1.8. Сандық өрнектер. Әріпті өрнектер

Математика, 5 сынып. Оқулық: Алдамұратова Т.А. және т.б. (Атамұра, 2017). I тарау: Натурал сандар және нөл. 38–42-беттер.

Нені үйренесің

• Сандық өрнекті әріпті өрнектен ажыратуды.
• Өрнектің мәнін — сандармен де, әріптермен де — табуды.
• Қысқаша жазуды: $5a$, $ab$, $3(x + 2)$ — және коэффициент деген не екенін білуді.
• Өрнекті соңғы амалы бойынша атауды: қосынды, айырма, көбейтінді, бөлінді.
• Есептің шартын өрнекке айналдыруды.

Ой қозғау

Мынау сегіз жазба: $17 \cdot 3$; $4b + 5$; $42 : 6 + 4$; $3(19 + a)$; $28 - a$; $(12 + 15) : 3$; $75 : a - 8$; $8b : 5 \cdot 3$. Оларды екі топқа бөл.

• Қандай жазбаларда тек сандар мен амал таңбалары бар? $17 \cdot 3$; $42 : 6 + 4$; $(12 + 15) : 3$.
• Ал қайсысында әріптер бар? $4b + 5$; $3(19 + a)$; $28 - a$; $75 : a - 8$; $8b : 5 \cdot 3$.
• Бірінші топтағы жазбалар қалай аталады? Сандық өрнектер.
• Ал екіншісі ше? Әріпті өрнектер — оларда әріптер бар.

Тақырыпты талдаймыз

Өрнек — есептеудің «рецепті»

Екі велосипедші бір жерден қарама-қарсы бағытта шықты. Біреуі 12 км/сағ, екіншісі 14 км/сағ жылдамдықпен жүреді. Бір сағаттан кейін олардың арасы $12 + 14 = 26$ км, ал 3 сағаттан кейін — $(12 + 14) \cdot 3 = 78$ км.

$12 + 14$ және $(12 + 14) \cdot 3$ жазбалары — сандық өрнектер: сандар, амал таңбалары және жақшалар. Барлық амалды орындасаң — өрнектің мәнін аласың.

💡 Басқаша да есептеуге болады: $12 \cdot 3 + 14 \cdot 3 = 36 + 42 = 78$ км. Өрнектер әртүрлі, ал мәні біреу. Бұл жиі кездеседі!

Тағы мысал: $96 : (37 - 29) = 96 : 8 = 12$. Өрнек — $96 : (37 - 29)$, оның мәні — 12.

Өрнекті қалай «атайды»

Өрнекке атауды соңғы амал береді. $96 : (37 - 29)$ өрнегінде алдымен жақшаны есептейміз, ал соңында бөлеміз. Демек, бұл — бөлінді: «96-ның 37 мен 29 сандарының айырмасына бөліндісі».

• $9 + 61$ — 9 бен 61-дің қосындысы;
• $3 \cdot (48 + 23)$ — 3 пен 48 және 23 сандарының қосындысының көбейтіндісі;
• $(85 - 36) : 7$ — 85 пен 36-ның айырмасының 7-ге бөліндісі.

⚠️ Жиі кететін қате. Солдан оңға қарай оқиды: «$3 \cdot (48 + 23)$ — бұл қосынды». Олай емес! Жақшаны бірінші есептейміз, соңында көбейтеміз — демек, бұл көбейтінді. Таңбалардың үстіне амалдардың нөмірін қой: нөмірі ең үлкен таңба өрнектің атын береді.

Сандар әлі белгісіз болса — әріп аламыз

1 кг алмұрттың бағасы $a$ тг, ал 1 кг алманың бағасы $b$ тг болсын, алмұрт қымбатырақ. Сонда 1 кг алмұрт алмадан $a - b$ тг қымбат, ал 3 кг алмұрт 3 кг алмадан $3(a - b)$ тг қымбат. Бұл — әріпті өрнектер.

Әріп — санға арналған «қорапша». Әдетте латынның кіші әріптерін алады: $a, b, c, x, y, m, n$. Қорапшаға сан салсаң — өрнек сандық өрнекке айналады:

$b + 12 \cdot 4$ өрнегінде $b = 7$ болғанда: $7 + 12 \cdot 4 = 7 + 48 = 55$.

Мұндағы 7 саны — әріптің мәні. Қорапшаға әртүрлі сан салуға болады, сондықтан әріпті айнымалы деп, ал өрнекті айнымалысы бар өрнек деп атайды.

Енді «қорапшаға» санды өзің сал:

Коэффициент және «көрінбейтін» көбейту таңбасы

$8a$ жазбасында 8 саны — коэффициент: әріптердің алдындағы сан көбейткіш. Сан мен әріптің арасына «·» таңбасын қоймайды: $5 \cdot a$ орнына $5a$ деп жазады.

Дәл солай қысқа жазады:

• әріптердің көбейтіндісін: $a \cdot b = ab$;
• жақшаның алдындағы санды: $3 \cdot (x + 2) = 3(x + 2)$.

Егер әріптің алдында сан болмаса, коэффициент 1-ге тең: $a = 1 \cdot a$.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Баладан $3(a - b)$ өрнегін қайтадан алмұрт пен алма тіліне «аударып» беруін сұраңыз. Егер ол әр бөліктің не білдіретінін түсіндірсе, тақырып жаттап алынбаған, түсінілген деген сөз.

Өрнек — есептің кішкентай моделі

Есептің шарты бойынша құрастырылған өрнек — оның қысқа «суреті». Оны математикалық модель деп атайды. Екі өрнекті $=$, $\ne$,

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Сандық өрнек дегеніміз не? Сандардан, амал таңбаларынан және (қажет болса) жақшалардан тұратын жазба. Мысалы, $25 \cdot 4 - 7$ немесе $(60 + 12) : 9$.
• Сандық өрнектің мәні деп нені айтады? Барлық амалдарды орындағаннан кейін шығатын сан. $(60 + 12) : 9$ өрнегінің мәні — 8.
• Қандай өрнек әріпті өрнек деп аталады? Құрамында әріптер бар өрнек: $a + 5$; $3(x - 2)$.
• Коэффициент деген не? Сан мен әріптердің көбейтіндісіндегі сан көбейткіш. $7xy$ өрнегінде коэффициент 7, ал $x$ өрнегінде — 1.

Жаттығуларды шығарамыз

Ауызша есептеу

№ 80

Өрнекті оқыңдар: $34 - 5$; $18 + a$; $34 \cdot b$; $96 : x$; $45 : 9$; $x - y$; $18 \cdot 5$; $m + n$.

Қалай ойлаймыз. Таңбаға қара: «+» — қосынды, «−» — айырма, «·» — көбейтінді, «:» — бөлінді. Үлгі: $9 + 61$ өрнегінің оқылуы — 9 бен 61-дің қосындысы; $120 \cdot 15$ өрнегінің оқылуы — 120 мен 15-тің көбейтіндісі.

Шешуі.

1. $34 - 5$ — 34 пен 5-тің айырмасы;
2. $18 + a$ — 18 бен $a$-ның қосындысы;
3. $34 \cdot b$ — 34 пен $b$-ның көбейтіндісі;
4. $96 : x$ — 96-ның $x$-қа бөліндісі;
5. $45 : 9$ — 45-тің 9-ға бөліндісі;
6. $x - y$ — $x$ пен $y$-тің айырмасы;
7. $18 \cdot 5$ — 18 мен 5-тің көбейтіндісі;
8. $m + n$ — $m$ мен $n$-нің қосындысы.

Жауабы: айырма; қосынды; көбейтінді; бөлінді; бөлінді; айырма; көбейтінді; қосынды (толығымен — шешуде).

A деңгейі

№ 81

Қосу мен көбейтудің қасиеттерін пайдаланып, есептеңдер. 1) Сандық өрнектің мәнін табыңдар; 2) әріпті өрнектің мәнін табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Қосылғыштар мен көбейткіштерді ауыстыруға және топтауға болады. «Дөңгелек» сан беретін жұптарды ізде: $27 + 73 = 100$, $4 \cdot 25 = 100$, $125 \cdot 8 = 1000$.

Шешуі.

1. Сандық өрнектер:

• а) $27 + 58 + 73 = (27 + 73) + 58 = 100 + 58 = 158$;
• ә) $19 + 46 + 81 = (19 + 81) + 46 = 100 + 46 = 146$;
• б) $4 \cdot 7 \cdot 25 = (4 \cdot 25) \cdot 7 = 100 \cdot 7 = 700$;
• в) $20 \cdot 16 \cdot 5 = (20 \cdot 5) \cdot 16 = 100 \cdot 16 = 1600$;
• г) $2 \cdot 27 \cdot 5 = (2 \cdot 5) \cdot 27 = 10 \cdot 27 = 270$;
• д) $125 \cdot 6 \cdot 8 = (125 \cdot 8) \cdot 6 = 1000 \cdot 6 = 6000$.

2. Әріпті өрнектер. Алдымен сандарды біріктіреміз, сосын әріптің мәнін қоямыз:

• а) $(9 + a) + 11 = 20 + a$; $a = 6$ болғанда: $20 + 6 = 26$;
• ә) $5b \cdot 4 = 20b$; $b = 18$ болғанда: $20 \cdot 18 = 360$;
• б) $(82 + c) + 18 = 100 + c$; $c = 14$ болғанда: $114$;
• в) $(23 + x) + 39 = 62 + x$; $x = 11$ болғанда: $73$;
• г) $8y \cdot 25 = 200y$; $y = 3$ болғанда: $600$;
• д) $20n \cdot 5 = 100n$; $n = 9$ болғанда: $900$.

Жауабы: 1) а) 158; ә) 146; б) 700; в) 1600; г) 270; д) 6000. 2) а) 26; ә) 360; б) 114; в) 73; г) 600; д) 900.

№ 82

Есептің өрнегін құрастырып, мәнін табыңдар. 1) Оқушы кітаптың 28 бетін оқығанда, кітаптың жартысына дейін $a$ беті қалды. Кітапта неше бет болған? Мұндағы $a = 15$. 2) Бақтағы 33 жеміс ағашы түзу бойымен бір-бірінен $n$ м арақашықтықта орналасқан. Екі шеткі жеміс ағашының арақашықтығы неше метр? Мұндағы $n = 6$. А. 192 м; В. 195 м; С. 198 м; D. 184 м.

Қалай ойлаймыз. Бірінші тармақта кітаптың жартысы — оқылғаны мен ортасына дейін қалғанының қосындысы. Екіншісінде ағаштарды емес, олардың арасындағы аралықтарды санаймыз.

Шешуі.

1. Кітаптың жартысы — $28 + a$ бет. Бүкіл кітап одан екі есе көп: $2(28 + a)$. $a = 15$ болғанда: $2 \cdot (28 + 15) = 2 \cdot 43 = 86$ бет.

2. 33 ағаштың арасында $33 - 1 = 32$ аралық бар. Шеткі ағаштардың арақашықтығы — $32n$ м. $n = 6$ болғанда: $32 \cdot 6 = 192$ м.

Жауабы: 1) $2(28 + a)$; 86 бет. 2) $32n$; 192 м — A нұсқасы.

⚠️ Жиі кететін қате. 33-ті 6-ға көбейтіп, 198 м (C нұсқасы) деп шығарады. Бұл — тұзақ! Кішкентай мысалмен тексер: 2 ағашта бар болғаны 1 аралық бар.

B деңгейі

№ 83

Арифметикалық амалдардың қасиеттерін пайдаланып, әріпті өрнектердің мәнін табыңдар: 1) $12 + a + 97$, мұндағы $a = 8; 3$; 2) $26 + b + 83$, мұндағы $b = 14; 7$; 3) $49 + c + 38$, мұндағы $c = 51; 62$; 4) $20a \cdot 15$, мұндағы $a = 5; 4$; 5) $25b \cdot 5$, мұндағы $b = 4; 12$; 6) $8c \cdot 12$, мұндағы $c = 125; 3$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен сандарды біріктір (қос немесе көбейт). Сосын әр әріптің мәнін қой — есептеу аз болады.

Шешуі.

6-тармақта $c = 125$ болғанда былай ыңғайлы: $8 \cdot 125 \cdot 12 = 1000 \cdot 12 = 12,000$.

Жауабы: 1) 117; 112. 2) 123; 116. 3) 138; 149. 4) 1500; 1200. 5) 500; 1500. 6) 12 000; 288.

№ 84

Өрнек түрінде жазып, мәнін табыңдар: 1) 3 еселенген 48 бен 23-тің қосындысы; 2) 2 еселенген 53 пен 19-дың айырмасы; 3) 735-тің 85 пен 36-ның айырмасына бөліндісі; 4) 251 мен 649-дың қосындысының 75-ке бөліндісі. А. 15; В. 68; С. 12; D. 213.

Қалай ойлаймыз. «3 еселенген» — 3-ке көбейту, «2 еселенген» — 2-ге көбейту. Ішіндегі қосындыны немесе айырманы жақшаға ал.

Шешуі.

1. $3 \cdot (48 + 23) = 3 \cdot 71 = 213$;
2. $2 \cdot (53 - 19) = 2 \cdot 34 = 68$;
3. $735 : (85 - 36) = 735 : 49 = 15$;
4. $(251 + 649) : 75 = 900 : 75 = 12$.

Жауабы: 1) 213 — D; 2) 68 — B; 3) 15 — A; 4) 12 — C.

№ 85

1) Әрқайсысының ұзындығы 3 м болатын 15 бөренені ұзындығы 60 см бөліктерге кесіп бөлу керек. Бөренені 1 рет кесу уақыты $b$ минут. Барлық бөрене неше сағатта кесіледі? Мұндағы $b = 7$. А. 5 сағ; В. 7 сағ; С. 4 сағ; D. 3 сағ. 2) Үйді 3 ұста 40 күнде салуды межелеген еді. Оларға көмекке бірнеше ұста келіп, үйді 24 күнде салып бітірді. Неше ұста көмекке келді?

Қалай ойлаймыз. 1-тармақта есте сақта: кесу саны бөліктен 1-ге кем (№ 82-дегі ағаштар сияқты). 2-тармақта бүкіл жұмысты «бір ұстаның күнімен» есепте.

Шешуі.

1. $3 \text{ м} = 300 \text{ см}$; бөлік саны $300 : 60 = 5$.
2. Бір бөренедегі кесу саны $5 - 1 = 4$.
3. 15 бөренедегі кесу саны $15 \cdot 4 = 60$. Уақыт $60b$ мин.
4. $60$ мин $= 1$ сағ, демек, $60b$ мин $= b$ сағ. $b = 7$ болғанда 7 сағ шығады.

1. Бүкіл жұмыс: бір ұста үшін $3 \cdot 40 = 120$ күн.
2. 24 күнде оны $120 : 24 = 5$ ұста орындады.
3. Көмекке $5 - 3 = 2$ ұста келді.

Тексеру: $5 \cdot 24 = 120$. Дұрыс.

Жауабы: 1) $b$ сағ; 7 сағ — B нұсқасы. 2) 2 ұста.

№ 86

1.21-сурет бойынша есеп құрастырыңдар. Өрнек бойынша есеп шартын құрастырып, сұрақ қойыңдар және оған жауап беріңдер: 1) $12 + 15$; 2) $54 : (12 + 15)$. Суретте ұзындығы 54 км жолдың бір басынан салт атты (12 км/сағ), екінші басынан оған қарсы велосипедші (15 км/сағ) шығады.

Қалай ойлаймыз. Олар қарама-қарсы жүреді — демек, әр сағат сайын арақашықтық жылдамдықтардың қосындысына қысқарады.

Шешуі. Есеп мысалы: «Арақашықтығы 54 км екі ауылдан бір мезгілде бір-біріне қарсы салт атты 12 км/сағ жылдамдықпен және велосипедші 15 км/сағ жылдамдықпен шықты».

1. $12 + 15 = 27$ км/сағ. Сұрақ: олар 1 сағатта неше километрге жақындайды?
2. $54 : (12 + 15) = 54 : 27 = 2$ сағ. Сұрақ: олар неше сағаттан кейін кездеседі?

Графиктен көрініп тұр: 2 сағатта салт атты 24 км жүрді, велосипедші — 30 км, екеуі де «24 км» нүктесінде болды.

Жауабы: 1) 27 км/сағ — жақындасу жылдамдығы; 2) 2 сағ — кездесуге дейінгі уақыт.

C деңгейі

№ 87

Өрнектің мәнін табыңдар. Мұндағы $m + n = 35$: Т. $(m + 15) + n$; Н. $(m + 48) + (n + 20)$; А. $m + (n + 9)$; С. $(m + 7) + n$; У. $(m + 26) + (n + 14)$; Р. $(m + 30) + (n + 17)$. Өрнектердің мәндерін дұрыс тауып, оларды өсу ретімен орналастырып, тұсындағы әріптерді жазсаңдар, сақиналы планетаның атауын оқисыңдар.

Қалай ойлаймыз. $m$ мен $n$ санын жеке білмейміз, бірақ олардың қосындысын білеміз. $m + n$ қосындысын бірге жина, ал сандарды бөлек қос.

Шешуі.

• Т: $(m + n) + 15 = 35 + 15 = 50$;
• Н: $(m + n) + 48 + 20 = 35 + 68 = 103$;
• А: $(m + n) + 9 = 44$;
• С: $(m + n) + 7 = 42$;
• У: $(m + n) + 26 + 14 = 35 + 40 = 75$;
• Р: $(m + n) + 30 + 17 = 35 + 47 = 82$.

Өсу ретімен: 42 (С), 44 (А), 50 (Т), 75 (У), 82 (Р), 103 (Н).

Жауабы: САТУРН.

🌟 Сатурн — Күн жүйесіндегі көлемі жағынан екінші планета. Оның сақиналарын шағын телескоппен де көруге болады.

№ 88

Есептің әріпті өрнегін құрастырып, мәнін табыңдар. Бірінші орамда 32 м мата бар, бұл екінші орамдағы матадан $x$ м кем. Үшінші орамдағы мата, бірінші орамдағыдан $y$ м артық. Үш орамда неше метр мата бар? Мұндағы $x = 8$; $y = 6$. А. 105 м; В. 108 м; С. 110 м; D. 115 м.

Қалай ойлаймыз. «Бірінші орам екіншіден $x$-ке кем» дегені «екінші орам біріншіден $x$-ке артық» дегенмен бірдей.

Шешуі.

1. Бірінші орам: 32 м.
2. Екінші: $(32 + x)$ м.
3. Үшінші: $(32 + y)$ м.
4. Барлығы: $32 + (32 + x) + (32 + y) = 96 + x + y$.
5. $x = 8$, $y = 6$ болғанда: $96 + 8 + 6 = 110$ м.

Жауабы: $96 + x + y$; 110 м — C нұсқасы.

№ 89

Ребусты шешіңдер (бірдей әріп — бірдей цифр, әртүрлі әріп — әртүрлі цифр): 1) XYXY + YXYX = ZZZZ; 2) ABCD + ABCD = DECB, мұндағы E = 8; 3) EPPE − PEEP = NNCC, мұндағы C = 5.

Қалай ойлаймыз. Бұл — тапқырлыққа есеп. Разрядтар бойынша бағанға жазып қос (азайт) және бірлікті ауыстыруды қадағала.

Шешуі.

1. Әр разрядта X пен Y қосылып, Z шығады. Егер ауыстыру болса, көрші разрядтардағы цифрлар әртүрлі болар еді. Демек, ауыстыру жоқ және $X + Y = Z$, мұнда $Z \le 9$. Осындай кез келген жұп келеді: $1212 + 2121 = 3333$; $2525 + 5252 = 7777$; $3636 + 6363 = 9999$.

2. Жоғарыдағы терезеде қадамдап түсіндірілген: $C = 0$, $B = 4$, $D = 2$, $A = 1$.

Тексеру: $1402 + 1402 = 2804$, яғни D = 2, E = 8, C = 0, B = 4. Дұрыс.

3. Бірліктер разряды: $E - P$ саны $C = 5$-пен аяқталады. Іріктеп, бағанмен тексереміз. $E$ саны $P$-дан 5-ке артық болғанда келеді: айырма сонда әрқашан 4455, яғни N = 4.

• $6116 - 1661 = 4455$;
• $7227 - 2772 = 4455$;
• $8338 - 3883 = 4455$.

($E = 9$, $P = 4$ жұбы келмейді: 4 цифры N әрпімен бос емес.)

Жауабы: 1) мысалы, $1212 + 2121 = 3333$ ($X + Y = Z$ болатын кез келген X және Y келеді); 2) $1402 + 1402 = 2804$; 3) $6116 - 1661 = 4455$ (сондай-ақ $7227 - 2772$ және $8338 - 3883$).

№ 90

Сен оқитын сыныптың рет саны $m$ мен сенің жас шамаң $n$ арасындағы тәуелділікке әріпті өрнек құрастырыңдар, кестені толтырыңдар.

Қалай ойлаймыз. Жыл сайын сынып нөмірі 1-ге өседі, жас та 1-ге өседі. Демек, олардың арасындағы айырма өзгермейді.

Шешуі. Жауап әркімде әртүрлі. Мысал: бесінші сынып оқушысы 11 жаста. Айырма $11 - 5 = 6$, сондықтан $n = m + 6$.

Егер сен 5-сыныпта 10 жаста болсаң, өрнек $n = m + 5$ болады, ал екінші жолда — 6, 7, 8, 9, 10.

Жауабы: мысалы, $n = m + 6$.

Жадынама

• Әріптің орнына сан қойдың — сандық өрнек алдың.
• $a(b - c)$ — $a$ мен $b$ және $c$ айырмасының көбейтіндісі.
• «·» таңбасын сан мен әріптің арасына, әріптердің арасына және жақшаның алдына қоймайды: $5a$, $ab$, $3(x + 2)$.
• Өрнектегі бөлгіш нөлге тең болмауы керек.

Шағын тест