-біріне қарсы жүргенде «жылдамдықтар» қосылады.

Шешуі.

1. 1. Екі құбыр бір сағатта: $85 + 70 = 155$ (м³).
   2. Уақыты: $620 : 155 = 4$ (сағ).
2. 1. Велосипедшінің жылдамдығы: $144 : 12 = 12$ (км/сағ).
   2. Мотоциклшінің жылдамдығы: $12 \cdot 3 = 36$ (км/сағ).
   3. Жақындасу жылдамдығы: $12 + 36 = 48$ (км/сағ).
   4. Кездесуге дейінгі уақыт: $144 : 48 = 3$ (сағ).

Жауабы: 1) 4 сағатта; 2) 3 сағатта.

№ 58

Бөлменің әрбір қабырғасына 3 орындықтан қойып, барлығы 9 орындықты қалай орналастыруға болады?

Қалай ойлаймыз. Бұл — тапқырлыққа есеп. Әр қабырғаға 3 орындықтан «тікелей» қойсақ, 12 орындық керек. 9 жетуі үшін кейбір орындықтар бірден екі қабырғада тұруы керек. Мұндай орындар — бұрыштар.

Шешуі. Бөлменің үш бұрышына бір-бірден орындық қоямыз, төртінші бұрышты бос қалдырамыз. Қалған 6 орындықты былай қоямыз:

• екі бос емес бұрыштың арасындағы қабырғаға — ортасына 1 орындық (бұрыштағылармен бірге 3 болады);
• осындай екінші қабырғаға — ортасына тағы 1 орындық;
• бос бұрышқа баратын екі қабырғаға — 2 орындықтан (бір бұрыштағымен бірге 3 болады).

Санаймыз: $3 + 1 + 1 + 2 + 2 = 9$. Әр қабырғада 3 орындықтан.

Жауабы: үш орындықты бұрыштарға, қалған алтауын қабырғалар бойымен (1, 1, 2 және 2) жоғарыда сипатталғандай қоямыз. Басқа тәсілдер де бар, мысалы, бір бұрышқа 3 орындық және екі алыс қабырғаға 3-тен орындық қоюға болады.

C деңгейі

№ 59

Егер: 1) $x + y = 35$ болса, $(x + 15) + (y - 8) = ?$ 2) $x \cdot y = 60$ болса, $(x : 5) \cdot (y : 2) = ?$ 3) $x : y = 12$ болса, $x : (y \cdot 3) = ?$ 4) $x : y = 10$ болса, $(x \cdot 2) : y = ?$ Дұрыс жауабын таңдап алыңдар: А. 4; В. 20; С. 6; D. 42.

Қалай ойлаймыз. $x$ пен $y$ санының өзін білудің қажеті жоқ! Нәтиженің қалай өзгеретінін түсінсек болғаны.

Шешуі.

1. Қосындыны 15-ке арттырдық және 8-ге кеміттік: $35 + 15 - 8 = 42$.
2. Бір көбейткішті 5 есе, екіншісін 2 есе кемітті. Көбейтінді $5 \cdot 2 = 10$ есе кемиді: $60 : 10 = 6$.
3. Бөлгішті 3 есе арттырдық — бөлінді 3 есе кемиді: $12 : 3 = 4$.
4. Бөлінгішті 2 есе арттырдық — бөлінді 2 есе өседі: $10 \cdot 2 = 20$.

Жауабы: 1) D (42); 2) C (6); 3) A (4); 4) B (20).

№ 60

Оқырман кітаптың бірінші күні 18 беті кем жартысын, екінші күні қалғанының 8 беті кем жартысын оқыды. Ол үшінші күні кітаптың одан қалғанының 3 беті кем жартысын оқығанда, кітаптың оқылмаған 23 беті қалды. а) Кітапта барлығы неше бет болған? ә) Оқырман бірінші күні кітаптың неше бетін оқыды? б) Оқырман екінші күні кітаптың неше бетін оқыды?

Қалай ойлаймыз. Соңынан бастап шығарамыз! Егер «жартысынан 3 бет кем» оқыса, онда «жартысы плюс 3 бет» қалған.

Шешуі.

1. Үшінші күннен кейін 23 бет қалды. Бұл екінші күннен кейінгі қалдықтың жартысы плюс 3. Жартысы: $23 - 3 = 20$. Екінші күннен кейінгі қалдық: $20 \cdot 2 = 40$ бет.
2. 40 бет — бірінші күннен кейінгі қалдықтың жартысы плюс 8. Жартысы: $40 - 8 = 32$. Бірінші күннен кейінгі қалдық: $32 \cdot 2 = 64$ бет.
3. 64 бет — кітаптың жартысы плюс 18. Жартысы: $64 - 18 = 46$. Бүкіл кітап: $46 \cdot 2 = 92$ бет.
4. Бірінші күні: $92 - 64 = 28$ бет.
5. Екінші күні: $64 - 40 = 24$ бет.

Тексеру: үшінші күні $40 - 23 = 17$ бет оқылды; $28 + 24 + 17 + 23 = 92$ ✓.

Жауабы: а) 92 бет; ә) 28 бет; б) 24 бет.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Егер бала тоқтап қалса, кітап-жолақ сызып, әр күні «оқылғанын» бояп отырыңыз. «Соңынан бастап» шығару — маңызды тәсіл, ол әлі талай керек болады.

№ 61

Практикалық жұмыс. «Математика 5» оқулығының алғашқы бетінің нөмірленуі 3 цифрынан басталады. Неше цифрмен нөмірленген: 1) «Математика 5» оқулығының 1-бөлімінің барлық беттері? 2) «Математика 5» оқулығының 2-бөлімінің барлық беттері? 3) «Математика 5» оқулығының 1-бөлімінің және 2-бөлімінің барлық беттері?

Қалай ойлаймыз. № 13 және № 15 сияқты топтап санаймыз: бір таңбалы, екі таңбалы және үш таңбалы нөмірлер. Соңғы беттің нөмірін өз оқулығыңнан қара.

Шешуі.

1. 1-бөлімде соңғы нөмірленген бет — 214 (мазмұн беті). 3-тен 214-ке дейінгі нөмірлер:

   • 3–9: 1 цифрдан 7 нөмір — 7 цифр;
   • 10–99: 2 цифрдан 90 нөмір — 180 цифр;
   • 100–214: $214 - 100 + 1 = 115$ нөмір, 3 цифрдан — $115 \cdot 3 = 345$ цифр.

   Барлығы: $7 + 180 + 345 = 532$ цифр.

2. 2-бөлімге де осылай есептейміз. Егер соңғы беттің нөмірі $n$ (үш таңбалы) болса, цифр саны: $7 + 180 + (n - 99) \cdot 3$. Мысалы, $n = 200$ болса, $7 + 180 + 101 \cdot 3 = 490$ цифр шығады.

3. 1. және 2) тармақтардың нәтижелерін қосамыз.

Жауабы: 1) 532 цифр (егер 1-бөлімнің соңғы нөмірленген беті 214-бет болса); 2) $7 + 180 + (n - 99) \cdot 3$, мұндағы $n$ — 2-бөлімнің соңғы бетінің нөмірі; 3) 1) және 2) жауаптарының қосындысы.

Жадынама

• $a \cdot b$ — $a$-ға тең $b$ қосылғыштың қосындысы.
• Егер көбейткіштердің бірі 0 болса, көбейтінді де 0.
• $a : b = c$, егер $c \cdot b = a$ болса. Бөлуді көбейтумен тексереміз.
• Бөлінгішті де, бөлгішті де бірдей санға көбейтуге немесе бөлуге болады — бөліндінің мәні өзгермейді.
• Нөлге бөлуге болмайды.

Шағын тест