2.1. Натурал санның бөлгіштері. Натурал санның еселіктері

Математика, 5 сынып. Оқулық: Алдамұратова Т.А. және т.б. (Атамұра, 2017). II тарау: Натурал сандардың бөлінгіштігі. 66–71-беттер.

Нені үйренесің

• Санның барлық бөлгіштерін табуды және бірде-біреуін жоғалтпауды.
• Бөлгіштерді жұптап іздеуді — жылдам әрі қатесіз.
• Еселіктерді жазуды және олардың неге соңы жоқ екенін түсінуді.
• «Бөлгіш» және «еселік» сөздерін шатастырмауды.
• Бірден екі-үш санға бөлінетін ең кіші санды табуды.

Ой қозғау

Ойша жауап бер, содан кейін жауабын ашып қара.

• Жаттықтырушы 15 теннис шарикін бірнеше спортшыға тең бөліп беруі керек. Неше спортшыға бөле алады: 2, 3, 4 әлде 5-ке? 3 және 5 келеді: $15 : 3 = 5$, $15 : 5 = 3$. Ал $15 : 2$ және $15 : 4$ қалдық береді.
• Вафли әр қорапшаға 14 кг-нан салынған. Қорапшаларды ашпай, массасы 50 кг-нан кем 20, 28, 36 немесе 42 кг-ды алуға бола ма? 28 және 42 кг алуға болады — бұл 2 және 3 қорапша. Толық қорапшалармен тек 14, 28, 42, 56… кг шығады.

💡 Бірінші есепте біз 15 қалдықсыз бөлінетін сандарды іздедік. Екіншісінде — 14-ке бөлінетін сандарды. Міне, сабақтың екі кейіпкері: бөлгіштер мен еселіктер.

Тақырыпты талдаймыз

Бөлгіш — «қалдықсыз бөледі»

Сенде 12 кәмпит бар. Оларды 4 досқа тең бөліп беруге болады: $12 : 4 = 3$, ештеңе қалмады. Ал 5 досқа — болмайды: $12 : 5 = 2$, тағы 2 кәмпит артық қалады.

Сондықтан 4 — 12 санының бөлгіші, ал 5 — емес. Натурал $a$ санының бөлгіші деп $a$ саны қалдықсыз бөлінетін натурал санды атайды.

📌 Бірлік — кез келген санның бөлгіші. Ал санның өзі — оның ең үлкен бөлгіші.

Барлық бөлгіштерді жиын жақшасына жазады: Б$(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}$. Мұндағы Б әрпі «бөлгіш» сөзінен шыққан.

Бөлгіштер жұптасып жүреді

$24 : 3 = 8$ болса, онда $24 : 8 = 3$ да болады. Бір бөлгішті тапсаң, екіншісін сыйлыққа аласың! Әр жұптың көбейтіндісі санның өзіне тең: $3 \cdot 8 = 24$.

24 санының мынадай жұптары бар: $1 \cdot 24$, $2 \cdot 12$, $3 \cdot 8$, $4 \cdot 6$. 24 саны 5-ке бөлінбейді. Келесі үміткер 6 бұрын кездесіп қойды — жұптар «түйісті», әрі қарай іздеудің қажеті жоқ.

Өзің байқап көр: 24 санының барлық бөлгіштерін тап.

Кейде жұптағы екі сан бірдей болады: 36 санында $6 \cdot 6$ жұбы бар. Онда 6-ны бір-ақ рет жазамыз.

⚠️ Жиі кететін қате. Бөлгіштерді «көзбен» жазады: 1, 2, 3, 4, 6 — да 8, 12, 24-ті ұмытып кетеді. Жұптап іздеп көр! Әдетте бөлгіштер саны жұп болады. Тақ болуы тек $6 \cdot 6$ сияқты жұп болғанда ғана мүмкін.

Еселік — «көбейттік»

$a$ санының еселігі деп $a$ санына бөлінетін санды айтады. Еселіктерді табу оңай: $a$ санын 1, 2, 3, 4-ке… көбейтеміз.

Е$(14) = {14, 28, 42, 56, 70, \ldots}$ — бір, екі, үш қорапша вафлидің массасы сияқты.

Ең кіші еселік — санның өзі. Ал ең үлкені жоқ: көбейтуді шексіз жалғастыруға болады.

Бір жазба — екі көзқарас

$63 : 7 = 9$ теңдігіне қара. Бір жағынан, 7 — 63 санының бөлгіші. Екінші жағынан, 63 — 7 санының еселігі. Бұл бір нәрсенің өзі, тек екі басынан қараймыз.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Бала сөздерді шатастырса, сұраңыз: «Қайсысы үлкен — 7 ме, әлде 63 пе?» Бөлгіш санның өзінен үлкен болмайды, ал еселік кіші болмайды. Баланың бәрін толық айтып шығуын сұраңыз: «63 саны 7-нің еселігі, ал 7 саны 63-тің бөлгіші».

Ортақ еселік

Кейде бірден 4-ке де, 6-ға да бөлінетін сан керек болады. 4-тің еселіктері: 4, 8, 12, 16, 20, 24… 6-ның еселіктері: 6, 12, 18, 24… Ортақтары — 12, 24 және одан әрі. Олардың ішіндегі ең кішісі — 12.

💡 Қулық: үлкен санның еселіктерін жазып, олардың кішісіне бөлінетін-бөлінбейтінін тексер. Бұл жылдамырақ.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Қандай санды берілген санның бөлгіші деп атайды? Берілген сан қалдықсыз бөлінетін натурал санды. Мысалы, 5 — 35 санының бөлгіші: $35 : 5 = 7$.
• Бөлгіштер жұбын қалай табамыз? Санды бір бөлгішке бөл — бөлінді екінші бөлгіш болады. $40 : 5 = 8$, демек, 5 және 8 — 40 санының бөлгіштер жұбы: $5 \cdot 8 = 40$.
• Қандай санды берілген санның еселігі деп атайды? Берілген санға қалдықсыз бөлінетін натурал санды. 36 саны 9-ға еселік: $36 : 9 = 4$.

Жаттығуларды шығарамыз

Ауызша есептеу

№ 167

1) 35, 29, 28 сандарының барлық бөлгіштерін атаңдар; 2) 4, 8, 13 сандарының әрқайсысының алғашқы үш еселігін атаңдар.

Қалай ойлаймыз. Бөлгіштерді жұптап іздейміз. Еселіктерді 1, 2, 3-ке көбейтеміз.

Шешуі.

1. Бөлгіштер:

• 35: $1 \cdot 35$, $5 \cdot 7$ → Б$(35) = {1, 5, 7, 35}$;
• 29: тек 1-ге және 29-ға бөлінеді → Б$(29) = {1, 29}$;
• 28: $1 \cdot 28$, $2 \cdot 14$, $4 \cdot 7$ → Б$(28) = {1, 2, 4, 7, 14, 28}$.

2. Еселіктер:

• 4: 4, 8, 12;
• 8: 8, 16, 24;
• 13: 13, 26, 39.

Жауабы: 1) Б$(35) = {1, 5, 7, 35}$, Б$(29) = {1, 29}$, Б$(28) = {1, 2, 4, 7, 14, 28}$; 2) мысалы, 4, 8, 12; 8, 16, 24; 13, 26, 39.

A деңгейі

№ 168

1) а) 9; ә) 14; б) 45; в) 75 сандарының бөлгіштерін жазыңдар. 2) а) 8; ә) 11; б) 15; в) 27 сандарының алғашқы төрт еселігін жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Бөлгіштер үшін — жұптар. Еселіктер үшін — 1, 2, 3, 4-ке көбейтеміз.

Шешуі.

1. Бөлгіштер:

• а) 9: $1 \cdot 9$, $3 \cdot 3$ → 1, 3, 9 (үшті бір-ақ рет жазамыз);
• ә) 14: $1 \cdot 14$, $2 \cdot 7$ → 1, 2, 7, 14;
• б) 45: $1 \cdot 45$, $3 \cdot 15$, $5 \cdot 9$ → 1, 3, 5, 9, 15, 45;
• в) 75: $1 \cdot 75$, $3 \cdot 25$, $5 \cdot 15$ → 1, 3, 5, 15, 25, 75.

2. Еселіктер:

• а) 8, 16, 24, 32;
• ә) 11, 22, 33, 44;
• б) 15, 30, 45, 60;
• в) 27, 54, 81, 108.

Жауабы: 1) а) ${1, 3, 9}$; ә) ${1, 2, 7, 14}$; б) ${1, 3, 5, 9, 15, 45}$; в) ${1, 3, 5, 15, 25, 75}$. 2) а) 8, 16, 24, 32; ә) 11, 22, 33, 44; б) 15, 30, 45, 60; в) 27, 54, 81, 108.

№ 169

1) 5, 9, 15, 21, 24, 50 және 60 сандарынан 120-ның бөлгіштерін теріп жазыңдар. 2) 45, 50, 70, 75, 90, 100 және 125 сандарынан 25-тің еселіктерін теріп жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. 120-ны әр санға бөліп, қалдығына қараймыз. 25-тің еселіктерін тану оңай: олар 00, 25, 50 немесе 75-пен аяқталады.

Шешуі.

1. $120 : 5 = 24$ ✓; $120 : 9$ — қалдығы 3 ✗; $120 : 15 = 8$ ✓; $120 : 21$ — қалдығы 15 ✗; $120 : 24 = 5$ ✓; $120 : 50$ — қалдығы 20 ✗; $120 : 60 = 2$ ✓.
2. 25-тің еселіктері: 25, 50, 75, 100, 125… Тізімнен 50, 75, 100, 125 келеді. Ал 45, 70, 90 сандары 25-ке бөлінбейді.

Жауабы: 1) 5, 15, 24, 60; 2) 50, 75, 100, 125.

№ 170

Бірі екіншісіне бөлгіш болатын сандарды теріп жазыңдар: 5 және 45; 8 және 34; 17 және 51; 12 және 60; 9 және 71; 16 және 80; 4 және 64; 23 және 115.

Қалай ойлаймыз. Екінші санды біріншісіне бөлеміз. Қалдық жоқ болса — жұп келеді.

Шешуі.

1. $45 : 5 = 9$ ✓;
2. $34 : 8 = 4$ (қалд. 2) ✗;
3. $51 : 17 = 3$ ✓;
4. $60 : 12 = 5$ ✓;
5. $71 : 9 = 7$ (қалд. 8) ✗;
6. $80 : 16 = 5$ ✓;
7. $64 : 4 = 16$ ✓;
8. $115 : 23 = 5$ ✓.

Жауабы: 5 және 45; 17 және 51; 12 және 60; 16 және 80; 4 және 64; 23 және 115.

№ 171

Сатушы 45 түп қалампыр гүлін әкелді. Ол әрбір гүлшоғындағы гүлдер санын бірдей етіп, неше тәсілмен гүлшоқтарын даярлай алады? Әр гүлшоғында неше гүлден болуы мүмкін? Кестені 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 15 гүлшоғы үшін толтырыңдар.

Қалай ойлаймыз. Тең бөліп салу тек гүлшоқ саны 45 санының бөлгіші болғанда ғана шығады. Сонда гүлшоғында $45 : (\text{гүлшоқ саны})$ қалампыр болады.

Шешуі. Б$(45) = {1, 3, 5, 9, 15, 45}$.

Сызықша — тең бөліп салу мүмкін емес: 45 саны бұл санға бөлінбейді.

Жауабы: кестедегі сандардан 5 тәсіл келеді: 1, 3, 5, 9 немесе 15 гүлшоғы; бір гүлшоғында 45, 15, 9, 5 немесе 3 қалампыр болады. (45 «гүлшоғын» 1 гүлден жасауға да болады, бірақ ол енді гүлшоқ емес.)

№ 172

Әрбір қорапшаға 12 кг кәмпит салынған. Қорапшаларды ашпай: 1) 36 кг; 2) 45 кг; 3) 60 кг кәмпит даярлауға бола ма?

Қалай ойлаймыз. Толық қорапшалармен тек 12-ге еселік сан шығады.

Шешуі.

1. $36 : 12 = 3$ — иә, 3 қорапша.
2. $45 : 12 = 3$ (қалд. 9) — жоқ.
3. $60 : 12 = 5$ — иә, 5 қорапша.

Жауабы: 1) иә; 2) жоқ; 3) иә.

№ 173

65 түп ағаш көшеттерін әр қатардағы көшеттер санын бірдей етіп, неше қатарға отырғызуға болады? A) 4 қатарға; B) 13 қатарға; C) 9 қатарға; D) 5 қатарға.

Қалай ойлаймыз. Қатар саны 65 санының бөлгіші болуы керек.

Шешуі. Б$(65) = {1, 5, 13, 65}$. Нұсқалардан 13 және 5 келеді: $65 : 13 = 5$, $65 : 5 = 13$. 65 саны 4-ке де, 9-ға да бөлінбейді.

Жауабы: B (13 қатар) және D (5 қатар).

№ 174

Бала себетті толтырып, қояндарға сәбіз әкелді. Ол себеттегі сәбіздерді 4 қоянға, 6 қоянға немесе 8 қоянға тең бөліп бере алады. Бала қояндарға кем дегенде неше сәбіз әкелді?

Қалай ойлаймыз. Сәбіз саны 4-ке де, 6-ға да, 8-ге де бөлінеді. Ең кіші осындай санды іздейміз.

Шешуі. Ең үлкен сан 8-дің еселіктерін жазып, тексереміз:

• 8: 6-ға бөлінбейді;
• 16: 6-ға бөлінбейді;
• 24: $24 : 4 = 6$, $24 : 6 = 4$, $24 : 8 = 3$ — келеді!

Жауабы: 24 сәбіз.

B деңгейі

№ 175

3, 7, 10, 15, 18, 30 және 84 сандарынан: 1) 21-дің бөлгіштерін; 2) 90-ның бөлгіштерін; 3) 2-нің еселіктерін; 4) 5-тің еселіктерін теріп жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. 2-нің еселіктері — жұп сандар. 5-тің еселіктері 0 немесе 5-пен аяқталады. Бөлгіштер үшін жай ғана бөлеміз.

Шешуі.

1. Б$(21) = {1, 3, 7, 21}$ → тізімнен 3 және 7.
2. $90 : 3 = 30$, $90 : 10 = 9$, $90 : 15 = 6$, $90 : 18 = 5$, $90 : 30 = 3$. 90 саны 7-ге де, 84-ке де бөлінбейді.
3. Жұп сандар: 10, 18, 30, 84.
4. 0 немесе 5-пен аяқталатындар: 10, 15, 30.

Жауабы: 1) 3, 7; 2) 3, 10, 15, 18, 30; 3) 10, 18, 30, 84; 4) 10, 15, 30.

№ 176

1) 2 және 3 сандарына; 2) 6 және 8 сандарына; 3) 9 және 12 сандарына; 4) 15 және 21 сандарына еселік болатын ең кіші натурал санды жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Үлкен санның еселіктерін, кіші санға бөлінетін еселік кездескенше, тізіп шығамыз.

Шешуі.

1. 3-тің еселіктері: 3, 6 — 2-ге бөлінеді. → 6.
2. 8-дің еселіктері: 8, 16, 24 — $24 : 6 = 4$. → 24.
3. 12-нің еселіктері: 12, 24, 36 — $36 : 9 = 4$. → 36.
4. 21-дің еселіктері: 21, 42, 63, 84, 105 — $105 : 15 = 7$. → 105.

Жауабы: 1) 6; 2) 24; 3) 36; 4) 105.

№ 177

1) 45-ке бөлгіш және 5-ке еселік; 2) 92-ге бөлгіш және 23-ке еселік; 3) 120-ға бөлгіш және 30-ға еселік сандарды жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Бөлгіштерді жазып, екінші санға бөлінетіндерін қалдырамыз.

Шешуі.

1. Б$(45) = {1, 3, 5, 9, 15, 45}$. 5-ке бөлінетіндер: 5, 15, 45.
2. Б$(92) = {1, 2, 4, 23, 46, 92}$. 23-ке бөлінетіндер: 23, 46, 92.
3. 120-ға дейінгі 30-дың еселіктері: 30, 60, 90, 120. 120-ны бөлетіндер: 30, 60, 120 (ал $120 : 90$ — қалдықпен).

Жауабы: 1) 5, 15 немесе 45; 2) 23, 46 немесе 92; 3) 30, 60 немесе 120. Әр тармақтан бір санды атау жеткілікті.

№ 178

Натурал санның бөлгіштер жұбының қасиетін пайдаланып, 1, □, 3, 4, 6, □, 12, □, 24, □ сандары қандай санның бөлгіштері екенін табыңдар; □ орнына жазылатын тиісті сандарды тауып, жазуды толықтырыңдар.

Қалай ойлаймыз. Бөлгіштер жұптары «шеттен ортаға қарай» тұрады: бірінші — соңғымен, екінші — соңғының алдындағымен, т.с.с. Әр жұптың көбейтіндісі санның өзіне тең.

Шешуі.

1. Орын саны 10, жұптар: 1-ші мен 10-шы, 2-ші мен 9-шы, 3-ші мен 8-ші, 4-ші мен 7-ші, 5-ші мен 6-шы.
2. 4-орында 4, 7-орында 12 тұр. Бұл — жұп, сондықтан сан $4 \cdot 12 = 48$.
3. Төртбұрыштар: 2-орын — $48 : 24 = 2$; 6-орын (6-ның жұбы) — $48 : 6 = 8$; 8-орын (3-тің жұбы) — $48 : 3 = 16$; 10-орын — санның өзі, 48.
4. Тексеру: Б$(48) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48}$ — дәл 10 бөлгіш. Басқа нұсқа жоқ: 4 және 12 жұбы санды бір мәнді анықтайды.

Жауабы: 48 саны; төртбұрыштарда 2, 8, 16, 48.

№ 179

Шарлар тізбесін дайындау үшін 30 қызыл шар, 18 көк шар және 12 сары шар сатып алынды. Шарлар тізбелеріндегі әр түсті шарлар санын бірдей етіп, неше тізбе дайындауға болады? Әрбір тізбеде неше қызыл шар, неше көк шар, неше сары шар бар? Кестені толтырыңдар.

Қалай ойлаймыз. Тізбе саны үш санды да — 30-ды, 18-ді және 12-ні — бөлуі керек.

Шешуі. Б$(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}$. Олардың ішінде 18-ді де, 30-ды да тек 1, 2, 3, 6 бөледі (4 және 12 саны 18-ді бөлмейді).

Жауабы: 1, 2, 3 немесе 6 тізбе дайындауға болады; шарлар саны — кестеде.

№ 180

6 пакетке пішіндері бірдей сақиналар салынған. Осы пакеттердің біреуіндегі сақиналардың әрқайсысы 33 грамнан, ал қалған пакеттердегі сақиналардың әрқайсысы 30 грамнан. Шкаласы бар таразыда бір рет қана өлшеп, 33 грамдық сақиналар салынған пакетті қалай табуға болады?

Қалай ойлаймыз. Бұл — тапқырлыққа есеп! Пакеттерден әртүрлі санда сақина ал. Сонда «артық» салмақтың өзі пакет нөмірін айтып береді.

Шешуі.

1. Пакеттерді 1-ден 6-ға дейін нөмірлейміз. Олардан 1, 2, 3, 4, 5, 6 сақинадан аламыз — барлығы 21 сақина.
2. Барлық сақина 30 г болса, салмақ $21 \cdot 30 = 630$ г болар еді.
3. Әр ауыр сақина 3 г қосады. Артық салмақты 3-ке бөліп, пакет нөмірін аламыз. Мысалы, 642 г: $642 - 630 = 12$, $12 : 3 = 4$ — бұл 4-пакет.

Жауабы: пакеттерден 1, 2, 3, 4, 5, 6 сақинадан алып, өлшеу, нәтижеден 630 г алу және айырманы 3-ке бөлу керек — бұл пакеттің нөмірі.

№ 181

Әуелде аялдамаға автобус пен троллейбус қатар тоқтады. Автобус аялдамаға 1 сағ 30 мин уақыт өткен сайын бір келіп тұрса, троллейбус 1 сағ уақыт өткенде қайтып келіп тұрады. Автобус пен троллейбус аялдамада қанша уақыттан соң бір-бірімен кездесіп отырады?

Қалай ойлаймыз. 90 минутқа да, 60 минутқа да еселік уақыт керек. Ең кішісін іздейміз.

Шешуі.

1. $1$ сағ $30$ мин $= 90$ мин, $1$ сағ $= 60$ мин.
2. 90-ның еселіктері: 90, 180… $90 : 60$ — қалдықпен, ал $180 : 60 = 3$ — келеді.
3. $180$ мин $= 3$ сағ.

Жауабы: 3 сағаттан кейін.

№ 182

Натурал санның бөлгіштер жұбының қасиетін пайдаланып, теңдеудің натурал сан түбірін «ойлап» табыңдар: 1) $x(x - 5) = 24$; 2) $x(x + 7) = 78$; 3) $x(x + 8) = 105$.

Қалай ойлаймыз. Сол жақта — екі санның көбейтіндісі. Оң жақтағы санның айырмасы 5, 7 немесе 8 болатын бөлгіштер жұбын іздейміз.

Шешуі.

1. 24-тің жұптары: $1 \cdot 24$, $2 \cdot 12$, $3 \cdot 8$, $4 \cdot 6$. Айырмасы 5 — 3 және 8 жұбында. Мұндағы $x$ саны $x - 5$ санынан үлкен, сондықтан $x = 8$. Тексеру: $8 \cdot 3 = 24$.
2. 78-дің жұптары: $1 \cdot 78$, $2 \cdot 39$, $3 \cdot 26$, $6 \cdot 13$. Айырмасы 7 — 6 және 13 жұбында. Мұнда $x$ кіші сан: $x = 6$. Тексеру: $6 \cdot 13 = 78$.
3. 105-тің жұптары: $1 \cdot 105$, $3 \cdot 35$, $5 \cdot 21$, $7 \cdot 15$. Айырмасы 8 — 7 және 15 жұбында: $x = 7$. Тексеру: $7 \cdot 15 = 105$.

Жауабы: 1) 8; 2) 6; 3) 7.

C деңгейі

№ 183

1) $a$ санының бөлгіштері: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, $a$; 2) $b$ санының бөлгіштері: 1, 3, 5, 15, 25, $b$; 3) $c$ санының бөлгіштері: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, $c$; 4) $d$ санының бөлгіштері: 1, 2, 4, 8, 11, 22, 44, $d$. Мұндағы $a$, $b$, $c$ және $d$ сандары қандай сандар?

Қалай ойлаймыз. Соңғы бөлгіш — санның өзі. Екінші бөлгіш соңғының алдындағымен жұп құрайды. Демек, сан = екінші · соңғының алдындағы.

Шешуі.

1. $a = 2 \cdot 15 = 30$. Тексеру: $3 \cdot 10 = 30$, $5 \cdot 6 = 30$.
2. $b = 3 \cdot 25 = 75$. Тексеру: $5 \cdot 15 = 75$.
3. $c = 2 \cdot 21 = 42$. Тексеру: $3 \cdot 14 = 42$, $6 \cdot 7 = 42$.
4. $d = 2 \cdot 44 = 88$. Тексеру: $4 \cdot 22 = 88$, $8 \cdot 11 = 88$.

Жауабы: $a = 30$, $b = 75$, $c = 42$, $d = 88$.

№ 184

1) $x$ санының еселіктері: $x$, 22, 33, 44, …; 2) $y$ санының еселіктері: $y$, 18, 27, 36, …; 3) $m$ санының еселіктері: $m$, 26, 39, 52, …; 4) $n$ санының еселіктері: $n$, 30, 45, 60, … . Мұндағы $x$, $y$, $m$ және $n$ қандай сандар?

Қалай ойлаймыз. Көрші еселіктердің айырмасы санның өзіне тең. Ал бірінші еселік — санның өзі.

Шешуі.

1. $33 - 22 = 11$, $x = 11$.
2. $27 - 18 = 9$, $y = 9$.
3. $39 - 26 = 13$, $m = 13$.
4. $45 - 30 = 15$, $n = 15$.

Жауабы: $x = 11$, $y = 9$, $m = 13$, $n = 15$.

№ 185

Жол жиегіне бір-бірінен 60 м қашықтықта бағандар қағылған. Осы бағандардың арақашықтығын 10 метрге кемітіп, оларды жаңа бағандармен ауыстыру керек. Бірінші бағаннан неше метр қашықтықта алғашқы баған орнына жаңа баған түседі? A. 250 м; B. 280 м; C. 300 м; D. 360 м.

Қалай ойлаймыз. Мұндай қашықтық 60-қа да, 50-ге де еселік болады. Ең кішісін іздейміз.

Шешуі.

1. Жаңа арақашықтық: $60 - 10 = 50$ м.
2. 60-тың еселіктері: 60, 120, 180, 240, 300… 50-ге бөлінетін алғашқысы: $300 : 50 = 6$.
3. Қалған нұсқалар келмейді: 250 саны 60-қа бөлінбейді, 280 — 60-қа да, 50-ге де бөлінбейді, 360 саны 50-ге бөлінбейді.

Жауабы: C, 300 м.

№ 186

Данияр қағаздан ұзындығы 21 см, ені 15 см тік төртбұрышты қиып алып, оны қалдық қалдырмай бірдей квадраттарға бөлді. Әр квадраттың қабырғасы неше сантиметр? Неше квадратқа бөлінді?

Қалай ойлаймыз. Квадраттың қабырғасы 21-ге де, 15-ке де бүтін рет сыюы керек. Демек, бұл — 21 мен 15-тің ортақ бөлгіші.

Шешуі.

1. Б$(21) = {1, 3, 7, 21}$, Б$(15) = {1, 3, 5, 15}$. Ортақтары: 1 және 3. Ірі квадраттарды аламыз — қабырғасы 3 см.
2. Ұзындығы бойымен: $21 : 3 = 7$ квадрат, ені бойымен: $15 : 3 = 5$.
3. Барлығы $7 \cdot 5 = 35$ квадрат.

Ауданмен тексеру: $21 \cdot 15 = 315$ см², квадраттың ауданы $3 \cdot 3 = 9$ см², $315 : 9 = 35$.

Жауабы: қабырғасы 3 см, 35 квадратқа бөлінді. (Қабырғасы 1 см квадраттарға да қиюға болады — онда олар 315 болады.)

№ 187

Амалдарды орындаңдар: 1) $(68 : 4 + 13) : 6 + ((85 - 28) : 3 + 72 : (6 \cdot 3) - 11) \cdot 18 - 189$; 2) $85 : 17 \cdot (21 - 45 : (54 : 6)) + 90 : 15 \cdot (56 : 8) - 122$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен ең ішкі жақшалар, содан кейін көбейту мен бөлу, соңында қосу мен азайту.

Шешуі. 1)

• $68 : 4 = 17$; $17 + 13 = 30$; $30 : 6 = 5$;
• $85 - 28 = 57$; $57 : 3 = 19$;
• $6 \cdot 3 = 18$; $72 : 18 = 4$;
• $19 + 4 - 11 = 12$; $12 \cdot 18 = 216$;
• $5 + 216 - 189 = 32$.

• $54 : 6 = 9$; $45 : 9 = 5$; $21 - 5 = 16$;
• $85 : 17 = 5$; $5 \cdot 16 = 80$;
• $90 : 15 = 6$; $56 : 8 = 7$; $6 \cdot 7 = 42$;
• $80 + 42 - 122 = 0$.

Жауабы: 1) 32; 2) 0.

№ 188

Жұлдызшаларды тиісті цифрлармен алмастырыңдар: 1) $6{}5 + {}7{} = 1061$; 2) ${}6{} - 1{}5 = 173$; 3) ${}7{} + 1{}9 = 982$; 4) $6{}5 - {}7{} = 130$.

Қалай ойлаймыз. Оңнан солға қарай, разряд бойынша жүреміз және бірді «ойда» қалдыруды ұмытпаймыз. Азайтуды қосуға айналдырған ыңғайлы: азайғыш = айырма + азайтқыш.

Шешуі.

1. Бірліктер: $5 + ?$ саны 1-мен аяқталады → $? = 6$ ($11$, 1 ойда). Ондықтар: $? + 7 + 1$ саны 6-мен аяқталады → $? = 8$ ($16$, 1 ойда). Жүздіктер: $6 + ? + 1 = 10$ → $? = 3$. Нәтиже: $685 + 376 = 1061$.
2. Қосу ретінде: $173 + 1?5 = ?6?$. Бірліктер: $3 + 5 = 8$. Ондықтар: $7 + ?$ саны 6-мен аяқталады → $? = 9$ ($16$, 1 ойда). Жүздіктер: $1 + 1 + 1 = 3$. Нәтиже: $368 - 195 = 173$.
3. Бірліктер: $? + 9$ саны 2-мен аяқталады → $? = 3$ ($12$, 1 ойда). Ондықтар: $7 + ? + 1$ саны 8-мен аяқталады → $? = 0$. Жүздіктер: $? + 1 = 9$ → $? = 8$. Нәтиже: $873 + 109 = 982$.
4. Қосу ретінде: $130 + ?7? = 6?5$. Бірліктер: $0 + ? = 5$ → $? = 5$. Ондықтар: $3 + 7 = 10$ → 0 жазамыз, 1 ойда. Жүздіктер: $1 + ? + 1 = 6$ → $? = 4$. Нәтиже: $605 - 475 = 130$.

Жауабы: 1) $685 + 376 = 1061$; 2) $368 - 195 = 173$; 3) $873 + 109 = 982$; 4) $605 - 475 = 130$.

Жадынама

• Бөлгіштерді жұптап іздейміз — сонда бірде-бірі жоғалмайды.
• Бөлгіштер саны шектеулі, еселіктер саны шексіз көп.
• Бөлгіш санның өзінен үлкен болмайды, еселік кіші болмайды.
• Ең кіші ортақ еселікті үлкен санның еселіктерінен іздейміз.

Шағын тест