Бөлгіштер жұбын іріктеу тәсілімен теңдеудің натурал сан түбірін табу

Математика, 5 сынып. Оқулық: Алдамұратова Т.А. және т.б. (Атамұра, 2017). II тарау: Натурал сандардың бөлінгіштігі. 72-беттер.

Ең бастысы

Кейде $x$ өзін-өзі көбейтіп, үстіне бірдеңе қосылатын теңдеулер кездеседі, мысалы, $x(x + 6) = 40$. Оны «көшір де бөл» деген әдеттегі тәсілмен шығара алмайсың. Шын тәсілін жоғары сыныптарда оқиды, бірақ түбірі натурал сан болса, оны қазірдің өзінде-ақ ұстап алуға болады.

Қулығы неде

Сол жақта — екі көбейткіштің көбейтіндісі: $x$ және $x + 6$. Оң жақта — 40. Демек, бұл екі көбейткіш — 40 санының бөлгіштер жұбы, және бірі екіншісінен дәл 6-ға үлкен.

40 санының бөлгіштер жұптарын жазамыз: $1 \cdot 40$, $2 \cdot 20$, $4 \cdot 10$, $5 \cdot 8$. Айырмасы 6 болатын жұпты іздейміз — бұл 4 және 10. Кіші көбейткіш — $x$, демек, $x = 4$. Тексеру: $4 \cdot (4 + 6) = 4 \cdot 10 = 40$ ✓.

Бұл қайда керек

Осылай тік төртбұрышқа арналған есептер шығарылады. Ұзындығы енінен 6 см артық, ауданы 40 см² — демек, ені 4 см, ұзындығы 10 см. Қара: дәл 40 тор көз.

Реті әрқашан бір

1. Оң жақтағы санның бөлгіштер жұптарын жаз.
2. Көбейткіштері керекті санға ерекшеленетін жұпты тап.
3. Қайсысы $x$ екенін шеш: жақшада $x + \ldots$ болса, $x$ — кіші сан; ал $x - \ldots$ болса — үлкен сан.
4. Міндетті түрде орнына қойып тексер.

⚠️ Жиі кететін қате. $x(x - 3) = 54$ теңдеуінде 6 және 9 жұбынан кіші санды алып, $x = 6$ деп жазады. Тексеру: $6 \cdot (6 - 3) = 18$, ал 54 емес. Жақшада минус болса, $x$ — үлкен сан: $x = 9$.

🌟 «Алқаптың қабырғаларын ауданы бойынша тап» деген есептерді ежелгі вавилондықтар сонау 4000 жылдай бұрын шығарған. Шешімдерін олар сазды тақтайшаларға таяқшамен басып жазған.

Жаттығуларды шығарамыз

Тапсырма 1

Теңдеулердің натурал сан түбірлерін бөлгіштер жұбын іріктеу тәсілімен тауып, сонан соң жазбаша тексеріңдер: а) $x(x + 4) = 77$; ә) $x(x - 3) = 54$; б) $x(x + 12) = 85$; в) $x(x - 2) = 63$.

Қалай ойлаймыз. Бөлгіштер жұптарын жаз, керекті айырмасы бар жұпты тап және жақшадағы таңбаға қара.

Шешуі. а) 77-нің жұптары: $1 \cdot 77$, $7 \cdot 11$. Айырмасы 4 — 7 және 11 жұбында. Жақшада плюс, $x$ — кіші сан: $x = 7$. Тексеру: $7 \cdot 11 = 77$. ә) 54-тің жұптары: $1 \cdot 54$, $2 \cdot 27$, $3 \cdot 18$, $6 \cdot 9$. Айырмасы 3 — 6 және 9 жұбында. Жақшада минус, $x$ — үлкен сан: $x = 9$. Тексеру: $9 \cdot 6 = 54$. б) 85-тің жұптары: $1 \cdot 85$, $5 \cdot 17$. Айырмасы 12 — 5 және 17 жұбында: $x = 5$. Тексеру: $5 \cdot 17 = 85$. в) 63-тің жұптары: $1 \cdot 63$, $3 \cdot 21$, $7 \cdot 9$. Айырмасы 2 — 7 және 9 жұбында; $x$ — үлкен сан: $x = 9$. Тексеру: $9 \cdot 7 = 63$.

Жауабы: а) 7; ә) 9; б) 5; в) 9.

Тапсырма 2

Тік төртбұрыштың ауданы 70 см². Оның ені ұзындығынан 3 см қысқа. Тік төртбұрыштың ұзындығы неше сантиметр? Ені неше сантиметр?

Қалай ойлаймыз. $x$ деп ұзындықты аламыз — сонда ені $x - 3$ болады, жақшада минус тұрады.

Шешуі.

1. Ұзындығы $x$ см болсын, онда ені $x - 3$ см. Теңдеу: $x(x - 3) = 70$.
2. 70-тің жұптары: $1 \cdot 70$, $2 \cdot 35$, $5 \cdot 14$, $7 \cdot 10$. Айырмасы 3 — 7 және 10 жұбында.
3. $x = 10$, ені $10 - 3 = 7$. Тексеру: $10 \cdot 7 = 70$.

Жауабы: ұзындығы 10 см, ені 7 см.

Тапсырма 3

Тік төртбұрыштың ауданы 108 см². Оның ұзындығы енінен 12 см ұзын. Тік төртбұрыштың ені неше сантиметр? Ұзындығы неше сантиметр?

Қалай ойлаймыз. 108 санының бөлгіштері көп — ештеңені жібермеу үшін жұптарды ретімен, мұқият жаз.

Шешуі.

1. Ені $x$ см, ұзындығы $x + 12$ см: $x(x + 12) = 108$.
2. 108-дің жұптары: $1 \cdot 108$, $2 \cdot 54$, $3 \cdot 36$, $4 \cdot 27$, $6 \cdot 18$, $9 \cdot 12$. Айырмасы 12 — 6 және 18 жұбында.
3. $x = 6$, ұзындығы 18. Тексеру: $6 \cdot 18 = 108$.

Жауабы: ені 6 см, ұзындығы 18 см.

Тапсырма 4

Тік төртбұрыштың ауданы 120 см². Оның ұзындығы енінен 7 см ұзын. Тік төртбұрыштың периметрін табыңдар. А. 40 см; В. 42 см; С. 46 см; D. 48 см.

Қалай ойлаймыз. Алдымен қабырғаларын іріктеп тап, периметрін кейін есепте: $P = 2 \cdot (a + b)$.

Шешуі.

1. Ені $x$, ұзындығы $x + 7$: $x(x + 7) = 120$.
2. 120-ның жұптары: $1 \cdot 120$, $2 \cdot 60$, $3 \cdot 40$, $4 \cdot 30$, $5 \cdot 24$, $6 \cdot 20$, $8 \cdot 15$, $10 \cdot 12$. Айырмасы 7 — 8 және 15 жұбында.
3. Ені 8 см, ұзындығы 15 см. Периметрі $P = 2 \cdot (8 + 15) = 2 \cdot 23 = 46$ см.

Жауабы: C, 46 см.

Тапсырма 5

Тік төртбұрыштың ұзындығы енінен 13 см ұзын. Оның ауданы 140 см². Тік төртбұрыштың периметрін табыңдар. А. 54 см; В. 60 см; С. 52 см; D. 70 см.

Қалай ойлаймыз. Бәрі 4-тапсырмадағыдай: қабырғаларын іріктеп табамыз, содан кейін периметрін есептейміз.

Шешуі.

1. Ені $x$, ұзындығы $x + 13$: $x(x + 13) = 140$.
2. 140-тың жұптары: $1 \cdot 140$, $2 \cdot 70$, $4 \cdot 35$, $5 \cdot 28$, $7 \cdot 20$, $10 \cdot 14$. Айырмасы 13 — 7 және 20 жұбында.
3. Ені 7 см, ұзындығы 20 см. $P = 2 \cdot (7 + 20) = 2 \cdot 27 = 54$ см.

Жауабы: A, 54 см.