Қосындыны табудың Гаусс әдісі

Математика, 5 сынып. Оқулық: Алдамұратова Т.А. және т.б. (Атамұра, 2017). I тарау: Натурал сандар және нөл. 34–35-беттер.

Ең бастысы

XVIII ғасырдың соңы, Германиядағы мектеп. Мұғалім сәл демалғысы келіп, сыныпқа тапсырма береді: 1-ден 100-ге дейінгі барлық натурал сандардың қосындысын табу. Бәрі іске кіріседі: 1 + 2 = 3, 3 + 3 = 6, 6 + 4 = 10… Жұмыс кемінде бір сағатқа жетеді.

Бірақ бірнеше минуттан кейін кішкентай Карл Фридрих Гаусс жауабын әкеледі: 5050. Мұғалім сенбейді — сосын тексеріп, таңғалады. Кейін Гаусс ең ұлы ғалымдардың біріне айналды, оны «математиктер королі» деп атады.

🌟 Карл Гаусс (1777–1855) оқуды үйренбей жатып-ақ ауызша есептеген. Үш жасында әкесінің — құрылысшының есебіндегі қатені тапқан деседі.

Қулығы неде

Гаусс сандарды ретімен қоспады. Ол сандарды жұптады: біріншіні соңғысымен, екіншіні соңғының алдындағысымен:

$1 + 100 = 101$, $\ 2 + 99 = 101$, $\ 3 + 98 = 101$, …

Әр жұп бірдей нәтиже береді — 101! Сандар 100, демек, жұптар 50. Барлығы $101 \cdot 50 = 5050$.

Суретке қара. Бір түсті сатылар — бұл $1 + 2 + 3 + 4$. Екінші баспалдақ — сол сандар, тек кері тәртіппен. Бірге олар $4 \times 5 = 20$ торлы төртбұрышқа жиналды. Бір баспалдақ — оның жартысы: $20 : 2 = 10$.

Бірдей қадаммен өсетін кез келген сандарды дәл солай қосуға болады. Мысалы, 41-ден 50-ге дейін:

$(41 + 50) + (42 + 49) + (43 + 48) + (44 + 47) + (45 + 46) = 91 \cdot 5 = 455$.

📌 Гаусс ережесі: (біріншісі + соңғысы) × (сандар саны) : 2.

Бұлай неге жасауға болады? Қосылғыштарды қалаған тәртіппен ауыстыруға және топтауға рұқсат — бұл қосудың ауыстырымдылық және терімділік қасиеттері.

⚠️ Жиі кететін қате. 51-ден 70-ке дейін неше сан бар? Көпшілігі «19» дейді. Шын мәнінде 20: $70 - 51 + 1$. Бірді қосуды ұмытпа — өйткені 51-ді де, 70-ті де санап отырмыз.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Баладан 3-тен 7-ге дейін неше сан бар екенін саусақпен санатыңыз (3, 4, 5, 6, 7 — төрт емес, бес). Осыдан кейін «+1» мәңгілікке есте қалады.

Жаттығуларды шығарамыз

Есеп 1

а) 11-ден 20-ға дейінгі; ә) 21-ден 30-ға дейінгі; б) 51-ден 70-ке дейінгі барлық натурал сандардың қосындысын Гаусс тәсілімен табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Алдымен сандар санын, сосын жұптар санын есептейміз. Бір жұптың қосындысы — біріншісі плюс соңғысы.

Шешуі.

• а) Сандар саны: $20 - 11 + 1 = 10$, жұп саны 5. Әр жұп: $11 + 20 = 31$. Қосынды: $31 \cdot 5 = 155$.
• ә) Сандар саны 10, жұп саны 5. Жұп: $21 + 30 = 51$. Қосынды: $51 \cdot 5 = 255$.
• б) Сандар саны: $70 - 51 + 1 = 20$, жұп саны 10. Жұп: $51 + 70 = 121$. Қосынды: $121 \cdot 10 = 1210$.

Жауабы: а) 155; ә) 255; б) 1210.

Есеп 2

Гаусс тәсілін пайдаланып, қосындыны табыңдар: $(30 \cdot 25 - 25 \cdot 27) + (27 \cdot 24 - 24 \cdot 24) + (24 \cdot 23 - 23 \cdot 21) + (21 \cdot 22 - 22 \cdot 18)$. А. 275; В. 282; С. 295; D. 247.

Қалай ойлаймыз. Қорқынышты көрінеді, бірақ әр жақшада ортақ көбейткіш бар. Оны шығарамыз — жақшалар кішкентай болып қалады.

Шешуі.

1. $30 \cdot 25 - 25 \cdot 27 = 25 \cdot (30 - 27) = 25 \cdot 3 = 75$.
2. $27 \cdot 24 - 24 \cdot 24 = 24 \cdot (27 - 24) = 24 \cdot 3 = 72$.
3. $24 \cdot 23 - 23 \cdot 21 = 23 \cdot (24 - 21) = 23 \cdot 3 = 69$.
4. $21 \cdot 22 - 22 \cdot 18 = 22 \cdot (21 - 18) = 22 \cdot 3 = 66$.
5. Гаусс тәсілімен қосамыз: $(75 + 66) + (72 + 69) = 141 \cdot 2 = 282$.

Жауабы: B (282).

Есеп 3

Гаусс тәсілін пайдаланып, қосындыны табыңдар: $(3 \cdot 96 - 84 \cdot 3) + (5 \cdot 84 - 72 \cdot 5) + (7 \cdot 72 - 60 \cdot 7) + (9 \cdot 60 - 48 \cdot 9) + (11 \cdot 48 - 36 \cdot 11) + (13 \cdot 36 - 24 \cdot 13)$. А. 586; В. 592; С. 576; D. 580.

Қалай ойлаймыз. Алдымен әр жақшадан ортақ көбейткішті шығар. Сосын жақшаларда не қалғанын қара — онда бір сан жасырынып тұр.

Шешуі.

1. Жақшалар: $3 \cdot 12$, $5 \cdot 12$, $7 \cdot 12$, $9 \cdot 12$, $11 \cdot 12$, $13 \cdot 12$.
2. 12-ні жақшаның сыртына шығарамыз: $12 \cdot (3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13)$.
3. Гаусс тәсілімен: $(3 + 13) + (5 + 11) + (7 + 9) = 16 \cdot 3 = 48$.
4. $12 \cdot 48 = 576$.

Жауабы: C (576).

Есеп 4

Гаусс тәсілін пайдаланып, қосындыны табыңдар: $(55 \cdot 100 - 100 \cdot 50) + (50 \cdot 98 - 98 \cdot 45) + (45 \cdot 96 - 96 \cdot 40) + (40 \cdot 94 - 94 \cdot 35) + (35 \cdot 92 - 92 \cdot 30)$. А. 3200; В. 2400; С. 2750; D. 3400.

Қалай ойлаймыз. 3-есептегідей тәсіл: әр жақшада қандай айырма қайталанатынын іздейміз.

Шешуі.

1. Әр жақшада айырма 5-ке тең: $55 - 50 = 50 - 45 = \ldots = 35 - 30 = 5$.
2. Жақшалар $100 \cdot 5$, $98 \cdot 5$, $96 \cdot 5$, $94 \cdot 5$, $92 \cdot 5$ болады.
3. $5 \cdot (100 + 98 + 96 + 94 + 92)$. Сан саны 5, жұптар $100 + 92 = 98 + 94 = 192$ және ортада тағы 96: қосынды $192 \cdot 2 + 96 = 480$.
4. $5 \cdot 480 = 2400$.

Жауабы: B (2400).

Есеп 5

8 бала 60 алмұрт терді. Олар өзара барлық алмұрттарды сандары әртүрлі етіп бөліп алды. Ең аз алған бала 4 алмұрт алды. Ең көп алған бала неше алмұрт алды? А. 10 алмұрт; В. 12 алмұрт; С. 11 алмұрт; D. 14 алмұрт.

Қалай ойлаймыз. Бұл — тапқырлыққа есеп. Бәрінің саны әртүрлі және әркімде кемінде 4 болса, ең болмағанда қанша алмұрт керек екенін табайық.

Шешуі.

1. Ең үнемді нұсқа: 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11.
2. Гаусс тәсілімен: $(4 + 11) \cdot 4 = 15 \cdot 4 = 60$.
3. Дәл 60 шықты! Егер біреуге көбірек берсек, қосынды 60-тан асып кетеді. Демек, басқа нұсқа жоқ, сондықтан ең көп алған балада 11 алмұрт бар.

Жауабы: C (11 алмұрт).

Есеп 6

Тігінші 7 түсті 42 орам жіп болды. Ондағы әр түсті жіптердің саны да әртүрлі. Тігінші орам жіптерді түстеріне қарай қораптарға бөліп салды. Қораптардың біреуіндегі орам жіп саны екіншісіндегіден 1 орам жіп артық. Егер орам жіптері ең көп қорапта 9 орам жіп болса, орам жіптері ең аз қорапта неше орам жіп болады? А. 3 орам жіп; В. 7 орам жіп; С. 5 орам жіп; D. 6 орам жіп.

Қалай ойлаймыз. Қорап 7, сандар қатарынан келеді. Ең үлкені белгілі — төмен қарай санап шық.

Шешуі.

1. Қорап 7, сандар қатарынан келеді де, 9-бен аяқталады: $9, 8, 7, 6, 5, 4, 3$.
2. Гаусс тәсілімен тексеру: $(3 + 9) + (4 + 8) + (5 + 7) + 6 = 12 \cdot 3 + 6 = 42$. Дұрыс.

Жауабы: A (3 орам жіп).

Есеп 7

Түлкі 33 тышқан аулады. Ол аулаған тышқандарын тышқан санын әртүрлі етіп, 6 үймеге бөліп үйді. Үймелердің ең үлкенінде 8 тышқан бар. Келесі үймедегі тышқандар саны оның алдындағы үймедегі тышқандар санынан 1 тышқан кем. Ең соңғы үймеде неше тышқан болды? А. 4 тышқан; В. 2 тышқан; С. 5 тышқан; D. 3 тышқан.

Шешуі.

1. Үймелер: 8, 7, 6, 5, 4, 3.
2. Тексеру: $(8 + 3) \cdot 3 = 11 \cdot 3 = 33$. Дұрыс.

Жауабы: D (3 тышқан).

Есеп 8

Түймедағы гүлдерінен 6 гүлшоғы дайындалды. Ең кіші гүлшоғында 5 гүл бар. Гүлшоқтарының біреуінде екіншісіндегіден 2 гүл артық. Барлық гүлшоғы неше гүлден дайындалды? А. 65 гүлден; В. 60 гүлден; С. 68 гүлден; D. 64 гүлден.

Қалай ойлаймыз. Қадам 1 емес, 2 — бірақ Гаусс қулығы кез келген бірдей қадамда жұмыс істейді.

Шешуі.

1. Гүлшоқтар: 5, 7, 9, 11, 13, 15.
2. Гаусс тәсілімен: жұп саны 3, әрқайсысы $5 + 15 = 20$. Қосынды: $20 \cdot 3 = 60$.

Жауабы: B (60 гүл).

Есеп 9

Қоңыраулы сағат сағат 1-де 1 рет, сағат 2-де 2 рет, сағат 3-те 3 рет, ... сағат 12-де 12 рет соғады. Әрбір толық сағаттан 30 мин өткенде тағы да 1 рет соғады. Қоңыраулы сағат 1-ден сағат 10-ға дейін (10-ды қоса есептегенде) неше рет соғады? А. 69 рет; В. 57 рет; С. 64 рет; D. 55 рет.

Қалай ойлаймыз. «Толық сағаттағы» және «жарым сағаттағы» соққыларды бөлек санаймыз.

Шешуі.

1. Толық сағаттардағы соққылар: $1 + 2 + \ldots + 10 = (1 + 10) \cdot 5 = 55$.
2. Жарым сағаттағы соққылар: 1:30, 2:30, …, 9:30 — бұл 9 соққы (10:30-ды санамаймыз).
3. Барлығы: $55 + 9 = 64$.

Жауабы: C (64 рет).

⚠️ Жиі кететін қате. «Жарым сағаттағы» соққыларды 10 деп санайды. Бірақ 10 сағаттан кейін санау аяқталды, ал 1 сағатқа дейін әлі басталған жоқ. 1:00 мен 10:00 аралығында жарым сағат дәл 9 рет болады.