1.6. Арифметикалық амалдардың қасиеттері

Математика, 5 сынып. Оқулық: Алдамұратова Т.А. және т.б. (Атамұра, 2017). I тарау: Натурал сандар және нөл. 29–33-беттер.

Нені үйренесің

• Сандарды ауыстырып, топтап, ауызша тез есептеуді.
• «Дос жұптарды» табуды: $4 \cdot 25 = 100$, $8 \cdot 125 = 1000$, $46 + 54 = 100$.
• Қосындыны санға бөліп-бөліп көбейтуді және, керісінше, ортақ көбейткішті жақшаның сыртына шығаруды.
• $4(x - 3)$ түріндегі жақшаларды қатесіз ашуды.

Ой қозғау

Алдымен өзің ойлан, сосын жауабын аш.

• Мирас үй тапсырмасын математикадан 15 минутта, қазақ тілінен 12 минутта орындады. Елдос керісінше: математикадан 12, қазақ тілінен 15 минутта. Екеуі бірге бастады. Неге бірге бітірді? Мирас: $15 + 12 = 27$ минут, Елдос: $12 + 15 = 27$ минут. Қосылғыштар орындарымен ауысты, ал қосынды сол күйі қалды.
• $20 \cdot 15 \cdot 4 \cdot 5$ өрнегін ретімен есепте. $20 \cdot 15 = 300$, $300 \cdot 4 = 1200$, $1200 \cdot 5 = 6000$.
• Ал енді қулықпен: 20-ны 5-пен, 15-ті 4-пен топта. $(20 \cdot 5) \cdot (15 \cdot 4) = 100 \cdot 60 = 6000$. Жауабы сол, бірақ екінші тәсілді ауызша есептеу оңай.

💡 Қосындыдағы және көбейтіндідегі сандарды карта сияқты «араластыруға» болады — жауап өзгермейді. Жылдам есептеудің бәрі осыған негізделген.

Тақырыпты талдаймыз

Орнын ауыстырдық — ештеңе бұзылған жоқ

Сәулемен жүріп көр: алдымен 2 қадам, сосын 7. 9-ға жетесің. Ал алдымен 7, сосын 2 болса ше? Тағы да 9! Бөліктерді басып, тексер.

📌 Ауыстырымдылық қасиеті: $a + b = b + a$ және $a \cdot b = b \cdot a$. Қосылғыштардың (немесе көбейткіштердің) орнын ауыстырғаннан нәтиже өзгермейді.

Мысалы, $34 \cdot 5 = 170$ және $5 \cdot 34 = 170$.

Кімді кіммен алдымен қосамыз

Сан үшеу болғанда, қай жұпты бірінші қосуды өзің таңдай аласың:

$(a + b) + c = a + (b + c)$ — бұл терімділік қасиеті.

Қарашы: $(38 + 17) + 43 = 55 + 43 = 98$. Ал екінші жұптан бастасақ: $38 + (17 + 43) = 38 + 60 = 98$. Екінші жол жеңіл — дөңгелек 60 шықты.

Көбейтуде де солай: $(25 \cdot 4) \cdot 5 = 100 \cdot 5 = 500$ және $25 \cdot (4 \cdot 5) = 25 \cdot 20 = 500$.

💡 Екі қасиет бірге аса маңызды ереже береді: қосындыда да, көбейтіндіде де сандарды қалаған тәртіппен ауыстыруға және кез келген топқа біріктіруге болады.

«Дос жұптарды» іздеу керек — олар дөңгелек сандар береді:

• қосуда: $46 + 54 = 100$, $325 + 75 = 400$, $17 + 43 = 60$;
• көбейтуде: $2 \cdot 5 = 10$, $4 \cdot 25 = 100$, $8 \cdot 125 = 1000$.

Мысал: $14 \cdot 125 \cdot 5 \cdot 8 = (14 \cdot 5) \cdot (125 \cdot 8) = 70 \cdot 1000 = 70,000$.

📕 Оқулықтың «Тақырыптың түйіні» бөлімінде көбейтудің ауыстырымдылық қасиеті «$a \cdot b = b \cdot c$» деп қате жазылған. Дұрысы: $a \cdot b = b \cdot a$.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. $4 \cdot 25 = 100$ және $8 \cdot 125 = 1000$ жұптарын жатқа білген жөн. Бірнеше күн бойы оларды араластырып сұраңыз — бала мысалдардан өзі байқай бастайды.

Бөліп-бөліп көбейтеміз

Шоколад плиткасын елестет: 4 қатар, әр қатарда 3 қара және 5 сүтті тілім. Барлығы неше тілім? Бірден есептеуге болады: $(3 + 5) \cdot 4 = 32$. Ал түстері бойынша бөлек есептесек: $3 \cdot 4 + 5 \cdot 4 = 12 + 20 = 32$. Торларды өзің санап көр.

📌 Үлестірімділік қасиеті: $(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$ және $(a - b) \cdot c = a \cdot c - b \cdot c$. Көбейткіш жақшадағы әр санға «үлестіріледі».

Ауызша есептеуге былай ыңғайлы:

• $(100 + 4) \cdot 12 = 1200 + 48 = 1248$;
• $99 \cdot 7 = (100 - 1) \cdot 7 = 700 - 7 = 693$;
• $(70 - 43) \cdot 18 = 1260 - 774 = 486$.

Керісінше қулық: жақшаның сыртына шығарамыз

Егер екі көбейтіндіде бірдей көбейткіш болса, оны «жақшаның сыртына шығаруға» болады:

$37 \cdot 15 + 63 \cdot 15 = (37 + 63) \cdot 15 = 100 \cdot 15 = 1500$;

$56 \cdot 25 - 16 \cdot 25 = (56 - 16) \cdot 25 = 40 \cdot 25 = 1000$.

Әріптермен де солай: $2(x + 3) = 2x + 6$. Әріптің немесе жақшаның алдындағы көбейту таңбасын әдетте жазбайды.

⚠️ Жиі кететін қате. $4(x - 3) = 4x - 3$ деп жазады — тек бірінші санды көбейтеді. Олай емес! Төртеу әрқайсысына «кіреді»: $4(x - 3) = 4x - 12$. $x = 5$ қойып тексер: сол жағы $4 \cdot 2 = 8$, оң жағы $20 - 12 = 8$. Сәйкес келді.

⚠️ Жиі кететін қате. Азайтуда да, бөлуде де ауыстырымдылық қасиеті жоқ: $10 - 3 \ne 3 - 10$, $12 : 4 \ne 4 : 12$. Тек қосылғыштар мен көбейткіштердің орнын ауыстыруға болады.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Қосудың ауыстырымдылық қасиеті қалай айтылады? Қосылғыштардың орындарын ауыстырғаннан қосындының мәні өзгермейді: $a + b = b + a$.
• Ал көбейтудің терімділік қасиеті ше? Екі санның көбейтіндісін үшінші санға көбейту үшін, бірінші санды екінші және үшінші сандардың көбейтіндісіне көбейтуге болады: $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$.
• Көбейтудің қосуға қатысты үлестірімділік қасиетін әріптермен жазып, мысал келтір. $(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$. Мысалы, $(10 + 3) \cdot 4 = 40 + 12 = 52$; $(200 + 5) \cdot 6 = 1200 + 30 = 1230$.

Жаттығуларды шығарамыз

Ауызша есептеу

№ 62

Қосудың және көбейтудің қасиеттерін пайдаланып, тиімді тәсілмен есептеңдер (ауызша): 1) $36 + 89 + 64$; 2) $75 + 123 + 25$; 3) $19 + 52 + 81 + 48$; 4) $5 \cdot 186 \cdot 2$; 5) $25 \cdot 819 \cdot 4$; 6) $20 \cdot 713 \cdot 5$; 7) $(100 + 5) \cdot 7$; 8) $2 \cdot (100 - 4)$; 9) $5 \cdot (200 - 2)$.

Қалай ойлаймыз. Алғашқы алты мысалда 10 немесе 100 беретін дос жұптарды ізде. Соңғы үшеуінде көбейткішті жақшадағы әр санға үлестір.

Шешуі.

Жауабы: 1) 189; 2) 223; 3) 200; 4) 1860; 5) 81 900; 6) 71 300; 7) 735; 8) 192; 9) 990.

A деңгейі

№ 63

Қосудың ауыстырымдылық және терімділік қасиеттерін пайдаланып, есептеңдер: 1) $32 + 11 + 18 + 39$; 2) $45 + 21 + 15 + 49$; 3) $64 + 33 + 16 + 47$; 4) $56 + 25 + 45 + 24$; 5) $72 + 67 + 23 + 18$; 6) $97 + 42 + 58 + 103$.

Қалай ойлаймыз. Соңғы цифрлары қосылғанда 10 беретін жұптарды ізде: 2 және 8, 1 және 9, 4 және 6, 3 және 7. Мұндай жұп әрқашан дөңгелек сан береді.

Шешуі.

1. $(32 + 18) + (11 + 39) = 50 + 50 = 100$;
2. $(45 + 15) + (21 + 49) = 60 + 70 = 130$;
3. $(64 + 16) + (33 + 47) = 80 + 80 = 160$;
4. $(56 + 24) + (25 + 45) = 80 + 70 = 150$;
5. $(72 + 18) + (67 + 23) = 90 + 90 = 180$;
6. $(97 + 103) + (42 + 58) = 200 + 100 = 300$.

Жауабы: 1) 100; 2) 130; 3) 160; 4) 150; 5) 180; 6) 300.

№ 64

Көбейтудің ауыстырымдылық, терімділік қасиеттерін пайдаланып, есептеңдер: 1) $4 \cdot (25 \cdot 6)$; 2) $5 \cdot (20 \cdot 86)$; 3) $8 \cdot (125 \cdot 9)$; 4) $(13 \cdot 5) \cdot 2$; 5) $(7 \cdot 2) \cdot 50$; 6) $(18 \cdot 25) \cdot 4$.

Қалай ойлаймыз. Жақшалар «ыңғайсыз» тұр. Бірге 4 және 25, 5 және 20, 8 және 125, 5 және 2, 2 және 50 болатындай етіп қайта топтастыр.

Шешуі.

1. $(4 \cdot 25) \cdot 6 = 100 \cdot 6 = 600$;
2. $(5 \cdot 20) \cdot 86 = 100 \cdot 86 = 8600$;
3. $(8 \cdot 125) \cdot 9 = 1000 \cdot 9 = 9000$;
4. $13 \cdot (5 \cdot 2) = 13 \cdot 10 = 130$;
5. $7 \cdot (2 \cdot 50) = 7 \cdot 100 = 700$;
6. $18 \cdot (25 \cdot 4) = 18 \cdot 100 = 1800$.

Жауабы: 1) 600; 2) 8600; 3) 9000; 4) 130; 5) 700; 6) 1800.

№ 65

1) Бірінші қорапта 26 диск бар, екінші қорапта одан 14 диск артық. Үшінші қорапта 14 диск бар, ал төртінші қорапта одан 26 диск артық. Қай қораптардағы дискілер саны тең? 2) Қайықтың меншікті жылдамдығы 6 км/сағ, ал теплоходтың жылдамдығы одан 5 есе артық. Жаяу адамның жылдамдығы 5 км/сағ, ал мотоциклшінің жылдамдығы одан 6 есе артық. Қайсыларының жылдамдықтары бірдей?

Қалай ойлаймыз. Тіпті есептемеуге де болады! $26 + 14 = 14 + 26$ және $6 \cdot 5 = 5 \cdot 6$ — бұл ауыстырымдылық қасиеті.

Шешуі.

1. Біріншіде — 26, екіншіде — $26 + 14 = 40$, үшіншіде — 14, төртіншіде — $14 + 26 = 40$.
2. Қайық — 6 км/сағ, теплоход — $6 \cdot 5 = 30$ км/сағ, жаяу адам — 5 км/сағ, мотоциклші — $5 \cdot 6 = 30$ км/сағ.

Жауабы: 1) екінші және төртінші қораптарда (40 дискіден); 2) теплоходтың және мотоциклшінің (30 км/сағ-тан).

B деңгейі

№ 66

Көбейтудің үлестірімділік қасиетін пайдаланып, қосынды, айырма түрінде жазыңдар: 1) $2(x + 3)$; 2) $4(x - 5)$; 3) $9(4 + y)$; 4) $5(y - 2)$; 5) $6(m + 3)$; 6) $7(n - 8)$; 7) $5(a + 7)$; 8) $4(b - 3)$.

Қалай ойлаймыз. Жақшаның алдындағы санды жақшадағы әр санға көбейтеміз. Олардың арасындағы таңбаны сол күйінде қалдырамыз.

Шешуі.

1. $2(x + 3) = 2x + 6$;
2. $4(x - 5) = 4x - 20$;
3. $9(4 + y) = 36 + 9y$;
4. $5(y - 2) = 5y - 10$;
5. $6(m + 3) = 6m + 18$;
6. $7(n - 8) = 7n - 56$;
7. $5(a + 7) = 5a + 35$;
8. $4(b - 3) = 4b - 12$.

Жауабы: 1) $2x + 6$; 2) $4x - 20$; 3) $36 + 9y$; 4) $5y - 10$; 5) $6m + 18$; 6) $7n - 56$; 7) $5a + 35$; 8) $4b - 12$.

№ 67

Есепті екі тәсілмен шығарыңдар. Велосипедші мен мотоциклші бірдей уақытта $A$ пунктінен бір-бірінен қарама-қарсы бағытта жолға шықты. Велосипедшінің жылдамдығы 14 км/сағ, ал мотоциклшінің жылдамдығы 40 км/сағ. Олар 2 сағ жүргенде бір-бірінен неше километр қашықтайды?

Қалай ойлаймыз. Олар қарама-қарсы бағытта жүреді, сондықтан арақашықтық — біреуінің жолы мен екіншісінің жолының қосындысы.

Шешуі.

1-тәсіл — алыстау жылдамдығы арқылы:

1. $14 + 40 = 54$ (км/сағ) — олар бір сағатта осыншаға алыстайды.
2. $54 \cdot 2 = 108$ (км).

2-тәсіл — әрқайсысының жүрген жолы арқылы:

1. Велосипедші: $14 \cdot 2 = 28$ (км).
2. Мотоциклші: $40 \cdot 2 = 80$ (км).
3. $28 + 80 = 108$ (км).

💡 Екі тәсіл — бұл үлестірімділік қасиетінің өзі: $(14 + 40) \cdot 2 = 14 \cdot 2 + 40 \cdot 2$.

Жауабы: 108 км.

№ 68

1.20-сурет бойынша есеп құрастырыңдар. 1) $16 - 8$; 2) $(16 - 8) \cdot 3$. Өрнектердің мағыналарын анықтайтын сұрақ қойыңдар. Қандай шаманы табу керек? Суретте ит мысықтың соңынан жүгіріп барады: иттің жылдамдығы — 16 м/с, алдындағы мысықтың жылдамдығы — 8 м/с, үстінде «3 секунд» деп жазылған.

Қалай ойлаймыз. Екеуі де бір бағытта жүгіреді, ит артта және тезірек. Әр секунд сайын ол мысыққа жылдамдықтар айырмасына жақындайды.

Шешуі. Есеп: «Ит мысықтың соңынан 16 м/с жылдамдықпен жүгірді. Мысық 8 м/с жылдамдықпен қашып барады. 3 секундтан кейін ит оны қуып жетті. Алғашқыда олардың арасы неше метр болды?»

1. $16 - 8 = 8$ (м/с) — ит әр секунд сайын мысыққа осыншама метрге жақындайды. Бұл — жақындасу жылдамдығы.
2. $(16 - 8) \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24$ (м) — 3 секундта арақашықтық осыншаға қысқарды. Бұл — алғашқы арақашықтықтың өзі.

Жауабы: 1) ит мысыққа секундына неше метрге жақындайды — 8 м/с-қа; 2) алғашқыда олардың арасы қанша болды — 24 м.

№ 69

Ыдыстардың біріншісінде 6 өрік, екіншісінде 21 өрік, үшіншісінде 9 өрік бар. Ыдыстардағы өріктер санын өрік салынған ыдыста неше өрік болса, оған сонша өрікті ыдыстан ыдысқа 2 рет қана ауыстырып, қалайша теңестіруге болады?

Қалай ойлаймыз. Соңында әр ыдыста 12 өрік болады. Соңғы рет өрік салынған ыдыс екі есе көбейді — демек, оның алдында онда 6 болған. Ал бізде 6 бар!

Шешуі.

1. 21 өрікті ыдыстан 9 өрікті ыдысқа тағы 9 өрік ауыстырамыз: 6, 12, 18 болады.
2. 18 өрікті ыдыстан 6 өрікті ыдысқа тағы 6 өрік ауыстырамыз: 12, 12, 12 болады.

Жауабы: $(6, 21, 9) \to (6, 12, 18) \to (12, 12, 12)$.

C деңгейі

№ 70

Теңдік тура болатындай етіп, бос орынды толтырыңдар: 1) $(x + 5) \cdot \square = 3x + 15$; 2) $(9 - y) \cdot 2 = \square - \square$; 3) $(\square + 6) \cdot 3 = 12x + \square$; 4) $(\square - y) \cdot 8 = 40 - \square$; 5) $(7x + \square) \cdot 4 = \square + 16$; 6) $(2x + 11) \cdot \square = 12x + \square$.

Қалай ойлаймыз. Жақшадағы әр сан бір көбейткішке көбейтіледі. «Жақшада не болды — кейін не болды» жұбын тап, сонда көбейткіш бірден көрінеді.

Шешуі.

1. $x$ саны $3x$ болды — көбейткіш 3. Тексеру: $5 \cdot 3 = 15$. Нәтиже: $(x + 5) \cdot 3 = 3x + 15$.
2. $(9 - y) \cdot 2 = 18 - 2y$.
3. Көбейткіш 3, және $\square \cdot 3 = 12x$ — демек, жақшада $4x$ тұр. Сонда $6 \cdot 3 = 18$. Нәтиже: $(4x + 6) \cdot 3 = 12x + 18$.
4. $\square \cdot 8 = 40$ — жақшада 5 тұр. Нәтиже: $(5 - y) \cdot 8 = 40 - 8y$.
5. $\square \cdot 4 = 16$ — жақшада 4 тұр. Ал $7x \cdot 4 = 28x$. Нәтиже: $(7x + 4) \cdot 4 = 28x + 16$.
6. $2x$ саны $12x$ болды — көбейткіш 6. $11 \cdot 6 = 66$. Нәтиже: $(2x + 11) \cdot 6 = 12x + 66$.

Жауабы: 1) 3; 2) $18 - 2y$; 3) $4x$ және 18; 4) 5 және $8y$; 5) 4 және $28x$; 6) 6 және 66.

№ 71

Төрт бала 8 балық аулап алды. Балықтардың массалары: 500 г, 1 кг, 1 кг 500 г; 2 кг; 2 кг 500 г; 3 кг; 3 кг 500 г; 4 кг. Балалар балықтарды тұтасынан массалары бірдей болатындай етіп бөліп алды. а) Әрбір бала неше балық алды? ә) Әрбір баланың алатын балықтарының массасы қандай?

Қалай ойлаймыз. Алдымен бүкіл аулаған балықтың массасын табамыз, сосын 4-ке бөлеміз. Жұптап қосу ыңғайлы: ең жеңілін ең ауырымен және сол сияқты.

Шешуі.

1. Әр балаға түскен балық саны: $8 : 4 = 2$.
2. Граммға айналдырып, жұптап қосамыз: $(500 + 4000) + (1000 + 3500) + (1500 + 3000) + (2000 + 2500) = 4500 \cdot 4 = 18,000$ г $= 18$ кг.
3. Әрқайсысына: $18,000 : 4 = 4500$ г $= 4$ кг 500 г.
4. Дәл осы жұптар — бөлудің өзі: 500 г + 4 кг; 1 кг + 3 кг 500 г; 1 кг 500 г + 3 кг; 2 кг + 2 кг 500 г.

Жауабы: әр бала 2 балықтан алды, барлығы 4 кг 500 г-нан.

№ 72

Өрнектің мәнін табыңдар: Б. $(1282 + 596) : 313$; Т. $1260 : 28 \cdot 16 - 680$; Р. $125 \cdot 20 - 463 \cdot 5$; Е. $27 \cdot 15 : 81 + 66$; Й. $868 : 62 + 1360 : 85$; К. $55 - 832 : 26 + 21$; Ә. $4200 : 56 \cdot 4 - 283$. Кестедегі өрнектердің мәндерінің астына сол өрнектің тұсындағы әріпті жазсаңдар, Астана қаласы символының атын білесіңдер. Кестедегі сандар: 6, 17, 30, 40, 71, 185, 71, 44.

Қалай ойлаймыз. Амалдар ретімен есепте: алдымен солдан оңға қарай көбейту мен бөлу, сосын қосу мен азайту.

Шешуі.

• Б: $1282 + 596 = 1878$; $1878 : 313 = 6$.
• Р: $125 \cdot 20 = 2500$; $463 \cdot 5 = 2315$; $2500 - 2315 = 185$.
• Й: $868 : 62 = 14$; $1360 : 85 = 16$; $14 + 16 = 30$.
• Ә: $4200 : 56 = 75$; $75 \cdot 4 = 300$; $300 - 283 = 17$.
• Т: $1260 : 28 = 45$; $45 \cdot 16 = 720$; $720 - 680 = 40$.
• Е: $27 \cdot 15 = 405$; $405 : 81 = 5$; $5 + 66 = 71$.
• К: $832 : 26 = 32$; $55 - 32 = 23$; $23 + 21 = 44$.

Орналастырамыз: 6 — Б, 17 — Ә, 30 — Й, 40 — Т, 71 — Е, 185 — Р, 71 — Е, 44 — К.

Жауабы: Б = 6, Р = 185, Й = 30, Ә = 17, Т = 40, Е = 71, К = 44. Сөз — БӘЙТЕРЕК.

🌟 Бәйтерек — Астанадағы биіктігі 97 метр мұнара. Оны аңыздағы өмір ағашына ұқсатып салған: оның бұтақтарына Самұрық құс алтын жұмыртқа салған.

Жадынама

• Қосылғыштар мен көбейткіштерді қалаған тәртіппен ауыстыруға және топтауға болады.
• Дөңгелек сандар беретін жұптарды ізде.
• Жақшаның алдындағы көбейткішті жақшадағы әр санға көбейт.
• Бірдей көбейткішті жақшаның сыртына шығарамыз.
• Азайтуда да, бөлуде де сандардың орнын ауыстыруға болмайды.

Шағын тест