1.7. Натурал сандарға арифметикалық амалдарды қолдану реттілігі

Математика, 5 сынып. Оқулық: Алдамұратова Т.А. және т.б. (Атамұра, 2017). I тарау: Натурал сандар және нөл. 36–37-беттер.

Нені үйренесің

• Бірінші басқыш амалдарын екінші басқыш амалдарынан ажыратуды.
• Амалдардың дұрыс орындалу реттілігін — жақшалы да, жақшасыз да — табуды.
• Амалдар қажетті тәртіппен орындалатындай етіп жақша қоюды.
• Сызбанұсқа немесе сөзбен берілген «бағдарлама» бойынша өрнек құрастыруды.

Ой қозғау

Алдымен өзің есепте, сосын жауабын аш.

• $(62 - 53) \cdot 4 + 56 : 8$ Алдымен жақша: $62 - 53 = 9$. Содан кейін көбейту мен бөлу: $9 \cdot 4 = 36$, $56 : 8 = 7$. Соңында қосу: $36 + 7 =$ 43.
• $70 + (66 - 42) : 6 - 15 \cdot 4$ Жақша: $66 - 42 = 24$. Бөлу және көбейту: $24 : 6 = 4$, $15 \cdot 4 = 60$. Қосу мен азайтуды солдан оңға қарай: $70 + 4 = 74$, $74 - 60 =$ 14.

💡 Байқадың ба? Біз бірде-бір рет жай ғана солдан оңға қарай есептеген жоқпыз. Тәртіпті ережелер белгілейді — бүгінгі сабақ солар туралы.

Тақырыпты талдаймыз

Кім үлкен: екі басқыш

Төрт амал екі топқа бөлінеді:

• бірінші басқыш амалдары — қосу және азайту;
• екінші басқыш амалдары — көбейту және бөлу.

Екінші басқыш «үлкен»: оны бұрын орындайды. Асханадағы кезек сияқты — жоғары сынып оқушылары алда.

Тәртіптің үш ережесі

📌 Амалдардың орындалу реттілігі:

1. Алдымен жақшалар. Жақша ішінде де сол ережелер. Егер жақшаның ішінде жақша болса, ең ішкісінен бастаймыз.
2. Содан кейін көбейту және бөлу — солдан оңға қарай.
3. Соңында қосу және азайту — ол да солдан оңға қарай.

Егер барлық амал бір басқыштан болса, жай ғана солдан оңға қарай жүреміз:

$680 - 370 + 154 - 259 = 310 + 154 - 259 = 464 - 259 = 205$.

Егер басқыштар әртүрлі болса — алдымен екінші басқыш:

$1176 : 98 + 196 \cdot 5 = 12 + 980 = 992$.

Жақшаның ішіндегі жақша

Енді қиынырақ: $(5074 : (95 - 18 \cdot 2) + 104) : 38 \cdot 25$. Жақшалар бірінің ішіне бірі салынған. Қадамдарды біртіндеп аш.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Баладан есептеудің алдында қарындашпен әр амал таңбасының үстіне нөмір қойып шығуын сұраңыз. Бұл жарты минут қана алады, бірақ реттілікке қатысты қателердің дерлігі жоғалады.

⚠️ Жиі кететін қате. $48 : 4 \cdot 2$ өрнегінде алдымен $4 \cdot 2 = 8$ көбейтіп, $48 : 8 = 6$ деп шығарады. Қате! Көбейту мен бөлу — бір басқыш, солдан оңға қарай жүреміз: $48 : 4 = 12$, $12 \cdot 2 = 24$.

⚠️ Жиі кететін қате. Қосу мен азайтуда да солай: $20 - 5 + 3 = 18$, ал 12 емес. Алдымен $20 - 5 = 15$, сосын $15 + 3 = 18$.

Сызбанұсқаны қалай оқимыз

Сызбанұсқа — төртбұрыштардан тұратын «ағаш». Жоғарыдағы екі сан көрсеткілермен төменгі төртбұрышпен байланысқан — оған амалдың нәтижесін жазады. Жоғарыдан төмен қарай оқимыз.

Сызбанұсқаны бір жолмен жазу үшін, егер амал ережелер рұқсат ететіннен бұрын орындалуы керек болса, оны жақшаға ал.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Қандай амалдар бірінші басқышқа, қандайы екінші басқышқа жатады? Бірінші басқыш — қосу және азайту. Екінші басқыш — көбейту және бөлу.
• Барлық амалы бар жақшасыз өрнек қандай реттілікпен есептеледі? Алдымен көбейту мен бөлуді солдан оңға қарай, сосын қосу мен азайтуды солдан оңға қарай.
• Ал жақша болса ше? Алдымен жақша ішіндегі амалдар (сол ережелермен), сосын қалғандары: алдымен екінші басқыш, сосын бірінші басқыш.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 73

Есептеңдер: 1) $287 + 63 + 13$; 2) $946 + 72 - 46$; 3) $535 - 46 + 11$; 4) $61 \cdot 20 \cdot 5$; 5) $45 \cdot 6 + 32 \cdot 6$; 6) $68 \cdot 5 - 42 \cdot 5$.

Қалай ойлаймыз. Ретімен есептеуге болады, бірақ өткен сабақтағы қулықтармен тезірек.

Шешуі.

1. $287 + 13 = 300$; $300 + 63 = 363$.
2. $946 - 46 = 900$; $900 + 72 = 972$.
3. $535 - 46 = 489$; $489 + 11 = 500$.
4. $61 \cdot (20 \cdot 5) = 61 \cdot 100 = 6100$.
5. $(45 + 32) \cdot 6 = 77 \cdot 6 = 462$.
6. $(68 - 42) \cdot 5 = 26 \cdot 5 = 130$.

Жауабы: 1) 363; 2) 972; 3) 500; 4) 6100; 5) 462; 6) 130.

№ 74

Берілген нұсқау бойынша өрнек құрастырып, мәнін табыңдар: 1. 102 және 314 сандарының көбейтіндісін табыңдар; 2. 26 145 санының 249-ға бөліндісін табыңдар; 3. 1-ші және 2-нұсқау нәтижелерінің қосындысын табыңдар.

Шешуі. Өрнек: $102 \cdot 314 + 26,145 : 249$. Жақша керек емес: көбейту мен бөлу қосудан бұрын өзі-ақ орындалады.

1. $102 \cdot 314 = 100 \cdot 314 + 2 \cdot 314 = 31,400 + 628 = 32,028$.
2. Бұрыштап бөлеміз:

 26145 | 249
-249   |-----
 ---   | 105
  12       ← 4-ті түсіреміз: 124 < 249, бөліндіде 0
  1245     ← 5-ті түсіреміз
 -1245
  ----
     0

$26,145 : 249 = 105$. Тексеру: $249 \cdot 105 = 24,900 + 1245 = 26,145$. 3. $32,028 + 105 = 32,133$.

Жауабы: $102 \cdot 314 + 26,145 : 249 = 32,133$.

⚠️ Жиі кететін қате. 26 145-ті 249-ға бөлгенде бөліндідегі нөлді жоғалтып, 15 деп шығарады. Цифр санымен тексер: бірінші толымсыз бөлінгіш 261, одан кейін тағы 2 цифр қалады — демек, бөліндіде 3 цифр бар.

B деңгейі

№ 75

Амалдардың көрсетілген реттілігін пайдаланып, тиісті жерге жақшаны қойыңдар. Өрнектің мәнін табыңдар: 1) $716 + 952 - 574 : 27$ (реттілік: «−», «:», «+»); 2) $645 - 596 \cdot 971 - 847$ (бірінші «−», екінші «−», «·»); 3) $2215 : 128 + 315 \cdot 86$ («+», «:», «·»); 4) $522 + 723 : 932 - 517 \cdot 57$ («+», «−», «:», «·»).

Қалай ойлаймыз. Егер амал ережеге сәйкес кейін орындалатын болса, ал оны бұрын орындау керек болса — оны жақшаға ал.

Шешуі.

1. Азайту бірінші болуы керек: $716 + (952 - 574) : 27$. $952 - 574 = 378$; $378 : 27 = 14$; $716 + 14 = 730$.
2. Екі азайту да көбейтуден бұрын: $(645 - 596) \cdot (971 - 847)$. $645 - 596 = 49$; $971 - 847 = 124$; $49 \cdot 124 = 6076$.
3. Қосу бірінші: $2215 : (128 + 315) \cdot 86$. $128 + 315 = 443$; $2215 : 443 = 5$; $5 \cdot 86 = 430$.
4. Қосу мен азайту бөлу мен көбейтуден бұрын: $(522 + 723) : (932 - 517) \cdot 57$. $522 + 723 = 1245$; $932 - 517 = 415$; $1245 : 415 = 3$; $3 \cdot 57 = 171$.

Жауабы: 1) $716 + (952 - 574) : 27 = 730$; 2) $(645 - 596) \cdot (971 - 847) = 6076$; 3) $2215 : (128 + 315) \cdot 86 = 430$; 4) $(522 + 723) : (932 - 517) \cdot 57 = 171$.

№ 76

Өрнектегі амалдардың орындалу реттілігін көрсетіңдер. Өрнектің мәнін табыңдар: $(32 \cdot 18 + (2435 - 1967) \cdot 25) : 36 - 198$.

Қалай ойлаймыз. Ең терең «жақшадан» бастаймыз да, сыртқа қарай шығамыз.

Шешуі.

1. Ішкі жақша: $2435 - 1967 = 468$.
2. Сыртқы жақшада көбейту: $32 \cdot 18 = 576$.
3. Сонда көбейту: $468 \cdot 25 = 11,700$.
4. Сонда қосу: $576 + 11,700 = 12,276$.
5. Бөлу: $12,276 : 36 = 341$.
6. Азайту: $341 - 198 = 143$.

Бөлуді тексеру: $341 \cdot 36 = 10,230 + 2046 = 12,276$. Дұрыс.

Жауабы: 143.

№ 77

Берілген сызбанұсқа бойынша өрнек құрастырып, мәнін табыңдар. Сызбанұсқа: алдымен $126 + 14$, нәтижені 5-ке бөлеміз; бөлек $90 : 18$; бірінші нәтижеден екіншісін азайтамыз.

Қалай ойлаймыз. Сызбанұсқада қосу бірінші жүреді, бірақ ережеге сәйкес бөлу «үлкен». Сондықтан $126 + 14$-ті жақшаға аламыз.

Шешуі. Өрнек: $(126 + 14) : 5 - 90 : 18$.

1. $126 + 14 = 140$.
2. $140 : 5 = 28$.
3. $90 : 18 = 5$.
4. $28 - 5 = 23$.

Жауабы: $(126 + 14) : 5 - 90 : 18 = 23$.

№ 78

Амалдардың орындалу реттілігін көрсетіп, есептеңдер: 1) $16 + (324 - (28 - 95 : 19) \cdot 8 + 32) : 43$; 2) $125 : (72 : 12 \cdot 3 + 98 : (68 - 18 \cdot 3))$; 3) $100 - (96 : (72 - 16 \cdot 4) + 24 \cdot 5 : 6) \cdot 3$.

Қалай ойлаймыз. Ең ішкі жақшадан бастап, сыртқа қарай жүреміз. Әр жақшаның ішінде — алдымен екінші басқыш.

Шешуі. 1)

1. $95 : 19 = 5$;
2. $28 - 5 = 23$;
3. $23 \cdot 8 = 184$;
4. $324 - 184 = 140$;
5. $140 + 32 = 172$;
6. $172 : 43 = 4$;
7. $16 + 4 = 20$.

2. 1. $18 \cdot 3 = 54$;
   2. $68 - 54 = 14$;
   3. $72 : 12 = 6$;
   4. $6 \cdot 3 = 18$;
   5. $98 : 14 = 7$;
   6. $18 + 7 = 25$;
   7. $125 : 25 = 5$.
3. 1. $16 \cdot 4 = 64$;
   2. $72 - 64 = 8$;
   3. $96 : 8 = 12$;
   4. $24 \cdot 5 = 120$;
   5. $120 : 6 = 20$;
   6. $12 + 20 = 32$;
   7. $32 \cdot 3 = 96$;
   8. $100 - 96 = 4$.

Жауабы: 1) 20; 2) 5; 3) 4.

№ 79

Берілген сызбанұсқа бойынша өрнек құрастырып, мәнін табыңдар. 1) $135 + 203$; $228 : 19$, нәтижесін 21-ге көбейту; біріншіден екіншіні азайту. 2) $1965 - 613$, нәтижені 52-ге бөліп, 18-ге көбейту; $649 - 431$, осы нәтижеге 2834-ті бөлу; екі нәтижені қосу.

Қалай ойлаймыз. Сызбанұсқаны жоғарыдан төмен қарай оқимыз. Бірінші басқыш амалы екінші басқыштан бұрын жүруі керек жерге жақша қоямыз.

Шешуі.

1. Өрнек: $(135 + 203) - 228 : 19 \cdot 21$.
   1. $135 + 203 = 338$;
   2. $228 : 19 = 12$;
   3. $12 \cdot 21 = 252$;
   4. $338 - 252 = 86$.
2. Өрнек: $(1965 - 613) : 52 \cdot 18 + 2834 : (649 - 431)$.
   1. $1965 - 613 = 1352$;
   2. $1352 : 52 = 26$;
   3. $26 \cdot 18 = 468$;
   4. $649 - 431 = 218$;
   5. $2834 : 218 = 13$;
   6. $468 + 13 = 481$.

Бірінші өрнекте $135 + 203$ айналасындағы жақшаны жазбауға да болады: қосу онда бәрібір бірінші, ал азайту соңында орындалады.

Жауабы: 1) $135 + 203 - 228 : 19 \cdot 21 = 86$; 2) $(1965 - 613) : 52 \cdot 18 + 2834 : (649 - 431) = 481$.

Жадынама

• Реттілік: жақшалар → көбейту және бөлу → қосу және азайту.
• Бір басқыштың амалдары — солдан оңға қарай.
• Есептемес бұрын амал таңбаларының үстіне нөмір қой.
• Жақшаны амал ереже рұқсат ететіннен бұрын орындалуы керек болғанда қоямыз.

Шағын тест