1.9. Өрнектерді ықшамдау

Математика, 5 сынып. Оқулық: Алдамұратова Т.А. және т.б. (Атамұра, 2017). I тарау: Натурал сандар және нөл. 43–46-беттер.

Нені үйренесің

• «Ықшамдау» деген не екенін түсінуді: өрнекті өзіне тең, бірақ амалы аз өрнекпен ауыстыру.
• Қосындыдағы сандарды жинауды: $9 + a + 14 = 23 + a$.
• Көбейтіндідегі сандарды жинауды: $8a \cdot 7 = 56a$, $3n \cdot 4k \cdot 6m = 72kmn$.
• Бір әріпті қосылғыштарды қосуды және азайтуды: $7x + 8x = 15x$, $10x - 6x = 4x$.
• Ортақ көбейткішті жақша сыртына шығаруды: $7a + 7 \cdot 3 = 7(a + 3)$.

Ой қозғау

Алдымен ойша шығарып көр, содан кейін жауабын ашып қара.

• $5 \cdot x \cdot 8$ өрнегін ықшамда. Сандарды көбейтеміз: $(5 \cdot 8) \cdot x = 40x$.
• $2 \cdot y \cdot 9$ өрнегін ықшамда. $(2 \cdot 9) \cdot y = 18y$.
• $4m + 9m$ өрнегін ықшамда. Әріпті жақша сыртына шығарамыз: $(4 + 9)m = 13m$.
• $7a + 13a$ өрнегін ықшамда. $(7 + 13)a = 20a$.
• $13 + x + 7$ өрнегін ықшамда. $(13 + 7) + x = 20 + x$.
• $9n - 4n$ өрнегін ықшамда. $(9 - 4)n = 5n$.

💡 Амалдарды санап көр: $4m + 9m$ өрнегінде үш амал бар (екі көбейту мен бір қосу), ал $13m$ өрнегінде — біреу ғана. Ықшамдау деген осы: нәтиже сол күйі, ал жұмыс аз.

Тақырыпты талдаймыз

«Ықшамдау» дегеніміз не

Өрнекті ықшамдау — оны өзіне тең, бірақ амалдары аз өрнекпен алмастыру. Әріптің қандай мәнінде де жауап өзгермейді, ал есептеу жеңілдейді.

Тексерейік: $9 + a + 14$ және $23 + a$. $a = 5$ болғанда: $9 + 5 + 14 = 28$ және $23 + 5 = 28$. Сәйкес келді!

Қосынды: сандарды бір жерге жинаймыз

Қосылғыштардың орнын ауыстыруға және жақшаға қалауымызша топтауға болады:

$a + b = b + a$; $\quad (a + b) + c = a + (b + c)$.

Сондықтан қосындыдағы барлық сандарды бөлек қосуға болады:

$9 + a + 14 = (9 + 14) + a = 23 + a$.

Көбейтінді: сандарды көбейтеміз

Көбейткіштердің де орнын ауыстыруға және топтауға болады:

$a \cdot b = b \cdot a$; $\quad (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$.

Барлық сандарды бір жерге жинап көбейтеміз, ал әріптерді санның артынан жазамыз:

• $8a \cdot 7 = (8 \cdot 7)a = 56a$;
• $3n \cdot 4k \cdot 6m = (3 \cdot 4 \cdot 6) \cdot kmn = 72kmn$.

📌 Әртүрлі әріптерді алфавиттік ретпен жазады: $kmn$, ал $nkm$ емес.

«Икстер» — алма сияқты

Көбейтудің үлестірімділік қасиеті екі бағытта да жұмыс істейді:

$(a + b)c = ac + bc$, ал керісінше $ac + bc = (a + b)c$;

$(a - b)c = ac - bc$, ал керісінше $ac - bc = (a - b)c$.

Мұндағы $c$ — ортақ көбейткіш. $ac + bc$ өрнегінен $(a + b)c$ өрнегіне өтуді былай атайды: ортақ көбейткішті жақша сыртына шығардық.

• $7x + 8x = (7 + 8)x = 15x$;
• $10x - 6x = (10 - 6)x = 4x$;
• $5x + 3x + 10x = (5 + 3 + 10)x = 18x$ — қосылғыш қанша болса да, ереже өзгермейді.

7 алма мен 8 алма — 15 алма. Дәл солай 7 «икс» пен 8 «икс» — 15 «икс».

⚠️ Жиі кететін қате. $6y - y = 6$ деп жазады. Бірақ $y$ — бұл $1y$, яғни бір «игрек». Демек, $6y - y = (6 - 1)y = 5y$. Орнына қойып тексер: $y = 2$ болғанда $12 - 2 = 10$ және $5 \cdot 2 = 10$. Ал «6» сәйкес келмейді.

⚠️ Жиі кететін қате. Сан мен әріпті жапсырып жібереді: $20 + a = 20a$. Олай болмайды! $a = 3$ болғанда біріншісі 23-ке, екіншісі 60-қа тең. Тек бірдей әріпті қосылғыштарды ғана біріктіруге болады.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Кез келген ықшамдауды тексерудің ең жақсы тәсілі — әріптің орнына кішкентай сан қойып, бастапқы және ықшамдалған өрнектің мәнін салыстыру. Мәндер сәйкес келуі керек. Балаға мұны өзі істеуді үйретіңіз: сонда ол қателерін өзі табады.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Өрнектің ықшамдалған түрі алғашқы түрінен немен ерекшеленеді? Ол алғашқысына тең, бірақ онда амал аз.
• Қосудың қасиеттерін пайдаланып, қосындыны қалай ықшамдауға болады? Қосылғыштардың орнын ауыстырып, сандарды қосу керек: $15 + b + 25 = 40 + b$.
• $20x + 9x$ және $17y - 8y$ өрнектерін қалай ықшамдаймыз? Әріпті жақша сыртына шығарамыз: $(20 + 9)x = 29x$; $(17 - 8)y = 9y$.

Жаттығуларды шығарамыз

Ауызша есептеу

№ 91

Көбейтудің үлестірімділік қасиетін пайдаланып, өрнектерді ықшамдап, есептеңдер (ауызша): 1) $32 \cdot 14 + 14 \cdot 68$; 2) $27 \cdot 58 + 58 \cdot 73$; 3) $83 \cdot 25 - 73 \cdot 25$; 4) $94 \cdot 12 - 44 \cdot 12$; 5) $870 \cdot 4 + 4 \cdot 130$; 6) $1613 \cdot 7 - 613 \cdot 7$.

Қалай ойлаймыз. Ортақ көбейткішті тауып, жақша сыртына шығар — жақшаның ішінде дөңгелек сан шығады.

Шешуі.

Жауабы: 1) 1400; 2) 5800; 3) 250; 4) 600; 5) 4000; 6) 7000.

A деңгейі

№ 92

Қосудың қасиеттерін пайдаланып, өрнекті ықшамдаңдар: 1) $(9 + a) + 11$; 2) $(16 + b) + 4$; 3) $(a + 17) + 23$; 4) $(b + 22) + 18$; 5) $(18 + x) + 12$; 6) $(43 + y) + 57$.

Қалай ойлаймыз. Сандарды қосамыз, әріпті өз күйінде қалдырамыз.

Шешуі.

1. $(9 + 11) + a = 20 + a$;
2. $(16 + 4) + b = 20 + b$;
3. $a + (17 + 23) = a + 40$;
4. $b + (22 + 18) = b + 40$;
5. $(18 + 12) + x = 30 + x$;
6. $(43 + 57) + y = 100 + y$.

Жауабы: 1) $20 + a$; 2) $20 + b$; 3) $a + 40$; 4) $b + 40$; 5) $30 + x$; 6) $100 + y$.

№ 93

Көбейтудің қасиеттерін пайдаланып, өрнекті ықшамдаңдар. Коэффициентін анықтаңдар: 1) $4a \cdot 5$; 2) $8b \cdot 3$; 3) $5c \cdot 2$; 4) $y \cdot 3 \cdot 16$; 5) $x \cdot 5 \cdot 8$; 6) $z \cdot 6 \cdot 11$; 7) $9 \cdot 7a \cdot 3$; 8) $12 \cdot 5b \cdot 4$; 9) $23 \cdot 2c \cdot 5$.

Қалай ойлаймыз. Барлық сандарды көбейтеміз — бұл коэффициент болады. Әріпті оның артынан жазамыз. Оқулықтағы үлгі: $9x \cdot 16 = (9 \cdot 16) \cdot x = 144x$, мұндағы 144 — коэффициент.

Шешуі.

Жауабы: $20a$; $24b$; $10c$; $48y$; $40x$; $66z$; $189a$; $240b$; $230c$ (коэффициенттер — кестеде).

№ 94

Көбейтудің үлестірімділік қасиетін пайдаланып, есепті өрнек құрастырып шығарыңдар. 1) Мәуленнің қояндарының аяқтары бастарынан 42-ге көп. Мәуленде неше қоян бар? 2) Аулада күшіктер ойнап жүр. Олардың құлақтары аяқтарынан 12-ге кем. Аулада неше күшік ойнап жүр?

Қалай ойлаймыз. Жануар саны $x$ болсын. Аяқтар мен бастардың (аяқтар мен құлақтардың) санын $x$ арқылы жазып, айырманы ықшамда.

Шешуі.

1. Қоянның 4 аяғы және 1 басы бар. Аяқ саны $4x$, бас саны $x$. Айырма: $4x - x = (4 - 1)x = 3x$. Демек, $3x = 42$, $x = 42 : 3 = 14$.

Тексеру: 14 қоянның 56 аяғы және 14 басы бар; $56 - 14 = 42$. Дұрыс.

2. Күшіктің 4 аяғы және 2 құлағы бар. Аяқ саны $4x$, құлақ саны $2x$. Айырма: $4x - 2x = 2x$. Демек, $2x = 12$, $x = 6$.

Тексеру: 24 аяқ, 12 құлақ; $24 - 12 = 12$. Дұрыс.

Жауабы: 1) 14 қоян; 2) 6 күшік.

B деңгейі

№ 95

Өрнектерді ықшамдаңдар: 1) $2x + 3x$; 2) $7x - 4x$; 3) $5y + 9y$; 4) $6y - y$; 5) $x + 4x + 5x$; 6) $8x + 3x - x$; 7) $10x + 7x - 8x$; 8) $9y + 2y - 4y$.

Қалай ойлаймыз. Әріпті жақша сыртына шығарып, коэффициенттерді есепте. Әріптің алдында сан жоқ болса — коэффициент 1.

Шешуі.

1. $(2 + 3)x = 5x$;
2. $(7 - 4)x = 3x$;
3. $(5 + 9)y = 14y$;
4. $(6 - 1)y = 5y$;
5. $(1 + 4 + 5)x = 10x$;
6. $(8 + 3 - 1)x = 10x$;
7. $(10 + 7 - 8)x = 9x$;
8. $(9 + 2 - 4)y = 7y$.

Жауабы: 1) $5x$; 2) $3x$; 3) $14y$; 4) $5y$; 5) $10x$; 6) $10x$; 7) $9x$; 8) $7y$.

№ 96

Ортақ көбейткішті жақша сыртына шығарыңдар: 1) $7a + 7 \cdot 3$; 2) $16 \cdot 5 + 5b$; 3) $14c - 14 \cdot 3$; 4) $8d - 8 \cdot 5$; 5) $6a + 6 \cdot 3 + 6b$; 6) $9a + 9b - 9c$.

Қалай ойлаймыз. Әр қосылғышта бар көбейткішті тап. Оны алдыға жаз, ал жақшаның ішіне әр қосылғыштан қалғанын қал.

Шешуі.

1. $7a + 7 \cdot 3 = 7(a + 3)$;
2. $16 \cdot 5 + 5b = 5(16 + b)$;
3. $14c - 14 \cdot 3 = 14(c - 3)$;
4. $8d - 8 \cdot 5 = 8(d - 5)$;
5. $6a + 6 \cdot 3 + 6b = 6(a + 3 + b)$;
6. $9a + 9b - 9c = 9(a + b - c)$.

Өзіңді тексер — жақшаны кері ашып көр: $7(a + 3) = 7a + 21$, ал $7 \cdot 3 = 21$. Сәйкес келеді.

Жауабы: 1) $7(a + 3)$; 2) $5(16 + b)$; 3) $14(c - 3)$; 4) $8(d - 5)$; 5) $6(a + 3 + b)$; 6) $9(a + b - c)$.

№ 97

1) Есептің шығару өрнегін құрастырып, мәнін табыңдар. Раушан гүлінен 3 гүлшоғы және қалампыр гүлінен 5 гүлшоғы дайындалды. Ондағы әрбір гүлшоғында $a$ гүлден бар. Раушан гүлінен дайындалған барлық гүлшоқтарында неше гүл бар? Қалампыр гүлінен дайындалған барлық гүлшоқтарында неше гүл бар? Раушан гүлінен және қалампыр гүлінен дайындалған барлық гүлшоқтарында неше гүл бар? Мұндағы $a = 7$. 2) $90 \cdot t - 50 \cdot t$ немесе $(90 - 50) \cdot t$ өрнектері шешуі болатын есеп шартын құрастырыңдар. Мұндағы 50 км/сағ — автобустың жылдамдығы.

Қалай ойлаймыз. 1-тармақта «гүлшоғы» «икс» сияқты: 3 гүлшоғы мен 5 гүлшоғы — 8 гүлшоғы. 2-тармақта кім жылдамырақ жүретінін және бір сағатта қанша алға шығып кететінін ойла.

Шешуі.

• Раушан гүлі: $3a$ гүл; $a = 7$ болғанда: 21.
• Қалампыр гүлі: $5a$ гүл; $a = 7$ болғанда: 35.
• Барлығы: $3a + 5a = 8a$; $a = 7$ болғанда: 56.

Тексеру: $21 + 35 = 56$. Дұрыс.

2. Есеп үлгісі: «Алматыдан бір мезгілде бір бағытта жылдамдығы 90 км/сағ жеңіл көлік және жылдамдығы 50 км/сағ автобус шықты. $t$ сағаттан кейін жеңіл көлік автобустан неше километр алға шығады?»

Жеңіл көлік $90t$ км жүреді, автобус $50t$ км. Олардың арақашықтығы $90t - 50t = (90 - 50)t = 40t$ км. Мысалы, $t = 3$ болғанда ол 120 км.

Жауабы: 1) $3a$, $5a$, $8a$; $a = 7$ болғанда: 21, 35 және 56 гүл. 2) Есеп, мысалы, жоғарыдағыдай; өрнек $40t$ болып ықшамдалады.

C деңгейі

№ 98

Өрнекті ықшамдап, мәнін табыңдар: 1) $7a + 15a$, мұндағы $a = 3$; 2) $23b + 16b$, мұндағы $b = 8$; 3) $44x - 18x$, мұндағы $x = 5$; 4) $14y + 33y - 45y$, мұндағы $y = 17$; 5) $52m - 25m + 45m$, мұндағы $m = 9$; 6) $18n + 34n - 22n$, мұндағы $n = 6$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен ықшамда — сонда көбейтуді екі-үш рет емес, бір-ақ рет орындайсың.

Шешуі.

Жауабы: 1) 66; 2) 312; 3) 130; 4) 34; 5) 648; 6) 180.

№ 99

4 үлкен қорапта және 6 кішкене қорапта барлығы 2 кг 100 г кәмпит бар. Кіші қораптағы кәмпит үлкен қораптағыдан 2 есе жеңіл. Кіші қораптағы кәмпит неше грамм?

Қалай ойлаймыз. Бәрін грамға айналдыр. Кіші қорапты $x$ деп алған ыңғайлы: сонда үлкені — $2x$.

Шешуі.

1. $2 \text{ кг } 100 \text{ г} = 2100$ г.
2. Кіші қорапта $x$ г, үлкенінде $2x$ г.
3. Барлығы: $4 \cdot 2x + 6x = 8x + 6x = 14x$.
4. $14x = 2100$, $x = 2100 : 14 = 150$ г.

Тексеру: үлкен қорап 300 г; $4 \cdot 300 + 6 \cdot 150 = 1200 + 900 = 2100$. Дұрыс.

Жауабы: 150 г.

№ 100

1) 1.25-суретті пайдаланып, есептің шартын құрастырыңдар; 2) есептің шарты бойынша әріпті өрнек құрастырыңдар; 3) мұндағы $a = 188$ деп алып, әріпті өрнектің мәнін табыңдар. (1.25-суретте: Қызылорда — Түркістан — Шымкент жолы; Қызылордадан Түркістанға дейін $a$ км + 90 км, Түркістаннан Шымкентке дейін $a$ км.)

Қалай ойлаймыз. Бүкіл жол — қатарынан екі бөлік. Оларды қосып, әріптерді бір жерге жина.

Шешуі.

1. Есеп: «Түркістаннан Шымкентке дейін $a$ км, ал Қызылордадан Түркістанға дейін 90 км артық. Қызылордадан Түркістан арқылы Шымкентке дейінгі бүкіл жолдың ұзындығы қанша?»
2. Өрнек: $(a + 90) + a = 2a + 90$.
3. $a = 188$ болғанда: $2 \cdot 188 + 90 = 376 + 90 = 466$ км.

Жауабы: $2a + 90$; 466 км.

🌟 Түркістан — Қазақстандағы ең көне қалалардың бірі. Онда Қожа Ахмет Яссауидің әйгілі кесенесі тұр.

№ 101

Пакетте 7 кг жарма бар. 200 г кіртасын пайдаланып, табақшалы таразымен үш рет өлшеп, 2 кг жарманы қалай бөліп алуға болады?

Қалай ойлаймыз. Бұл — тапқырлыққа есеп. Табақшалы таразыда жарманы тең екіге бөлуге болады (таразы тепе-теңдікте), ал кіртасымен — бір бөлігі екіншісінен 200 г артық болатындай бөлуге болады.

Шешуі.

1. Кіртасы бір табақшада, бүкіл жарманы тепе-теңдік болғанша бөлеміз: $x + x + 200 = 7000$, $x = 3400$. Үйінділер 3400 г және 3600 г.
2. 3600 г-ды кіртасыз тең бөлеміз: әрқайсысы 1800 г.
3. Бір табақшадағы 1800 г жарма мен кіртас екінші табақшадағы $1800 + 200 = 2000$ г жарманы теңестіреді.

Жауабы: 3 өлшеу: 7 кг → 3400 г және 3600 г; 3600 г → 1800 г және 1800 г; 1800 г + кіртас 2 кг жарманы теңестіреді.

№ 102

Тізбеде қызыл, көк, жасыл және сары шарлар бар. Ондағы көк шарлар қызыл шарлардан 2 есе артық, ал жасыл шарлар көк шарлардан 3 есе артық. Сары шарлар жасыл шарлардан 10 шарға кем. Егер тізбеде $x$ қызыл шар болса, онда барлығы неше шар бар? Мұндағы $x = 7$.

Қалай ойлаймыз. Әр түсті $x$ арқылы тізбектей өрнектеп, содан кейін барлық «иксті» қос.

Шешуі.

1. Қызыл шар: $x$.
2. Көк шар: $2x$.
3. Жасыл шар: $3 \cdot 2x = 6x$.
4. Сары шар: $6x - 10$.
5. Барлығы: $x + 2x + 6x + (6x - 10) = 15x - 10$.
6. $x = 7$ болғанда: $15 \cdot 7 - 10 = 105 - 10 = 95$.

Тексеру: $7 + 14 + 42 + 32 = 95$. Дұрыс.

Жауабы: $15x - 10$; 95 шар.

№ 103

Ертедегі есеп. Шаруа ат сатып алу үшін 15 ц қарабидай сатса, 80 рубль жетпейді, ал 20 ц қарабидай сатса, 110 рубль артық қалады. Шаруа сатып алатын ат неше рубль?

Қалай ойлаймыз. Екі жағдайды салыстыр. Қарабидайдағы айырма — 5 ц, ал ақшадағы айырма — «80 жетпейді» күйінен «110 артық қалады» күйіне дейін.

Шешуі.

1. Артық $20 - 15 = 5$ ц қарабидай $80 + 110 = 190$ рубль береді.
2. Демек, 1 ц-нің бағасы $190 : 5 = 38$ рубль.
3. 15 ц — $15 \cdot 38 = 570$ рубль. 80 рубль жетпейді, демек, ат $570 + 80 = 650$ рубль тұрады.

Тексеру: 20 ц — $20 \cdot 38 = 760$ рубль; $760 - 650 = 110$. Дұрыс.

Жауабы: 650 рубль.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Мұнда балалар жиі азайтып жібереді: $110 - 80 = 30$. Баламен бірге сан сәулесін сызыңыз: аттың бағасы — бір нүкте, 15 ц — одан 80-ге солға, 20 ц — 110-ға оңға. Олардың арақашықтығы — $80 + 110$.

Жадынама

• Көбейтіндідегі әріптерді алфавиттік ретпен жазамыз: $3n \cdot 4k \cdot 6m = 72kmn$.
• Сан мен әріпті жапсырмаймыз: $20 + a \ne 20a$.
• Әріптің алдында сан жоқ болса — коэффициент 1.
• Көбейткішті жақша сыртына шығарсаң — жақшаны кері ашып тексер.

Шағын тест